Mathématiques Cycle 4
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Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
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Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
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Ch. 8
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Ch. 10
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Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
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Ch. 12
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Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
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Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
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Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 7
J'apprends
Puissances
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ANotion de puissance
J'approfondis
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1 Puissance à exposant positif
Définition
Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu dʼécrire 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 2^6 et on lit « 2 puissance 6 ».
Au lieu dʼécrire 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 2^6 et on lit « 2 puissance 6 ».
Exercices n° p. 153 - 155.
Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe « - » fait partie de la base : (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9, alors que -3^2 = -(3 \times 3) = -9.
Aide
Quelle que soit la valeur de a, a^0 = 1.
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2Puissance à exposant négatif
Définition
Pour tout nombre a non nul et tout entier positif {\color{#c51e50}n}, une puissance de a à lʼexposant négatif {\color{#c51e50}-n} sʼécrit :
a{\color{#c51e50}^{-n}} = \dfrac {1}{a{\color{#c51e50}^n}} = \underbrace{\dfrac{1}{a\times a \times ... \times a}}_{a\: \text{écrit {\color{#c51e50}n} fois}}
Exercices n° p. 153 - 155.
a{\color{#c51e50}^{-n}} = \dfrac {1}{a{\color{#c51e50}^n}} = \underbrace{\dfrac{1}{a\times a \times ... \times a}}_{a\: \text{écrit {\color{#c51e50}n} fois}}
Exercices n° p. 153 - 155.
Exemple :
\dfrac {1}{5^4} = 5^{-4} et 7^3 = \dfrac{1}{7^{-3}}
Remarque : a^{-n} est l'inverse de a^n
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3Signe d'une puissance
Propriété
Si a est un nombre non nul et n un entier non nul :
- si a > 0, alors a^n > 0 ;
- si a \lt 0 :
- si n est pair, alors a^n > 0 ;
- si n est impair, alors a^n \lt 0.
Exercices n° p. 153 - 155.
Exemples :
2^4 > 0
(-2)^3 = -8 \lt 0
3^{-3} = \dfrac{1}{27} > 0
(-2)^2 = 4 > 0
(-2)^{-3} = - \dfrac{1}{8} \lt 0
(-2)^3 = -8 \lt 0
3^{-3} = \dfrac{1}{27} > 0
(-2)^2 = 4 > 0
(-2)^{-3} = - \dfrac{1}{8} \lt 0
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BCalculs avec les puissances
J'approfondis
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Propriétés
Si {\color{#006141}m} et {\color{#c51e50}n} sont des entiers et a un nombre non nul
a{\color{#006141}^m} \times a{\color{#c51e50}^n} = a^{{\color{#006141}m} + {\color{#c51e50}n}}
\dfrac{a^{\color{#006141}m}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac{a}{b} \right)^{{\color{#006141}m} - {\color{#c51e50}n}}
Exercices n° p. 155.
a{\color{#006141}^m} \times a{\color{#c51e50}^n} = a^{{\color{#006141}m} + {\color{#c51e50}n}}
\dfrac{a^{\color{#006141}m}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac{a}{b} \right)^{{\color{#006141}m} - {\color{#c51e50}n}}
Exercices n° p. 155.
Attention
Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.
Remarque : Si p est un entier positif, on généralise la règle précédente :
(a^{n})^{\color{green}{p}}= \color{green}\underbrace{\color{black}a^{n} \times a^{n} \times \ldots \times a^{n}=a^{n \times \color{green}p}}_{a\: \text{écrit p fois}}
Propriétés
Si n est un entier et a et b des nombres non nuls
a^{\color{#c51e50}n} \times b^{\color{#c51e50}n} = (a \times b)^{\color{#c51e50}n}
\dfrac {a^{\color{#c51e50}n}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac {a}{b}\right) ^{\color{#c51e50}n}
Exercices n° p. 155.
a^{\color{#c51e50}n} \times b^{\color{#c51e50}n} = (a \times b)^{\color{#c51e50}n}
\dfrac {a^{\color{#c51e50}n}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac {a}{b}\right) ^{\color{#c51e50}n}
Exercices n° p. 155.
Exemple :
\begin{aligned} \frac{8^{4}}{7^{4}} & =\frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7} \\ & =\frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \\ & =\left(\frac{8}{7}\right)^{4} \end{aligned}
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CL'écriture scientifique
J'approfondis
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1Multiplication par une puissance 10
Rappel
Pour un entier n positif :
- 10^{\color{#c51e50}n} s'écrit avec un 1 suivi de {\color{#c51e50}n} zéros.
- 10^{\color{#006141}-n} s'écrit avec un 1 précédé de {\color{#006141}n} zéros.
Exercices n° p. 156 - 157.
Exemples :
Définition
Si n est un entier positif :
- Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{\color{#c51e50}n} revient à décaler la virgule de {\color{#c51e50}n} crans vers la droite.
- Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{{\color{#006141}-n}} revient à décaler la virgule de {\color{#006141}n} crans vers la gauche.
Exercices n° p. 156 - 157.
J'applique
Consigne :
Calculez :
a. 51\text{,}328 \times 10^2
b. 41\text{,}39 \times 10^4
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1}
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3}
Calculez :
a. 51\text{,}328 \times 10^2
b. 41\text{,}39 \times 10^4
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1}
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3}
Correction :
a. 51\text{,}328 \times 10^2 = 5\:132\text{,}8
b. 41\text{,}39 \times 10^4 = 413\:900
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1} = 94\text{,}23
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3} = 0\text{,}008312
a. 51\text{,}328 \times 10^2 = 5\:132\text{,}8
b. 41\text{,}39 \times 10^4 = 413\:900
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1} = 94\text{,}23
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3} = 0\text{,}008312
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2Écriture scientifique
Définition
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme suivante :
Exercices n° p. 156 - 157.
Aide
La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.
Exemples :
En écriture scientique :
- 453\text{,}2 = 4\text{,}532 \times 10^2
- -0\text{,}26 = - 2\text{,}6 \times 10^{-1}
- 893\:500\:000\:000 = 8\text{,}935 \times 10^{11}
- 0\text{,}000\:000\:004\:603 = 4\text{,}603 \times 10{^-9}
- 1 = 1 \times 10^0
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3Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique
Méthode
On lit l'ordre de grandeur d'un nombre positif en écriture scientique dans l'exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.
Exercices n° p. 156 - 157.
J'applique
Consigne : Comparez 9\text{,}1 \times 10^4 et 8\text{,}9 \times 10^{-3}.
Correction :
10^4 \leq 9\text{,}1 \times 10^4 \lt 10^5
10^{-3} \leq 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 10^{-2}
Or 10^{-2} \lt 10^4
Donc 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 9\text{,}1 \times 10^4
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
