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Repère de l’espace

Définition

Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point $\text{O}$ de l’espace et d’une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l’espace.

Définition

On considère un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Pour tout point $\text{M}$ de l’espace, il existe un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tel que $\overrightarrow{\text{OM}}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.
$x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

Propriété

On considère les points $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}};y_{\text{B}};z_{\text{B}})$.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ sont $\left(\begin{array}{l}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A\end{array}\right)$.

Propriété

On considère les points $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}};y_{\text{B}};z_{\text{B}})$.
Les coordonnées du milieu $\text{I}$ de $[\text{AB}]$ sont $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Propriétés

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}{x}_{\overrightarrow{u}}\\ y_{\overrightarrow{u}}\\ z_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{v}}\\ z_{\overrightarrow{v}}\end{array}\right)$ et $a$ un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ sont $\left(\begin{array}{l}{x}_{\overrightarrow{u}}+x_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{u}}+y_{\overrightarrow{v}}\\ z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}\end{array}\right)$.
2. Les coordonnées du vecteur $a\overrightarrow{u}$ sont $\left(\begin{array}{l}a{x}_{\overrightarrow{u}}\\ a{y}_{\overrightarrow{u}}\\ a{z}_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)$.

Propriété

Soit un point $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ appartenant à une droite $\Delta$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$.
$\text{M}(x;y;z)$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $\{\begin{array}{l}x=at+x_A\\ y=bt+y_A\\ z=ct+z_A\end{array}$.

Définition

Le système d’équations $\{\begin{array}{l}x=at+x_A\\ y=bt+y_A\\ z=ct+z_A\end{array}$ avec $t$ décrivant $\mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.