Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 2

Cours 3

Repère de l'espace

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A
Coordonnées d'un point de l'espace

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Définition

Un repère de l'espace est défini par la donnée d'un point

O

de l'espace et d'une base

(i, j, k)

de l'espace.

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Notation

On note alors le repère

(O; i, j, k)

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Définition

On considère un repère

(O; i, j, k)

.
Pour tout point

M

de l'espace, il existe un unique triplet de réels

(x; y; z)

tel que

OM = x i + y j + z k

x

y

z

sont les coordonnées de

M

dans le repère

(O; i, j, k)

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Vocabulaire

On note

M (x; y; z)

x

est appelé l'abscisse de

M

y

l'ordonnée et

z

la cote.

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B
Opérations sur les coordonnées

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L'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

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Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.

Les coordonnées du vecteur

AB

sont

⎝ ⎛ x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A} ⎠ ⎞

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Notation

On dit indifféremment « coordonnées d'un vecteur dans une base » ou « coordonnées d'un vecteur dans un repère ».

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Démonstration

A B = A O + O B = - O A + O B

.
Ainsi

A B = - x_{A} i - y_{A} j - z_{A} k + x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k = (x_{B} - x_{A}) i + (y_{B} - y_{A}) j + (z_{B} - z_{A}) k

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Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.

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Propriété

On considère les points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

.
Les coordonnées du milieu

I

[AB]

sont

(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

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Démonstration

I

est le milieu de

[AB]

. Ainsi

A I = \frac{1}{2} A B

et donc

A O + O I = \frac{1}{2} A B

.
Ainsi,

O I = \frac{1}{2} A B - A O = \frac{1}{2} A O + \frac{1}{2} O B - A O

d'où

O I = \frac{1}{2} O A + \frac{1}{2} O B = \frac{1}{2} (x_{A} i + y_{A} j + z_{A} k) + \frac{1}{2} (x_{B} i + y_{B} j + z_{B} k)

O I = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} i + \frac{y _{A} + y _{B}}{2} j + \frac{z _{A} + z _{B}}{2} k

. Donc

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

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Remarque

O

est l'origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur

OI

en fonction de

i

j

k

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Exemples

1. Pour

A (1; - 1; 2)

B (3; 1; - 4)

, on a

A B ⎝ ⎛ 3 - 1 1 - (- 1) - 4 - 2 ⎠ ⎞

soit

A B ⎝ ⎛ 22 - 6 ⎠ ⎞

.

2. Si

A (3; 4; - 4)

B (- 1; 6; 2)

, alors le milieu

I

[AB]

a pour coordonnées

(\frac{3 + ( - 1 )}{2}; \frac{4 + 6}{2}; \frac{- 4 + 2}{2})

donc

I (1; 5; - 1)

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Propriétés

On considère les vecteurs

u ⎝ ⎛ x_{u} y_{u} z_{u} ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ x_{v} y_{v} z_{v} ⎠ ⎞

a

un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur

u + v

sont

⎝ ⎛ x_{u} + x_{v} y_{u} + y_{v} z_{u} + z_{v} ⎠ ⎞

.
2. Les coordonnées du vecteur

a u

sont

⎝ ⎛ a x_{u} a y_{u} a z_{u} ⎠ ⎞

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Démonstration

u + v = x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k + x_{v} i + y_{v} j + z_{v} k = (x_{u} + x_{v}) i + (y_{u} + y_{v}) j + (z_{u} + z_{v}) k

a u = a (x_{u} i + y_{u} j + z_{u} k) = a x_{u} i + a y_{u} j + a z_{u} k

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Exemple

Soient les vecteurs

u ⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 50 - 5 ⎠ ⎞

.
Le vecteur

w = u + 3 v

a pour coordonnées

⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞ + 3 ⎝ ⎛ 50 - 5 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 - 3 - 1 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 150 - 15 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 17 - 3 - 16 ⎠ ⎞

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Application et méthode - 6

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Énoncé

Dans un repère

(O; i, j, k)

, on donne les points

E (- 1; 3; 2)

F (2; - 1; 3)

G (- 1; 0; 1)

. Déterminer les coordonnées du point

M

défini par

E M = E F + 2 E G

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Méthode

On pose

M (x; y; z)

. On détermine les coordonnées du vecteur

E M

en fonction de

x

y

z

et des coordonnées de

E F

E G

.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.

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Solution

On pose

M (x; y; z)

.
On a

E M ⎝ ⎛ x - (- 1) y - 3 z - 2 ⎠ ⎞

E F ⎝ ⎛ 3 - 4 1 ⎠ ⎞

E G ⎝ ⎛ 0 - 3 - 1 ⎠ ⎞

.
D'après l'égalité vectorielle,

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x + 1 = 3 y - 3 = - 4 + 2 \times (- 3) z - 2 = 1 + 2 \times (- 1)

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 y = - 7 z = 1

Pour s'entraîner

Exercices

p. 73

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C
Représentation paramétrique d'une droite

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L'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

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Propriété

Soit un point

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

appartenant à une droite

Δ

de vecteur directeur

u ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞

M (x; y; z)

appartient à

Δ

si, et seulement si, il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

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Remarque

À chaque valeur de

t

correspond un point de

Δ

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Remarque

Les coeffcients du paramètre

t

sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

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Démonstration

M \in Δ \Leftrightarrow AM

u

sont colinéaires

\Leftrightarrow

il existe un réel

t \in R

tel que

AM = t u

.
Or

A M ⎝ ⎛ x - x_{A} y - y_{A} z - z_{A} ⎠ ⎞

donc

M \in Δ \Leftrightarrow

il existe

t \in R

tel que

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x - x_{A} = a t y - y_{A} = b t z - z_{A} = c t

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

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Définition

Le système d'équations

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = a t + x_{A} y = b t + y_{A} z = c t + z_{A}

avec

t

décrivant

R

est une représentation paramétrique de la droite

Δ

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Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d'une droite.

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Application et méthode - 7

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Énoncé

On se place dans un repère

(O; i, j, k)

.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite

(AB)

où

A (1; - 3; 1)

B (- 1; 1; 4)

.

2. Les points

C (- 1; 1; 4)

D (2; 4; 2)

appartiennent-ils à

(AB)

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Méthode

1. Le vecteur

AB

est un vecteur directeur de

(AB)

. On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.

2. On remplace

x

y

z

par les coordonnées du point

C

. Si le système admet une solution, alors

C

appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.

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Solution

A B ⎝ ⎛ - 2 43 ⎠ ⎞

donc, d'après le résultat du cours :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = - 2 t + 1 y = 4 t - 3 z = 3 t + 1

où

t \in R

.

2. Pour

C (- 1; 1; 4)

, on a

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 1 14 = - 2 t + 1 = 4 t - 3 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ t = 1 t = 1 t = 1

.
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point

C

appartient à la droite

(AB).

Pour

D (2; 4; 2)

, on a

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 2 = - 2 t + 1 4 = 4 t - 3 2 = 3 t + 1

soit

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ t = - \frac{1}{2} t = \frac{7}{4} t = \frac{1}{3}

.
Le système n'est pas compatible, donc le point

D

n'appartient pas à la droite

(AB)

Pour s'entraîner

Exercices

p. 73 et

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