Une base orthonormée de l’espace est la donnée de trois vecteurs linéairement
indépendants i, j et k tels que ∥i∥=∥j∥=∥k∥=1 et i⋅j=j⋅k=i⋅k=0.
Remarque
Un
repère orthonormé
est la donnée d’un
point (l’origine) et
d’une base orthonormée.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), pour tout vecteur u⎝⎜⎛xyz⎠⎟⎞ et pour tous points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), on a : ∥u∥=x2+y2+z2 et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Remarque
Les
formules dans l’espace sont similaires
à celles que l’on
connaît dans le plan
avec une coordonnée
de plus.
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), pour tous vecteur u⎝⎜⎛xyz⎠⎟⎞ et v⎝⎜⎛x′y′z′⎠⎟⎞, on a :
u⋅v=xx′+yy′+zz′.
DÉMONSTRATION
On a vu que u⋅v=21[∥u∥2+∥v∥2−∥u−v∥2].
Or, ∥u−v∥2=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2 donc u⋅v=21[x2+y2+z2+x′2+y′2+z′2−(x2−2xx′+x′2+y2−2yy′+y′2+z2−2zz′+z′2)] d'où u⋅v=21(2xx′+2yy′+2zz′)=xx′+yy′+zz′.
Application et méthode - 4
Énoncé
Donner une base orthonormée dans le pavé droit ABCDEFGH telle que AB=3, AD=2 et AE=4.
Solution
Comme ABCDEFGH est un pavé droit, on sait que les vecteurs AB, AD et AE sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors i=31AB, j=21AD et k=41AE : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (i,j,k) est donc une base orthonormée.
La sphère de centre Ω(1;−3;4) et de rayon 2 admet pour équation cartésienne (x−1)2+(y−(−3))2+(z−4)2=22 soit x2−2x+1+y2+6y+9+z2−8z+16=4 ou bien encore x2+y2+z2−2x+6y−8z+22=0.
B
Équation cartésienne d’un plan
Propriété
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
On considère un vecteur n⎝⎜⎛abc⎠⎟⎞ et un point A(xA;yA;zA).
Le plan P qui passe par le point A et de vecteur normal n admet pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0 où d=−(axA+byA+czA).
Remarque
En pratique, on détermine
la valeur de d en
utilisant l’appartenance d’un point au
plan P.
DÉMONSTRATION
Soit M(x;y;z) un point du plan P. Par définition, AM est orthogonal à n donc AM⋅n=0.
Ainsi (x−xA)a+(y−yA)b+(z−zA)c=0. En développant, on obtient ax+by+cz−(axA+byA+czA)=0.
Exemples
1. Une équation du plan de vecteur normal n⎝⎜⎛212⎠⎟⎞ et passant par A(1;0;1) est 2x+y+2z−4=0. 2. Le plan d’équation −3x+2y−z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur n⎝⎜⎛−32−1⎠⎟⎞.
Application et méthode - 5
Énoncé
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k). On considère le point I(1;0;0).
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d’un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si I appartient à ce plan.
1.2x2+3y−5z−2=0 2.2x+3y−5z−2=0
Solution
La première équation n’est pas celle d’un plan à cause de la présence de x2.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par n⎝⎜⎛23−5⎠⎟⎞.
On remplace donc les coordonnées de I dans l’équation donnée et on obtient alors 2×1+3×0−5×0−2=2−2=0. Ainsi, les coordonnées de I vérifent bien l’équation donnée du plan : I est un point de ce plan.
On essaye de reconnaître la forme ax+by+cz+d=0 quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
On identife alors les coordonnées d’un vecteur normal avec les coeffcients de x, y et z.
Pour vérifer si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifent l’équation donnée du plan.
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