Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 3

Repère de l'espace

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A
Coordonnées d'un point de l'espace

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Définition
Un repère de l'espace est défini par la donnée d'un point de l'espace et d'une base de l'espace.
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Notation

On note alors le repère .
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Définition
On considère un repère .
Pour tout point de l'espace, il existe un unique triplet de réels tel que .
, et sont les coordonnées de dans le repère .

Repère de l'espace
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Vocabulaire

On note . est appelé l'abscisse de , l'ordonnée et la cote.
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B
Opérations sur les coordonnées

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L'espace est rapporté à un repère .

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Propriété
On considère les points et .

Les coordonnées du vecteur sont .
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Notation

On dit indifféremment « coordonnées d'un vecteur dans une base » ou « coordonnées d'un vecteur dans un repère ».
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Démonstration
.
Ainsi .
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Remarque

Pour les deux premières coordonnées, on retrouve les formules apprises dans le plan.
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Propriété
On considère les points et .
Les coordonnées du milieu de sont .
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Démonstration
est le milieu de . Ainsi et donc .
Ainsi, d'où

. Donc .
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Remarque

est l'origine du repère, donc on doit trouver la décomposition du vecteur en fonction de , et .
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Exemples
1. Pour et , on a soit .

2. Si et , alors le milieu de a pour coordonnées donc .
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Propriétés
On considère les vecteurs , et un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur sont .
2. Les coordonnées du vecteur sont .
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Démonstration
1.

2.
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Exemple
Soient les vecteurs et .
Le vecteur a pour coordonnées .
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Application et méthode - 6
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Énoncé
Dans un repère , on donne les points , et . Déterminer les coordonnées du point défini par .
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Méthode

On pose . On détermine les coordonnées du vecteur en fonction de , et et des coordonnées de et .
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.
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Solution
On pose .
On a , et .
D'après l'égalité vectorielle, soit .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 73
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C
Représentation paramétrique d'une droite

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L'espace est rapporté à un repère .

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Propriété
Soit un point appartenant à une droite de vecteur directeur .
appartient à si, et seulement si, il existe tel que .
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Remarque

À chaque valeur de correspond un point de .
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Remarque

Les coeffcients du paramètre sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.
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Démonstration
et sont colinéaires il existe un réel tel que .
Or donc il existe tel que soit .
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Définition
Le système d'équations avec décrivant est une représentation paramétrique de la droite .
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Remarque

Il existe une infinité de représentations paramétriques d'une droite.
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Application et méthode - 7
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Énoncé
On se place dans un repère .

1. Donner une représentation paramétrique de la droite et .

2. Les points et appartiennent-ils à ?
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Méthode

1. Le vecteur est un vecteur directeur de . On détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours.

2. On remplace , et par les coordonnées du point . Si le système admet une solution, alors appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.
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Solution
1. donc, d'après le résultat du cours : .

2. Pour , on a soit .
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point appartient à la droite
Pour , on a soit .
Le système n'est pas compatible, donc le point n'appartient pas à la droite .

Pour s'entraîner
Exercices p. 73 et p. 78

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collaborateurYolène
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