Déterminer une représentation paramétrique
d'une droite orthogonale à un plan.
On détermine un vecteur normal au plan : ce sera un
vecteur directeur de la droite. Avec un point de cette
droite, on détermine la représentation paramétrique
On résout un système comportant les trois équations
d'une représentation paramétrique de la droite ainsi
qu'une équation du plan. Quand le point est donné,
il sufft de prouver qu'il appartient à la fois à la
droite et au plan.
[D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019]
Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre Ω et d'arête de longueur 6.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Les points P, Q et R sont définis par AP=31AB, AQ=31AE et HR=31HE.
Dans tout ce qui suit, on utilise le repère orthonormé (A;i,j,k) avec i=61AB, j=61AD et k=61AE.
Dans ce repère, on a par exemple B(6;0;0), F(6;0;6) et R(0;4;6).
1. a. Donner, sans justifer, les coordonnées des points P, Q et Ω.
On utilise les définitions vectorielles de P, Q et R, et les vecteurs i, j et k.
Aide
b. Déterminer les nombres réels b et c tels que n⎝⎛1bc⎠⎞ soit un vecteur normal au plan (PQR).
Penser au produit scalaire.
Aide
c. En déduire qu'une équation du plan (PQR) est x−y+z−2=0.
2. a. On note Δ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point Ω, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite Δ.
Un vecteur normal du plan (PQR) sera un vecteur directeur de la droite orthogonale à ce plan.
Aide
b. En déduire que la droite Δ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées (38;310;38).
On résout le système formé par les trois équations
paramétriques de Δ et l'équation du plan donnée.
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c. Calculer la distance ΩI.
Ne pas oublier de préciser que le repère est orthonormé.
Aide
3. On considère les points J(6;4;0) et K(6;6;2). a. Justifer que le point J appartient au plan (PQR).
Utiliser une équation du plan.
Aide
b. Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Aide
c. Sur la figure, tracer la section du cube par le plan (PQR). On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
[D'après bac S, Antilles - Guyane, septembre. 2019.]
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i,j,k). On considère les points A(10;0;1), B(1;7;1) et C(0;0;5).
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1. a. Démontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.
b. Déterminer la mesure, en degré, de l'angle AOB arrondie au dixième.
2. Vérifer que 7x+9y−70z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA).
4. Soit D le milieu du segment [OC].
Déterminer une équation du plan P parallèle au plan (OAB) passant par D.
5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F. Déterminer les coordonnées du point F. On admet que le point E a pour coordonnées a (21;27;3).
6. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
116
[D'après bac S, Métropole - La Réunion, juin 2019.]
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel
que AK=41AD. On note P le plan passant par I et parallèle au plan (FHK). On munit l'espace du repère orthonormé (A;AB,AD,AE).
1. a. Montrer que le vecteur n⎝⎛44−3⎠⎞ est un vecteur normal au plan (FHK).
b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (FHK) est 4x+4y−3z−1=0.
c. Déterminer une équation du plan P.
d. Calculer les coordonnées du point M′, point d'intersection du plan P et de la droite (AE).
2. On note Δ la droite passant par le point E et orthogonale au plan P. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.
b. Calculer les coordonnées du point L, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).
c. Tracer la droite Δ sur la figure.
d. Les droites Δ et (BF) sont-elles sécantes ?
Qu'en est-il des droites Δ et (CG) ? Justifer.
117
[D'après bac S, Pondichéry, mai 2018.]
Dans l'espace muni du repère orthonormé (O;i,j;k), d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2;1;4), (4;−1;0), (0;3;2) et (4;3;−2).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
2. Soit M un point de la droite (CD). a. Déterminer les coordonnées du point M telles que la distance BM soit minimale.
b. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3;3;−1). Vérifer que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm2.
3. a. Démontrer que le vecteur n⎝⎛212⎠⎞est un vecteur normal au plan (BCD).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la
droite Δ passant par A et orthogonale au plan (BCD).
d. Démontrer que le point I, intersection de la droite Δ et du plan (BCD) a pour coordonnées (32;31;38).
4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
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