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3. Repère de l’espace

P.65-67

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COURS 3

3
Repère de l’espace

A
Coordonnées d’un point de l’espace

Définition

Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point

O

de l’espace et d’une base

(i, j, k)

de l’espace.

NOTATION

On note alors le repère

(O; i, j, k)

Définition

On considère un repère

(O; i, j, k)

.
Pour tout point

M

de l’espace, il existe un unique triplet de réels

(x; y; z)

tel que

OM = x i + y j + z k

x

y

z

sont les coordonnées de

M

dans le repère

(O; i, j, k)

VOCABULAIRE

On note

M (x; y; z)

x

est appelé l’abscisse de

M

y

l’ordonnée et

z

la cote.

B
Opérations sur les coordonnées

L’espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.
Les coordonnées du vecteur

AB

sont

⎝ ⎛ x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A} ⎠ ⎞

NOTATION

On dit indifféremment « coordonnées d’un vecteur dans une base » ou « coordonnées d’un vecteur dans un repère ».

DÉMONSTRATION

A B = A O + O B = - O A + O B

.
Ainsi

A B = - x_{A} i - y_{A} j - z_{A} k + x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k = (x_{B} - x_{A}) i + (y_{B} - y_{A}) j + (z_{B} - z_{A}) k

Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.

Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.
Les coordonnées du milieu

I

[AB]

sont

(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

DÉMONSTRATION

I

est le milieu de

[AB]

. Ainsi

A I = \frac{1}{2} A B

et donc

A O + O I = \frac{1}{2} A B

.
Ainsi,

O I = \frac{1}{2} A B - A O = \frac{1}{2} A O + \frac{1}{2} O B - A O

d'où

O I = \frac{1}{2} O A + \frac{1}{2} O B = \frac{1}{2} (x_{A} i + y_{A} j + z_{A} k) + \frac{1}{2} (x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k)

O I = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} i + \frac{y _{A} + y _{B}}{2} j + \frac{z _{A} + z _{B}}{2} k

. Donc

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

Remarque

O

est l’origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur

OI

en fonction de

i

j

k

Exemples

1. Pour

A (1; - 1; 2)

B (3; 1; - 4)

, on a

A B ⎝ ⎛ 3 - 1 1 - (- 1) - 4 - 2 ⎠ ⎞

soit

A B ⎝ ⎛ 22 - 6 ⎠ ⎞

.
2. Si

A (3; 4; - 4)

B (- 1; 6; 2)

, alors le milieu

I

[AB]

a pour coordonnées

(\frac{3 + ( - 1 )}{2}; \frac{4 + 6}{2}; \frac{- 4 + 2}{2})

donc

I (1; 5; - 1)

Propriétés

On considère les vecteurs

u ⎝ ⎛ x_{u} y_{u} z_{u} ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ x_{v} y_{v} z_{v} ⎠ ⎞

a

un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur

u + v

sont

⎝ ⎛ x_{u} + x_{v} y_{u} + y_{v} z_{u} + z_{v} ⎠ ⎞

.
2. Les coordonnées du vecteur

a u

sont

⎝ ⎛ a x_{u} a y_{u} a z_{u} ⎠ ⎞

DÉMONSTRATION

u + v = x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k + x_{v} i + y_{v} j + z_{v} k = (x_{u} + x_{v}) i + (y_{u} + y_{v}) j + (z_{u} + z_{v}) k

a u = a (x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k) = a x_{u} i + a y_{u} j + a z_{u} k

Exemple

Soient les vecteurs

u ⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 50 - 5 ⎠ ⎞

.
Le vecteur

w = u + 3 v

a pour coordonnées

⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞ + 3 ⎝ ⎛ 50 - 5 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 150 - 15 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 17 - 3 - 16 ⎠ ⎞

Application et méthode - 6

Énoncé

Dans un repère

(O; i, j, k)

, on donne les points

E (- 1; 3; 2)

F (2; - 1; 3)

G (- 1; 0; 1)

.
Déterminer les coordonnées du point

M

défini par

E M = E F + 2 E G

Solution

On pose

M (x; y; z)

.
On a

E M ⎝ ⎛ x - (- 1) y - 3 z - 2 ⎠ ⎞

E F ⎝ ⎛ 3 - 4 1 ⎠ ⎞

E G ⎝ ⎛ 0 - 3 - 1 ⎠ ⎞

.
D'après l'égalité vectorielle,

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x + 1 = 3 y - 3 = - 4 + 2 \times (- 3) z - 2 = 1 + 2 \times (- 1)

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 y = - 7 z = 1

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 73

Méthode

On pose

M (x; y; z)

. On détermine les coordonnées du vecteur

E M

en fonction de

x

y

z

et des coordonnées de

E F

E G

. On traduit l’égalité vectorielle de l’énoncé par un système.

C
Représentation paramétrique d’une droite

L’espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

Propriété

Soit un point

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

appartenant à une droite

Δ

de vecteur directeur

u ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞

M (x; y; z)

appartient à

Δ

si, et seulement si, il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

Remarque

À chaque valeur de

t

correspond un point de

Δ

Remarque

Les coeffcients du paramètre

t

sont les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.

DÉMONSTRATION

M \in Δ \Leftrightarrow AM

u

sont colinéaires

\Leftrightarrow

il existe un réel

t \in R

tel que

AM = t u

.
Or

A M ⎝ ⎛ x - x_{A} y - y_{A} z - z_{A} ⎠ ⎞

donc

M \in Δ \Leftrightarrow

il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x - x_{A} = a t y - y_{A} = b t z - z_{A} = c t

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

Définition

Le système d’équations

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

avec

t

décrivant

R

est une représentation paramétrique de la droite

Δ

Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d’une droite.

Application et méthode - 7

Énoncé

On se place dans un repère

(O; i, j, k)

.
1. Donner une représentation paramétrique de la droite

(AB)

où

A (1; - 3; 1)

B (- 1; 1; 4)

.
2. Les points

C (- 1; 1; 4)

D (2; 4; 2)

appartiennent-ils à

(AB)

Solution

A B ⎝ ⎛ - 2 43 ⎠ ⎞

donc, d'après le résultat du cours :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = - 2 t + 1 y = 4 t - 3 z = 3 t + 1

où

t \in R

.
2. Pour

C (- 1; 1; 4)

, on a

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 1 14 = - 2 t + 1 = 4 t - 3 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ t = 1 t = 1 t = 1

. Le système est compatible (c’est-à-dire qu’il admet une solution) donc le point

C

appartient à la droite

(AB)

.

Pour

D (2; 4; 2)

, on a

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 2 = - 2 t + 1 4 = 4 t - 3 2 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ t = - \frac{1}{2} t = \frac{7}{4} t = \frac{1}{3}

. Le système n’est pas compatible, donc le point

D

n’appartient pas à la droite

(AB)

Pour s'entraîner : exercices 39 p. 73 et 79 p. 78

Méthode

1. Le vecteur

AB

est un vecteur directeur de

(AB)

. On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.
2. On remplace

x

y

z

par les coordonnées du point

C

. Si le système admet une solution, alors

C

appartient à la droite. Sinon, il n’appartient pas à la droite.

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3Repère de l’espace

ACoordonnées d’un point de l’espace

BOpérations sur les coordonnées

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 6

Énoncé

Solution

Méthode

CReprésentation paramétrique d’une droite

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

Application et méthode - 7

Énoncé

Solution

Méthode

3
Repère de l’espace

A
Coordonnées d’un point de l’espace

B
Opérations sur les coordonnées

C
Représentation paramétrique d’une droite