Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Synthèse
P.110-113




Synthèse





102
[Calculer, Communiquer.]
Rappel : le volume d’une pyramide est donné par .
Dans un repère orthonormé , on considère les points , , , et .

Synthèse

1. Calculer les coordonnées des vecteurs et .
Justifer que les quatre points , , et sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.


2. a. Montrer que est un vecteur normal au plan .


b. En déduire que n’appartient pas au plan .


3. Calculer la distance de au plan .


4. En déduire le volume de la pyramide.
Voir la correction

103
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé , on considère les points et et la droite de représentation paramétrique , .

1. a. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de .


b. Montrer que les droites et sont orthogonales et non coplanaires.


2. a. Déterminer une équation du plan orthogonal à et passant par .


b. Justifer que .


3. a. Déterminer les coordonnées du point , intersection de et de .


b. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal du point sur la droite .


4. Calculer la longueur .


Remarque
Cette longueur est la distance entre les droites et .
Voir la correction

104
[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube d’arête .

Synthèse


1. Justifer que est un repère orthonormé de l’espace.


2. Montrer que la droite est orthogonale au plan .


3. En déduire une équation du plan .


4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


5. Déterminer les coordonnées de , projeté orthogonal de sur .


6. Justifer que est le centre de gravité de .
Voir la correction

105
[Calculer, Communiquer.]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : , , et .

1. Montrer que les points , et ne sont pas alignés.


2. Démontrer que le triangle est rectangle en puis calculer son aire.


3. Soit un vecteur de l’espace, où et désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles est un vecteur normal au plan .


b. En déduire une équation cartésienne du plan .


c. Le point appartient-il au plan ?


4. Soit la droite orthogonale à passant par .
a. Donner une représentation paramétrique de .


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite avec le plan .


5. a. Calculer la valeur exacte de la distance .


b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre .


6. Calculer une mesure de l’angle arrondie au degré près.
Voir la correction

106
[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l’intersection de deux plans (lorsqu’elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé .

Partie A
On donne deux plans et .

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.


2. a. Soit un point situé à l’intersection de et .
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d’équations .


b. On pose l’une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre . Remplacer par dans le système et montrer que, par substitution, on obtient .


c. En déduire qu’une représentation paramétrique de la droite d’intersection est .


Partie B
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des plans et .

1. et .


2. et .


3. et .


Partie C
On donne ici deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur orthogonal à la fois à et .

1. Justifier que , et vérifent le système suivant : .


2. On donne maintenant et .
a. Vérifer que et ne sont pas colinéaires.


b. Soit un vecteur orthogonal à et . Déterminer un système de deux équations vérifées par , et .


c. Résoudre ce système en s’inspirant de la méthode étudiée en partie A.


d. Déterminer alors l’ensemble des vecteurs normaux à et .
Voir la correction

107
GEOGEBRA
[Représenter, Communiquer.]
Partie A : Construction sur Geogebra

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

1. Créer les points et .

2. Construire le cube en utilisant l’outil Cube et en cliquant dans l’ordre sur les points puis .

3. Placer les points , et . À quoi ces points correspondent-ils ?


4. Construire le plan et faire apparaître la section du cube par le plan .

5. Quelle semble être la nature de cette section ?


Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan admet pour équation .


2. a. Déterminer les coordonnées des points , et , intersections du plan et des droites respectives , et .


b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l’hexagone sont égaux.


3. Montrer que les longueurs des diagonales , et sont égales.
Voir la correction

108
DEVOIR MAISON
[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé , on considère les points , , et .

1. On construit le parallélépipède . Déterminer les coordonnées des sommets , , et .


Aide
Toutes les faces d’un parallélépipède sont des parallélogrammes.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs et ainsi que le produit scalaire .


3. En déduire une mesure en degré de l’angle arrondie au degré près.


4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


b. En déduire la distance entre le point et la droite puis calculer l’aire du parallélogramme .


5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan .


b. Quelle est la distance entre et le plan ?


c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?
Voir la correction

109
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé , on considère le point , le vecteur et le plan d'équation .

1. Déterminer une équation du plan passant par et de vecteur normal .


2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans et sont-ils orthogonaux ?


3. a. Montrer que les points et appartiennent à l’intersection de ces deux plans.


b. Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans et .


4. a. Calculer la distance entre le plan et le point .


b. En déduire l’aire du triangle .
Voir la correction

110
[Calculer, Chercher.]
Intersection d’une sphère et d’une droite
Dans un repère orthonormé , on définit la sphère d’équation


et la droite de représentation paramétrique :

, .

1. a. Montrer que trouver l’intersection de la sphère et de la droite revient à résoudre l’équation .


b. En déduire les points d’intersection de et de .


2. On note la droite passant par le point et de vecteur directeur . Quelle est l’intersection de cette droite avec la sphère ?
Voir la correction

111
APPROFONDISSEMENT

Dans un repère orthonormé , on considère la sphère de centre et de rayon et la droite de représentation paramétrique , .

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère .


2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de et de revient à résoudre l’équation .


3. Montrer alors que les points d’intersection de la sphère et de la droite sont le point et le point dont on déterminera les coordonnées.


4. Soit le plan d’équation .
a. Déterminer un vecteur normal à puis les coordonnées du projeté orthogonal de sur le plan .


b. Justifer que tous les points du plan sont à une distance de supérieure au rayon de la sphère , sauf le projeté orthogonal.


c. Quelle est alors l’intersection entre la sphère et le plan ?


On dit que le plan est tangent à la sphère.

5. Déterminer les coordonnées du vecteur .


6. Soient un point de la sphère et le plan passant par et de vecteur normal .

a. On considère un point du plan . Comparer les distances et .


b. Que peut-on dire de l’intersection de la sphère et du plan ?


c. Si un plan est tangent à une sphère de centre en un point , que peut-on dire du vecteur  ?
Voir la correction

112
APPROFONDISSEMENT

Sphère circonscrite à un tétraèdre
On munit l’espace d’un repère orthonormé .
Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Soient , , et quatre points non coplanaires de l’espace.

1. a. Soit le plan médiateur du segment . Déterminer une équation cartésienne de .


b. Montrer que, pour tout point de , on a .


2. Soient respectivement et les plans médiateurs des segments et .
Déterminer une équation cartésienne de ces plans.


3. Justifer que les trois plans , et sont deux à deux sécants.


4. On note respectivement et les droites d’intersection des plans et et des plans et .
a. Déterminer une représentation paramétrique des droites et .


b. Justifer que, pour tout point de , on a .


c. Déterminer une égalité similaire vérifée par les points de la droite .


5. Montrer que les droites et sont sécantes en un point dont on déterminera les coordonnées.


6. Justifer que est équidistant de , de , de et de .


7. Calculer . Que peut-on dire de la sphère de centre et de rayon ?
Voir la correction

113
APPROFONDISSEMENT

Une fonction est une fonction scalaire de Leibniz lorsqu’il existe un entier , points et nombres réels tels que, pour tout point de l’espace, .

1. Soient et deux points de l’espace.
En utilisant la relation de Chasles, montrer que .


2. On suppose dans la suite que .
a. On admet qu’il existe un point de l’espace tel que . Ce point est appelé barycentre du système . Démontrer que ce point est unique.


b. Exprimer, pour tout point de l’espace, en fonction de .


c. Soit un nombre réel. Montrer que si, et seulement si, .


On notera dans la suite ce nombre .

d. En déduire l’ensemble des points vérifant selon les valeurs de , (on pourra distinguer les cas , , et ).


e. Application : On munit l’espace d’un repère orthonormé et on considère les points , et .
Déterminer l’ensemble des points vérifant .
Voir la correction

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices transversaux
;  ;  ;  ;  ;  ;  p. 432

Le Grand Oral

Mener des recherches sur votre sujet

Exemple de sujet : Les intersections possibles entre une sphère et un plan ou une droite.


Méthode

Votre exposé est le résultat de vos recherches sur un sujet choisi. C’est la face visible de tout un travail mené pendant plusieurs semaines à partir de sources diverses

Listez les mots-clés importants pour votre sujet. Cette liste pourra être complétée tout au long des recherches.

Faites l’inventaire des sources d’information disponibles sur le sujet. Vous pouvez mener des recherches :
  • dans vos manuels scolaires ;
  • sur des sites scientifques ;
  • sur des sites académiques ;
  • dans la presse et dans les magazines scientifques ;
  • au CDI.

Pensez à consulter plusieurs sources, pour varier les points de vue.

Prenez garde à ne pas trop vous éloigner du sujet, écartez les informations superflues pour ne garder que les plus pertinentes.

Regroupez les informations collectées, en prenant soin de bien noter les sources au fur et à mesure.

Conseil : utilisez un carnet ou un document accessible en ligne pour regrouper les résultats de vos recherches au même endroit et pouvoir les retrouver facilement.

Exemples de ressources sur ce sujet

Des ressources à aller voir dans ce manuel :
Des exemples de ressources à aller consulter sur internet :

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.