Orthogonalité et distances dans l'espace

Eratosthène d'Alexandrie rapporte qu'un oracle aurait commandé aux habitants de Délos de doubler le volume d'un autel, sans en changer la forme. Des géomètres anciens ont montré que ce problème général est un cas particulier de celui de la transformation d'un cube dans un rapport quelconque. D'autres versions rapportent que Platon aurait expliqué aux Déliens que l'oracle voulait simplement leur faire reproche de négliger la géométrie.

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Démontrer avec un produit scalaire

$\text{TRI}$ est un triangle équilatéral de côté $a$. Justifer de deux façons différentes que le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{TR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{TI}}$ est égal à $\frac{1}{2}{a}^2$.

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Calculer un produit scalaire

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)$. 1. Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

2. Calculer ${\overrightarrow{u}}^2$ et ${\overrightarrow{v}}^2$.