Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Vecteurs, droites et plans de l'espace
Ouverturep. 54-55
Activités
Activitép. 56-57
1. Vecteurs de l'espace
Coursp. 58-60
2. Droites et plans de l'espace
Coursp. 61-64
3. Repère de l’espace
Coursp. 65-67
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 68
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 69
Surface représentant une fonction à deux variables
TP / TICEp. 70
Aire d'une section du cube
TP / TICEp. 71
Travailler les automatismes
Exercicesp. 72-73
1. Vecteurs de l'espace
Exercicesp. 74-75
2. Droites et plans de l'espace
Exercicesp. 75
3. Repère de l’espace
Exercicesp. 77-79
Synthèse
Synthèsep. 80-83
Préparer le bac
Méthode Bacp. 84-85
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 2

Droites et plans de l'espace

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A
Droites de l'espace

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Définition
Soient \text{A} un point de l'espace et \vec{u} un vecteur non nul. L'ensemble des points \text{M} de l'espace tels que \overrightarrow{\text{AM}} = \lambda \vec{u} , avec \lambda \in \R, est une droite.
( \text{A} \ , \ \vec{u} ) est un repère de cette droite : on dit que la droite est dirigée par \vec{u} .
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Remarque

\vec{u} est un vecteur directeur de la droite.
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Définition
Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non.
Si elles sont coplanaires, alors elles appartiennent à un même plan. Elles peuvent donc être sécantes (avoir un point d'intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).

Droites de l'espace
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Attention

Dans l'espace, des droites non sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.
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Remarque

Lorsque les droites sont coplanaires, on retrouve les résultats obtenus en géométrie plane.
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Exemple
Les droites \text{(AB)} et \text{(EF)} sont parallèles (donc coplanaires).

Les droites \text{(EF)} et \text{(EH)} sont sécantes en \text{E} (donc coplanaires).

Les droites \text{(EF)} et \text{(CG)} sont non coplanaires.

Droites de l'espace
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B
Plans de l'espace

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Définitions
Soient \text{A} un point de l'espace et \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non colinéaires de l'espace.
L'ensemble des points \text{M} tels que \overrightarrow{\text{AM}} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} (où \lambda et \mu sont des réels) est un plan de l'espace. (\text{A} \ ; \ \vec{u} \ ; \ \vec{v}) est un repère du plan. On dit que le plan est dirigé par la base ( \vec{u} \ , \ \vec{v} ).
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Vocabulaire

La direction du plan est ( \vec{u} \ , \ \vec{v} ).
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Définitions
  • Position relative de deux plans.

Plans de l'espace
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  • Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace.

Plans de l'espace
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Remarque

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points non alignés.Ils défnissent alors le plan dont un repère est ( \text{A} \ ; \ \overrightarrow{\text{AB}} \ , \ \overrightarrow{\text{AC}} ).
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Soit \text{ABCD}, un tétraèdre. On défnit les points \text{R}, \text{S} et \text{T} par : \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{4}{5} \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{\mathrm{BT}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BD}}. Déterminer l'intersection des plans \text{(BCD)} et \text{(RST)}.

Droites et plans de l'espace
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Méthode

Pour déterminer l'intersection de deux plans, il faut :
  • justifier qu'ils sont sécants ;
  • déterminer leur droite d'intersection : il suffit alors de déterminer deux points qui appartiennent aux deux plans.

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Solution
\mathrm{T} \in(\mathrm{BCD}) et \mathrm{T} \in(\mathrm{SRT}), donc \text {(BCD)} et \text {(SRT)} sont sécants.
\mathrm{S} \in(\mathrm{ABD}) et \mathrm{T} \in(\mathrm{ABD}), donc \text {(ST)} et \text {(AB)} sont coplanaires.
De plus, \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{\mathrm{BT}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BD}} donc les droites \text {(ST)} et \text {(AB)} ne sont pas parallèles. On en déduit qu'elles sont sécantes. Nommons \text{K} leur point d'intersection.
\mathrm{K} \in(\mathrm{AB}) donc \mathrm{K} \in(\mathrm{ABC}) et \mathrm{R} \in(\mathrm{AC}) donc \mathrm{R} \in(\mathrm{ABC}).
\text {(KR)} est donc incluse dans (\mathrm{ABC}).
Les droites \text{(KR)} et \text{(BC)} sont coplanaires et sécantes.
Notons \text{L} leur point d'intersection.
\mathrm{L} \in(\mathrm{BC}) donc \mathrm{L} \in(\mathrm{BCD}) et \mathrm{L} \in(\mathrm{KR}) avec \mathrm{K} \in(\mathrm{SRT}) donc \mathrm{L} \in(\mathrm{SRT}). On a ainsi \mathrm{L} \in(\mathrm{RST}) \cap(\mathrm{BCD}).
L'intersection des deux plans est la droite \text{(TL)}.

Pour s'entraîner
Exercices
30
 et
31
 p.73
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C
Parallélisme dans l'espace

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Théorème
Une droite d est parallèle à un plan \mathcal{P} si, et seulement si, il existe une droite \Delta du plan \mathcal{P} parallèle à d.
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Démonstration
Le résultat est évident lorsque d est incluse dans \mathcal{P}. Supposons que d n'est pas incluse dans \mathcal{P}.

Sens direct :
On suppose que d est parallèle à \mathcal{P}. Soit un plan \mathcal{P}', sécant à \mathcal{P}, contenant d et contenant un point \text{A} de \mathcal{P}. On note \Delta leur intersection. Les droites d et \Delta sont coplanaires car elles sont incluses dans \mathcal{P}'. Supposons que d et \Delta sont sécantes en un point \text{B}. \text{B} \in \Delta donc \text{B} \in \mathcal{P}. Or \text{B} \in d donc \text{B} \in \mathcal{P} \cap d, ce qui est contradictoire avec le fait que d et \mathcal{P} sont strictement parallèles. d et \Delta ne sont donc pas sécantes : elles sont parallèles.

Parallélisme dans l'espace
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Sens réciproque :
On suppose qu'il existe une droite \Delta incluse dans \mathcal{P} telle que d // \Delta. Notons \mathcal{P}' le plan contenant \Delta et d et supposons que d et \mathcal{P} ne sont pas parallèles. Il existe alors un point \text{R} tel que \text{R} \in d \cap \mathcal{P}. Ainsi, \text{R} \in \mathcal{P} \cap \mathcal{P}', donc \text{R} \in \Delta, ce qui est contradictoire avec le fait que d et \Delta sont strictement parallèles. Ainsi, d et \mathcal{P} ne sont pas sécants : ils sont donc parallèles.
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Remarque

On doit démontrer une équivalence. La démonstration se fait en deux temps : on démontre d'abord le sens direct puis le sens réciproque.
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Théorème
Un plan \mathcal{P}' est parallèle à un plan \mathcal{P} si, et seulement si, il existe deux droites sécantes de \mathcal{P}' parallèles à deux droites sécantes de \mathcal{P}.

Parallélisme dans l'espace
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Démonstration
Le sens direct est admis. Démontrons le sens réciproque.
Soient d et d' deux droites sécantes de \mathcal{P} de vecteurs directeurs respectifs \vec{u} et \vec{v}.
On note \Delta et \Delta' deux droites sécantes de \mathcal{P}' respectivement parallèles à d et d'. ( \vec{u} \ , \ \vec{v} ) est donc une base de \mathcal{P}. Or d et d' sont parallèles à \Delta et \Delta' donc ( \vec{u} \ , \ \vec{v} ), est une base de \mathcal{P}'. Les plans ont donc la même direction et sont donc parallèles.
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Théorème
Soient \mathcal{P} et \mathcal{P}' deux plans strictement parallèles. Tout plan \pi qui coupe l'un de ces plans coupe l'autre et les droites d'intersections obtenues sont parallèles.

Parallélisme dans l'espace
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Démonstration
Soit \pi un plan sécant à \mathcal{P} distinct de \mathcal{P}.
Alors \pi est également sécant à \mathcal{P}' car sinon, on aurait \pi // \mathcal{P}' et \mathcal{P} // \mathcal{P}' d'où \pi // \mathcal{P}, ce qui est absurde. On note respectivement \Delta et \Delta' les droites défnies par \Delta = \pi \cap \mathcal{P} et \Delta' = \pi \cap \mathcal{P}'. Ces droites sont incluses dans \pi donc elles sont soit parallèles, soit sécantes. Si elles étaient sécantes, elles auraient un point d'intersection situé à la fois dans le plan \mathcal{P} et dans le plan \mathcal{P}', ce qui est impossible. Donc \Delta et \Delta' sont parallèles.
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Théorème du toit (admis)
Soient deux droites d et d' parallèles. Soit un plan \mathcal{P} contenant d sécant à un autre plan \mathcal{P}' contenant d'. Alors la droite \Delta intersection de \mathcal{P} et \mathcal{P}' est parallèle à d et à d'.

Droites et plans de l'espace
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Soient le cube \text{ABCDEFGH} et les points \text{I} et \text{J} représentés sur la fgure ci-contre. Déterminer l'intersection des plans \text{(IJF)} et \text{(DCG)}.
Droites et plans de l'espace
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Méthode

Si deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite.
On commence donc par chercher :
  • un point commun entre ces deux plans ;
  • un théorème à appliquer en fonction des hypothèses données par l'énoncé ou déterminées au cours de la résolution.
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Solution
Les points \text{I} et \text{F} appartiennent aux plans \text {(ABF)} et \text {(IJF)} donc la droite \text {(IF)} est l'intersection de ces deux plans. Or le plan \text {(DCG)} est parallèle au plan \text {(ABF)} car \text{ABCDEFGH} est un cube. Par ailleurs, lorsque deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les intersections sont parallèles. \text{J} appartient au plan \text {(DCG)} donc \mathrm{J} \in(\mathrm{IJF}) \cap(\mathrm{DCG}). Ainsi, la parallèle à \text{(IF)} passant par \text{J} est la droite d'intersection recherchée.

Pour s'entraîner
Exercices
32
 et
33
 p. 73

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