Sommaire

Mes pages

Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 2

Cours 2

Droites et plans de l'espace

Ressource affichée de l'autre côté.
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A
Droites de l'espace

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Définition

Soient

A

un point de l'espace et

u

un vecteur non nul. L'ensemble des points

M

de l'espace tels que

AM = λ u

, avec

λ \in R

, est une droite.

(A, u)

est un repère de cette droite : on dit que la droite est dirigée par

u

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Remarque

u

est un vecteur directeur de la droite.

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Définition

Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non.
Si elles sont coplanaires, alors elles appartiennent à un même plan. Elles peuvent donc être sécantes (avoir un point d'intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).

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Attention

Dans l'espace, des droites non sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.

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Remarque

Lorsque les droites sont coplanaires, on retrouve les résultats obtenus en géométrie plane.

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Exemple

Les droites

(AB)

(EF)

sont parallèles (donc coplanaires).

Les droites

(EF)

(EH)

sont sécantes en

E

(donc coplanaires).

Les droites

(EF)

(CG)

sont non coplanaires.

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B
Plans de l'espace

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Définitions

Soient

A

un point de l'espace et

u

v

deux vecteurs non colinéaires de l'espace.
L'ensemble des points

M

tels que

AM = λ u + μ v

(où

λ

μ

sont des réels) est un plan de l'espace.

(A; u; v)

est un repère du plan. On dit que le plan est dirigé par la base

(u, v)

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Vocabulaire

La direction du plan est

(u, v)

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Définitions

Position relative de deux plans.

Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace.

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Remarque

Soient

A

B

C

trois points non alignés.Ils défnissent alors le plan dont un repère est

(A; AB, AC)

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Application et méthode - 4

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Énoncé

Soit

ABCD

, un tétraèdre. On défnit les points

R

S

T

par :

AR = \frac{4}{5} AC

AS = \frac{2}{3} AD

BT = \frac{1}{3} BD

. Déterminer l'intersection des plans

(BCD)

(RST)

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Méthode

Pour déterminer l'intersection de deux plans, il faut :

justifier qu'ils sont sécants ;
déterminer leur droite d'intersection : il suffit alors de déterminer deux points qui appartiennent aux deux plans.

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Solution

T \in (BCD)

T \in (SRT)

, donc

(BCD)

(SRT)

sont sécants.

S \in (ABD)

T \in (ABD)

, donc

(ST)

(AB)

sont coplanaires.
De plus,

AS = \frac{2}{3} AD

BT = \frac{1}{3} BD

donc les droites

(ST)

(AB)

ne sont pas parallèles. On en déduit qu'elles sont sécantes. Nommons

K

leur point d'intersection.

K \in (AB)

donc

K \in (ABC)

R \in (AC)

donc

R \in (ABC)

(KR)

est donc incluse dans

(ABC)

.
Les droites

(KR)

(BC)

sont coplanaires et sécantes.
Notons

L

leur point d'intersection.

L \in (BC)

donc

L \in (BCD)

L \in (KR)

avec

K \in (SRT)

donc

L \in (SRT)

. On a ainsi

L \in (RST) \cap (BCD)

.
L'intersection des deux plans est la droite

(TL)

Pour s'entraîner

Exercices

p.73

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C
Parallélisme dans l'espace

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Théorème

Une droite

d

est parallèle à un plan

P

si, et seulement si, il existe une droite

Δ

du plan

P

parallèle à

d

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Démonstration

Le résultat est évident lorsque

d

est incluse dans

P

. Supposons que

d

n'est pas incluse dans

P

.

Sens direct :

On suppose que

d

est parallèle à

P

. Soit un plan

P^{'}

, sécant à

P

, contenant

d

et contenant un point

A

P

. On note

Δ

leur intersection. Les droites

d

Δ

sont coplanaires car elles sont incluses dans

P^{'}

. Supposons que

d

Δ

sont sécantes en un point

B

B \in Δ

donc

B \in P

. Or

B \in d

donc

B \in P \cap d

, ce qui est contradictoire avec le fait que

d

P

sont strictement parallèles.

d

Δ

ne sont donc pas sécantes : elles sont parallèles.

Sens réciproque :
On suppose qu'il existe une droite

Δ

incluse dans

P

telle que

d //Δ

. Notons

P^{'}

le plan contenant

Δ

d

et supposons que

d

P

ne sont pas parallèles. Il existe alors un point

R

tel que

R \in d \cap P

. Ainsi,

R \in P \cap P^{'}

, donc

R \in Δ

, ce qui est contradictoire avec le fait que

d

Δ

sont strictement parallèles. Ainsi,

d

P

ne sont pas sécants : ils sont donc parallèles.

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Remarque

On doit démontrer une équivalence. La démonstration se fait en deux temps : on démontre d'abord le sens direct puis le sens réciproque.

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Théorème

Un plan

P^{'}

est parallèle à un plan

P

si, et seulement si, il existe deux droites sécantes de

P^{'}

parallèles à deux droites sécantes de

P

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Démonstration

Le sens direct est admis. Démontrons le sens réciproque.
Soient

d

d^{'}

deux droites sécantes de

P

de vecteurs directeurs respectifs

u

v

.
On note

Δ

Δ^{'}

deux droites sécantes de

P^{'}

respectivement parallèles à

d

d^{'}

(u, v)

est donc une base de

P

. Or

d

d^{'}

sont parallèles à

Δ

Δ^{'}

donc

(u, v)

, est une base de

P^{'}

. Les plans ont donc la même direction et sont donc parallèles.

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Théorème

Soient

P

P^{'}

deux plans strictement parallèles. Tout plan

π

qui coupe l'un de ces plans coupe l'autre et les droites d'intersections obtenues sont parallèles.

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Démonstration

Soit

π

un plan sécant à

P

distinct de

P

.
Alors

π

est également sécant à

P^{'}

car sinon, on aurait

π // P^{'}

P // P^{'}

d'où

π // P

, ce qui est absurde. On note respectivement

Δ

Δ^{'}

les droites défnies par

Δ = π \cap P

Δ^{'} = π \cap P^{'}

. Ces droites sont incluses dans

π

donc elles sont soit parallèles, soit sécantes. Si elles étaient sécantes, elles auraient un point d'intersection situé à la fois dans le plan

P

et dans le plan

P^{'}

, ce qui est impossible. Donc

Δ

Δ^{'}

sont parallèles.

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Théorème du toit (admis)

Soient deux droites

d

d^{'}

parallèles. Soit un plan

P

contenant

d

sécant à un autre plan

P^{'}

contenant

d^{'} .

Alors la droite

Δ

intersection de

P

P^{'}

est parallèle à

d

et à

d^{'}

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Application et méthode - 5

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Énoncé

Soient le cube

ABCDEFGH

et les points

I

J

représentés sur la fgure ci-contre. Déterminer l'intersection des plans

(IJF)

(DCG)

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Méthode

Si deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite.
On commence donc par chercher :

un point commun entre ces deux plans ;
un théorème à appliquer en fonction des hypothèses données par l'énoncé ou déterminées au cours de la résolution.

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Solution

Les points

I

F

appartiennent aux plans

(ABF)

(IJF)

donc la droite

(IF)

est l'intersection de ces deux plans. Or le plan

(DCG)

est parallèle au plan

(ABF)

car

ABCDEFGH

est un cube. Par ailleurs, lorsque deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les intersections sont parallèles.

J

appartient au plan

(DCG)

donc

J \in (IJF) \cap (DCG)

. Ainsi, la parallèle à

(IF)

passant par

J

est la droite d'intersection recherchée.

Pour s'entraîner

Exercices

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Droites et plans de l'espace

ADroites de l'espace

Remarque

Attention

Remarque

BPlans de l'espace

Vocabulaire

Remarque

Méthode

CParallélisme dans l'espace

Remarque

Méthode

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A
Droites de l'espace

B
Plans de l'espace

C
Parallélisme dans l'espace