Puissances

« - Une image numérique est un tableau de valeurs, appelé “plan de bits”, le bit étant la plus petite unité dʼinformation compréhensible par une machine numérique. Lʼappareil photo, tout comme lʼordinateur, fonctionne avec un codage binaire, cʼest-à-dire sous deux états : “0” ou “1” explique Yasmine.
- OK, dit Mattéo, avec ces deux nombres 0 et 1, on montre donc deux états. Mais si je veux en montrer 4 ?
- Facile, répond Yasmine : tu ajoutes un “0” ou un “1” ! »

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À votre tour, proposez une solution pour coder encore plus dʼétats avec les 0 et 1.

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Combien dʼétats codez-vous ?

Complétez le tableau suivant à lʼaide du système binaire.

« Dʼaccord, jʼai compris ton système binaire, mais quel est le rapport avec mes photos ?
– Attends, on continue, dit Yasmine. Si on utilise $1$ seul bit, on a dit quʼon pouvait représenter $2$ états ou encore deux couleurs : noir ou blanc. Si on utilise $2$ bits, on pourra commencer à voir…
– $2\times 2=4$ nuances ! sʼécrie Mattéo.
– Donc, plus on multiplie le nombre de bits, plus on affine le réglage couleurs ! »

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Combien de nuances de gris obtient-on lorsquʼon utilise 3 bits ? 4 bits ? 8 bits (cʼest-à-dire un octet) ?
Une image représentée sous cette forme est dite « en nuance de gris ».

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Quel code en système binaire obtiendrait-on pour la couleur 9 ? La couleur 31 ? La couleur 255 ?

« - Je me souviens bien de ton système binaire, mais les nombres codés sont très très long ! Comment mon ordinateur fait-il pour traiter cette quantité phénoménale d'informations ?
- Facile, dit Yasmine : actuellement ton processeur a une cadence de 3 GHz.
- Qu'est-ce que cela veut dire ? l'interroge Mattéo.
- C'est la quantité d'informations que peut traiter ton ordinateur en 1 seconde, lui explique sa cousine. »

En vous aidant du tableau suivant, pouvez-vous expliquer à Mattéo combien dʼinformations à la seconde est capable de traiter son ordinateur ?

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Entrez lʼopération 999 999 999 999 + 1 sur votre calculatrice. Quel résultat obtenez-vous ?

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Pouvez-vous donner une explication et une signification à ce résultat ?
Ceci signifie 1 suivi de 12 zéros. C'est ce que l'on appelle une écriture scientifique.

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Effectuez lʼopération $14^{27}$ sur votre calculatrice. Quel résultat sʼaffiche alors ?

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À lʼaide de ces deux exemples, donnez une définition de lʼécriture scientifique dʼun nombre.

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Yasmine explique alors : « Cette notation scientifique adaptée aux ordinateurs et aux calculatrices est très pratique pour comparer des nombres très grands ou très petits, sans perdre de zéros en cours de route. » Seriez-vous capable de donner des exemples dʼutilisation de ce type dʼécriture ?