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Orthogonalité et distances dans l’espace
P.86-87

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Chapitre 3


Orthogonalité et distances dans l’espace





Ce bâtiment multicolore en forme de cube se situe
au Centre Pompidou de Málaga en Espagne, un
musée d’art moderne et contemporain. On peut
retrouver dans un cube de nombreuses situations
d’orthogonalité entre des plans et des droites.


Ce bâtiment multicolore en forme de cube se situe au Centre Pompidou de Málaga en Espagne, un musée d’art moderne et contemporain. On peut retrouver dans un cube de nombreuses situations d’orthogonalité entre des plans et des droites.

Capacités attendues - chapitre 3

1. Utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace.
2. Déterminer l’orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
3. Déterminer l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.
4. Déterminer une base orthonormée.
5. Calculer des longueurs dans l’espace.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d’un angle.
7. Calculer la distance entre un point et une droite ou un plan.

Avant de commencer

Prérequis

1. Les solides usuels de l’espace et leur volume.
2. Le produit scalaire dans le plan.
3. Représentation paramétrique d’une droite.
4. Position relative de droites et de plans dans l’espace.
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1
Reconnaître les solides de l’espace

Associer à chaque solide son nom.
  • 3. Un tétraèdre.
  • 5. Un cylindre.
  • 2. Un cône.
  • 4. Un cube.
  • 1. Une sphère.
Orthogonalité et distances dans l’espace

a.


b.


c.


d.


e.
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2
Calculer des volumes

Pour chacun des solides de l’exercice précédent, donner la formule générale de son volume.

Une sphère de rayon rr
Un cône de base de rayon rr et de hauteur hh
Un tétraèdre de base d'aire A\mathrm{A} et de hauteur hh
Un cube de côté aa
Un cylindre de base de rayon rr et de hauteur hh
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3
Démontrer avec un produit scalaire

TRI\text{TRI} est un triangle équilatéral de côté aa. Justifer de deux façons différentes que le produit scalaire TRTI \overrightarrow{\mathrm{TR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TI}} est égal à 12a2\dfrac{1}{2} a^{2}.
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4
Calculer un produit scalaire

Le plan est muni d’un repère orthonormé (; i , j)(\text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j}).
On considère les vecteurs u(31) \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) et v(24)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array}\right).

1. Déterminer le produit scalaire uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.


2. Calculer u2\overrightarrow{u}^2 et v2\overrightarrow{v}^2.
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5
Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; i,j,k)(\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point A\text{A} et de vecteur directeur u\overrightarrow{u}.

1. A(3;2;3)\mathrm{A}(3 \: ; 2 \: ; 3) et u(312)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right).


2. A(13;3;25)\mathrm{A}( \dfrac{1}{3} \: ; 3 \: ; \dfrac{2}{5}) et u(123)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ \sqrt{2} \\ 3 \end{array}\right).
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6
Déterminer une représentation paramétrique d’une droite passant par deux points

L'espace est muni d’un repère orthonormé (O; i,j,k)(\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par les points A\text{A} et B\text{B}.

1. A(1;0;3)\mathrm{A}(1 \: ; 0 \: ; 3) et B(5;1;1)\mathrm{B}(5 \: ; 1 \: ; 1).


2. A(1;2;5)\mathrm{A}(-1 \: ; 2 \: ; -5) et B(3;2;4)\mathrm{B}(3 \: ; -2 \: ; -4).
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7
Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan

L'espace est muni d’un repère orthonormé (O; i,j,k)(\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On définit la droite dd passant par le point A(1;1;1)\mathrm{A}(1 \: ; 1 \: ; 1) de vecteur directeur u(121)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) et le plan P\mathcal{P} dirigé par les vecteurs v(101)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) et w(120)\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) et passant par l’origine du repère.

Justifer que dd et P\mathcal{P} sont sécants.
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8
Problème

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; i,j)(\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j}).
On considère les points A(2;1)\mathrm{A}(2 \: ; 1 ), B(8;3)\mathrm{B}(8 \: ; 3 ) et C(6;5)\mathrm{C}(6 \: ; 5).

1. Calculer CACB\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.


2. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC\text{ABC} ?


3. Calculer ACAB\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.


4. Après avoir calculé AB\text{AB} et AC\text{AC}, déduire une valeur arrondie au degré près de l’angle BAC^\widehat{\text{BAC}}.
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Anecdote

Eratosthène d’Alexandrie rapporte qu’un oracle aurait commandé aux habitants de Délos de doubler le volume d’un autel, sans en changer la forme. Des géomètres anciens ont montré que ce problème général est un cas particulier de celui de la transformation d’un cube dans un rapport quelconque. D’autres versions rapportent que Platon aurait expliqué aux Déliens que l’oracle voulait simplement leur faire reproche de négliger la géométrie.
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