[Calculer, Communiquer.] Rappel : le volume d’une pyramide est donné par V=31Abase × hauteur.
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(2;4;1), B(0;6;0), C(4;6;1), D(2;8;0) et S(−1;9;12,5).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC.
Justifer que les quatre points A, B, C et D sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.
2. a. Montrer que n⎝⎛−114⎠⎞ est un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire que S n’appartient pas au plan (ABC).
3. Calculer la distance de S au plan (ABC).
4. En déduire le volume de la pyramide.
Voir les réponses
103
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(1;−1;0) et B(3;−1;1) et la droite Δ de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=t+4y=3t−1z=−2t+2, t∈R.
1. a. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur u de Δ.
b. Montrer que les droites Δ et (AB) sont orthogonales et non coplanaires.
2. a. Déterminer une équation du plan P orthogonal à Δ et passant par A.
b. Justifer que (AB)⊂P.
3. a. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de Δ et de P.
b. Déterminer les coordonnées du point K, projeté orthogonal du point H sur la droite (AB).
4. Calculer la longueur HK.
Remarque
Cette longueur est la distance entre les droites (AB) et Δ.
Voir les réponses
104
[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube FIXABLES d’arête 1 cm.
1. Justifer que (F;FI,FA,FB) est un repère orthonormé de l’espace.
2. Montrer que la droite (SI) est orthogonale au plan (BAE).
3. En déduire une équation du plan (BAE).
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SI).
5. Déterminer les coordonnées de J, projeté orthogonal de I sur (BAE).
6. Justifer que J est le centre de gravité de BAE.
Voir les réponses
105
[Calculer, Communiquer.]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : A(−4;0;1), B(3;3;−1), C(1;5;1) et D(0;2;6).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C puis calculer son aire.
3. Soit n⎝⎛1bc⎠⎞ un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux réels. a. Déterminer les valeurs de b et c pour lesquelles n est un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
4. Soit d la droite orthogonale à (ABC) passant par D. a. Donner une représentation paramétrique de d.
b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H de la droite d avec le plan (ABC).
5. a. Calculer la valeur exacte de la distance DH.
b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre ABCD.
6. Calculer une mesure de l’angle ADB arrondie au degré près.
Voir les réponses
106
[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l’intersection de deux plans (lorsqu’elle existe). Pour cela, on se place dans un
repère orthonormé (O;i,j,k).
Partie A
On donne deux plans P:2x−3y−2z+1=0 et P′:x−2y+z−6=0.
1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.
2. a. Soit M(x;y;z) un point situé à l’intersection de P et P′. Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d’équations {2x−3y−2z+1=0x−2y+z−6=0.
b. On pose l’une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre y=t. Remplacer y par t dans le système et montrer que, par substitution, on obtient ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x+zzy=2t+6=41t+413=t.
c. En déduire qu’une représentation paramétrique de la droite d’intersection est ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=47t+411y=tz=41t+413,t∈R.
Partie B
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des plans P et P′.
1.P:y−2z+3=0 et P′:2x+y−4z+3=0.
2.P:x−y+z−3=0 et P′:x−y−6z+4=0.
3.P:−6x+7y+z+12=0 et P′:16x+10y−17z+11=0.
Partie C
On donne ici deux vecteurs non nuls u⎝⎛abc⎠⎞ et v⎝⎛a′b′c′⎠⎞ non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur n⎝⎛xyz⎠⎞ orthogonal à la fois à u et v.
1. Justifier que x, y et z vérifent le système suivant : {ax+by+cza′x+b′y+c′z=0=0.
2. On donne maintenant u⎝⎛3−12⎠⎞ et v⎝⎛041⎠⎞. a. Vérifer que u et v ne sont pas colinéaires.
b. Soit n⎝⎛xyz⎠⎞ un vecteur orthogonal à u et v. Déterminer un système de deux équations vérifées par
x, y et z.
c. Résoudre ce système en s’inspirant de la méthode étudiée en partie A.
d. Déterminer alors l’ensemble des vecteurs normaux à u et v.
Voir les réponses
107
GEOGEBRA
[Représenter, Communiquer.] Partie A : Construction sur Geogebra
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
1. Créer les points A(2;0;0) et B(0;2;0).
2. Construire le cube ABCDEFGH en utilisant l’outil Cube et en cliquant dans l’ordre sur les points A puis B.
3. Placer les points I(1;1;0), J(1;−1;0) et K(0;−2;2). À quoi ces points correspondent-ils ?
4. Construire le plan (IJK) et faire apparaître la section du cube par le plan (IJK).
5. Quelle semble être la nature de cette section ?
Partie B : Démonstration
1. Montrer que le plan (IJK) admet pour équation 2x+2z−2=0.
2. a. Déterminer les coordonnées des points L, M et N, intersections du plan (IJK) et des droites respectives (GH), (GF) et (BF) .
b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l’hexagone IJKLMN sont égaux.
3. Montrer que les longueurs des diagonales LI, MJ et KN sont égales.
Voir les réponses
108
DEVOIR MAISON
[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(1;−1;0), B(−2;0;0), C(1;2;−1) et E(3;−2;2).
1. On construit le parallélépipède ABCDEFGH. Déterminer les coordonnées des sommets D, F, G et H.
Aide
Toutes les faces d’un parallélépipède sont des parallélogrammes.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs AE et AB ainsi que le produit scalaire AE⋅AB.
3. En déduire une mesure en degré de l’angle (AE;AB) arrondie au degré près.
4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BC).
b. En déduire la distance entre le point A et la droite (BC) puis calculer l’aire du parallélogramme ABCD.
5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
b. Quelle est la distance entre E et le plan (ABC) ?
c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?
Voir les réponses
109
[Calculer, Communiquer.] Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère le point A(3;5;4), le vecteur v⎝⎛2−11⎠⎞ et le plan P d'équation P:x+3y+z−7=0.
1. Déterminer une équation du plan P′ passant par A et de vecteur normal v.
2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans P et P′ sont-ils orthogonaux ?
3. a. Montrer que les points B(2;1;2) et C(−2;0;9) appartiennent à l’intersection de ces deux plans.
b. Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans P et P′.
4. a. Calculer la distance entre le plan P et le point A.
b. En déduire l’aire du triangle ABC.
Voir les réponses
110
[Calculer, Chercher.] Intersection d’une sphère et d’une droite Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on définit la sphère S d’équation
(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=81
et la droite Δ de représentation paramétrique :
⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+5y=−t−2z=3t+5, t∈R.
1. a. Montrer que trouver l’intersection de la sphère S et de la droite Δ revient à résoudre l’équation 14t2+72t+15=0.
b. En déduire les points d’intersection de S et de Δ.
2. On note Δ′ la droite passant par le point K(6;6;4) et de vecteur directeur u⎝⎛111⎠⎞. Quelle est l’intersection de cette droite avec la sphère S ?
Voir les réponses
111
APPROFONDISSEMENT
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère la sphère S de centre Ω(2;1;3) et de rayon 5 et la droite Δ de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=3t+2y=2t+3z=2t+1, t∈R.
1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S.
2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de S et de Δ revient à résoudre l’équation t2−1=0.
3. Montrer alors que les points d’intersection de la sphère et de la droite sont le point M1(−1;1;−1) et le point M2 dont on déterminera les coordonnées.
4. Soit P le plan d’équation 3x+4z+7=0. a. Déterminer un vecteur normal à P puis les coordonnées du projeté orthogonal de Ω sur le plan P.
b. Justifer que tous les points du plan P sont à une distance de Ω supérieure au rayon de la sphère S, sauf le projeté orthogonal.
c. Quelle est alors l’intersection entre la sphère S et le plan P ?
On dit que le plan P est tangent à la sphère.
5. Déterminer les coordonnées du vecteur ΩM1.
6. Soient M un point de la sphère S et P′ le plan passant par M et de vecteur normal ΩM.
a. On considère un point N du plan P′. Comparer les distances ΩN et ΩM.
b. Que peut-on dire de l’intersection de la sphère S et du plan P′ ?
c. Si un plan est tangent à une sphère de centre Ω en un point M, que peut-on dire du vecteur ΩM ?
Voir les réponses
112
APPROFONDISSEMENT
Sphère circonscrite à un tétraèdre On munit l’espace d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Soient A(−1;−1;1), B(3;3;1), C(3;−1;3) et D(1;1;5) quatre points non coplanaires de l’espace.
1. a. Soit P1 le plan médiateur du segment [AB]. Déterminer une équation cartésienne de P1.
b. Montrer que, pour tout point M de P1, on a AM=BM.
2. Soient respectivement P2 et P3 les plans médiateurs des segments [BC] et [CD].
Déterminer une équation cartésienne de ces plans.
3. Justifer que les trois plans P1, P2 et P3 sont deux à deux sécants.
4. On note respectivement d1 et d2 les droites d’intersection des plans P1 et P2 et des plans P2 et P3. a. Déterminer une représentation paramétrique des
droites d1 et d2.
b. Justifer que, pour tout point M de d1, on a AM=BM=CM.
c. Déterminer une égalité similaire vérifée par les points M de la droite d2.
5. Montrer que les droites d1 et d2 sont sécantes en un point E dont on déterminera les coordonnées.
6. Justifer que E est équidistant de A, de B, de C et de D.
7. Calculer EA. Que peut-on dire de la sphère de centre E et de rayon EA ?
Voir les réponses
113
APPROFONDISSEMENT
Une fonction f est une fonction scalaire de Leibniz lorsqu’il existe un entier n⩾1, n points A1;…;An et n nombres réels a1;…;an tels que, pour tout point M de l’espace, f(M)=a1A1M2+…+anAnM2=i=1∑naiAiM2.
1. Soient M et N deux points de l’espace.
En utilisant la relation de Chasles, montrer que f(M)=f(N)+(i=1∑nai)MN2+2MN⋅i=1∑naiNAi.
2. On suppose dans la suite que i=1∑nai=0. a. On admet qu’il existe un point G de l’espace tel que a1GA1+…+anGAn=0. Ce point est appelé barycentre du système {(A1;a1);…;(An;an)}. Démontrer que ce
point est unique.
b. Exprimer, pour tout point M de l’espace, f(M) en fonction de f(G).
c. Soit k un nombre réel. Montrer que f(M)=k si, et seulement si, MG2=i=1∑naik−f(G).
On notera dans la suite ce nombre ℓ.
d. En déduire l’ensemble des points M vérifant f(M)=k selon les valeurs de ℓ, (on pourra distinguer les cas , ℓ<0, ℓ=0 et ℓ>0).
e. Application : On munit l’espace d’un repère orthonormé (O;i,j,k) et on considère les points A1(2;3;1), A2(4;−2;−4) et A3(1;5;2).
Déterminer l’ensemble des points M vérifant A1M2−A2M2+A3M2=−21.
Exemple de sujet : Les intersections possibles
entre une sphère et un plan ou une droite.
Méthode
❯ Votre exposé est le résultat de vos recherches sur un
sujet choisi. C’est la face visible de tout un travail mené
pendant plusieurs semaines à partir de sources diverses
❯ Listez les mots-clés importants pour votre sujet. Cette
liste pourra être complétée tout au long des recherches.
❯ Faites l’inventaire des sources d’information disponibles
sur le sujet. Vous pouvez mener des recherches :
dans vos manuels scolaires ;
sur des sites scientifques ;
sur des sites académiques ;
dans la presse et dans les magazines scientifques ;
au CDI.
❯ Pensez à consulter plusieurs sources, pour varier les points de vue.
❯ Prenez garde à ne pas trop vous éloigner du sujet,
écartez les informations superflues pour ne garder
que les plus pertinentes.
❯ Regroupez les informations collectées, en prenant soin de bien noter les sources au fur et à mesure.
Conseil : utilisez un carnet ou un document accessible
en ligne pour regrouper les résultats de vos recherches
au même endroit et pouvoir les retrouver facilement.
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.