Exercices de synthèse

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Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega (2;1;3)$ et de rayon $5$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=3t+2\\ y=2t+3\\ z=2t+1\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. 1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.

2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de $\mathcal{S}$ et de $\Delta$ revient à résoudre l'équation $t^2-1=0$.

3. Montrer alors que les points d'intersection de la sphère et de la droite sont le point ${\text{M}}_1(-1;1;-1)$ et le point ${\text{M}}_2$ dont on déterminera les coordonnées.

4. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x+4z+7=0$.
a. Déterminer un vecteur normal à $\mathcal{P}$ puis les coordonnées du projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $\mathcal{P}$.

b. Justifer que tous les points du plan $\mathcal{P}$ sont à une distance de $\Omega$ supérieure au rayon de la sphère $\mathcal{S}$, sauf le projeté orthogonal.

c. Quelle est alors l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $\mathcal{P}$ ?

On dit que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère.
5. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega {\mathrm{M}}_1}$.

6. Soient $\text{M}$ un point de la sphère $\mathcal{S}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ le plan passant par $\text{M}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}$.
a. On considère un point $\text{N}$ du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$. Comparer les distances $\Omega \text{N}$ et $\Omega \text{M}$.

b. Que peut-on dire de l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ ?

c. Si un plan est tangent à une sphère de centre $\Omega$ en un point $\text{M}$, que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{\Omega \text{M}}$ ?

112

Sphère circonscrite à un tétraèdre

On munit l'espace d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Soient $\mathrm{A}(-1;-1;1)$, $\mathrm{B}(3;3;1)$, $\mathrm{C}(3;-1;3)$ et $\mathrm{D}(1;1;5)$ quatre points non coplanaires de l'espace.

1. a. Soit ${\mathcal{P}}_1$ le plan médiateur du segment $[\text{AB}]$. Déterminer une équation cartésienne de ${\mathcal{P}}_1$.

b. Montrer que, pour tout point $\text{M}$ de ${\mathcal{P}}_1$, on a $\text{AM}=\text{BM}$.

2. Soient respectivement ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ les plans médiateurs des segments $[\text{BC}]$ et $[\text{CD}]$.
Déterminer une équation cartésienne de ces plans.

3. Justifer que les trois plans ${\mathcal{P}}_1$, ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ sont deux à deux sécants.

4. On note respectivement $d_1$ et $d_2$ les droites d'intersection des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ et des plans ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$.
a. Déterminer une représentation paramétrique des droites $d_1$ et $d_2$.

b. Justifer que, pour tout point $\text{M}$ de $d_1$, on a $\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}$.

c. Déterminer une égalité similaire vérifée par les points $\text{M}$ de la droite $d_2$.

5. Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $\text{E}$ dont on déterminera les coordonnées.

6. Justifer que $\text{E}$ est équidistant de $\text{A}$, de $\text{B}$, de $\text{C}$ et de $\text{D}$.

7. Calculer $\text{EA}$. Que peut-on dire de la sphère de centre $\text{E}$ et de rayon $\text{EA}$ ?