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Préparer le bac
P.114-115

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PRÉPARER LE
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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Montrer l’orthogonalité de deux vecteurs.

On calcule généralement le produit scalaire des deux vecteurs et on montre qu’il est nul. Cela revient à montrer que deux droites sont orthogonales
Voir ex.
115
question 1. a.

2
Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan.

Pour cela, il sufft de montrer qu’un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal du plan.
Voir ex.
116
question 1. a.

3
Déterminer une représentation paramétrique d’une droite orthogonale à un plan.

On détermine un vecteur normal au plan : ce sera un vecteur directeur de la droite. Avec un point de cette droite, on détermine la représentation paramétrique
Voir ex.
117
question 3. c.

4
Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan.

On résout un système comportant les trois équations d’une représentation paramétrique de la droite ainsi qu’une équation du plan. Quand le point est donné, il sufft de prouver qu’il appartient à la fois à la droite et au plan.
Voir ex.
117
question 3. d.
114
[D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019]
Dans l’espace, on considère un cube de centre et d’arête de longueur .
Préparer le bac

Les points , et sont définis par , et .
Dans tout ce qui suit, on utilise le repère orthonormé avec , et .
Dans ce repère, on a par exemple , et .

1. a. Donner, sans justifer, les coordonnées des points , et .

Aide
On utilise les définitions vectorielles de , et , et les vecteurs , et .


b. Déterminer les nombres réels et tels que soit un vecteur normal au plan .

Aide
Penser au produit scalaire.


c. En déduire qu’une équation du plan est .


2. a. On note la droite perpendiculaire au plan passant par le point , centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite .

Aide
Un vecteur normal du plan sera un vecteur directeur de la droite orthogonale à ce plan.


b. En déduire que la droite coupe le plan au point de coordonnées .

Aide
On résout le système formé par les trois équations paramétriques de et l’équation du plan donnée.


c. Calculer la distance .

Aide
Ne pas oublier de préciser que le repère est orthonormé.


3. On considère les points et .
a. Justifer que le point appartient au plan .

Aide
Utiliser une équation du plan.


b. Vérifier que les droites et sont parallèles.

Aide
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.


c. Sur la figure, tracer la section du cube par le plan . On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
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115
[D’après bac S, Antilles - Guyane, septembre. 2019.]
L’espace est rapporté à un repère orthonormé . On considère les points , et .

Préparer le bac
1. a. Démontrer que les droites et ne sont pas perpendiculaires.


b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle arrondie au dixième.


2. Vérifer que est une équation cartésienne du plan .


3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


4. Soit le milieu du segment .
Déterminer une équation du plan parallèle au plan passant par .


5. Le plan coupe la droite en et la droite en . Déterminer les coordonnées du point . On admet que le point a pour coordonnées a .


6. Démontrer que la droite est parallèle à la droite .
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116
[D’après bac S, Métropole - La Réunion, juin 2019.]
On considère un cube d'arête de longueur , dont la figure est donnée ci-dessous.

Préparer le bac

On note le milieu du segment , le milieu du segment et le point du segment tel que . On note le plan passant par et parallèle au plan . On munit l’espace du repère orthonormé .

1. a. Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan .


b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan est .


c. Déterminer une équation du plan .


d. Calculer les coordonnées du point , point d’intersection du plan et de la droite .


2. On note la droite passant par le point et orthogonale au plan .
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


b. Calculer les coordonnées du point , intersection de la droite et du plan .


c. Tracer la droite sur la figure.

d. Les droites et sont-elles sécantes ?
Qu’en est-il des droites et ? Justifer.
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117
[D’après bac S, Pondichéry, mai 2018.]
Dans l’espace muni du repère orthonormé , d’unité , on considère les points , , et de coordonnées respectives , , et .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


2. Soit un point de la droite .
a. Déterminer les coordonnées du point telles que la distance soit minimale.


b. On note le point de la droite ayant pour coordonnées . Vérifer que les droites et sont perpendiculaires.


c. Montrer que l’aire du triangle est égale à .


3. a. Démontrer que le vecteur est un vecteur normal au plan .


b. Déterminer une équation cartésienne du plan .


c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale au plan .


d. Démontrer que le point , intersection de la droite et du plan a pour coordonnées .


4. Calculer le volume du tétraèdre .
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