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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 3
Repère de l'espace
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ACoordonnées d'un point de l'espace
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Définition
Un repère de l'espace est défini par la donnée d'un point \text{O} de l'espace et d'une base ( \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ) de l'espace.
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On note alors le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
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Définition
On considère un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Pour tout point \text{M} de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x \ ; \ y \ ; \ z) tel que \overrightarrow{\text{OM}} = x \vec{i} + y \vec{j} + z\vec{k}.
x, y et z sont les coordonnées de \text{M} dans le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Pour tout point \text{M} de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x \ ; \ y \ ; \ z) tel que \overrightarrow{\text{OM}} = x \vec{i} + y \vec{j} + z\vec{k}.
x, y et z sont les coordonnées de \text{M} dans le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
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On note \text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z). x est appelé l'abscisse de \text{M}, y l'ordonnée et z la cote.
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BOpérations sur les coordonnées
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L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
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Propriété
On considère les points \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et \text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} sont \left(\begin{array}{l} x_{B}-x_{A} \\ y_{B}-y_{A} \\ z_{B}-z_{A} \end{array}\right) .
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} sont \left(\begin{array}{l} x_{B}-x_{A} \\ y_{B}-y_{A} \\ z_{B}-z_{A} \end{array}\right) .
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On dit indifféremment « coordonnées
d'un vecteur dans
une base » ou
« coordonnées d'un
vecteur dans un
repère ».
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Démonstration
\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-x_{\mathrm{A}} \vec{i}-y_{A} \vec{j}-z_{\mathrm{A}} \vec{k}+x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{A}\right) \vec{i}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{A}\right) \vec{j}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{A}\right) \vec{k}.
Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-x_{\mathrm{A}} \vec{i}-y_{A} \vec{j}-z_{\mathrm{A}} \vec{k}+x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{A}\right) \vec{i}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{A}\right) \vec{j}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{A}\right) \vec{k}.
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Pour les
deux premières coordonnées, on retrouve
les formules apprises
dans le plan.
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Propriété
On considère les points \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et \text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du milieu \text{I} de [\text{AB}] sont \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Les coordonnées du milieu \text{I} de [\text{AB}] sont \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
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Démonstration
\text{I} est le milieu de [\text{AB}]. Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et donc \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Ainsi, \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}} d'où
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\left(x_{A} \vec{i}+y_{A} \vec{j}+z_{A} \vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}\right)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \vec{i}+\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \vec{j}+\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} \vec{k}. Donc \text{I} \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Ainsi, \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}} d'où
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\left(x_{A} \vec{i}+y_{A} \vec{j}+z_{A} \vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}\right)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \vec{i}+\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \vec{j}+\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} \vec{k}. Donc \text{I} \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
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\text{O} est
l'origine du repère,
donc on doit trouver
la décomposition du
vecteur \overrightarrow{\text{OI}} en fonction de \vec{i}, \vec{j} et \vec{k}.
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Exemples
1. Pour \text{A} ( 1 \ ; \ -1 \ ; \ 2) et \text{B} ( 3 \ ; \ 1 \ ; \ -4), on a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
3-1 \\
1-(-1) \\
-4-2
\end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
2 \\
2 \\
-6
\end{array}\right).
2. Si \text{A} ( 3 \ ; \ 4 \ ; \ -4) et \text{B} ( -1 \ ; \ 6 \ ; \ 2), alors le milieu \text{I} de [\text{AB}] a pour coordonnées \left(\frac{3+(-1)}{2} ; \frac{4+6}{2} ; \frac{-4+2}{2}\right) donc \mathrm{I}(1 ; 5 ;-1).
2. Si \text{A} ( 3 \ ; \ 4 \ ; \ -4) et \text{B} ( -1 \ ; \ 6 \ ; \ 2), alors le milieu \text{I} de [\text{AB}] a pour coordonnées \left(\frac{3+(-1)}{2} ; \frac{4+6}{2} ; \frac{-4+2}{2}\right) donc \mathrm{I}(1 ; 5 ;-1).
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Propriétés
On considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}
x_{\vec{u}} \\
y_{\vec{u}} \\
z_{\vec{u}}
\end{array}\right), \vec{v}\left(\begin{array}{l}
x_{\vec{v}} \\
y_{\vec{v}} \\
z_{\vec{v}}
\end{array}\right)
et a un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur \vec{u} + \vec{v} sont \left(\begin{array}{l} x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}\\ y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}} \\ z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}} \end{array}\right).
2. Les coordonnées du vecteur a \vec{u} sont \left(\begin{array}{l} a x_{\vec{u}}\\ a y_{\vec{u}} \\ a z_{\vec{u}} \end{array}\right).
1. Les coordonnées du vecteur \vec{u} + \vec{v} sont \left(\begin{array}{l} x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}\\ y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}} \\ z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}} \end{array}\right).
2. Les coordonnées du vecteur a \vec{u} sont \left(\begin{array}{l} a x_{\vec{u}}\\ a y_{\vec{u}} \\ a z_{\vec{u}} \end{array}\right).
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Démonstration
1. \vec{u}+\vec{v} =x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}+x_{\vec{v}} \vec{i}+y_{\vec{v}} \vec{j}+z_{\vec{v}} \vec{k} =\left(x_{\vec{u}}+x_{\vec{v}}\right) \vec{i}+\left(y_{\vec{u}}+y_{\vec{v}}\right) \vec{j}+\left(z_{\vec{u}}+z_{\vec{v}}\right) \vec{k}
2. a \vec{u}=a\left(x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}\right) = a x_{\vec{u}} \vec{i}+a y_{\vec{u}} \vec{j}+a z_{\vec{u}} \vec{k}
2. a \vec{u}=a\left(x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}\right) = a x_{\vec{u}} \vec{i}+a y_{\vec{u}} \vec{j}+a z_{\vec{u}} \vec{k}
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Exemple
Soient les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
-1
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c}
5 \\
0 \\
-5
\end{array}\right).
Le vecteur \vec{w}=\vec{u}+3 \vec{v} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ -15 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 17 \\ -3 \\ -16 \end{array}\right).
Le vecteur \vec{w}=\vec{u}+3 \vec{v} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ -15 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 17 \\ -3 \\ -16 \end{array}\right).
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Application et méthode - 6
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Énoncé
Dans un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ), on donne les points \text{E}(-1 \ ; \ 3 \ ; \ 2), \text{F}(2 \ ; \ -1 \ ; \ 3) et \text{G}(-1 \ ; \ 0 \ ; \ 1).
Déterminer les coordonnées du point \text{M} défini par \overrightarrow{\mathrm{EM}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}+2 \overrightarrow{\mathrm{EG}}.
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On pose \mathrm{M}(x \: ; y \: ; z). On détermine les coordonnées
du vecteur \overrightarrow{\mathrm{EM}} en fonction de x, y
et z et des coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{EG}}.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.
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Solution
On pose \mathrm{M}(x \:; y \:; z).
On a \overrightarrow{\mathrm{EM}}\left(\begin{array}{c} x-(-1) \\ y-3 \\ z-2 \end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{EF}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{EG}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right).
D'après l'égalité vectorielle, \left\{\begin{array}{l} x+1=3 \\ y-3=-4+2 \times(-3) \\ z-2=1+2 \times(-1) \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-7 \\ z=1 \end{array}\right..
On a \overrightarrow{\mathrm{EM}}\left(\begin{array}{c} x-(-1) \\ y-3 \\ z-2 \end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{EF}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{EG}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right).
D'après l'égalité vectorielle, \left\{\begin{array}{l} x+1=3 \\ y-3=-4+2 \times(-3) \\ z-2=1+2 \times(-1) \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-7 \\ z=1 \end{array}\right..
Pour s'entraîner
Exercices et p. 73
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CReprésentation paramétrique d'une droite
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L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
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Propriété
Soit un point \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) appartenant à une droite \Delta de vecteur directeur \vec{u}\left(\begin{array}{l}
a \\
b \\
c
\end{array}\right).
\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z) appartient à \Delta si, et seulement si, il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z) appartient à \Delta si, et seulement si, il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
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À chaque valeur de t correspond un point de \Delta.
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Les
coeffcients du
paramètre t sont les
coordonnées d'un
vecteur directeur de
la droite.
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Démonstration
\text{M} \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}} et \vec{u} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe un réel t \in \R tel que \overrightarrow{\text{AM}} = t \vec{u}.
Or \overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(\begin{array}{l} x-x_{\mathrm{A}} \\ y-y_{\mathrm{A}} \\ z-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right) donc \text{M} \in \Delta \Leftrightarrow il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x-x_{A}=a t \\ y-y_{A}=b t \\ z-z_{A}=c t \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
Or \overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(\begin{array}{l} x-x_{\mathrm{A}} \\ y-y_{\mathrm{A}} \\ z-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right) donc \text{M} \in \Delta \Leftrightarrow il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x-x_{A}=a t \\ y-y_{A}=b t \\ z-z_{A}=c t \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
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Définition
Le système d'équations \left\{\begin{array}{l}
x=a t+x_{A} \\
y=b t+y_{A} \\
z=c t+z_{A}
\end{array}\right. avec t décrivant \R est une représentation paramétrique de la droite \Delta.
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Il existe
une infinité de
représentations
paramétriques d'une
droite.
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Application et méthode - 7
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Énoncé
On se place dans un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite (\text{AB}) où \text{A} (1 \ ; \ -3 \ ; \ 1) et \text{B} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4).
2. Les points \text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4) et \text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2) appartiennent-ils à (\text{AB}) ?
1. Donner une représentation paramétrique de la droite (\text{AB}) où \text{A} (1 \ ; \ -3 \ ; \ 1) et \text{B} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4).
2. Les points \text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4) et \text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2) appartiennent-ils à (\text{AB}) ?
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1. Le vecteur \overrightarrow{\text{AB}} est un vecteur directeur de
\text{(AB)}. On détermine alors ses coordonnées
puis on applique la définition du cours.
2. On remplace x, y et z par les coordonnées du point \text{C}. Si le système admet une solution, alors \text{C} appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.
2. On remplace x, y et z par les coordonnées du point \text{C}. Si le système admet une solution, alors \text{C} appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.
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Solution
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
4 \\
3
\end{array}\right) donc, d'après le résultat du cours : \left\{\begin{array}{l}
x=-2 t+1 \\
y=4 t-3 \\
z=3 t+1
\end{array}\right. où t \in \mathbb{R}.
2. Pour C(-1 \:; 1 \:; 4), on a \left\{\begin{aligned} -1 &=-2 t+1 \\ 1 &=4 t-3 \\ 4 &=3 t+1 \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=1 \\ t=1 \\ t=1 \end{array}\right..
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point \text{C} appartient à la droite \text{(AB).}
Pour \mathrm{D}(2 \:; 4 \:; 2), on a \left\{\begin{array}{l} 2=-2 t+1 \\ 4=4 t-3 \\ 2=3 t+1 \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=-\frac{1}{2} \\ t=\frac{7}{4} \\ t=\frac{1}{3} \end{array}\right..
Le système n'est pas compatible, donc le point \text{D} n'appartient pas à la droite \text{(AB)}.
2. Pour C(-1 \:; 1 \:; 4), on a \left\{\begin{aligned} -1 &=-2 t+1 \\ 1 &=4 t-3 \\ 4 &=3 t+1 \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=1 \\ t=1 \\ t=1 \end{array}\right..
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point \text{C} appartient à la droite \text{(AB).}
Pour \mathrm{D}(2 \:; 4 \:; 2), on a \left\{\begin{array}{l} 2=-2 t+1 \\ 4=4 t-3 \\ 2=3 t+1 \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=-\frac{1}{2} \\ t=\frac{7}{4} \\ t=\frac{1}{3} \end{array}\right..
Le système n'est pas compatible, donc le point \text{D} n'appartient pas à la droite \text{(AB)}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 73 et p. 78
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah