On considère le cube ABCDEFGH de côté 2 ci-contre.
On donne i=21AB, j=21AD et k=21AE.
On défnit les points L tel que FL=41FG et K tel que GK=41GH.
Le point M est un point du segment [CG].
On a CM=t×k avec t∈[0;2].
Questions préliminaires : 1.Justifer que (A;i,j,k) est un repère orthonormé de l’espace.
2. Dans le repère (A;i,j,k), donner les coordonnées de tous les points de la figure ci-contre.
3. Donner, dans ce repère, les coordonnées des vecteurs ML et MK.
4. Calculer ML, MK et ML⋅MK.
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Objectif
Trouver une position approchée du point M tel que la mesure de l’angle LMK soit 45∘ à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
1. Placer les deux points A et B en utilisant leurs coordonnées.
2. Avec l’outil Cube, faire apparaître le cube ABCDEFGH.
3. Dans la barre de saisie, créer les points L et K.
4. Placer un point M mobile sur le segment [CG].
5. Faire apparaître une mesure de l’angle LMK.
6. Déplacer le point M de façon à ce que l’angle LMK ait une mesure la plus proche possible de 45∘.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
Ouvrir une feuille de calcul. (Fichier téléchargeable ici).
1. Dans la colonne A, mettre les valeurs possibles pour t, avec un pas de 0,1. 2. Dans les colonnes B et C, calculer le carré des longueurs ML et MK. 3. Dans la colonne D calculer le produit scalaire
ML⋅MK.
4. En utilisant la fonction ACOS(), calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle. Attention : cette mesure est exprimée en radian, il faut la convertir en degré.
5. Trouver la valeur de t telle que l’angle LMK ait une mesure la plus proche possible de 45∘.
6. Recommencer avec un pas de 0,01.
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Pour aller plus loin
Déterminer une mesure de l’angle FMG lorsque M est le centre du cube ABCDEFGH.
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