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Problèmes corrigés

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Escalier de piscine (Brevet Métropole, 2016)

Afin de faciliter lʼaccès à sa piscine, Monsieur Alfonse décide de construire un escalier constitué de deux pavés droits. La base du pavé du dessus est lʼimage de la base de lʼautre par une homothétie de rapport 12\dfrac{1}{2}. Voici les plans :
  • Quand un document de ce type vous est donné, il faut lire les questions qui sʼy rapportent avant de commencer à le lire afin dʼavoir une idée de ce que lʼon vous demande. Ensuite, lisez attentivement le titre et/ou la légende pour être surs que vous ne faites pas dʼerreurs de compréhension. Commencez ensuite à lire le document en portant une attention particulière aux unités.
Méthode
Comment faire le jour J ?
  • Nʼhésitez pas à écrire le tableau de conversion au brouillon.
  • Question a. Pensez à décomposer votre solide en dʼautres solides dont on sait calculer le volume.
  • Question b. Avant de vous lancer dans les calculs, réécrivez les formules tirées du cours sur votre copie, pour que cela soit pris en compte dans la correction même si vous faites une erreur dans vos calculs.
a.
  • La marche du dessous est un pavé droit.
Son volume est donc :
Vm.dessous=L×l×h\text{V}_{\text{m.dessous}}=\text{L} \times \text{l} \times \text{h}
Vm.dessous=2×4×0,2\text{V}_{\text{m.dessous}}=2 \times 4 \times 0\text{,}2
Vm.dessous=1,6m3\text{V}_{\text{m.dessous}}=1\text{,}6 \: \text{m}^3

  • La marche du dessus est aussi un pavé droit. Sa base est lʼimage de la base de lʼautre marche par une homothétie de rapport 12\dfrac{1}{2}. Son aire vaut donc (12)2=14\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} de lʼaire de la base de la marche du bas, soit 2m22 \: \text{m}^2. Donc le volume de la marche du dessus vaut : 
Vm.dessous=2×0,2\text{V}_{\text{m.dessous}}=2 \times 0\text{,}2 
Vm.dessous=0,4m3\text{V}_{\text{m.dessous}}=0\text{,}4 \: \text{m}^3
Lʼescalier a donc un volume de 1,6+0,4=2m31\text{,}6 + 0\text{,}4=2 \: \text{m}^3.

  • On sait que le volume de lʼescalier vaut 2m3=2000L2 \: \text{m}^3 = 2\:000 \: \text{L}. Or, dʼaprès le tableau, avec un sac de ciment, on a 100 L de ciment. Alors il faut 2000÷100=202\:000 \div 100 = 20 sacs de ciment.
b. Dʼaprès le tableau, pour un sac de ciment, on a besoin de 17 L dʼeau. Or, pour faire lʼescalier, on a besoin de 20 sacs de ciment. Il faut donc 17×20=340L17 \times 20 = 340 \: \text{L} dʼeau.
Corrigé
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