Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 2

Cours 3

Repère de l'espace

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A
Coordonnées d'un point de l'espace

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Définition

Un repère de l'espace est défini par la donnée d'un point

O

de l'espace et d'une base

(i, j, k)

de l'espace.

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Notation

On note alors le repère

(O; i, j, k)

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Définition

On considère un repère

(O; i, j, k)

.
Pour tout point

M

de l'espace, il existe un unique triplet de réels

(x; y; z)

tel que

OM = x i + y j + z k

x

y

z

sont les coordonnées de

M

dans le repère

(O; i, j, k)

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Vocabulaire

On note

M (x; y; z)

x

est appelé l'abscisse de

M

y

l'ordonnée et

z

la cote.

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B
Opérations sur les coordonnées

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L'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

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Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.

Les coordonnées du vecteur

AB

sont

x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A}

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Notation

On dit indifféremment « coordonnées d'un vecteur dans une base » ou « coordonnées d'un vecteur dans un repère ».

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Démonstration

AB = AO + OB = - OA + OB

.
Ainsi

AB = - x_{A} i - y_{A} j - z_{A} k + x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k = (x_{B} - x_{A}) i + (y_{B} - y_{A}) j + (z_{B} - z_{A}) k

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Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.

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Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.
Les coordonnées du milieu

I

[AB]

sont

(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

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Démonstration

I

est le milieu de

[AB]

. Ainsi

AI = \frac{1}{2} AB

et donc

AO + OI = \frac{1}{2} AB

.
Ainsi,

OI = \frac{1}{2} AB - AO = \frac{1}{2} AO + \frac{1}{2} OB - AO

d'où

OI = \frac{1}{2} OA + \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2} (x_{A} i + y_{A} j + z_{A} k) + \frac{1}{2} (x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k)

OI = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} i + \frac{y _{A} + y _{B}}{2} j + \frac{z _{A} + z _{B}}{2} k

. Donc

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

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Remarque

O

est l'origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur

OI

en fonction de

i

j

k

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Exemples

1. Pour

A (1; - 1; 2)

B (3; 1; - 4)

, on a

AB 3 - 1 1 - (- 1) - 4 - 2

soit

AB 22 - 6

.

2. Si

A (3; 4; - 4)

B (- 1; 6; 2)

, alors le milieu

I

[AB]

a pour coordonnées

(\frac{3 + ( - 1 )}{2}; \frac{4 + 6}{2}; \frac{- 4 + 2}{2})

donc

I (1; 5; - 1)

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Propriétés

On considère les vecteurs

u x_{u} y_{u} z_{u}

v x_{v} y_{v} z_{v}

a

un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur

u + v

sont

x_{u} + x_{v} y_{u} + y_{v} z_{u} + z_{v}

.
2. Les coordonnées du vecteur

a u

sont

a x_{u} a y_{u} a z_{u}

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Démonstration

u + v = x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k + x_{v} i + y_{v} j + z_{v} k = (x_{u} + x_{v}) i + (y_{u} + y_{v}) j + (z_{u} + z_{v}) k

a u = a (x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k) = a x_{u} i + a y_{u} j + a z_{u} k

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Exemple

Soient les vecteurs

u 2 - 3 - 1

v 50 - 5

.
Le vecteur

w = u + 3 v

a pour coordonnées

2 - 3 - 1 + 3 50 - 5 = 2 - 3 - 1 + 150 - 15 = 17 - 3 - 16

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Application et méthode - 6

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Énoncé

Dans un repère

(O; i, j, k)

, on donne les points

E (- 1; 3; 2)

F (2; - 1; 3)

G (- 1; 0; 1)

. Déterminer les coordonnées du point

M

défini par

EM = EF + 2 EG

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Méthode

On pose

M (x; y; z)

. On détermine les coordonnées du vecteur

EM

en fonction de

x

y

z

et des coordonnées de

EF

EG

.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.

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Solution

On pose

M (x; y; z)

.
On a

EM x - (- 1) y - 3 z - 2

EF 3 - 4 1

EG 0 - 3 - 1

.
D'après l'égalité vectorielle,

⎩ ⎨ ⎧ x + 1 = 3 y - 3 = - 4 + 2 \times (- 3) z - 2 = 1 + 2 \times (- 1)

soit

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = - 7 z = 1

Pour s'entraîner

Exercices

p. 73

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C
Représentation paramétrique d'une droite

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L'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

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Propriété

Soit un point

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

appartenant à une droite

Δ

de vecteur directeur

u a b c

M (x; y; z)

appartient à

Δ

si, et seulement si, il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎨ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

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Remarque

À chaque valeur de

t

correspond un point de

Δ

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Remarque

Les coeffcients du paramètre

t

sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

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Démonstration

M \in Δ \Leftrightarrow AM

u

sont colinéaires

\Leftrightarrow

il existe un réel

t \in R

tel que

AM = t u

.
Or

AM x - x_{A} y - y_{A} z - z_{A}

donc

M \in Δ \Leftrightarrow

il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎨ ⎧ x - x_{A} = a t y - y_{A} = b t z - z_{A} = c t

soit

⎩ ⎨ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

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Définition

Le système d'équations

⎩ ⎨ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

avec

t

décrivant

R

est une représentation paramétrique de la droite

Δ

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Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d'une droite.

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Application et méthode - 7

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Énoncé

On se place dans un repère

(O; i, j, k)

.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite

(AB)

où

A (1; - 3; 1)

B (- 1; 1; 4)

.

2. Les points

C (- 1; 1; 4)

D (2; 4; 2)

appartiennent-ils à

(AB)

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Méthode

1. Le vecteur

AB

est un vecteur directeur de

(AB)

. On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.

2. On remplace

x

y

z

par les coordonnées du point

C

. Si le système admet une solution, alors

C

appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.

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Solution

AB - 2 43

donc, d'après le résultat du cours :

⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 t + 1 y = 4 t - 3 z = 3 t + 1

où

t \in R

.

2. Pour

C (- 1; 1; 4)

, on a

⎩ ⎨ ⎧ - 1 14 = - 2 t + 1 = 4 t - 3 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎨ ⎧ t = 1 t = 1 t = 1

.
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point

C

appartient à la droite

(AB).

Pour

D (2; 4; 2)

, on a

⎩ ⎨ ⎧ 2 = - 2 t + 1 4 = 4 t - 3 2 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎨ ⎧ t = - \frac{1}{2} t = \frac{7}{4} t = \frac{1}{3}

.
Le système n'est pas compatible, donc le point

D

n'appartient pas à la droite

(AB)

Pour s'entraîner

Exercices

p. 73 et

p. 78

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Rappels de première

Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Repère de l'espace

ACoordonnées d'un point de l'espace

Notation

Vocabulaire

BOpérations sur les coordonnées

Notation

Remarque

Remarque

Méthode

CReprésentation paramétrique d'une droite

Remarque

Remarque

Remarque

Méthode

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Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

A
Coordonnées d'un point de l'espace

B
Opérations sur les coordonnées

C
Représentation paramétrique d'une droite