Préparer le BAC

114

[D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019]
Dans l'espace, on considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$.


Les points $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ sont définis par $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{HR}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{HE}}$.
Dans tout ce qui suit, on utilise le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ avec $\overrightarrow{i}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{j}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ et $\overrightarrow{k}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$.
Dans ce repère, on a par exemple $\mathrm{B}(6;0;0)$, $\mathrm{F}(6;0;6)$ et $\mathrm{R}(0;4;6)$.

115

[D'après bac S, Antilles - Guyane, septembre. 2019.]
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère les points $\text{A}(10;0;1)$, $\text{B}(1;7;1)$ et $\text{C}(0;0;5)$.

116

[D'après bac S, Métropole - La Réunion, juin 2019.]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ d'arête de longueur $1$, dont la figure est donnée ci-dessous.


On note $\text{I}$ le milieu du segment $\text{[EF]}$, $\text{J}$ le milieu du segment $\text{[EH]}$ et $\text{K}$ le point du segment $\text{[AD]}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AK}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$. On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $\text{I}$ et parallèle au plan $(\text{FHK})$. On munit l'espace du repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}})$.

Dans l'espace muni du repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$, d'unité $1\text{ cm}$, on considère les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ de coordonnées respectives $(2;1;4)$, $(4;-1;0)$, $(0;3;2)$ et $(4;3;-2)$.