Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Trois amis, Alice, Boris et Chloé, réalisent la section d'un cube \text{ABCDEFGH} de côté 4 unités par un plan \text{(IJK)}, où \text{I}, \text{J} et \text{K} sont trois points non alignés appartenant à des faces du cube.
Ils s'intéressent à la nature exacte des sections qu'il est possible d'obtenir.
Ils construisent alors le cube ci-contre (à télécharger sur

LLS.fr/MTCube

) et se placent par la suite dans le repère orthonormé de l'espace (\text{A}\: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) où \vec{i}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \vec{j}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{k}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.

CUBE - Section de cube - travailler ensemble

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Partie 1

Alice réalise trois découpages différents où au moins deux des trois points \text{I}, \text{J} et \text{K} appartiennent à une même face. 1. Placer sur un premier cube les points \mathrm{I}(0 \:; 0 \:; 2) ; \mathrm{J}(2 \:; 0 \:; 4) et \mathrm{K}(0 \:; 1 \:; 4) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

2. Placer sur un deuxième cube les points \mathrm{I}(0 \:; 1 \:; 4) ; \mathrm{J}(3 \:; 0 \:; 4) et \mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 3) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

3. Placer sur un troisième cube les points \mathrm{I}(0 \:; 4 \:; 3) ; \mathrm{J}(4 \:; 2 \:; 2) et \mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 1) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

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Partie 2

Boris réalise trois découpages différents où au moins deux des trois points \text{I}, \text{J} et \text{K} appartiennent à une même face. 1. Placer sur un premier cube les points \mathrm{I}(0 \:; 1 \:; 4) ; \mathrm{J}(2 \:; 0 \:; 4) et \mathrm{K}(3 \:; 0 \:; 0) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

2. Placer sur un deuxième cube les points \mathrm{I}(3 \:; 0 \:; 0) ; \mathrm{J}(0 \:; 0 \:; 3) et \mathrm{K}(4 \:; 2 \:; 0) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

3. Placer sur un troisième cube les points \mathrm{I}(4 \:; 1 \:; 2) ; \mathrm{J}(4 \:; 2 \:; 4) et \mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 1) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.

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Partie 3

Chloé réalise un découpage où les points \text{I}, \text{J} et \text{K} sont sur des faces différentes. 1. Placer sur le cube les points \mathrm{I}(2 \:; 0 \:; 0) ; \mathrm{J}(4 \:; 4 \:; 1) et \mathrm{K}(0 \:; 3 \:; 4).

2. Pourquoi n'est-il pas évident de construire la section recherchée ? Que pourrait-on alors faire pour construire cette section ?

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(IJ)} ainsi qu'une équation cartésienne du plan \text{(ADH)}.

b. En déduire les coordonnées du point \text{L}, intersection de \text{(IJ)} avec \text{(ADH)}, puis le placer.

c. Représenter la trace de la section recherchée puis la caractériser.

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Mise en commun

On réalise la section d'un cube par un plan \text{(IJK)} tel que définis dans l'énoncé. 1. Pour quelle raison cette section ne peut-elle pas être une arête ? Un heptagone ? Un octogone ?

2. Quelles sont les différentes natures possibles pour la section recherchée ?

3. En distinguant deux cas de figure, comment peut-on faire, de manière générale, pour représenter la trace de la section recherchée ?

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