Vecteurs de l'espace

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points distincts de l'espace. La translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est la transformation qui, à tout point $\text{C}$, associe l'unique point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AB}}$.

On étend à l'espace la notion de vecteur étudiée en géométrie plane.

Soient $\text{E}$ et $\text{F}$ deux points de l'espace, $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace et $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.
On note ${\text{E}}^{\prime }$ et ${\text{F}}^{\prime }$ les images respectives de $\text{E}$ et $\text{F}$ par la translation $t$.
On a alors $\overrightarrow{{\text{E}}^{\prime }{\text{F}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{EF}}$.

La translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ associe à tout point $\text{C}$ l'unique point $\text{D}$ tel que $\text{[AD]}$ et $\text{[BC]}$ ont même milieu.

On note $t:\text{E}\mapsto {\text{E}}^{\prime }$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ ; autrement dit $t(\text{E})={\text{E}}^{\prime }⟺\overrightarrow{{\text{EE}}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$. De même, $t(\text{F})={\text{F}}^{\prime }⟺\overrightarrow{{\text{FF}}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$. D'après la relation de Chasles, on a $\overrightarrow{{\text{E}}^{\prime }{\text{F}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\text{E}}^{\prime }\text{E}}+\overrightarrow{\text{EF}}+\overrightarrow{{\text{FF}}^{\prime }}$ soit $\overrightarrow{{\text{E}}^{\prime }{\text{F}}^{\prime }}=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{\text{EF}}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{EF}}$.

La translation conserve les distances.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires lorsqu'il existe un nombre réel $\lambda$ non nul tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{u}$.

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points de l'espace deux à deux distincts. Les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.

Des vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction.

On considère quatre points distincts de l'espace $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ et on définit trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ par $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{OA}}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text{OB}}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\text{OC}}$.
On dit que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires lorsque les points $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ appartiennent à un même plan (c'est-à-dire lorsque $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont coplanaires).

Le vecteur nul est toujours coplanaire à deux autres vecteurs quelconques.

On dit que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Cette décomposition est unique.

Pour montrer que trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires, il suffit de déterminer les réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$.

Pour cela, on décompose le vecteur $\overrightarrow{w}$ en utilisant le fait que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme et la relation de Chasles.

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace et $a$, $b$ et $c$ trois réels. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont dits linéairement indépendants lorsqu'ils ne sont pas coplanaires, autrement dit lorsque $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=0\Rightarrow a=b=c=0$.

Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants.

Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l'espace.

On note $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ une base de l'espace.

Soient $\overrightarrow{w}$ un vecteur de l'espace, $\text{O}$ un point de l'espace et $\text{M}$ le point tel que $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\text{OM}}$. On note ${\text{M}}^{\prime }$ le projeté de $\text{M}$ sur le plan de repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ parallèlement à l'axe $(\text{O}z)$.
On a $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\prime }\mathrm{M}}$ . Or $\overrightarrow{{\text{M}}^{\prime }\text{M}}$ et $\overrightarrow{k}$ sont colinéaires donc il existe un unique réel $z$ tel que $\overrightarrow{\text{M’M}}=z\overrightarrow{k}$. De plus, $\overrightarrow{{\text{OM}}^{\prime }}$, $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont coplanaires donc il existe deux réels $x$ et $y$ uniques tels que $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\prime }}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$. On a ainsi $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\prime }}+\overrightarrow{\mathrm{M}"\mathrm{M}}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$, soit $\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

La méthode vue dans l'application précédente se généralise. Pour démontrer qu'un nombre quelconque de vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, il suffit de montrer que l'un d'eux est une combinaison linéaire des autres.

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ puis montrer qu'ils sont linéairement indépendants. Que peut-on en déduire ?

• Chacun des vecteurs est écrit en fonction de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ : on détermine donc directement leurs coordonnées en analysant les coefficients.
• Pour montrer que les vecteurs sont linéairement indépendants, on résout le système associé à l'équation vectorielle $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ : on doit obtenir $a=b=c=0$.
• Les vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de l'espace.

On a $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Supposons qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$.

Montrons que $a=b=c=0$.

En effet, $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\iff \{\begin{array}{c}a-b+c=0\\ a+b=0\\ a+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c=0\end{array}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants. Ils forment donc une base de l'espace.

Exercices

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p. 72 et

28

p. 73