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J'apprends
P.150-152

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Mathématiques - J'apprends


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A. Notion de puissance


1. Puissance à exposant positif

  Définition
Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu dʼécrire 2×2×2×2×2×22 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 262^6 et on lit « 22 puissance 66 ».
c47inf70
Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe « - » fait partie de la base : (3)2=(3)×(3)=9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9, alors que 32=(3×3)=9-3^2 = -(3 \times 3) = -9.

Quelle que soit la valeur de aa, a0=1a^0 = 1.

2. Puissance à exposant négatif

  Définition
Pour tout nombre aa non nul et tout entier positif nn, une puissance de aalʼexposant négatif n-n sʼécrit :
an=1an=1a×a×...×aaeˊcrit n foisa^{-n} = \dfrac {1}{a^n} = \underbrace{\dfrac{1}{a\times a \times ... \times a}}_{a\: \text{écrit n fois}}   Exemple : 154=54\dfrac {1}{5^4} = 5^{-4} et 73=1737^3 = \dfrac{1}{7^{-3}}

Remarque : ana^{-n} est l'inverse de ana^n

3. Signe d'une puissance

  Propriété
Si aa est un nombre non nul et nn un entier non nul :
  • si a>0a > 0, alors an>0a^n > 0
  • si a<0a < 0 :
    • si nn est pair, alors an>0a^n > 0 ;
    • si nn est impair, alors an<0a^n < 0.
Exemple : 
24>02^4 > 0
(2)3=8<0(-2)^3 = -8 < 0
33=127>03^{-3} = \dfrac{1}{27} > 0
(2)2=4>0(-2)^2 = 4 > 0
(2)3=18<0(-2)^{-3} = - \dfrac{1}{8} < 0

B. Calculs avec les puissances


  Propriétés
Si mm et nn sont des entiers et aa un nombre non nul
am×an=am+na^m \times a^n = a^{m + n}
anbn=(ab)n\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b} \right)^n

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Remarque :  Si pp est un entier positif, on généralise la règle précédente : 
(an)p=an×an××an=an×paeˊcrit p fois(a^{n})^{\color{green}{p}}= \color{green}\underbrace{\color{black}a^{n} \times a^{n} \times \ldots \times a^{n}=a^{n \times \color{green}p}}_{a\: \text{écrit p fois}}

  Propriétés
Si nn est un entier et aa et bb des nombres non nuls
an×bn=(a×b)na^n \times b^n = (a \times b)^n
anbn=(ab)n\dfrac {a^n}{b^n} = \left(\dfrac {a}{b}\right) ^n

Exemple
 : 8474=8×8×8×87×7×7×7=87×87×87×87=(87)4\dfrac{8^4}{7^4}=\dfrac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7} = \dfrac{8}{7} \times \dfrac{8}{7} \times \dfrac{8}{7} \times \dfrac{8}{7} = \left(\dfrac{8}{7}\right)^4

C. L'écriture scientifique


1. Multiplication par une puissance 10

  Rappel
Pour un entier nn positif : 
  • 10n10^n s'écrit avec un 11 suivi de nn zéros.
  • 10n10^{-n} s'écrit avec un 11 précédé de nn zéros.
Exemples :
c47inf71
c47inf72


  Définition
Si nn est un entier positif : 
  • Multiplier un nombre en écriture décimale par 10n10^n revient à décaler la virgule de nn crans vers la droite.
  • Multiplier un nombre en écriture décimale par 10n10^{-n} revient à décaler la virgule de nn crans vers la gauche.  
  J'applique
Consigne : Calculez :
a. 51,328×10251\text{,}328 \times 10^2
b. 41,39×10441\text{,}39 \times 10^4
c. 942,3×101942\text{,}3 \times 10^{-1}
d. 8,312×1038\text{,}312 \times 10^{-3}
Correction : 
a. 
51,328×102=5132,851\text{,}328 \times 10^2 = 5\:132\text{,}8
b. 41,39×104=41390041\text{,}39 \times 10^4 = 413\:900
c. 942,3×101=94,23942\text{,}3 \times 10^{-1} = 94\text{,}23
d. 8,312×103=0,0083128\text{,}312 \times 10^{-3} = 0\text{,}008312

2. Écriture scientifique

  Définition
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme suivante : 
La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.
c47inf73

Exemple : En écriture scientique : 
  • 453,2=4,532×102453\text{,}2 = 4\text{,}532 \times 10^2
  • 0,26=2,6×101-0\text{,}26 = - 2\text{,}6 \times 10^{-1}
  • 893500000000=8,935×1011893\:500\:000\:000 = 8\text{,}935 \times 10^{11}
  • 0,000000004603=4,603×1090\text{,}000\:000\:004\:603 = 4\text{,}603 \times 10{^-9}
  • 1=1×1001 = 1 \times 10^0

3. Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

  Méthode
On lit l'ordre de grandeur d'un nombre positif en écriture scientique dans l'exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.

  J'applique
Consigne : Comparez 9,1×1049\text{,}1 \times 10^4 et 8,9×1038\text{,}9 \times 10^{-3}.
Correction :
1049,1×104<10510^4 \leq 9\text{,}1 \times 10^4 < 10^5
1038,9×103<10210^{-3} \leq 8\text{,}9 \times 10^{-3} < 10^{-2}
Or 102<10410^{-2} < 10^4
Donc 8,9×103<9,1×1048\text{,}9 \times 10^{-3} < 9\text{,}1 \times 10^4
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