Chapitre 2
Méthode BAC
Préparer le BAC
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Comment répondre aux questions du bac ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1Démontrer que trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés.
On peut démontrer que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} (par exemple) sont colinéaires.Voir exercice question 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
2Donner une représentation paramétrique d'une
droite.
On détermine les coordonnées d'un vecteur directeur et d'un point de la droite puis on applique le
résultat du cours.Voir exercice question 3. a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
3Démontrer que deux droites sont parallèles.
On peut démontrer que les vecteurs directeurs sont colinéaires, utiliser le théorème du toit ou l'intersection d'un plan avec deux plans parallèles.Voir exercice question 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
4Démontrer que deux droites sont sécantes.
À partir des représentations paramétriques des droites, on pose le système que vérifent les
coordonnées (x \: ; y \: ; z) d'un éventuel point d'intersection. Faire attention à avoir des lettres (t et t') différentes pour le paramètre.Voir exercice question 2.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
5Démontrer que deux droites ne sont pas coplanaires.
Démontrer que les droites ne sont pas parallèles et
qu'elles ne sont pas sécantes.Voir exercice question 2.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
6Intersection de deux plans.
L'intersection de deux plans (si elle existe) est une
droite. On peut donc déterminer deux points appartenant à ces deux plans ou déterminer un point et
la direction de la droite (en utilisant par exemple un
des théorèmes sur le parallélisme).Voir exercice question 2.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice guidé
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
99
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de six mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube \text{ABCDEFGH} et par le tétraèdre \text{SELM} ci-après.
On munit l'espace du repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AI}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AJ}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AK}}) tel que \text{I} \in [\text{AB}], \text{J} \in [\text{AD}], \text{K} \in [\text{AE}] et \text{AI} = \text{AJ} = \text{AK} = 1, l'unité graphique représentant un mètre. Les points \text{L}, \text{M} et \text{S} sont définis de la façon suivante : \text{L} est le point tel que \overrightarrow{\mathrm{FL}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{FE}} ; \text{M} est le point d'intersection du plan (\text{BDL}) et de la droite (\text{EH}) ; \text{S} est le point d'intersection des droites (\text{BL}) et (\text{AK}).
1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites (\text{LM}) et (\text{BD}) sont parallèles.
2. Démontrer que les coordonnées du point \text{L} sont (2 \: ; 0 \: ; 6).
Aide
Il faut rechercher un plan contenant les deux droites
et sécant à deux plans parallèles
2. Démontrer que les coordonnées du point \text{L} sont (2 \: ; 0 \: ; 6).
Aide
Poser \text{L} (x \: ; y \: ; z) et repérer dans l'énoncé par
quelle relation le point \text{L} est défini. Dans le repère
(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AI}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AJ}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AK}}), donner les coordonnées de \text{F} et \text{E} puis conclure.
3. a. Donner une représentation paramétrique de la
droite \text{(BL)}.
b. Vérifer que les coordonnées du point \text{S} sont (0 \: ; 0 \: ; 9).
Aide
Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BL}} qui est un vecteur directeur de la droite (\text{BL}) et choisir un point de la droite (\text{L} ou \text{B}).
b. Vérifer que les coordonnées du point \text{S} sont (0 \: ; 0 \: ; 9).
Aide
On sait que \text{S} est le point d'intersection de l'axe (\text{O}z) et de la droite \text{(BL)}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercices
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
100
[D'après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2015]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points \text{A}(0 \: ; 1 \: ;-1) et \text{B} (-2 \: ; 2 \: ;-1) ainsi que la droite \mathcal{D} de représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l} x=-2+t \\ y=1+t \\ z=-1-t \end{array}\right. avec t \in \mathbb{R}.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{AB}).
2. a. Montrer que les droites (\text{AB}) et \mathcal{D} ne sont pas parallèles.
b. Montrer que les droites (\text{AB}) et \mathcal{D} ne sont pas sécantes.
b. Montrer que les droites (\text{AB}) et \mathcal{D} ne sont pas sécantes.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
101
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, février 2018]
On considère le cube \text{ABCDEFGH} représenté ci-dessous. On définit les points \text{I} et \text{J} respectivement par \overrightarrow{\mathrm{HI}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{HG}} et \overrightarrow{\mathrm{JG}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CG}}.
1. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section
du cube par le plan (\text{IJK}) où \text{K} est un point du segment [\text{BF}].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Reproduire la figure et tracer, sans justifer, la section
du cube par le plan (\text{IJL}) où \text{L} est un point de la droite (\text{BF}).
3. Existe-t-il un point \text{P} de la droite (\text{BF}) tel que la section du cube par le plan (\text{IJP}) soit un triangle équilatéral ? Justifer la réponse.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
3. Existe-t-il un point \text{P} de la droite (\text{BF}) tel que la section du cube par le plan (\text{IJP}) soit un triangle équilatéral ? Justifer la réponse.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
102
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2015]
L'espace est rapporté au repère orthonormé (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j} \: ; \vec{k}).
Soient le point \text{A}_1 de coordonnées (0 \: ; 2 \: ;-1) et le vecteur \vec{u}_1 de coordonnées \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right).
On appelle \text{D}_1 la droite passant par \text{A}_1 et de vecteur directeur \vec{u}_1. On appelle \text{D}_2 la droite qui admet pour représentation paramétrique :
\left\{\begin{array}{l}
x=1+k \\
y=-2 k \\
z=2
\end{array}\right.
avec k \in \R.
1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite \text{D}_1.
b. Donner un vecteur directeur de \text{D}_2 (on le notera \vec{u}_2).
b. Donner un vecteur directeur de \text{D}_2 (on le notera \vec{u}_2).
c. Le point \text{A}_{2}(-1 \: ; 4 \: ; 2) appartient-il à \text{D}_2 ?
2. Démontrer que les droites \text{D}_1 et \text{D}_2 sont non coplanaires.
2. Démontrer que les droites \text{D}_1 et \text{D}_2 sont non coplanaires.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
103
Vrai/Faux
[D'après bac S, Métropole-La Réunion, juin 2016]
L'espace est rapporté au repère orthonormé (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j} \: ; \vec{k}).
On donne les points \text{A} (1 \: ; 2 \: ; 3), \text{B} (3 \: ; 0 \: ; 1), \text{C} (-1 \: ; 0 \: ; 1) et \text{D} (2 \: ; 1 \: ; -1). Dire en justifant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Les trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés.
2. Les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont sécantes.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
104
[D'après bac S, centres étrangers, juin 2018]
La figure ci-dessous représente un cube \text{ABCDEFGH}. Les trois points \text{I}, \text{J} et \text{K} sont définis par les conditions suivantes :
- \text{I} est le milieu de [\text{AD}] ;
- \text{J} est tel que \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} ;
- \text{K} est le milieu de [\text{FG}].
1. Reproduire la figure ci-dessus et construire sans
justifer le point d'intersection \text{P} du plan (\text{IJK}) et de la droite (\text{EH}).
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. En déduire, en justifant, l'intersection du plan (\text{IJK}) et du plan (\text{EFG}).
3. On munit l'espace du repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}).
a. Donner, sans justifcation, les coordonnées des points \text{I}, \text{J} et \text{K}.
b. Donner une représentation paramétrique de (\text{CG}).
3. On munit l'espace du repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}).
a. Donner, sans justifcation, les coordonnées des points \text{I}, \text{J} et \text{K}.
b. Donner une représentation paramétrique de (\text{CG}).
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
