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2. Géométrie analytique dans l’espace
P.93-94

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COURS 1


2
Géométrie analytique dans l’espace




A
Distance dans l’espace


Définition

Une base orthonormée de l’espace est la donnée de trois vecteurs linéairement indépendants i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k} tels que i=j=k=1\|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=\|\overrightarrow{k}\|=1 et ij=jk=ik=0\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k}=0.

Remarque

Un repère orthonormé est la donnée d’un point (l’origine) et d’une base orthonormée.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tout vecteur u(xyz)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) et pour tous points A(xA;yA;zA)\text{A} \left(x_{A} \: ; y_{A} \: ; z_{A}\right) et B(xB;yB;zB)\text{B} \left(x_{B} \: ; y_{B} \: ; z_{B}\right), on a :
u=x2+y2+z2\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} et AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2\text{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}.

Remarque

Les formules dans l’espace sont similaires à celles que l’on connaît dans le plan avec une coordonnée de plus.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 106.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tous vecteur u(xyz)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) et v(xyz)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right), on a : uv=xx+yy+zz\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.

DÉMONSTRATION

On a vu que uv=12[u2+v2uv2]\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\right].
Or, uv2=(xx)2+(yy)2+(zz)2\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}=\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2} donc uv=12[x2+y2+z2+x2+y2+z2(x22xx+x2+y22yy+y2+z22zz+z2)]\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-\left(x^{2}-2 x x^{\prime}+x'^{2}+y^{2}-2 y y^{\prime}+y'^{2}+z^{2}-2 z z^{\prime}+z^{\prime 2}\right)\right] d'où uv=12(2xx+2yy+2zz)=xx+yy+zz\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(2 x x^{\prime}+2 y y^{\prime}+2 z z^{\prime}\right)=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.

Application et méthode - 4

Énoncé

Donner une base orthonormée dans le pavé droit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} telle que AB=3\text{AB} = 3, AD=2\text{AD} = 2 et AE=4\text{AE} = 4.

Solution


Comme ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un pavé droit, on sait que les vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}}, AD\overrightarrow{\text{AD}} et AE\overrightarrow{\text{AE}} sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors i=13AB\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, j=12AD\overrightarrow{j}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et k=14AE\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 11. (i,j,k)(\overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) est donc une base orthonormée.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 102

Méthode

  • On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
  • On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme 11.



Propriété

Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre Ω(a;b;c)\Omega(a \: ; b \: ; c) et de rayon R\text{R} est (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=\text{R}^{2}.

DÉMONSTRATION

Voir activité
C
p. 89.

Exemple

La sphère de centre Ω(1;3;4)\Omega(1 \: ; -3 \: ; 4) et de rayon 22 admet pour équation cartésienne (x1)2+(y(3))2+(z4)2=22(x-1)^{2}+(y-(-3))^{2}+(z-4)^{2}=2^{2} soit x22x+1+y2+6y+9+z28z+16=4x^{2}-2 x+1+y^{2}+6 y+9+z^{2}-8 z+16=4 ou bien encore x2+y2+z22x+6y8z+22=0x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+6 y-8 z+22=0.

B
Équation cartésienne d’un plan


Propriété

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On considère un vecteur n(abc)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et un point A(xA;yA;zA)\text{A}\left(x_{\text{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\text{A}}\right).
Le plan P\mathcal{P} qui passe par le point A\text{A} et de vecteur normal n\overrightarrow{n} admet pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0a x+b y+c z+d=0d=(axA+byA+czA)d=-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right).

Remarque

En pratique, on détermine la valeur de dd en utilisant l’appartenance d’un point au plan P\mathcal{P}.

DÉMONSTRATION

Soit M(x;y;z)\text{M}\left(x \: ; y \: ; z \right) un point du plan P\mathcal{P}. Par définition, AM\overrightarrow{\text{AM}} est orthogonal à n\overrightarrow{n} donc AMn=0\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}=0.
Ainsi (xxA)a+(yyA)b+(zzA)c=0\left(x-x_{\mathrm{A}}\right) a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right) b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right) c=0. En développant, on obtient ax+by+cz(axA+byA+czA)=0a x+b y+c z-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right)=0.

Exemples

1. Une équation du plan de vecteur normal n(212)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) et passant par A(1;0;1)\text{A}(1 \: ; 0 \: ; 1) est 2x+y+2z4=02 x+y+2 z-4=0.
2. Le plan d’équation 3x+2yz+5=0-3 x+2 y-z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur n(321)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).

Application et méthode - 5

Énoncé

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}). On considère le point I(1;0;0)\text{I}(1 \: ; 0 \: ; 0).
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d’un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si I\text{I} appartient à ce plan.

1. 2x2+3y5z2=02 x^{2}+3 y-5 z-2=0
2. 2x+3y5z2=02 x+3 y-5 z-2=0

Solution


La première équation n’est pas celle d’un plan à cause de la présence de x2x^2. La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par n(235)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}.
On remplace donc les coordonnées de I\text{I} dans l’équation donnée et on obtient alors 2×1+3×05×02=22=02 \times 1+3 \times 0-5 \times 0-2=2-2=0. Ainsi, les coordonnées de I\text{I} vérifent bien l’équation donnée du plan : I\text{I} est un point de ce plan.

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 103

Méthode

  • On essaye de reconnaître la forme ax+by+cz+d=0a x+b y+c z+d=0 quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
  • On identife alors les coordonnées d’un vecteur normal avec les coeffcients de xx, yy et zz.
  • Pour vérifer si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifent l’équation donnée du plan.


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