Orthogonalité et distances dans l’espace
P.86-87
Chapitre 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Ce bâtiment multicolore en forme de cube se situe
au Centre Pompidou de Málaga en Espagne, un
musée d’art moderne et contemporain. On peut
retrouver dans un cube de nombreuses situations
d’orthogonalité entre des plans et des droites.
Capacités attendues - chapitre 3
1. Utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace.
2. Déterminer l’orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
3. Déterminer l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.
4. Déterminer une base orthonormée.
5. Calculer des longueurs dans l’espace.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d’un angle.
7. Calculer la distance entre un point et une droite ou un plan.
2. Déterminer l’orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites.
3. Déterminer l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.
4. Déterminer une base orthonormée.
5. Calculer des longueurs dans l’espace.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur ou une mesure d’un angle.
7. Calculer la distance entre un point et une droite ou un plan.
Avant de commencer
Prérequis
1. Les solides usuels de l’espace et leur volume.
2. Le produit scalaire dans le plan.
3. Représentation paramétrique d’une droite.
4. Position relative de droites et de plans dans l’espace.
2. Le produit scalaire dans le plan.
3. Représentation paramétrique d’une droite.
4. Position relative de droites et de plans dans l’espace.
1
Reconnaître les solides de l’espace
Associer à chaque solide son nom.
1
a.
b.
c.
d.
e.
2
Calculer des volumes
Pour chacun des solides de l’exercice précédent, donner la formule générale de son volume.2
| Une sphère de rayon | |
|---|---|
| Un cône de base de rayon et de hauteur | |
| Un tétraèdre de base d'aire et de hauteur | |
| Un cube de côté | |
| Un cylindre de base de rayon et de hauteur |
3
Démontrer avec un produit scalaire
est un triangle équilatéral de côté . Justifer de deux façons différentes que le produit scalaire est égal à .
3
4
Calculer un produit scalaire
Le plan est muni d’un repère orthonormé .4
On considère les vecteurs et .
1. Déterminer le produit scalaire .
2. Calculer et .
5
Déterminer une représentation paramétrique d’une droite
Le plan est muni d’un repère orthonormé .5
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point et de vecteur directeur .
1. et .
2. et .
6
Déterminer une représentation paramétrique d’une droite passant par deux points
L'espace est muni d’un repère orthonormé .6
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par les points et .
1. et .
2. et .
7
Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan
L'espace est muni d’un repère orthonormé .7
On définit la droite passant par le point de vecteur directeur et le plan dirigé par les vecteurs et et passant par l’origine du repère.
Justifer que et sont sécants.
8
Problème
Le plan est muni d’un repère orthonormé .8
On considère les points , et .
1. Calculer .
2. Que peut-on en déduire pour le triangle ?
3. Calculer .
4. Après avoir calculé et , déduire une valeur arrondie au degré près de l’angle .
Anecdote
Eratosthène d’Alexandrie rapporte qu’un
oracle aurait commandé aux habitants de
Délos de doubler le volume d’un autel, sans
en changer la forme. Des géomètres anciens
ont montré que ce problème général est un
cas particulier de celui de la transformation
d’un cube dans un rapport quelconque.
D’autres versions rapportent que Platon
aurait expliqué aux Déliens que l’oracle
voulait simplement leur faire reproche de
négliger la géométrie.