Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2

Géométrie analytique dans l'espace

A
Distance dans l'espace

Définition
Une base orthonormée de l'espace est la donnée de trois vecteurs linéairement indépendants , et tels que et .

Remarque

Un repère orthonormé est la donnée d'un point (l'origine) et d'une base orthonormée.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace , pour tout vecteur et pour tous points et , on a :
et .

Remarque

Les formules dans l'espace sont similaires à celles que l'on connaît dans le plan avec une coordonnée de plus.
Démonstration
Voir exercice p. 106.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace , pour tous vecteur et , on a : .
Démonstration
On a vu que .
Or, donc d'où .
Propriété
Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre et de rayon est .
Démonstration
Voir p. 89.
Exemple
La sphère de centre et de rayon admet pour équation cartésienne soit ou bien encore .
Application et méthode - 4
Énoncé
Donner une base orthonormée dans le pavé droit telle que , et .

Méthode

  • On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
  • On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme .
Solution
Comme est un pavé droit, on sait que les vecteurs , , et sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors , et  : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme . est donc une base orthonormée.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 102

B
Équation cartésienne d'un plan

Propriété
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On considère un vecteur et un point .
Le plan qui passe par le point et de vecteur normal admet pour équation cartésienne .

Remarque

En pratique, on détermine la valeur de en utilisant l'appartenance d'un point au plan .
Démonstration
Soit un point du plan . Par définition, est orthogonal à donc .
Ainsi . En développant, on obtient .
Exemples
1. Une équation du plan de vecteur normal et passant par est .

2. Le plan d'équation admet pour vecteur normal le vecteur .
Application et méthode - 5
Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé . On considère le point . Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d'un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si appartient à ce plan.

1.
2.

Méthode

  • On essaye de reconnaître la forme quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
  • On identifie alors les coordonnées d'un vecteur normal avec les coefficients de , et .
  • Pour vérifier si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifient l'équation donnée du plan.
Solution
La première équation n'est pas celle d'un plan à cause de la présence de .
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par .
On remplace donc les coordonnées de dans l'équation donnée et on obtient alors . Ainsi, les coordonnées de vérifient bien l'équation donnée du plan : est un point de ce plan.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 103

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