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Intersection d’un plan et d’un cube
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Intersection d’un plan et d’un cube




Énoncé

On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} de côté 22 ci-contre.
On donne i→=12AB→\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, j→=12AD→\overrightarrow{j}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et k→=12AE→\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.
On défnit les points L\text{L} tel que FL→=14FG→\overrightarrow{\mathrm{FL}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{FG}} et K\text{K} tel que GK→=14GH→\overrightarrow{\mathrm{GK}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{GH}}.
Le point M\text{M} est un point du segment [CG][\text{CG}].
On a CM→=t×k→\overrightarrow{\mathrm{CM}}=t \times \overrightarrow{k} avec t∈[0 ;2]t \in[0 \,; 2].

Questions préliminaires :
1.Justifer que (A ;i→ ,j→ ,k→)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans le repère (A ;i→ ,j→ ,k→)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), donner les coordonnées de tous les points de la figure ci-contre.


3. Donner, dans ce repère, les coordonnées des vecteurs ML→\overrightarrow{\mathrm{ML}} et MK→ \overrightarrow{\mathrm{MK}}.


4. Calculer ML\text {ML}, MK\text {MK} et ML→⋅MK→\overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
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Intersection d’un plan et d’un cube

Objectif

Trouver une position approchée du point M\text{M} tel que la mesure de l’angle LMK^\widehat{\text{LMK}} soit 45∘45^\circ à l’aide d’une des deux méthodes.

Pour aller plus loin

Déterminer une mesure de l’angle FMG^\widehat{\text{FMG}} lorsque M\text{M} est le centre du cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Placer les deux points A\text{A} et B\text{B} en utilisant leurs coordonnées.

2. Avec l’outil Cube, faire apparaître le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}.

Intersection d’un plan et d’un cube

3. Dans la barre de saisie, créer les points L\text{L} et K\text{K}.

4. Placer un point M\text{M} mobile sur le segment [CG][\text{CG}].

5. Faire apparaître une mesure de l’angle LMK^\widehat{\text{LMK}}.

6. Déplacer le point M\text{M} de façon à ce que l’angle LMK^\widehat{\text{LMK}} ait une mesure la plus proche possible de 45∘45^\circ.

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

Ouvrir une feuille de calcul. (Fichier téléchargeable ici).

1. Dans la colonne A, mettre les valeurs possibles pour tt, avec un pas de 0,10{,}1.
2. Dans les colonnes B et C, calculer le carré des longueurs ML\text{ML} et MK\text{MK}.
3. Dans la colonne D calculer le produit scalaire ML→⋅MK→\overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.

Intersection d’un plan et d’un cube

4. En utilisant la fonction ACOS(), calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle.
Attention : cette mesure est exprimée en radian, il faut la convertir en degré.

Intersection d’un plan et d’un cube

5. Trouver la valeur de tt telle que l’angle LMK^\widehat{\text{LMK}} ait une mesure la plus proche possible de 45∘45^\circ.


6. Recommencer avec un pas de 0,010{,}01.
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