Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Synthèse

Exercices de synthèse

102
[Calculer, Communiquer.]

Rappel

Le volume d'une pyramide est donné par .
Dans un repère orthonormé , on considère les points , , , et .

Synthèse
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs et .
Justifer que les quatre points , , et sont coplanaires et déterminer la nature du quadrilatère.

2. a. Montrer que est un vecteur normal au plan .

b. En déduire que n'appartient pas au plan .

3. Calculer la distance de au plan .

4. En déduire le volume de la pyramide.
103
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé , on considère les points et et la droite de représentation paramétrique , .

1. a. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de .

b. Montrer que les droites et sont orthogonales et non coplanaires.

2. a. Déterminer une équation du plan orthogonal à et passant par .

b. Justifer que .

3. a. Déterminer les coordonnées du point , intersection de et de .

b. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal du point sur la droite .

4. Calculer la longueur .

104
[Raisonner, Communiquer.]
On se place dans le cube d'arête .

Synthèse
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Justifer que est un repère orthonormé de l'espace.

2. Montrer que la droite est orthogonale au plan .

3. En déduire une équation du plan .

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .

5. Déterminer les coordonnées de , projeté orthogonal de sur .

6. Justifer que est le centre de gravité de .
105
[Calculer, Communiquer.]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants : , , et .

1. Montrer que les points , et ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle est rectangle en puis calculer son aire.

3. Soit un vecteur de l'espace, où et désignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles est un vecteur normal au plan .

b. En déduire une équation cartésienne du plan .

c. Le point appartient-il au plan ?

4. Soit la droite orthogonale à passant par .
a. Donner une représentation paramétrique de .

b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite avec le plan .

5. a. Calculer la valeur exacte de la distance .

b. En déduire la valeur exacte du volume du tétraèdre .

6. Calculer une mesure de l'angle arrondie au degré près.
106
[Calculer, Communiquer.]
Dans cet exercice, on cherche à déterminer une représentation paramétrique de l'intersection de deux plans (lorsqu'elle existe). Pour cela, on se place dans un repère orthonormé .

Partie A

On donne deux plans et .

1. Prouver que ces plans ne sont pas parallèles.

2. a. Soit un point situé à l'intersection de et .
Montrer que les coordonnées de M vérifient le système d'équations .

b. On pose l'une des inconnues comme paramètre. Ici, on peut prendre . Remplacer par dans le système et montrer que, par substitution, on obtient .

c. En déduire qu'une représentation paramétrique de la droite d'intersection est .


Partie B

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'intersection des plans et .

1. et .

2. et .

3. et .


Partie C

On donne ici deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On cherche à déterminer un vecteur orthogonal à la fois à et .

1. Justifier que , et vérifent le système suivant : .

2. On donne maintenant et .
a. Vérifer que et ne sont pas colinéaires.

b. Soit un vecteur orthogonal à et . Déterminer un système de deux équations vérifées par , et .

c. Résoudre ce système en s'inspirant de la méthode étudiée en partie A.

d. Déterminer alors l'ensemble des vecteurs normaux à et .
107
GeoGebra
[Représenter, Communiquer.]

Partie A : Construction sur Geogebra


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1. Créer les points et .

2. Construire le cube en utilisant l'outil Cube et en cliquant dans l'ordre sur les points puis .

3. Placer les points , et . À quoi ces points correspondent-ils ?

4. Construire le plan et faire apparaître la section du cube par le plan .

5. Quelle semble être la nature de cette section ?


Partie B : Démonstration

1. Montrer que le plan admet pour équation .

2. a. Déterminer les coordonnées des points , et , intersections du plan et des droites respectives , et .

b. À quoi correspondent ces trois points ? En déduire que les côtés de l'hexagone sont égaux.

3. Montrer que les longueurs des diagonales , et sont égales.
108
Devoir maison
[Calculer, Chercher.]
Dans un repère orthonormé , on considère les points , , et .

1. On construit le parallélépipède . Déterminer les coordonnées des sommets , , et .
Toutes les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes.
Aide

2. Calculer les coordonnées des vecteurs et ainsi que le produit scalaire .

3. En déduire une mesure en degré de l'angle arrondie au degré près.

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .

b. En déduire la distance entre le point et la droite puis calculer l'aire du parallélogramme .

5. a. Déterminer une équation cartésienne du plan .

b. Quelle est la distance entre et le plan ?

c. Quelle est alors le volume du parallélépipède ?
109
[Calculer, Communiquer.]
Dans un repère orthonormé , on considère le point , le vecteur et le plan d'équation .

1. Déterminer une équation du plan passant par et de vecteur normal .

2. Deux plans sont dits orthogonaux lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les plans et sont-ils orthogonaux ?

3. a. Montrer que les points et appartiennent à l'intersection de ces deux plans.

b. Donner une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans et .

4. a. Calculer la distance entre le plan et le point .

b. En déduire l'aire du triangle .
110
[Calculer, Chercher.]

Intersection d'une sphère et d'une droite



Dans un repère orthonormé , on définit la sphère d'équation


et la droite de représentation paramétrique :

, .

1. a. Montrer que trouver l'intersection de la sphère et de la droite revient à résoudre l'équation .

b. En déduire les points d'intersection de et de .

2. On note la droite passant par le point et de vecteur directeur . Quelle est l'intersection de cette droite avec la sphère ?
111
Approfondissement

Dans un repère orthonormé , on considère la sphère de centre et de rayon et la droite de représentation paramétrique , .

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère .

2. Démontrer que déterminer les éventuelles intersections de et de revient à résoudre l'équation .

3. Montrer alors que les points d'intersection de la sphère et de la droite sont le point et le point dont on déterminera les coordonnées.

4. Soit le plan d'équation .
a. Déterminer un vecteur normal à puis les coordonnées du projeté orthogonal de sur le plan .

b. Justifer que tous les points du plan sont à une distance de supérieure au rayon de la sphère , sauf le projeté orthogonal.

c. Quelle est alors l'intersection entre la sphère et le plan ?


On dit que le plan est tangent à la sphère.
5. Déterminer les coordonnées du vecteur .

6. Soient un point de la sphère et le plan passant par et de vecteur normal .
a. On considère un point du plan . Comparer les distances et .

b. Que peut-on dire de l'intersection de la sphère et du plan ?

c. Si un plan est tangent à une sphère de centre en un point , que peut-on dire du vecteur  ?
112
Approfondissement

Sphère circonscrite à un tétraèdre


On munit l'espace d'un repère orthonormé