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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Orthogonalité et distances dans l'espace
14 professeurs ont participé à cette page
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Capacités attendues
1. Utiliser les propriétés du produit scalaire dans l'espace.
2. Déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
3. Déterminer l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
4. Déterminer une base orthonormée.
5. Calculer des longueurs dans l'espace.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d'un angle.
7. Calculer la distance entre un point et une droite ou un plan.
2. Déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
3. Déterminer l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
4. Déterminer une base orthonormée.
5. Calculer des longueurs dans l'espace.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d'un angle.
7. Calculer la distance entre un point et une droite ou un plan.
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Ce bâtiment multicolore en forme de cube se situe au Centre Pompidou de Málaga en Espagne, un musée d'art moderne et contemporain. On peut retrouver dans un cube de nombreuses situations d'orthogonalité entre des plans et des droites.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Les solides usuels de l'espace et leur volume.
2. Le produit scalaire dans le plan.
3. Représentation paramétrique d'une droite.
4. Position relative de droites et de plans dans l'espace.
2. Le produit scalaire dans le plan.
3. Représentation paramétrique d'une droite.
4. Position relative de droites et de plans dans l'espace.
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Eratosthène d'Alexandrie rapporte qu'un
oracle aurait commandé aux habitants de
Délos de doubler le volume d'un autel, sans
en changer la forme. Des géomètres anciens
ont montré que ce problème général est un
cas particulier de celui de la transformation
d'un cube dans un rapport quelconque.
D'autres versions rapportent que Platon
aurait expliqué aux Déliens que l'oracle
voulait simplement leur faire reproche de
négliger la géométrie.
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1
Reconnaître les solides de l'espace
Associer à chaque solide son nom.
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a.
b.
c.
d.
e.
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2
Calculer des volumes
Pour chacun des solides de l'exercice précédent, donner la formule générale de son volume.| Une sphère de rayon r | |
|---|---|
| Un cône de base de rayon r et de hauteur h | |
| Un tétraèdre de base d'aire \mathrm{A} et de hauteur h | |
| Un cube de côté a | |
| Un cylindre de base de rayon r et de hauteur h |
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3
Démontrer avec un produit scalaire
\text{TRI} est un triangle équilatéral de côté a. Justifer de deux façons différentes que le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{TR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TI}} est égal à \frac{1}{2} a^{2}.
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4
Calculer un produit scalaire
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \ ; \ \overrightarrow{i} \ , \ \overrightarrow{j}).On considère les vecteurs \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array}\right). 1. Déterminer le produit scalaire \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.
2. Calculer \overrightarrow{u}^2 et \overrightarrow{v}^2.
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5
Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point \text{A} et de vecteur directeur \overrightarrow{u}. 1. \mathrm{A}(3 \: ; 2 \: ; 3) et \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right).
2. \mathrm{A}( \dfrac{1}{3} \: ; 3 \: ; \dfrac{2}{5}) et \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ \sqrt{2} \\ 3 \end{array}\right).
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6
Déterminer une représentation paramétrique d'une droite passant par deux points
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par les points \text{A} et \text{B}. 1. \mathrm{A}(1 \: ; 0 \: ; 3) et \mathrm{B}(5 \: ; 1 \: ; 1).
2. \mathrm{A}(-1 \: ; 2 \: ; -5) et \mathrm{B}(3 \: ; -2 \: ; -4).
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7
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \ \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).On définit la droite d passant par le point \mathrm{A}(1 \: ; 1 \: ; 1) de vecteur directeur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) et le plan \mathcal{P} dirigé par les vecteurs \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) et passant par l'origine du repère. Justifer que d et \mathcal{P} sont sécants.
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8
Problème
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \ \vec{i} \: , \vec{j}).On considère les points \mathrm{A}(2 \: ; 1 ), \mathrm{B}(8 \: ; 3 ) et \mathrm{C}(6 \: ; 5). 1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
2. Que peut-on en déduire pour le triangle \text{ABC} ?
3. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
4. Après avoir calculé \text{AB} et \text{AC}, déduire une valeur arrondie au degré près de l'angle \widehat{\text{BAC}}.
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