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3. Repère de l’espace
P.65-67

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COURS 3


3
Repère de l’espace




A
Coordonnées d’un point de l’espace


Définition

Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point de l’espace et d’une base de l’espace.

NOTATION

On note alors le repère .

Définition

On considère un repère .
Pour tout point de l’espace, il existe un unique triplet de réels tel que .
, et sont les coordonnées de dans le repère .

Repère de l'espace

VOCABULAIRE

On note . est appelé l’abscisse de , l’ordonnée et la cote.

B
Opérations sur les coordonnées


L’espace est rapporté à un repère .

Propriété

On considère les points et .
Les coordonnées du vecteur sont .

NOTATION

On dit indifféremment « coordonnées d’un vecteur dans une base » ou « coordonnées d’un vecteur dans un repère ».

DÉMONSTRATION

.
Ainsi .

Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.

Propriété

On considère les points et .
Les coordonnées du milieu de sont .

DÉMONSTRATION

est le milieu de . Ainsi et donc .
Ainsi, d'où

. Donc .

Remarque

est l’origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur en fonction de , et .

Exemples

1. Pour et , on a soit .
2. Si et , alors le milieu de a pour coordonnées donc .


Propriétés

On considère les vecteurs , et un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur sont .
2. Les coordonnées du vecteur sont .

DÉMONSTRATION

1.
2.

Exemple

Soient les vecteurs et .
Le vecteur a pour coordonnées .

Application et méthode - 6

Énoncé

Dans un repère , on donne les points , et .
Déterminer les coordonnées du point défini par .

Solution


On pose .
On a , et .
D'après l'égalité vectorielle, soit .

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 73

Méthode

On pose . On détermine les coordonnées du vecteur en fonction de , et et des coordonnées de et . On traduit l’égalité vectorielle de l’énoncé par un système.

C
Représentation paramétrique d’une droite


L’espace est rapporté à un repère .

Propriété

Soit un point appartenant à une droite de vecteur directeur .
appartient à si, et seulement si, il existe tel que .

Remarque

À chaque valeur de correspond un point de .

Remarque

Les coeffcients du paramètre sont les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.

DÉMONSTRATION

et sont colinéaires il existe un réel tel que .
Or donc il existe tel que soit .

Définition

Le système d’équations avec décrivant est une représentation paramétrique de la droite .

Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d’une droite.

Application et méthode - 7

Énoncé

On se place dans un repère .
1. Donner une représentation paramétrique de la droite et .
2. Les points et appartiennent-ils à ?

Solution


1. donc, d'après le résultat du cours : .
2. Pour , on a soit . Le système est compatible (c’est-à-dire qu’il admet une solution) donc le point appartient à la droite .

Pour , on a soit . Le système n’est pas compatible, donc le point n’appartient pas à la droite .

Pour s'entraîner : exercices 39 p. 73 et 79 p. 78

Méthode

1. Le vecteur est un vecteur directeur de . On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.
2. On remplace , et par les coordonnées du point . Si le système admet une solution, alors appartient à la droite. Sinon, il n’appartient pas à la droite.

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