Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Synthèse

Exercices de synthèse

102
[Calculer, Communiquer.]

Rappel

Le volume d'une pyramide est donné par

V = \frac{1}{3} A_{base} \times hauteur

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (2; 4; 1)

B (0; 6; 0)

C (4; 6; 1)

D (2; 8; 0)

S (- 1; 9; 12, 5)

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs

AB

DC

.
Justifer que les quatre points

A

B

C

D

sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.

2. a. Montrer que

n ⎝ ⎛ - 1 14 ⎠ ⎞

est un vecteur normal au plan

(ABC)

b. En déduire que

S

n'appartient pas au plan

(ABC)

3. Calculer la distance de

S

au plan

(ABC)

4. En déduire le volume de la pyramide.

103
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (1; - 1; 0)

B (3; - 1; 1)

et la droite

Δ

de représentation paramétrique

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = t + 4 y = 3 t - 1 z = - 2 t + 2

t \in R

1. a. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur

u

Δ

b. Montrer que les droites

Δ

(AB)

sont orthogonales et non coplanaires.

2. a. Déterminer une équation du plan

P

orthogonal à

Δ

et passant par

A

b. Justifer que

(AB) \subset P

3. a. Déterminer les coordonnées du point

H

, intersection de

Δ

et de

P

b. Déterminer les coordonnées du point

K

, projeté orthogonal du point

H

sur la droite

(AB)

4. Calculer la longueur

HK

104
[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube

FIXABLES

d'arête

1 cm

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Justifer que

(F; FI, F A, F B)

est un repère orthonormé de l'espace.

2. Montrer que la droite

(SI)

est orthogonale au plan

(BAE)

3. En déduire une équation du plan

(BAE)

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite

(SI)

5. Déterminer les coordonnées de

J

, projeté orthogonal de

I

sur

(BAE)

6. Justifer que

J

est le centre de gravité de

BAE

105
[Calculer, Communiquer.]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :

A (- 4; 0; 1)

B (3; 3; - 1)

C (1; 5; 1)

D (0; 2; 6)

1. Montrer que les points

A

B

C

ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle

ABC

est rectangle en

C

puis calculer son aire.

3. Soit

n ⎝ ⎛ 1 b c ⎠ ⎞

un vecteur de l'espace, où

b

c

désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de

b

c

pour lesquelles

n

est un vecteur normal au plan

(ABC)

b. En déduire une équation cartésienne du plan

(ABC)

c. Le point

D

appartient-il au plan

(ABC)

4. Soit

d

la droite orthogonale à

(ABC)

passant par

D

.
a. Donner une représentation paramétrique de

d

b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection

H

de la droite

d

avec le plan

(ABC)

5. a. Calculer la valeur exacte de la distance

DH

b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre

ABCD

6. Calculer une mesure de l'angle

ADB

arrondie au degré près.

106
[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l'intersection de deux plans (lorsqu'elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

Partie A

On donne deux plans

P : 2 x - 3 y - 2 z + 1 = 0

P^{'} : x - 2 y + z - 6 = 0

.

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.

2. a. Soit

M (x; y; z)

un point situé à l'intersection de

P

P^{'}

.
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d'équations

{2 x - 3 y - 2 z + 1 = 0 x - 2 y + z - 6 = 0

b. On pose l'une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre

y = t

. Remplacer

y

par

t

dans le système et montrer que, par substitution, on obtient

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x + z z y = 2 t + 6 = \frac{1}{4} t + \frac{1 3}{4} = t

c. En déduire qu'une représentation paramétrique de la droite d'intersection est

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x = \frac{7}{4} t + \frac{1 1}{4} y = t z = \frac{1}{4} t + \frac{1 3}{4}, t \in R

Partie B

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'intersection des plans

P

P^{'}

.

1.

P : y - 2 z + 3 = 0

P^{'} : 2 x + y - 4 z + 3 = 0

P : x - y + z - 3 = 0

P^{'} : x - y - 6 z + 4 = 0

P : - 6 x + 7 y + z + 12 = 0

P^{'} : 16 x + 10 y - 17 z + 11 = 0

Partie C

On donne ici deux vecteurs non nuls

u ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ a^{'} b^{'} c^{'} ⎠ ⎞

non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur

n ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞

orthogonal à la fois à

u

v

.

1. Justifier que

x

y

z

vérifent le système suivant :

{a x + b y + c z a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z = 0 = 0

2. On donne maintenant

u ⎝ ⎛ 3 - 1 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 041 ⎠ ⎞

.
a. Vérifer que

u

v

ne sont pas colinéaires.

b. Soit

n ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞

un vecteur orthogonal à

u

v

. Déterminer un système de deux équations vérifées par

x

y

z

c. Résoudre ce système en s'inspirant de la méthode étudiée en partie A.

d. Déterminer alors l'ensemble des vecteurs normaux à

u

v

107
GeoGebra
[Représenter, Communiquer.]

Partie A : Construction sur Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

1. Créer les points

A (2; 0; 0)

B (0; 2; 0)

.

2. Construire le cube

ABCDEFGH

en utilisant l'outil Cube et en cliquant dans l'ordre sur les points

A

puis

B

3. Placer les points

I (1; 1; 0)

J (1; - 1; 0)

K (0; - 2; 2)

. À quoi ces points correspondent-ils ?

4. Construire le plan

(IJK)

et faire apparaître la section du cube par le plan

(IJK)

.

5. Quelle semble être la nature de cette section ?

Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan

(IJK)

admet pour équation

2 x + 2 z - 2 = 0

2. a. Déterminer les coordonnées des points

L

M

N

, intersections du plan

(IJK)

et des droites respectives

(GH)

(GF)

(BF)

b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l'hexagone

IJKLMN

sont égaux.

3. Montrer que les longueurs des diagonales

LI

MJ

KN

sont égales.

108

Devoir maison

[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère les points

A (1; - 1; 0)

B (- 2; 0; 0)

C (1; 2; - 1)

E (3; - 2; 2)

1. On construit le parallélépipède

ABCDEFGH

. Déterminer les coordonnées des sommets

D

F

G

H

Toutes les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes.

Aide

2. Calculer les coordonnées des vecteurs

AE

AB

ainsi que le produit scalaire

A E \cdot A B

3. En déduire une mesure en degré de l'angle

(A E; A B)

arrondie au degré près.

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite

(BC)

b. En déduire la distance entre le point

A

et la droite

(BC)

puis calculer l'aire du parallélogramme

ABCD

5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan

(ABC)

b. Quelle est la distance entre

E

et le plan

(ABC)

c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?

109
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le point

A (3; 5; 4)

, le vecteur

v ⎝ ⎛ 2 - 1 1 ⎠ ⎞

et le plan

P

d'équation

P : x + 3 y + z - 7 = 0

1. Déterminer une équation du plan

P^{'}

passant par

A

et de vecteur normal

v

2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans

P

P^{'}

sont-ils orthogonaux ?

3. a. Montrer que les points

B (2; 1; 2)

C (- 2; 0; 9)

appartiennent à l'intersection de ces deux plans.

b. Donner une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans

P

P^{'}

4. a. Calculer la distance entre le plan

P

et le point

A

b. En déduire l'aire du triangle

ABC

110
[Calculer, Chercher.]

Intersection d'une sphère et d'une droite

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on définit la sphère

S

d'équation

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 81

et la droite

Δ

de représentation paramétrique :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 t + 5 y = - t - 2 z = 3 t + 5

t \in R

1. a. Montrer que trouver l'intersection de la sphère

S

et de la droite

Δ

revient à résoudre l'équation

14 t^{2} + 72 t + 15 = 0

b. En déduire les points d'intersection de

S

et de

Δ

2. On note

Δ^{'}

la droite passant par le point

K (6; 6; 4)

et de vecteur directeur

u ⎝ ⎛ 111 ⎠ ⎞

. Quelle est l'intersection de cette droite avec la sphère

S

111

Approfondissement

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère la sphère

S

de centre

Ω (2; 1; 3)

et de rayon

5

et la droite

Δ

de représentation paramétrique

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 3 t + 2 y = 2 t + 3 z = 2 t + 1

t \in R

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère

S

2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de

S

et de

Δ

revient à résoudre l'équation

t^{2} - 1 = 0

3. Montrer alors que les points d'intersection de la sphère et de la droite sont le point

M_{1} (- 1; 1; - 1)

et le point

M_{2}

dont on déterminera les coordonnées.

4. Soit

P

le plan d'équation

3 x + 4 z + 7 = 0

.
a. Déterminer un vecteur normal à

P

puis les coordonnées du projeté orthogonal de

Ω

sur le plan

P

b. Justifer que tous les points du plan

P

sont à une distance de

Ω

supérieure au rayon de la sphère

S

, sauf le projeté orthogonal.

c. Quelle est alors l'intersection entre la sphère

S

et le plan

P

On dit que le plan $P$ est tangent à la sphère.
5. Déterminer les coordonnées du vecteur

Ω M_{1}

6. Soient

M

un point de la sphère

S

P^{'}

le plan passant par

M

et de vecteur normal

Ω M

.
a. On considère un point

N

du plan

P^{'}

. Comparer les distances

Ω N

Ω M

b. Que peut-on dire de l'intersection de la sphère

S

et du plan

P^{'}

c. Si un plan est tangent à une sphère de centre

Ω

en un point

M

, que peut-on dire du vecteur

Ω M

112

Approfondissement

Sphère circonscrite à un tétraèdre

On munit l'espace d'un repère orthonormé

(O;