Synthèse

102

[Calculer, Communiquer.]
Rappel : le volume d’une pyramide est donné par $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text {base }} \times \text { hauteur}$.
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on considère les points $\mathrm{A}(2 \: ; 4 \: ; 1)$, $\mathrm{B}(0 \: ; 6 \: ; 0)$, $\mathrm{C}(4 \: ; 6 \: ; 1)$, $\mathrm{D}(2 \: ; 8 \: ; 0)$ et $\mathrm{S}(-1 \: ; 9 \: ; 12{,}5)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{DC}}$.
Justifer que les quatre points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.


2. a. Montrer que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. En déduire que $\text{S}$ n’appartient pas au plan $(\text{ABC})$.


3. Calculer la distance de $\text{S}$ au plan $(\text{ABC})$.


4. En déduire le volume de la pyramide.

103

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on considère les points $\mathrm{A}(1 \: ;-1 \: ; 0)$ et $\mathrm{B}(3 \: ;-1 \: ; 1)$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=t+4 \\ y=3 t-1 \\ z=-2 t+2 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$.

1. a. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $\Delta$.


b. Montrer que les droites $\Delta$ et $(\text{AB})$ sont orthogonales et non coplanaires.


2. a. Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ orthogonal à $\Delta$ et passant par $\text{A}$.


b. Justifer que $(\text{AB}) \subset \mathcal{P}$.


3. a. Déterminer les coordonnées du point $\text{H}$, intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{K}$, projeté orthogonal du point $\text{H}$ sur la droite $(\text{AB})$.


4. Calculer la longueur $\text{HK}$.

104

[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube $\text{FIXABLES}$ d’arête $\text{1 cm}$.

1. Justifer que $(\text{F} \: ; \overrightarrow{\text{FI}} \: , \overrightarrow{\mathrm{FA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{FB}})$ est un repère orthonormé de l’espace.


2. Montrer que la droite $(\text{SI})$ est orthogonale au plan $(\text{BAE})$.


3. En déduire une équation du plan $(\text{BAE})$.


4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{SI})$.


5. Déterminer les coordonnées de $\text{J}$, projeté orthogonal de $\text{I}$ sur $(\text{BAE})$.


6. Justifer que $\text{J}$ est le centre de gravité de $\text{BAE}$.

105

[Calculer, Communiquer.]
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $\mathrm{A}(-4 \: ; 0 \: ; 1)$, $\mathrm{B}(3 \: ; 3 \: ;-1)$, $\mathrm{C}(1 \: ; 5 \: ; 1)$ et $\mathrm{D}(0 \: ; 2 \: ; 6)$.

1. Montrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ ne sont pas alignés.


2. Démontrer que le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{C}$ puis calculer son aire.


3. Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ b \\ c \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ pour lesquelles $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. En déduire une équation cartésienne du plan $(\text{ABC})$.


c. Le point $\text{D}$ appartient-il au plan $(\text{ABC})$ ?


4. Soit $d$ la droite orthogonale à $(\text{ABC})$ passant par $\text{D}$.
a. Donner une représentation paramétrique de $d$.


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $\text{H}$ de la droite $d$ avec le plan $(\text{ABC})$.


5. a. Calculer la valeur exacte de la distance $\text{DH}$.


b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre $\text{ABCD}$.


6. Calculer une mesure de l’angle $\widehat{\text{ADB}}$ arrondie au degré près.

106

[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l’intersection de deux plans (lorsqu’elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.

Partie A
On donne deux plans $\mathcal{P}: 2 x-3 y-2 z+1=0$ et $\mathcal{P}^{\prime}: x-2 y+z-6=0$.

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.


2. a. Soit $\text{M}(x \: ; y \: ; z)$ un point situé à l’intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d’équations $\left\{\begin{array}{r} 2 x-3 y-2 z+1=0 \\ x-2 y+z-6=0 \end{array}\right.$.


b. On pose l’une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre $y=t$. Remplacer $y$ par $t$ dans le système et montrer que, par substitution, on obtient $\left\{\begin{aligned} x+z &=2 t+6 \\ z &=\dfrac{1}{4} t+\dfrac{13}{4} \\ y &=t \end{aligned}\right.$.


c. En déduire qu’une représentation paramétrique de la droite d’intersection est $\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{7}{4} t+\dfrac{11}{4} \\ y=t \\ z=\dfrac{1}{4} t+\dfrac{13}{4} \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$.


Partie B
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.

1. $\mathcal{P}: y-2 z+3=0$ et $\mathcal{P}': 2 x+y-4 z+3=0$.


2. $\mathcal{P}: x-y+z-3=0$ et $\mathcal{P}': x-y-6z+4=0$.


3. $\mathcal{P}: -6x+7y+z+12=0$ et $\mathcal{P}': 16x+10y-17z+11=0$.


Partie C
On donne ici deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} a^{\prime} \\ b^{\prime} \\ c^{\prime} \end{array}\right)$ non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$ orthogonal à la fois à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

1. Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifent le système suivant : $\left\{\begin{aligned} a x+b y+c z &=0 \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime} z &=0 \end{aligned}\right.$.


2. On donne maintenant $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$.
a. Vérifer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.


b. Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$ un vecteur orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Déterminer un système de deux équations vérifées par $x$, $y$ et $z$.


c. Résoudre ce système en s’inspirant de la méthode étudiée en partie A.


d. Déterminer alors l’ensemble des vecteurs normaux à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

107

GEOGEBRA

[Représenter, Communiquer.]
Partie A : Construction sur Geogebra

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

1. Créer les points $\text{A} (2 \: ; 0 \: ; 0)$ et $\text{B} (0 \: ; 2 \: ; 0)$.

2. Construire le cube $\text{ABCDEFGH}$ en utilisant l’outil Cube et en cliquant dans l’ordre sur les points $\text{A}$ puis $\text{B}$.

3. Placer les points $\text{I} (1 \: ; 1 \: ; 0)$, $\text{J} (1 \: ; -1 \: ; 0)$ et $\text{K} (0 \: ; -2 \: ; \sqrt{2})$. À quoi ces points correspondent-ils ?


4. Construire le plan $(\text{IJK})$ et faire apparaître la section du cube par le plan $(\text{IJK})$.

3. Quelle semble être la nature de cette section ?


Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan $(\text{IJK})$ admet pour équation $2 x+\sqrt{2} z-2=0$.


2. a. Déterminer les coordonnées des points $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$, intersections du plan $(\text{IJK})$ et des droites respectives $(\text{GH})$, $(\text{GF})$ et $(\text{BF})$ .


b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l’hexagone $\text{IJKLMN}$ sont égaux.


3. Montrer que les longueurs des diagonales $\text{LI}$, $\text{MJ}$ et $\text{KN}$ sont égales.

108

[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$, on considère les points $\text{A} (1 \: ; -1 \: ; 0 )$, $\text{B} (-2 \: ; 0 \: ; 0 )$, $\text{C} (1 \: ; 2 \: ; -1 )$ et $\text{E} (3 \: ; -2 \: ; 2 )$.

1. On construit le parallélépipède $\text{ABCDEFGH}$. Déterminer les coordonnées des sommets $\text{D}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$.



2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$ ainsi que le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$.


3. En déduire une mesure en degré de l’angle $(\overrightarrow{\mathrm{AE}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})$ arrondie au degré près.


4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{BC})$.


b. En déduire la distance entre le point $\text{A}$ et la droite $(\text{BC})$ puis calculer l’aire du parallélogramme $\text{ABCD}$.


5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(\text{ABC})$.


b. Quelle est la distance entre $\text{E}$ et le plan $(\text{ABC})$ ?


c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?

109

[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$, on considère le point $\text{A} (3 \:;5 \:;4)$, le vecteur $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $\mathcal{P}: x+3 y+z-7=0$.

1. Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}'$ passant par $\text{A}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{v}$.


2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont-ils orthogonaux ?


3. a. Montrer que les points $\text{B} (2 \:;1 \:;2)$ et $\text{C} (-2 \:;0 \:;9)$ appartiennent à l’intersection de ces deux plans.


b. Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.


4. a. Calculer la distance entre le plan $\mathcal{P}$ et le point $\text{A}$.


b. En déduire l’aire du triangle $\text{ABC}$.

110

[Calculer, Chercher.]
Intersection d’une sphère et d’une droite
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$, on définit la sphère $\mathcal{S}$ d’équation

$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=81$
et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l} x=2 t+5 \\ y=-t-2\\ z=3 t+5 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$.
1. a. Montrer que trouver l’intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\Delta$ revient à résoudre l’équation $14 t^{2}+72 t+15=0$.


b. En déduire les points d’intersection de $\mathcal{S}$ et de $\Delta$.


2. On note $\Delta'$ la droite passant par le point $\text{K} (6 \: ;6 \: ;4)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$. Quelle est l’intersection de cette droite avec la sphère $\mathcal{S}$ ?

111

Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$, on considère la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(2 \: ; 1 \: ; 3)$ et de rayon $5$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=3 t+2 \\ y=2 t+3\\ z=2 t+1 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.


2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de $\mathcal{S}$ et de $\Delta$ revient à résoudre l’équation $t^2 - 1 = 0$.


3. Montrer alors que les points d’intersection de la sphère et de la droite sont le point $\text{M}_1 (-1 \: ; 1 \: ; -1)$ et le point $\text{M}_2$ dont on déterminera les coordonnées.


4. Soit $\mathcal{P}$ le plan d’équation $3 x+4 z+7=0$.
a. Déterminer un vecteur normal à $\mathcal{P}$ puis les coordonnées du projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $\mathcal{P}$.


b. Justifer que tous les points du plan $\mathcal{P}$ sont à une distance de $\Omega$ supérieure au rayon de la sphère $\mathcal{S}$, sauf le projeté orthogonal.


c. Quelle est alors l’intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $\mathcal{P}$ ?


On dit que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère.

5. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}_{1}}$.


6. Soient $\text{M}$ un point de la sphère $\mathcal{S}$ et $\mathcal{P}'$ le plan passant par $\text{M}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}$.

a. On considère un point $\text{N}$ du plan $\mathcal{P}'$. Comparer les distances $\Omega \text{N}$ et $\Omega \text{M}$.


b. Que peut-on dire de l’intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}'$ ?


c. Si un plan est tangent à une sphère de centre $\Omega$ en un point $\text{M}$, que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{\Omega\text{M}}$ ?

112

Sphère circonscrite à un tétraèdre
On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Soient $\mathrm{A}(-1 \: ;-1 \: ; 1)$, $\mathrm{B}(3 \: ; 3 \: ; 1)$, $\mathrm{C}(3 \: ;-1 \: ; 3)$ et $\mathrm{D}(1 \: ;1 \: ; 5)$ quatre points non coplanaires de l’espace.

1. a. Soit $\mathcal{P}_1$ le plan médiateur du segment $[\text{AB}]$. Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}_1$.


b. Montrer que, pour tout point $\text{M}$ de $\mathcal{P}_1$, on a $\text{AM} = \text{BM}$.


2. Soient respectivement $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ les plans médiateurs des segments $[\text{BC}]$ et $[\text{CD}]$.
Déterminer une équation cartésienne de ces plans.


3. Justifer que les trois plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont deux à deux sécants.


4. On note respectivement $d_1$ et $d_2$ les droites d’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ et des plans $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$.
a. Déterminer une représentation paramétrique des droites $d_1$ et $d_2$.


b. Justifer que, pour tout point $\text{M}$ de $d_1$, on a $\text{AM} = \text{BM} = \text{CM}$.


c. Déterminer une égalité similaire vérifée par les points $\text{M}$ de la droite $d_2$.


5. Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $\text{E}$ dont on déterminera les coordonnées.


6. Justifer que $\text{E}$ est équidistant de $\text{A}$, de $\text{B}$, de $\text{C}$ et de $\text{D}$.


7. Calculer $\text{EA}$. Que peut-on dire de la sphère de centre $\text{E}$ et de rayon $\text{EA}$ ?

113

Une fonction $f$ est une fonction scalaire de Leibniz lorsqu’il existe un entier $n \geqslant 1$, $n$ points $\text{A}_{1} ; \ldots ; \text{A}_{n}$ et $n$ nombres réels $a_{1} ; \ldots ; a_{n}$ tels que, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $f(\mathrm{M})=a_{1} \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}}^{2}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{A}_{n} \mathrm{M}}^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} \overrightarrow{\mathrm{A}_{i} \mathrm{M}}^{2}$.

1. Soient $\text{M}$ et $\text{N}$ deux points de l’espace.
En utilisant la relation de Chasles, montrer que $f(\text{M})=f(\text{N})+\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \overrightarrow{\mathrm{MN}}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} \overrightarrow{\mathrm{NA}_{i}}$.


2. On suppose dans la suite que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} \neq 0$.
a. On admet qu’il existe un point $\text{G}$ de l’espace tel que $a_{1} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{1}}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{n}}=\overrightarrow{0}$. Ce point est appelé barycentre du système $\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; a_{1}\right) ; \ldots ;\left(\mathrm{A}_{n} ; a_{n}\right)\right\}$. Démontrer que ce point est unique.


b. Exprimer, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $f(\text{M})$ en fonction de $f(\text{G})$.


c. Soit $k$ un nombre réel. Montrer que $f(\text{M}) = k$ si, et seulement si, $\mathrm{MG}^{2}=\dfrac{k-f(\mathrm{G})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i}}$.


On notera dans la suite ce nombre $\ell$.

d. En déduire l’ensemble des points $\text{M}$ vérifant $f(\text{M}) = k$ selon les valeurs de $\ell$, (on pourra distinguer les cas , $\ell \lt 0$, $\ell = 0$ et $\ell >0$).


e. Application : On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$ et on considère les points $\mathrm{A}_{1}(2 \: ; 3 \: ; 1)$, $\mathrm{A}_{2}(4 \: ;-2 \: ;-4)$ et $\mathrm{A}_{3}(1 \: ; 5 \: ; 2)$.
Déterminer l’ensemble des points $\text{M}$ vérifant $\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}^{2}-\mathrm{A}_{2} \mathrm{M}^{2}+\mathrm{A}_{3} \mathrm{M}^{2}=-21$.