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Préparer le bac
P.84-85




PRÉPARER LE
ANG_picto_bac




Comment répondre aux questions du bac ?

1
Démontrer que trois points , et sont alignés.

On peut démontrer que les vecteurs et (par exemple) sont colinéaires.
Voir ex.
103
question 1.

2
Donner une représentation paramétrique d’une droite.

On détermine les coordonnées d’un vecteur directeur et d’un point de la droite puis on applique le résultat du cours.
Voir ex.
99
question 3. a.

3
Démontrer que deux droites sont parallèles.

On peut démontrer que les vecteurs directeurs sont colinéaires, utiliser le théorème du toit ou l’intersection d’un plan avec deux plans parallèles.
Voir ex.
99
question 1.

4
Démontrer que deux droites sont sécantes.

À partir des représentations paramétriques des droites, on pose le système que vérifent les coordonnées d’un éventuel point d’intersection. Faire attention à avoir des lettres ( et ) différentes pour le paramètre.
Voir ex.
103
question 2.

5
Démontrer que deux droites ne sont pas coplanaires.

Démontrer que les droites ne sont pas parallèles et qu’elles ne sont pas sécantes.
Voir ex.
100
question 2.

6
Intersection de deux plans.

L’intersection de deux plans (si elle existe) est une droite. On peut donc déterminer deux points appartenant à ces deux plans ou déterminer un point et la direction de la droite (en utilisant par exemple un des théorèmes sur le parallélisme).
Voir ex.
104
question 2.
99
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de six mètres d’arête. Ces deux solides sont représentés par le cube et par le tétraèdre ci-après.
Préparer le bac

On munit l’espace du repère orthonormé tel que , , et , l’unité graphique représentant un mètre. Les points , et sont définis de la façon suivante : est le point tel que ; est le point d’intersection du plan et de la droite ; est le point d’intersection des droites et .

1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites et sont parallèles.

Aide
Il faut rechercher un plan contenant les deux droites et sécant à deux plans parallèles


2. Démontrer que les coordonnées du point sont .

Aide
Poser et repérer dans l’énoncé par quelle relation le point est défini. Dans le repère , donner les coordonnées de et puis conclure.


3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite .

Aide
Déterminer les coordonnées du vecteur qui est un vecteur directeur de la droite et choisir un point de la droite ( ou ).


b. Vérifer que les coordonnées du point sont .

Aide
On sait que est le point d’intersection de l’axe et de la droite .

Voir la correction

100
[D’après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2015]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points et ainsi que la droite de représentation paramétrique : avec .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


2. a. Montrer que les droites et ne sont pas parallèles.


b. Montrer que les droites et ne sont pas sécantes.
Voir la correction

101
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, février 2018]
On considère le cube représenté ci-dessous. On définit les points et respectivement par et .

1. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section du cube par le plan est un point du segment .

Préparer le bac

Dessinez ici

2. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section du cube par le plan est un point de la droite .

Préparer le bac

Dessinez ici

3. Existe-t-il un point de la droite tel que la section du cube par le plan soit un triangle équilatéral ? Justifer la réponse.
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102
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2015]
L’espace est rapporté au repère orthonormé .
Soient le point de coordonnées et le vecteur de coordonnées .
On appelle la droite passant par et de vecteur directeur . On appelle la droite qui admet pour représentation paramétrique :
avec .

1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite .


b. Donner un vecteur directeur de (on le notera ).


c. Le point appartient-il à ?


2. Démontrer que les droites et sont non coplanaires.
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103
VRAI/FAUX
[D’après bac S, Métropole-La Réunion, juin 2016]

L’espace est rapporté au repère orthonormé .
On donne les points , , et . Dire en justifant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Les trois points , et sont alignés.


2. Les droites et sont sécantes.
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104
[D’après bac S, centres étrangers, juin 2018]
La figure ci-dessous représente un cube . Les trois points , et sont définis par les conditions suivantes :
  • est le milieu de ;
  • est tel que ;
  • est le milieu de .

Pour le bac

1. Reproduire la figure ci-dessus et construire sans justifer le point d’intersection du plan et de la droite .

Dessinez ici

2. En déduire, en justifant, l’intersection du plan et du plan .


3. On munit l’espace du repère orthonormé .
a. Donner, sans justifcation, les coordonnées des points , et .


b. Donner une représentation paramétrique de .
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