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2. Géométrie analytique dans l’espace

P.93-94

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COURS 1

2
Géométrie analytique dans l’espace

A
Distance dans l’espace

Définition

Une base orthonormée de l’espace est la donnée de trois vecteurs linéairement indépendants

i

j

k

tels que

∥ i ∥ = ∥ j ∥ = ∥ k ∥ = 1

i \cdot j = j \cdot k = i \cdot k = 0

Remarque

Un repère orthonormé est la donnée d’un point (l’origine) et d’une base orthonormée.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace

(O; i, j, k)

, pour tout vecteur

u ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞

et pour tous points

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

, on a :

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

AB = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

Remarque

Les formules dans l’espace sont similaires à celles que l’on connaît dans le plan avec une coordonnée de plus.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 106.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace

(O; i, j, k)

, pour tous vecteur

u ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ x^{'} y^{'} z^{'} ⎠ ⎞

, on a :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

DÉMONSTRATION

On a vu que

u \cdot v = \frac{1}{2} [∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2}]

.
Or,

∥ u - v ∥^{2} = (x - x^{'})^{2} + (y - y^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}

donc

u \cdot v = \frac{1}{2} [x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2} - (x^{2} - 2 x x^{'} + x^{' 2} + y^{2} - 2 y y^{'} + y^{' 2} + z^{2} - 2 z z^{'} + z^{' 2})]

d'où

u \cdot v = \frac{1}{2} (2 x x^{'} + 2 y y^{'} + 2 z z^{'}) = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Application et méthode - 4

Énoncé

Donner une base orthonormée dans le pavé droit

ABCDEFGH

telle que

AB = 3

AD = 2

AE = 4

Solution

Comme

ABCDEFGH

est un pavé droit, on sait que les vecteurs

AB

AD

AE

sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors

i = \frac{1}{3} A B

j = \frac{1}{2} A D

k = \frac{1}{4} A E

: les trois vecteurs ainsi créés sont de norme

1

(i, j, k)

est donc une base orthonormée.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 102

Méthode

On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme $1$ .

Propriété

Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre

Ω (a; b; c)

et de rayon

R

est

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

DÉMONSTRATION

Voir activité

p. 89.

Exemple

La sphère de centre

Ω (1; - 3; 4)

et de rayon

2

admet pour équation cartésienne

(x - 1)^{2} + (y - (- 3))^{2} + (z - 4)^{2} = 2^{2}

soit

x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 6 y + 9 + z^{2} - 8 z + 16 = 4

ou bien encore

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 6 y - 8 z + 22 = 0

B
Équation cartésienne d’un plan

Propriété

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O; i, j, k)

.
On considère un vecteur

n ⎝ ⎛ a b c ⎠ ⎞

et un point

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

.
Le plan

P

qui passe par le point

A

et de vecteur normal

n

admet pour équation cartésienne

a x + b y + c z + d = 0

où

d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})

Remarque

En pratique, on détermine la valeur de

d

en utilisant l’appartenance d’un point au plan

P

DÉMONSTRATION

Soit

M (x; y; z)

un point du plan

P

. Par définition,

AM

est orthogonal à

n

donc

A M \cdot n = 0

.
Ainsi

(x - x_{A}) a + (y - y_{A}) b + (z - z_{A}) c = 0

. En développant, on obtient

a x + b y + c z - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A}) = 0

Exemples

1. Une équation du plan de vecteur normal

n ⎝ ⎛ 212 ⎠ ⎞

et passant par

A (1; 0; 1)

est

2 x + y + 2 z - 4 = 0

.
2. Le plan d’équation

- 3 x + 2 y - z + 5 = 0

admet pour vecteur normal le vecteur

n ⎝ ⎛ - 3 2 - 1 ⎠ ⎞

Application et méthode - 5

Énoncé

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O; i, j, k)

. On considère le point

I (1; 0; 0)

.
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d’un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si

I

appartient à ce plan.

1.

2 x^{2} + 3 y - 5 z - 2 = 0

2 x + 3 y - 5 z - 2 = 0

Solution

La première équation n’est pas celle d’un plan à cause de la présence de

x^{2}

. La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par

n ⎝ ⎛ 23 - 5 ⎠ ⎞

.
On remplace donc les coordonnées de

I

dans l’équation donnée et on obtient alors

2 \times 1 + 3 \times 0 - 5 \times 0 - 2 = 2 - 2 = 0

. Ainsi, les coordonnées de

I

vérifent bien l’équation donnée du plan :

I

est un point de ce plan.

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 103

Méthode

On essaye de reconnaître la forme $a x + b y + c z + d = 0$ quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
On identife alors les coordonnées d’un vecteur normal avec les coeffcients de $x$ , $y$ et $z$ .
Pour vérifer si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifent l’équation donnée du plan.

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2Géométrie analytique dans l’espace

A Distance dans l’espace

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 4

Énoncé

Solution

Méthode

DÉMONSTRATION

BÉquation cartésienne d’un plan

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 5

Énoncé

Solution

Méthode

2
Géométrie analytique dans l’espace

A
Distance dans l’espace

B
Équation cartésienne d’un plan