Synthèse

102

[Calculer, Communiquer.]
Rappel : le volume d’une pyramide est donné par $\mathcal{V}=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{\text{base }}\times \text{ hauteur}$.
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $\mathrm{A}(2;4;1)$, $\mathrm{B}(0;6;0)$, $\mathrm{C}(4;6;1)$, $\mathrm{D}(2;8;0)$ et $\mathrm{S}(-1;9;12,5)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{DC}}$.
Justifer que les quatre points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.


2. a. Montrer que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. En déduire que $\text{S}$ n’appartient pas au plan $(\text{ABC})$.


3. Calculer la distance de $\text{S}$ au plan $(\text{ABC})$.


4. En déduire le volume de la pyramide.

103

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $\mathrm{A}(1;-1;0)$ et $\mathrm{B}(3;-1;1)$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=t+4\\ y=3t-1\\ z=-2t+2\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

1. a. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $\Delta$.


b. Montrer que les droites $\Delta$ et $(\text{AB})$ sont orthogonales et non coplanaires.


2. a. Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ orthogonal à $\Delta$ et passant par $\text{A}$.


b. Justifer que $(\text{AB})\subset \mathcal{P}$.


3. a. Déterminer les coordonnées du point $\text{H}$, intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{K}$, projeté orthogonal du point $\text{H}$ sur la droite $(\text{AB})$.


4. Calculer la longueur $\text{HK}$.

104

[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube $\text{FIXABLES}$ d’arête $\text{1 cm}$.

1. Justifer que $(\text{F};\overrightarrow{\text{FI}},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{A}},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{B}})$ est un repère orthonormé de l’espace.


2. Montrer que la droite $(\text{SI})$ est orthogonale au plan $(\text{BAE})$.


3. En déduire une équation du plan $(\text{BAE})$.


4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{SI})$.


5. Déterminer les coordonnées de $\text{J}$, projeté orthogonal de $\text{I}$ sur $(\text{BAE})$.


6. Justifer que $\text{J}$ est le centre de gravité de $\text{BAE}$.

105

[Calculer, Communiquer.]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $\mathrm{A}(-4;0;1)$, $\mathrm{B}(3;3;-1)$, $\mathrm{C}(1;5;1)$ et $\mathrm{D}(0;2;6)$.

1. Montrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ ne sont pas alignés.


2. Démontrer que le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{C}$ puis calculer son aire.


3. Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}1\\ b\\ c\end{array}\right)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ pour lesquelles $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. En déduire une équation cartésienne du plan $(\text{ABC})$.


c. Le point $\text{D}$ appartient-il au plan $(\text{ABC})$ ?


4. Soit $d$ la droite orthogonale à $(\text{ABC})$ passant par $\text{D}$.
a. Donner une représentation paramétrique de $d$.


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $\text{H}$ de la droite $d$ avec le plan $(\text{ABC})$.


5. a. Calculer la valeur exacte de la distance $\text{DH}$.


b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre $\text{ABCD}$.


6. Calculer une mesure de l’angle $\widehat{\text{ADB}}$ arrondie au degré près.

106

[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l’intersection de deux plans (lorsqu’elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

Partie A
On donne deux plans $\mathcal{P}:2x-3y-2z+1=0$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }:x-2y+z-6=0$.

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.


2. a. Soit $\text{M}(x;y;z)$ un point situé à l’intersection de $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$.
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d’équations $\{\begin{array}{r}2x-3y-2z+1=0\\ x-2y+z-6=0\end{array}$.


b. On pose l’une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre $y=t$. Remplacer $y$ par $t$ dans le système et montrer que, par substitution, on obtient $\{\begin{array}{rl}x+z& =2t+6\\ z& =\frac{1}{4}t+\frac{13}{4}\\ y& =t\end{array}$.


c. En déduire qu’une représentation paramétrique de la droite d’intersection est $\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{4}t+\frac{11}{4}\\ y=t\\ z=\frac{1}{4}t+\frac{13}{4}\end{array},t\in \mathbb{R}$.


Partie B
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$.

1. $\mathcal{P}:y-2z+3=0$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }:2x+y-4z+3=0$.


2. $\mathcal{P}:x-y+z-3=0$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }:x-y-6z+4=0$.


3. $\mathcal{P}:-6x+7y+z+12=0$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }:16x+10y-17z+11=0$.


Partie C
On donne ici deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\\ c^{\prime }\end{array}\right)$ non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ orthogonal à la fois à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

1. Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifent le système suivant : $\{\begin{array}{rl}ax+by+cz& =0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z& =0\end{array}$.


2. On donne maintenant $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}0\\ 4\\ 1\end{array}\right)$.
a. Vérifer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.


b. Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ un vecteur orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Déterminer un système de deux équations vérifées par $x$, $y$ et $z$.


c. Résoudre ce système en s’inspirant de la méthode étudiée en partie A.


d. Déterminer alors l’ensemble des vecteurs normaux à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

107

GEOGEBRA

[Représenter, Communiquer.]
Partie A : Construction sur Geogebra

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1. Créer les points $\text{A}(2;0;0)$ et $\text{B}(0;2;0)$.

2. Construire le cube $\text{ABCDEFGH}$ en utilisant l’outil Cube et en cliquant dans l’ordre sur les points $\text{A}$ puis $\text{B}$.

3. Placer les points $\text{I}(1;1;0)$, $\text{J}(1;-1;0)$ et $\text{K}(0;-2;\sqrt{2})$. À quoi ces points correspondent-ils ?


4. Construire le plan $(\text{IJK})$ et faire apparaître la section du cube par le plan $(\text{IJK})$.

5. Quelle semble être la nature de cette section ?


Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan $(\text{IJK})$ admet pour équation $2x+\sqrt{2}z-2=0$.


2. a. Déterminer les coordonnées des points $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$, intersections du plan $(\text{IJK})$ et des droites respectives $(\text{GH})$, $(\text{GF})$ et $(\text{BF})$ .


b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l’hexagone $\text{IJKLMN}$ sont égaux.


3. Montrer que les longueurs des diagonales $\text{LI}$, $\text{MJ}$ et $\text{KN}$ sont égales.

108

[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $\text{A}(1;-1;0)$, $\text{B}(-2;0;0)$, $\text{C}(1;2;-1)$ et $\text{E}(3;-2;2)$.

1. On construit le parallélépipède $\text{ABCDEFGH}$. Déterminer les coordonnées des sommets $\text{D}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$.



2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$ ainsi que le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$.


3. En déduire une mesure en degré de l’angle $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}})$ arrondie au degré près.


4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{BC})$.


b. En déduire la distance entre le point $\text{A}$ et la droite $(\text{BC})$ puis calculer l’aire du parallélogramme $\text{ABCD}$.


5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(\text{ABC})$.


b. Quelle est la distance entre $\text{E}$ et le plan $(\text{ABC})$ ?


c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?

109

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère le point $\text{A}(3;5;4)$, le vecteur $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $\mathcal{P}:x+3y+z-7=0$.

1. Déterminer une équation du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ passant par $\text{A}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{v}$.


2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont-ils orthogonaux ?


3. a. Montrer que les points $\text{B}(2;1;2)$ et $\text{C}(-2;0;9)$ appartiennent à l’intersection de ces deux plans.


b. Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$.


4. a. Calculer la distance entre le plan $\mathcal{P}$ et le point $\text{A}$.


b. En déduire l’aire du triangle $\text{ABC}$.

110

[Calculer, Chercher.]
Intersection d’une sphère et d’une droite
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on définit la sphère $\mathcal{S}$ d’équation

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=81$
et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique :

$\{\begin{array}{l}x=2t+5\\ y=-t-2\\ z=3t+5\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.
1. a. Montrer que trouver l’intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\Delta$ revient à résoudre l’équation $14t^2+72t+15=0$.


b. En déduire les points d’intersection de $\mathcal{S}$ et de $\Delta$.


2. On note ${\Delta }^{\prime }$ la droite passant par le point $\text{K}(6;6;4)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. Quelle est l’intersection de cette droite avec la sphère $\mathcal{S}$ ?

111

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega (2;1;3)$ et de rayon $5$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=3t+2\\ y=2t+3\\ z=2t+1\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.


2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de $\mathcal{S}$ et de $\Delta$ revient à résoudre l’équation $t^2-1=0$.


3. Montrer alors que les points d’intersection de la sphère et de la droite sont le point ${\text{M}}_1(-1;1;-1)$ et le point ${\text{M}}_2$ dont on déterminera les coordonnées.


4. Soit $\mathcal{P}$ le plan d’équation $3x+4z+7=0$.
a. Déterminer un vecteur normal à $\mathcal{P}$ puis les coordonnées du projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $\mathcal{P}$.


b. Justifer que tous les points du plan $\mathcal{P}$ sont à une distance de $\Omega$ supérieure au rayon de la sphère $\mathcal{S}$, sauf le projeté orthogonal.


c. Quelle est alors l’intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $\mathcal{P}$ ?


On dit que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère.

5. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega {\mathrm{M}}_1}$.


6. Soient $\text{M}$ un point de la sphère $\mathcal{S}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ le plan passant par $\text{M}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}$.

a. On considère un point $\text{N}$ du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$. Comparer les distances $\Omega \text{N}$ et $\Omega \text{M}$.


b. Que peut-on dire de l’intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ ?


c. Si un plan est tangent à une sphère de centre $\Omega$ en un point $\text{M}$, que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{\Omega \text{M}}$ ?

112

Sphère circonscrite à un tétraèdre
On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Soient $\mathrm{A}(-1;-1;1)$, $\mathrm{B}(3;3;1)$, $\mathrm{C}(3;-1;3)$ et $\mathrm{D}(1;1;5)$ quatre points non coplanaires de l’espace.

1. a. Soit ${\mathcal{P}}_1$ le plan médiateur du segment $[\text{AB}]$. Déterminer une équation cartésienne de ${\mathcal{P}}_1$.


b. Montrer que, pour tout point $\text{M}$ de ${\mathcal{P}}_1$, on a $\text{AM}=\text{BM}$.


2. Soient respectivement ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ les plans médiateurs des segments $[\text{BC}]$ et $[\text{CD}]$.
Déterminer une équation cartésienne de ces plans.


3. Justifer que les trois plans ${\mathcal{P}}_1$, ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ sont deux à deux sécants.


4. On note respectivement $d_1$ et $d_2$ les droites d’intersection des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ et des plans ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$.
a. Déterminer une représentation paramétrique des droites $d_1$ et $d_2$.


b. Justifer que, pour tout point $\text{M}$ de $d_1$, on a $\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}$.


c. Déterminer une égalité similaire vérifée par les points $\text{M}$ de la droite $d_2$.


5. Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $\text{E}$ dont on déterminera les coordonnées.


6. Justifer que $\text{E}$ est équidistant de $\text{A}$, de $\text{B}$, de $\text{C}$ et de $\text{D}$.


7. Calculer $\text{EA}$. Que peut-on dire de la sphère de centre $\text{E}$ et de rayon $\text{EA}$ ?

113

Une fonction $f$ est une fonction scalaire de Leibniz lorsqu’il existe un entier $n⩾1$, $n$ points ${\text{A}}_1;\dots ;{\text{A}}_n$ et $n$ nombres réels $a_1;\dots ;a_n$ tels que, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $f(\mathrm{M})=a_1{\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{M}}}^2+\dots +a_n{\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n\mathrm{M}}}^2=\sum _{i=1}^n{a}_i{\overrightarrow{{\mathrm{A}}_i\mathrm{M}}}^2$.

1. Soient $\text{M}$ et $\text{N}$ deux points de l’espace.
En utilisant la relation de Chasles, montrer que $f(\text{M})=f(\text{N})+\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right){\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}\cdot \sum _{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{{\mathrm{N}\mathrm{A}}_i}$.


2. On suppose dans la suite que $\sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0$.
a. On admet qu’il existe un point $\text{G}$ de l’espace tel que $a_1\overrightarrow{{\mathrm{G}\mathrm{A}}_1}+\dots +a_n\overrightarrow{{\mathrm{G}\mathrm{A}}_n}=\overrightarrow{0}$. Ce point est appelé barycentre du système $\left\{\left({\mathrm{A}}_1;a_1\right);\dots ;\left({\mathrm{A}}_n;a_n\right)\right\}$. Démontrer que ce point est unique.


b. Exprimer, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $f(\text{M})$ en fonction de $f(\text{G})$.


c. Soit $k$ un nombre réel. Montrer que $f(\text{M})=k$ si, et seulement si, ${\mathrm{M}\mathrm{G}}^2=\frac{k-f(\mathrm{G})}{\sum _{i=1}^n{a}_i}$.


On notera dans la suite ce nombre $\ell$.

d. En déduire l’ensemble des points $\text{M}$ vérifant $f(\text{M})=k$ selon les valeurs de $\ell$, (on pourra distinguer les cas , $\ell <0$, $\ell =0$ et $\ell >0$).


e. Application : On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ et on considère les points ${\mathrm{A}}_1(2;3;1)$, ${\mathrm{A}}_2(4;-2;-4)$ et ${\mathrm{A}}_3(1;5;2)$.
Déterminer l’ensemble des points $\text{M}$ vérifant ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{M}}^2-{\mathrm{A}}_2{\mathrm{M}}^2+{\mathrm{A}}_3{\mathrm{M}}^2=-21$.