PRÉPARER LE

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[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de six mètres d’arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $\text{ABCDEFGH}$ et par le tétraèdre $\text{SELM}$ ci-après.

On munit l’espace du repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{J}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{K}})$ tel que $\text{I}\in [\text{AB}]$, $\text{J}\in [\text{AD}]$, $\text{K}\in [\text{AE}]$ et $\text{AI}=\text{AJ}=\text{AK}=1$, l’unité graphique représentant un mètre. Les points $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{S}$ sont définis de la façon suivante : $\text{L}$ est le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{L}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{E}}$ ; $\text{M}$ est le point d’intersection du plan $(\text{BDL})$ et de la droite $(\text{EH})$ ; $\text{S}$ est le point d’intersection des droites $(\text{BL})$ et $(\text{AK})$.

1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(\text{LM})$ et $(\text{BD})$ sont parallèles.

Aide

Il faut rechercher un plan contenant les deux droites et sécant à deux plans parallèles

2. Démontrer que les coordonnées du point $\text{L}$ sont $(2;0;6)$.

Aide

Poser $\text{L}(x;y;z)$ et repérer dans l’énoncé par quelle relation le point $\text{L}$ est défini. Dans le repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{J}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{K}})$, donner les coordonnées de $\text{F}$ et $\text{E}$ puis conclure.

3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\text{(BL)}$.

Aide

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BL}}$ qui est un vecteur directeur de la droite $(\text{BL})$ et choisir un point de la droite ($\text{L}$ ou $\text{B}$).

b. Vérifer que les coordonnées du point $\text{S}$ sont $(0;0;9)$.

Aide

On sait que $\text{S}$ est le point d’intersection de l’axe $(\text{O}z)$ et de la droite $\text{(BL)}$.

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[D’après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2015]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points $\text{A}(0;1;-1)$ et $\text{B}(-2;2;-1)$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=1+t\\ z=-1-t\end{array}$ avec $t\in \mathbb{R}$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{AB})$.


2. a. Montrer que les droites $(\text{AB})$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.


b. Montrer que les droites $(\text{AB})$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.

101

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, février 2018]
On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ représenté ci-dessous. On définit les points $\text{I}$ et $\text{J}$ respectivement par $\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{I}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{G}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{J}\mathrm{G}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{G}}$.

1. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section du cube par le plan $(\text{IJK})$ où $\text{K}$ est un point du segment $[\text{BF}]$.

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2. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section du cube par le plan $(\text{IJL})$ où $\text{L}$ est un point de la droite $(\text{BF})$.

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3. Existe-t-il un point $\text{P}$ de la droite $(\text{BF})$ tel que la section du cube par le plan $(\text{IJP})$ soit un triangle équilatéral ? Justifer la réponse.

102

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2015]
L’espace est rapporté au repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$.
Soient le point ${\text{A}}_1$ de coordonnées $(0;2;-1)$ et le vecteur ${\overrightarrow{u}}_1$ de coordonnées $\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.
On appelle ${\text{D}}_1$ la droite passant par ${\text{A}}_1$ et de vecteur directeur ${\overrightarrow{u}}_1$. On appelle ${\text{D}}_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique :
$\{\begin{array}{l}x=1+k\\ y=-2k\\ z=2\end{array}$ avec $k\in \mathbb{R}$.
1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite ${\text{D}}_1$.


b. Donner un vecteur directeur de ${\text{D}}_2$ (on le notera ${\overrightarrow{u}}_2$).


c. Le point ${\text{A}}_2(-1;4;2)$ appartient-il à ${\text{D}}_2$ ?


2. Démontrer que les droites ${\text{D}}_1$ et ${\text{D}}_2$ sont non coplanaires.

103

[D’après bac S, Métropole-La Réunion, juin 2016]

L’espace est rapporté au repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$.
On donne les points $\text{A}(1;2;3)$, $\text{B}(3;0;1)$, $\text{C}(-1;0;1)$ et $\text{D}(2;1;-1)$. Dire en justifant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Les trois points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés.


2. Les droites $(\text{AB})$ et $(\text{CD})$ sont sécantes.

104

[D’après bac S, centres étrangers, juin 2018]
La figure ci-dessous représente un cube $\text{ABCDEFGH}$. Les trois points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ sont définis par les conditions suivantes :

• $\text{I}$ est le milieu de $[\text{AD}]$ ;
• $\text{J}$ est tel que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{J}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$ ;
• $\text{K}$ est le milieu de $[\text{FG}]$.

1. Reproduire la figure ci-dessus et construire sans justifer le point d’intersection $\text{P}$ du plan $(\text{IJK})$ et de la droite $(\text{EH})$.

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2. En déduire, en justifant, l’intersection du plan $(\text{IJK})$ et du plan $(\text{EFG})$.


3. On munit l’espace du repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$.
a. Donner, sans justifcation, les coordonnées des points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$.


b. Donner une représentation paramétrique de $(\text{CG})$.