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Sections de cube
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TRAVAILLER ENSEMBLE


Sections de cube





Trois amis, Alice, Boris et Chloé, réalisent la section d’un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} de côté 4 unités par un plan (IJK)\text{(IJK)}, où I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} sont trois points non alignés appartenant à des faces du cube.

CUBE - Section de cube - travailler ensemble

Ils s’intéressent à la nature exacte des sections qu’il est possible d’obtenir.
Ils construisent alors le cube ci-contre (à télécharger sur LLS.fr/MTCube ) et se placent par la suite dans le repère orthonormé de l’espace (A;i,j,k)(\text{A}\: ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})i=14AB\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} ; j=14AD\overrightarrow{j}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et k=14AE\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

Alice réalise trois découpages différents où au moins deux des trois points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} appartiennent à une même face.

1. Placer sur un premier cube les points I(0;0;2)\mathrm{I}(0 \:; 0 \:; 2) ; J(2;0;4)\mathrm{J}(2 \:; 0 \:; 4) et K(0;1;4)\mathrm{K}(0 \:; 1 \:; 4) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble


2. Placer sur un deuxième cube les points I(0;1;4)\mathrm{I}(0 \:; 1 \:; 4) ; J(3;0;4)\mathrm{J}(3 \:; 0 \:; 4) et K(4;0;3)\mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 3) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble


3. Placer sur un troisième cube les points I(0;4;3)\mathrm{I}(0 \:; 4 \:; 3) ; J(4;2;2)\mathrm{J}(4 \:; 2 \:; 2) et K(4;0;1)\mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 1) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble
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PARTIE 2 ★★

Boris réalise trois découpages différents où au moins deux des trois points I,\text{I}, J\text{J} et K\text{K} appartiennent à une même face.

1. Placer sur un premier cube les points I(0;1;4)\mathrm{I}(0 \:; 1 \:; 4) ; J(2;0;4)\mathrm{J}(2 \:; 0 \:; 4) et K(3;0;0)\mathrm{K}(3 \:; 0 \:; 0) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble


2. Placer sur un deuxième cube les points I(3;0;0)\mathrm{I}(3 \:; 0 \:; 0) ; J(0;0;3)\mathrm{J}(0 \:; 0 \:; 3) et K(4;2;0)\mathrm{K}(4 \:; 2 \:; 0) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble


3. Placer sur un troisième cube les points I(4;1;2)\mathrm{I}(4 \:; 1 \:; 2) ; J(4;2;4)\mathrm{J}(4 \:; 2 \:; 4) et K(4;0;1)\mathrm{K}(4 \:; 0 \:; 1) puis représenter la trace de la section obtenue et la caractériser.
CUBE - Section de cube - travailler ensemble
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PARTIE 3 ★★

Chloé réalise un découpage où les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} sont sur des faces différentes.

1. Placer sur le cube les points I(2;0;0)\mathrm{I}(2 \:; 0 \:; 0) ; J(4;4;1)\mathrm{J}(4 \:; 4 \:; 1) et K(0;3;4)\mathrm{K}(0 \:; 3 \:; 4).
CUBE - Section de cube - travailler ensemble


2. Pourquoi n’est-il pas évident de construire la section recherchée ? Que pourrait-on alors faire pour construire cette section ?


3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ)\text{(IJ)} ainsi qu’une équation cartésienne du plan (ADH).\text{(ADH)}.


b. En déduire les coordonnées du point L\text{L}, intersection de (IJ)\text{(IJ)} avec (ADH)\text{(ADH)}, puis le placer.


c. Représenter la trace de la section recherchée puis la caractériser.
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Mise en commun

On réalise la section d’un cube par un plan (IJK)\text{(IJK)} tel que définis dans l’énoncé.

1. Pour quelle raison cette section ne peut-elle pas être une arête ? Un heptagone ? Un octogone ?


2. Quelles sont les différentes natures possibles pour la section recherchée ?


3. En distinguant deux cas de figure, comment peut-on faire, de manière générale, pour représenter la trace de la section recherchée ?
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