Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point O de l’espace et d’une base (i,j,k) de l’espace.
NOTATION
On note alors le repère (O;i,j,k).
Définition
On considère un repère (O;i,j,k).
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tel que OM=xi+yj+zk. x, y et z sont les coordonnées de M dans le repère (O;i,j,k).
VOCABULAIRE
On note M(x;y;z). x est appelé l’abscisse de M, y l’ordonnée et z la cote.
B
Opérations sur les coordonnées
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
Propriété
On considère les points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB).
Les coordonnées du vecteur AB sont ⎝⎛xB−xAyB−yAzB−zA⎠⎞.
NOTATION
On dit indifféremment « coordonnées
d’un vecteur dans
une base » ou
« coordonnées d’un
vecteur dans un
repère ».
DÉMONSTRATION
AB=AO+OB=−OA+OB.
Ainsi AB=−xAi−yAj−zAk+xBi+yBj+zBk=(xB−xA)i+(yB−yA)j+(zB−zA)k.
Remarque
Pour les
deux premières coordonnées, on retrouve
les formules apprises
dans le plan.
Propriété
On considère les points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB).
Les coordonnées du milieu I de [AB] sont (2xA+xB;2yA+yB;2zA+zB).
DÉMONSTRATION
I est le milieu de [AB]. Ainsi AI=21AB et donc AO+OI=21AB.
Ainsi, OI=21AB−AO=21AO+21OB−AO d'où OI=21OA+21OB=21(xAi+yAj+zAk)+21(xBi+yBj+zBk) OI=2xA+xBi+2yA+yBj+2zA+zBk. Donc I(2xA+xB;2yA+yB;2zA+zB).
Remarque
O est
l’origine du repère,
donc on doit trouver
la décomposition du
vecteur OI en fonction de i, j et k.
Exemples
1. Pour A(1;−1;2) et B(3;1;−4), on a AB⎝⎛3−11−(−1)−4−2⎠⎞ soit AB⎝⎛22−6⎠⎞. 2. Si A(3;4;−4) et B(−1;6;2), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées (23+(−1);24+6;2−4+2) donc I(1;5;−1).
Propriétés
On considère les vecteurs u⎝⎛xuyuzu⎠⎞, v⎝⎛xvyvzv⎠⎞
et a un nombre réel. 1. Les coordonnées du vecteur u+v sont ⎝⎛xu+xvyu+yvzu+zv⎠⎞. 2. Les coordonnées du vecteur au sont ⎝⎛axuayuazu⎠⎞.
Soient les vecteurs u⎝⎛2−3−1⎠⎞ et v⎝⎛50−5⎠⎞.
Le vecteur w=u+3v a pour coordonnées ⎝⎛2−3−1⎠⎞+3⎝⎛50−5⎠⎞=⎝⎛2−3−1⎠⎞+⎝⎛150−15⎠⎞=⎝⎛17−3−16⎠⎞.
Application et méthode - 6
Énoncé
Dans un repère (O;i,j,k), on donne les points E(−1;3;2), F(2;−1;3) et G(−1;0;1).
Déterminer les coordonnées du point M défini par EM=EF+2EG.
Solution
On pose M(x;y;z).
On a EM⎝⎛x−(−1)y−3z−2⎠⎞, EF⎝⎛3−41⎠⎞ et EG⎝⎛0−3−1⎠⎞.
D'après l'égalité vectorielle, ⎩⎪⎨⎪⎧x+1=3y−3=−4+2×(−3)z−2=1+2×(−1) soit ⎩⎪⎨⎪⎧x=2y=−7z=1.
On pose M(x;y;z). On détermine les coordonnées du vecteur EM en fonction de x, y
et z et des coordonnées de EF et EG.
On traduit l’égalité vectorielle de l’énoncé par
un système.
C
Représentation paramétrique d’une droite
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
Propriété
Soit un point A(xA;yA;zA) appartenant à une droite Δ de vecteur directeur u⎝⎛abc⎠⎞. M(x;y;z) appartient à Δ si, et seulement si, il existe t∈R tel que ⎩⎪⎨⎪⎧x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA.
Remarque
À chaque valeur de t correspond un point de Δ.
Remarque
Les
coeffcients du
paramètre t sont les
coordonnées d’un
vecteur directeur de
la droite.
DÉMONSTRATION
M∈Δ⇔AM et u sont colinéaires ⇔ il existe un réel t∈R tel que AM=tu.
Or AM⎝⎛x−xAy−yAz−zA⎠⎞ donc M∈Δ⇔ il existe t∈R tel que ⎩⎪⎨⎪⎧x−xA=aty−yA=btz−zA=ct soit ⎩⎪⎨⎪⎧x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA.
Définition
Le système d’équations ⎩⎪⎨⎪⎧x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA avec t décrivant R est une représentation paramétrique de la droite Δ.
Remarque
Il existe
une infinité de
représentations
paramétriques d’une
droite.
Application et méthode - 7
Énoncé
On se place dans un repère (O;i,j,k). 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) où A(1;−3;1) et B(−1;1;4). 2. Les points C(−1;1;4) et D(2;4;2) appartiennent-ils à (AB) ?
Solution
1.AB⎝⎛−243⎠⎞ donc, d'après le résultat du cours : ⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+1y=4t−3z=3t+1 où t∈R. 2. Pour C(−1;1;4), on a ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−114=−2t+1=4t−3=3t+1 soit ⎩⎪⎨⎪⎧t=1t=1t=1. Le système est compatible (c’est-à-dire qu’il admet une solution)
donc le point C appartient à la droite (AB).
Pour D(2;4;2), on a ⎩⎪⎨⎪⎧2=−2t+14=4t−32=3t+1 soit ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧t=−21t=47t=31.
Le système n’est pas compatible, donc le point D n’appartient pas à la droite (AB).
1. Le vecteur AB est un vecteur directeur de (AB). On détermine alors ses coordonnées
puis on applique la définition du cours. 2. On remplace x, y et z par les coordonnées du point C. Si le système admet une
solution, alors C appartient à la droite.
Sinon, il n’appartient pas à la droite.
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