Mathématiques Cycle 4

Rejoignez la communauté !

Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.

Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 7

J'apprends

Puissances

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

A
Notion de puissance

J'approfondis

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

1
Puissance à exposant positif

Définition

Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu dʼécrire

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

, on peut écrire

2^{6}

et on lit «

2

puissance

6

».

2 puissance 6 où on apelle 2 la base et 6 l'exposant. La base indique quel nombre il faut multiplier répétitivement par lui-même. Et l'exposant indique le nombre de fois que l'on multiplie la base répétitivement par elle-même.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 1 à 19
p. 153 - 155.

Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe «

-

» fait partie de la base :

(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9

, alors que

- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9

Quelle que soit la valeur de

a

a^{0} = 1

Aide

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

2
Puissance à exposant négatif

Définition

Pour tout nombre

a

non nul et tout entier positif $n$ , une puissance de

a

à lʼexposant négatif $- n$ sʼécrit :

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} = a \overset{e}{ˊ} crit n fois \frac{1}{a \times a \times . . . \times a}

Exercices n° 7 à 19
p. 153 - 155.

Exemple :

\frac{1}{5 ^{4}} = 5^{- 4}

7^{3} = \frac{1}{7 ^{- 3}}

Remarque :

a^{- n}

est l'inverse de

a^{n}

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

3
Signe d'une puissance

Propriété

a

est un nombre non nul et

n

un entier non nul :

si $a > 0$ , alors $a^{n} > 0$ ;
si $a < 0$ :
- si $n$ est pair, alors $a^{n} > 0$ ;
- si $n$ est impair, alors $a^{n} < 0$ .

Exercices n° 1 à 19
p. 153 - 155.

Exemples :

2^{4} > 0

(- 2)^{3} = - 8 < 0

3^{- 3} = \frac{1}{2 7} > 0

(- 2)^{2} = 4 > 0

(- 2)^{- 3} = - \frac{1}{8} < 0

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

B
Calculs avec les puissances

J'approfondis

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

Propriétés

m

n

sont des entiers et

a

un nombre non nul

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

\frac{a ^{m}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{m - n}

Exercices n° 20 à 30
p. 155.

Attention

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Remarque : Si

p

est un entier positif, on généralise la règle précédente :

(a^{n})^{p} = a \overset{e}{ˊ} crit p fois a^{n} \times a^{n} \times \dots \times a^{n} = a^{n \times p}

Propriétés

n

est un entier et

a

b

des nombres non nuls

a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

Exercices n° 20 à 30
p. 155.

Exemple :

\frac{8 ^{4}}{7 ^{4}} = \frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7} = \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} = (\frac{8}{7})^{4}

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

C
L'écriture scientifique

J'approfondis

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

1
Multiplication par une puissance 10

Rappel

Pour un entier

n

positif :

$1 0^{n}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros.
$1 0^{- n}$ s'écrit avec un $1$ précédé de $n$ zéros.

Exercices n° 31 à 45
p. 156 - 157.

Exemples :

10 puissance 6 = 1 000 000, soit 6 zéros

Le zoom est accessible dans la version Premium.

10 puissance -5 = 0,00 001, soit 5 zéros et 10 puissance 0 = 1

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Définition

n

est un entier positif :

Multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la droite.
Multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{- n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la gauche.

Exercices n° 32 à 45
p. 156 - 157.

J'applique

Consigne :
Calculez :
a.

51, 328 \times 1 0^{2}

41, 39 \times 1 0^{4}

942, 3 \times 1 0^{- 1}

8, 312 \times 1 0^{- 3}

Correction :
a.

51, 328 \times 1 0^{2} = 5132, 8

41, 39 \times 1 0^{4} = 413900

942, 3 \times 1 0^{- 1} = 94, 23

8, 312 \times 1 0^{- 3} = 0, 008312

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

2
Écriture scientifique

Définition

Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme suivante :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 31 à 45
p. 156 - 157.

La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Aide

Exemples :
En écriture scientique :

$453, 2 = 4, 532 \times 1 0^{2}$
$- 0, 26 = - 2, 6 \times 1 0^{- 1}$
$893500000000 = 8, 935 \times 1 0^{11}$
$0, 000000004603 = 4, 603 \times 10^{-} 9$
$1 = 1 \times 1 0^{0}$

Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.

3
Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

Méthode

On lit l'ordre de grandeur d'un nombre positif en écriture scientique dans l'exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.

Exercices n° 41 à 45
p. 156 - 157.

J'applique

Consigne :
Comparez

9, 1 \times 1 0^{4}

8, 9 \times 1 0^{- 3}

.

Correction :

1 0^{4} \leq 9, 1 \times 1 0^{4} < 1 0^{5}

1 0^{- 3} \leq 8, 9 \times 1 0^{- 3} < 1 0^{- 2}

1 0^{- 2} < 1 0^{4}

Donc

8, 9 \times 1 0^{- 3} < 9, 1 \times 1 0^{4}

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène

Émilie

Jean-Paul

Fatima

Sarah

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.

Puissances