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3. Repère de l’espace
P.65-67

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COURS 3


3
Repère de l’espace




A
Coordonnées d’un point de l’espace


Définition

Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point O\text{O} de l’espace et d’une base (i , j , k)( \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ) de l’espace.

NOTATION

On note alors le repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).

Définition

On considère un repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).
Pour tout point M\text{M} de l’espace, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z)( x \ ; \ y \ ; \ z) tel que OM=xi+yj+zk\overrightarrow{\text{OM}} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}.
xx, yy et zz sont les coordonnées de M\text{M} dans le repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).

Repère de l'espace

VOCABULAIRE

On note M(x ; y ; z)\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z). xx est appelé l’abscisse de M\text{M}, yy l’ordonnée et zz la cote.

B
Opérations sur les coordonnées


L’espace est rapporté à un repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).

Propriété

On considère les points A(xA ; yA ; zA)\text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et B(xB ; yB ; zB)\text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} sont (xBxAyByAzBzA)\left(\begin{array}{l} x_{B}-x_{A} \\ y_{B}-y_{A} \\ z_{B}-z_{A} \end{array}\right) .

NOTATION

On dit indifféremment « coordonnées d’un vecteur dans une base » ou « coordonnées d’un vecteur dans un repère ».

DÉMONSTRATION

AB=AO+OB=OA+OB\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
Ainsi AB=xAiyAjzAk+xBi+yBj+zBk=(xBxA)i+(yByA)j+(zBzA)k\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-x_{\mathrm{A}} \overrightarrow{i}-y_{A} \overrightarrow{j}-z_{\mathrm{A}} \overrightarrow{k}+x_{\mathrm{B}} \overrightarrow{i}+y_{\mathrm{B}} \overrightarrow{j}+z_{\mathrm{B}} \overrightarrow{k}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{A}\right) \overrightarrow{i}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{A}\right) \overrightarrow{j}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{A}\right) \overrightarrow{k}.

Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.

Propriété

On considère les points A(xA ; yA ; zA)\text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et B(xB ; yB ; zB)\text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du milieu I\text{I} de [AB][\text{AB}] sont (xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).

DÉMONSTRATION

I\text{I} est le milieu de [AB][\text{AB}]. Ainsi AI=12AB\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et donc AO+OI=12AB\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Ainsi, OI=12ABAO=12AO+12OBAO\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}} d'où
OI=12OA+12OB=12(xAi+yAj+zAk)+12(xBi+yBj+zBk)\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{1}{2}\left(x_{A} \overrightarrow{i}+y_{A} \overrightarrow{j}+z_{A} \overrightarrow{k}\right)+\dfrac{1}{2}\left(x_{\mathrm{B}} \overrightarrow{i}+y_{\mathrm{B}} \overrightarrow{j}+z_{\mathrm{B}} \overrightarrow{k}\right)
OI=xA+xB2i+yA+yB2j+zA+zB2k\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \overrightarrow{i}+\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \overrightarrow{j}+\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} \overrightarrow{k}. Donc I(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)\text{I} \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).

Remarque

O\text{O} est l’origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur OI\overrightarrow{\text{OI}} en fonction de i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k}.

Exemples

1. Pour A(1 ; 1 ; 2)\text{A} ( 1 \ ; \ -1 \ ; \ 2) et B(3 ; 1 ; 4)\text{B} ( 3 \ ; \ 1 \ ; \ -4), on a AB(311(1)42)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 3-1 \\ 1-(-1) \\ -4-2 \end{array}\right) soit AB(226)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -6 \end{array}\right).
2. Si A(3 ; 4 ; 4)\text{A} ( 3 \ ; \ 4 \ ; \ -4) et B(1 ; 6 ; 2)\text{B} ( -1 \ ; \ 6 \ ; \ 2), alors le milieu I\text{I} de [AB][\text{AB}] a pour coordonnées (3+(1)2;4+62;4+22)\left(\dfrac{3+(-1)}{2} ; \dfrac{4+6}{2} ; \dfrac{-4+2}{2}\right) donc I(1;5;1) \mathrm{I}(1 ; 5 ;-1).


Propriétés

On considère les vecteurs u(xuyuzu)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x_{\overrightarrow{u}} \\ y_{\overrightarrow{u}} \\ z_{\overrightarrow{u}} \end{array}\right), v(xvyvzv)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} x_{\overrightarrow{v}} \\ y_{\overrightarrow{v}} \\ z_{\overrightarrow{v}} \end{array}\right) et aa un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur u+v\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} sont (xu+xvyu+yvzu+zv)\left(\begin{array}{l} x_{\overrightarrow{u}} + x_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{u}} + y_{\overrightarrow{v}} \\ z_{\overrightarrow{u}} + z_{\overrightarrow{v}} \end{array}\right).
2. Les coordonnées du vecteur aua \overrightarrow{u} sont (axuayuazu)\left(\begin{array}{l} a x_{\overrightarrow{u}}\\ a y_{\overrightarrow{u}} \\ a z_{\overrightarrow{u}} \end{array}\right).

DÉMONSTRATION

1. u+v=xui+yuj+zuk+xvi+yvj+zvk=(xu+xv)i+(yu+yv)j+(zu+zv)k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =x_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{i}+y_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{j}+z_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{k}+x_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{i}+y_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{j}+z_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{k} =\left(x_{\overrightarrow{u}}+x_{\overrightarrow{v}}\right) \overrightarrow{i}+\left(y_{\overrightarrow{u}}+y_{\overrightarrow{v}}\right) \overrightarrow{j}+\left(z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}\right) \overrightarrow{k}
2. au=a(xui+yuj+zuk)=axui+ayuj+azuka \overrightarrow{u}=a\left(x_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{i}+y_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{j}+z_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{k}\right) = a x_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{i}+a y_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{j}+a z_{\overrightarrow{u}} \overrightarrow{k}

Exemple

Soient les vecteurs u(231)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right) et v(505)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right).
Le vecteur w=u+3v\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+3 \overrightarrow{v} a pour coordonnées (231)+3(505)=(231)+(15015)=(17316)\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ -15 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 17 \\ -3 \\ -16 \end{array}\right).

Application et méthode - 6

Énoncé

Dans un repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ), on donne les points E(1 ; 3 ; 2)\text{E}(-1 \ ; \ 3 \ ; \ 2), F(2 ; 1 ; 3)\text{F}(2 \ ; \ -1 \ ; \ 3) et G(1 ; 0 ; 1)\text{G}(-1 \ ; \ 0 \ ; \ 1).
Déterminer les coordonnées du point M\text{M} défini par EM=EF+2EG\overrightarrow{\mathrm{EM}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}+2 \overrightarrow{\mathrm{EG}}.

Solution


On pose M(x ; y ; z)\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z).
On a EM(x(1)y3z2)\overrightarrow{\mathrm{EM}}\left(\begin{array}{c} x-(-1) \\ y-3 \\ z-2 \end{array}\right), EF(341) \overrightarrow{\mathrm{EF}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) et EG(031)\overrightarrow{\mathrm{EG}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right).
D'après l'égalité vectorielle, {x+1=3y3=4+2×(3)z2=1+2×(1)\left\{\begin{array}{l} x+1=3 \\ y-3=-4+2 \times(-3) \\ z-2=1+2 \times(-1) \end{array}\right. soit {x=2y=7z=1\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-7 \\ z=1 \end{array}\right..

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 73

Méthode

On pose M(x ; y ; z)\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z). On détermine les coordonnées du vecteur EM\overrightarrow{EM} en fonction de xx, yy et zz et des coordonnées de EF\overrightarrow{EF} et EG\overrightarrow{EG}. On traduit l’égalité vectorielle de l’énoncé par un système.

C
Représentation paramétrique d’une droite


L’espace est rapporté à un repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).

Propriété

Soit un point A(xA ; yA ; zA)\text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) appartenant à une droite Δ\Delta de vecteur directeur u(abc)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right).
M(x ; y ; z)\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z) appartient à Δ\Delta si, et seulement si, il existe tRt \in \R tel que {x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA\left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..

Remarque

À chaque valeur de tt correspond un point de Δ\Delta.

Remarque

Les coeffcients du paramètre tt sont les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.

DÉMONSTRATION

MΔAM\text{M} \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}} et u\overrightarrow{u} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe un réel tRt \in \R tel que AM=tu\overrightarrow{\text{AM}} = t \overrightarrow{u}.
Or AM(xxAyyAzzA)\overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(\begin{array}{l} x-x_{\mathrm{A}} \\ y-y_{\mathrm{A}} \\ z-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right) donc MΔ\text{M} \in \Delta \Leftrightarrow il existe tRt \in \R tel que {xxA=atyyA=btzzA=ct\left\{\begin{array}{l} x-x_{A}=a t \\ y-y_{A}=b t \\ z-z_{A}=c t \end{array}\right. soit {x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA\left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..

Définition

Le système d’équations {x=at+xAy=bt+yAz=ct+zA\left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right. avec tt décrivant R\R est une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta.

Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d’une droite.

Application et méthode - 7

Énoncé

On se place dans un repère (; i , j , k)( \text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j} \ , \ \overrightarrow{k} ).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB)(\text{AB})A(1 ; 3 ; 1)\text{A} (1 \ ; \ -3 \ ; \ 1) et B(1 ; 1 ; 4)\text{B} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4).
2. Les points C(1 ; 1 ; 4)\text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4) et D(2 ; 4 ; 2)\text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2) appartiennent-ils à (AB)(\text{AB}) ?

Solution


1. AB(243)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) donc, d'après le résultat du cours : {x=2t+1y=4t3z=3t+1\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+1 \\ y=4 t-3 \\ z=3 t+1 \end{array}\right. tRt \in \R.
2. Pour C(1 ; 1 ; 4)\text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4), on a {1=2t+11=4t34=3t+1\left\{\begin{aligned} -1 &=-2 t+1 \\ 1 &=4 t-3 \\ 4 &=3 t+1 \end{aligned}\right. soit {t=1t=1t=1\left\{\begin{array}{l} t=1 \\ t=1 \\ t=1 \end{array}\right.. Le système est compatible (c’est-à-dire qu’il admet une solution) donc le point C\text{C} appartient à la droite (AB)(\text{AB}).

Pour D(2 ; 4 ; 2)\text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2), on a {2=2t+14=4t32=3t+1\left\{\begin{array}{l} 2=-2 t+1 \\ 4=4 t-3 \\ 2=3 t+1 \end{array}\right. soit {t=12t=74t=13\left\{\begin{array}{l} t=-\dfrac{1}{2} \\ t=\dfrac{7}{4} \\ t=\dfrac{1}{3} \end{array}\right.. Le système n’est pas compatible, donc le point D\text{D} n’appartient pas à la droite (AB)(\text{AB}).

Pour s'entraîner : exercices 39 p. 73 et 79 p. 78

Méthode

1. Le vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} est un vecteur directeur de (AB)(\text{AB}). On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.
2. On remplace xx, yy et zz par les coordonnées du point C\text{C}. Si le système admet une solution, alors C\text{C} appartient à la droite. Sinon, il n’appartient pas à la droite.

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