Exercices de synthèse

102

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les points \mathrm{A}(2 \: ; 4 \: ; 1), \mathrm{B}(0 \: ; 6 \: ; 0), \mathrm{C}(4 \: ; 6 \: ; 1), \mathrm{D}(2 \: ; 8 \: ; 0) et \mathrm{S}(-1 \: ; 9 \: ; 12{,}5).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{DC}}.
Justifer que les quatre points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.

2. a. Montrer que \vec{n}\left(\begin{array}{l} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) est un vecteur normal au plan (\text{ABC}).

b. En déduire que \text{S} n'appartient pas au plan (\text{ABC}).

3. Calculer la distance de \text{S} au plan (\text{ABC}).

4. En déduire le volume de la pyramide.

103

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les points \mathrm{A}(1 \: ;-1 \: ; 0) et \mathrm{B}(3 \: ;-1 \: ; 1) et la droite \Delta de représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x=t+4 \\ y=3 t-1 \\ z=-2 t+2 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}.

1. a. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur \vec{u} de \Delta.

b. Montrer que les droites \Delta et (\text{AB}) sont orthogonales et non coplanaires.

2. a. Déterminer une équation du plan \mathcal{P} orthogonal à \Delta et passant par \text{A}.

b. Justifer que (\text{AB}) \subset \mathcal{P}.

3. a. Déterminer les coordonnées du point \text{H}, intersection de \Delta et de \mathcal{P}.

b. Déterminer les coordonnées du point \text{K}, projeté orthogonal du point \text{H} sur la droite (\text{AB}).

4. Calculer la longueur \text{HK}.

104

[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube \text{FIXABLES} d'arête \text{1 cm}.

1. Justifer que (\text{F} \: ; \overrightarrow{\text{FI}} \: , \overrightarrow{\mathrm{FA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{FB}}) est un repère orthonormé de l'espace.

2. Montrer que la droite (\text{SI}) est orthogonale au plan (\text{BAE}).

3. En déduire une équation du plan (\text{BAE}).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{SI}).

5. Déterminer les coordonnées de \text{J}, projeté orthogonal de \text{I} sur (\text{BAE}).

6. Justifer que \text{J} est le centre de gravité de \text{BAE}.

105

[Calculer, Communiquer.]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants : \mathrm{A}(-4 \: ; 0 \: ; 1), \mathrm{B}(3 \: ; 3 \: ;-1), \mathrm{C}(1 \: ; 5 \: ; 1) et \mathrm{D}(0 \: ; 2 \: ; 6).

1. Montrer que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C} puis calculer son aire.

3. Soit \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ b \\ c \end{array}\right) un vecteur de l'espace, où b et c désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de b et c pour lesquelles \vec{n} est un vecteur normal au plan (\text{ABC}).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (\text{ABC}).

c. Le point \text{D} appartient-il au plan (\text{ABC}) ?

4. Soit d la droite orthogonale à (\text{ABC}) passant par \text{D}.
a. Donner une représentation paramétrique de d.

b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection \text{H} de la droite d avec le plan (\text{ABC}).

5. a. Calculer la valeur exacte de la distance \text{DH}.

b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre \text{ABCD}.

6. Calculer une mesure de l'angle \widehat{\text{ADB}} arrondie au degré près.

106

[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l'intersection de deux plans (lorsqu'elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).

Partie A

On donne deux plans \mathcal{P}: 2 x-3 y-2 z+1=0 et \mathcal{P}^{\prime}: x-2 y+z-6=0.

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.

2. a. Soit \text{M}(x \: ; y \: ; z) un point situé à l'intersection de \mathcal{P} et \mathcal{P}'.
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d'équations \left\{\begin{array}{r} 2 x-3 y-2 z+1=0 \\ x-2 y+z-6=0 \end{array}\right..

b. On pose l'une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre y=t. Remplacer y par t dans le système et montrer que, par substitution, on obtient \left\{\begin{aligned} x+z &=2 t+6 \\ z &=\frac{1}{4} t+\frac{13}{4} \\ y &=t \end{aligned}\right..

c. En déduire qu'une représentation paramétrique de la droite d'intersection est \left\{\begin{array}{l} x=\frac{7}{4} t+\frac{11}{4} \\ y=t \\ z=\frac{1}{4} t+\frac{13}{4} \end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Partie B

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'intersection des plans \mathcal{P} et \mathcal{P}'.

1. \mathcal{P}: y-2 z+3=0 et \mathcal{P}': 2 x+y-4 z+3=0.

2. \mathcal{P}: x-y+z-3=0 et \mathcal{P}': x-y-6z+4=0.

3. \mathcal{P}: -6x+7y+z+12=0 et \mathcal{P}': 16x+10y-17z+11=0.

Partie C

On donne ici deux vecteurs non nuls \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} a^{\prime} \\ b^{\prime} \\ c^{\prime} \end{array}\right) non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) orthogonal à la fois à \vec{u} et \vec{v}.

1. Justifier que x, y et z vérifent le système suivant : \left\{\begin{aligned} a x+b y+c z &=0 \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime} z &=0 \end{aligned}\right..

2. On donne maintenant \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right).
a. Vérifer que \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colinéaires.

b. Soit \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) un vecteur orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. Déterminer un système de deux équations vérifées par x, y et z.

c. Résoudre ce système en s'inspirant de la méthode étudiée en partie A.

d. Déterminer alors l'ensemble des vecteurs normaux à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

107

GeoGebra

[Représenter, Communiquer.]

Partie A : Construction sur Geogebra

1. Créer les points \text{A} (2 \: ; 0 \: ; 0) et \text{B} (0 \: ; 2 \: ; 0).

2. Construire le cube \text{ABCDEFGH} en utilisant l'outil Cube et en cliquant dans l'ordre sur les points \text{A} puis \text{B}.

3. Placer les points \text{I} (1 \: ; 1 \: ; 0), \text{J} (1 \: ; -1 \: ; 0) et \text{K} (0 \: ; -2 \: ; \sqrt{2}). À quoi ces points correspondent-ils ?

4. Construire le plan (\text{IJK}) et faire apparaître la section du cube par le plan (\text{IJK}).

5. Quelle semble être la nature de cette section ?

Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan (\text{IJK}) admet pour équation 2 x+\sqrt{2} z-2=0.

2. a. Déterminer les coordonnées des points \text{L}, \text{M} et \text{N}, intersections du plan (\text{IJK}) et des droites respectives (\text{GH}), (\text{GF}) et (\text{BF}) .

b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l'hexagone \text{IJKLMN} sont égaux.

3. Montrer que les longueurs des diagonales \text{LI}, \text{MJ} et \text{KN} sont égales.

108

[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ), on considère les points \text{A} (1 \: ; -1 \: ; 0 ), \text{B} (-2 \: ; 0 \: ; 0 ), \text{C} (1 \: ; 2 \: ; -1 ) et \text{E} (3 \: ; -2 \: ; 2 ).

1. On construit le parallélépipède \text{ABCDEFGH}. Déterminer les coordonnées des sommets \text{D}, \text{F}, \text{G} et \text{H}.

Aide

Toutes les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AE}} et \overrightarrow{\text{AB}} ainsi que le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

3. En déduire une mesure en degré de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AE}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}) arrondie au degré près.

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{BC}).

b. En déduire la distance entre le point \text{A} et la droite (\text{BC}) puis calculer l'aire du parallélogramme \text{ABCD}.

5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan (\text{ABC}).

b. Quelle est la distance entre \text{E} et le plan (\text{ABC}) ?

c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?

109

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ), on considère le point \text{A} (3 \:;5 \:;4), le vecteur \vec{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) et le plan \mathcal{P} d'équation \mathcal{P}: x+3 y+z-7=0.

1. Déterminer une équation du plan \mathcal{P}' passant par \text{A} et de vecteur normal \vec{v}.

2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont-ils orthogonaux ?

3. a. Montrer que les points \text{B} (2 \:;1 \:;2) et \text{C} (-2 \:;0 \:;9) appartiennent à l'intersection de ces deux plans.

b. Donner une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans \mathcal{P} et \mathcal{P}'.

4. a. Calculer la distance entre le plan \mathcal{P} et le point \text{A}.

b. En déduire l'aire du triangle \text{ABC}.

110

[Calculer, Chercher.]

Intersection d'une sphère et d'une droite

Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ), on définit la sphère \mathcal{S} d'équation


et la droite \Delta de représentation paramétrique :

1. a. Montrer que trouver l'intersection de la sphère \mathcal{S} et de la droite \Delta revient à résoudre l'équation 14 t^{2}+72 t+15=0.

b. En déduire les points d'intersection de \mathcal{S} et de \Delta.

2. On note \Delta' la droite passant par le point \text{K} (6 \: ;6 \: ;4) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right). Quelle est l'intersection de cette droite avec la sphère \mathcal{S} ?

113

Une fonction f est une fonction scalaire de Leibniz lorsqu'il existe un entier n \geqslant 1, n points \text{A}_{1} ; \ldots ; \text{A}_{n} et n nombres réels a_{1} ; \ldots ; a_{n} tels que, pour tout point \text{M} de l'espace, f(\mathrm{M})=a_{1} \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}}^{2}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{A}_{n} \mathrm{M}}^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} \overrightarrow{\mathrm{A}_{i} \mathrm{M}}^{2}.

1. Soient \text{M} et \text{N} deux points de l'espace.
En utilisant la relation de Chasles, montrer que f(\text{M})=f(\text{N})+\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \overrightarrow{\mathrm{MN}}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} \overrightarrow{\mathrm{NA}_{i}}.

2. On suppose dans la suite que \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} \neq 0.
a. On admet qu'il existe un point \text{G} de l'espace tel que a_{1} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{1}}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{n}}=\overrightarrow{0}. Ce point est appelé barycentre du système \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; a_{1}\right) ; \ldots ;\left(\mathrm{A}_{n} ; a_{n}\right)\right\}. Démontrer que ce point est unique.

b. Exprimer, pour tout point \text{M} de l'espace, f(\text{M}) en fonction de f(\text{G}).

c. Soit k un nombre réel. Montrer que f(\text{M}) = k si, et seulement si, \mathrm{MG}^{2}=\frac{k-f(\mathrm{G})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i}}.

On notera dans la suite ce nombre \ell.

d. En déduire l'ensemble des points \text{M} vérifant f(\text{M}) = k selon les valeurs de \ell, (on pourra distinguer les cas , \ell \lt 0 , \ell = 0 et \ell >0 ).

e. Application : On munit l'espace d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}) et on considère les points \mathrm{A}_{1}(2 \: ; 3 \: ; 1), \mathrm{A}_{2}(4 \: ;-2 \: ;-4) et \mathrm{A}_{3}(1 \: ; 5 \: ; 2).
Déterminer l'ensemble des points \text{M} vérifant \mathrm{A}_{1} \mathrm{M}^{2}-\mathrm{A}_{2} \mathrm{M}^{2}+\mathrm{A}_{3} \mathrm{M}^{2}=-21.

Méthode

❯ Votre exposé est le résultat de vos recherches sur un sujet choisi. C'est la face visible de tout un travail mené pendant plusieurs semaines à partir de sources diverses

❯ Listez les mots-clés importants pour votre sujet. Cette liste pourra être complétée tout au long des recherches.

❯ Faites l'inventaire des sources d'information disponibles sur le sujet. Vous pouvez mener des recherches :

• dans vos manuels scolaires ;
• sur des sites scientifques ;
• sur des sites académiques ;
• dans la presse et dans les magazines scientifques ;
• au CDI.

❯ Pensez à consulter plusieurs sources, pour varier les points de vue.

❯ Prenez garde à ne pas trop vous éloigner du sujet, écartez les informations superflues pour ne garder que les plus pertinentes.

❯ Regroupez les informations collectées, en prenant soin de bien noter les sources au fur et à mesure.

Exemples de ressources sur ce sujet

❯ Des ressources à aller voir dans ce manuel :

• Activité C p. 89
• Exercices
  110
  ,
  111
  et
  112
  p. 112.

❯ Des exemples de ressources à aller consulter sur internet :

• une animation GeoGebra.
• une vidéo sur ce sujet.
• une activité sur le globe terrestre, les longitudes et les latitudes.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14