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2. Géométrie analytique dans l’espace
P.93-94

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COURS 1


2
Géométrie analytique dans l’espace




A
Distance dans l’espace


Définition

Une base orthonormée de l’espace est la donnée de trois vecteurs linéairement indépendants , et tels que et .

Remarque

Un repère orthonormé est la donnée d’un point (l’origine) et d’une base orthonormée.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace , pour tout vecteur et pour tous points et , on a :
et .

Remarque

Les formules dans l’espace sont similaires à celles que l’on connaît dans le plan avec une coordonnée de plus.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
69
p. 106.

Propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace , pour tous vecteur et , on a : .

DÉMONSTRATION

On a vu que .
Or, donc d'où .

Application et méthode - 4

Énoncé

Donner une base orthonormée dans le pavé droit telle que , et .

Solution


Comme est un pavé droit, on sait que les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors , et : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme . est donc une base orthonormée.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 102

Méthode

  • On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
  • On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme .



Propriété

Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre et de rayon est .

DÉMONSTRATION

Voir activité
C
p. 89.

Exemple

La sphère de centre et de rayon admet pour équation cartésienne soit ou bien encore .

B
Équation cartésienne d’un plan


Propriété

L’espace est muni d’un repère orthonormé .
On considère un vecteur et un point .
Le plan qui passe par le point et de vecteur normal admet pour équation cartésienne .

Remarque

En pratique, on détermine la valeur de en utilisant l’appartenance d’un point au plan .

DÉMONSTRATION

Soit un point du plan . Par définition, est orthogonal à donc .
Ainsi . En développant, on obtient .

Exemples

1. Une équation du plan de vecteur normal et passant par est .
2. Le plan d’équation admet pour vecteur normal le vecteur .

Application et méthode - 5

Énoncé

L’espace est muni d’un repère orthonormé . On considère le point .
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d’un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si appartient à ce plan.

1.
2.

Solution


La première équation n’est pas celle d’un plan à cause de la présence de . La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par .
On remplace donc les coordonnées de dans l’équation donnée et on obtient alors . Ainsi, les coordonnées de vérifent bien l’équation donnée du plan : est un point de ce plan.

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 103

Méthode

  • On essaye de reconnaître la forme quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
  • On identife alors les coordonnées d’un vecteur normal avec les coeffcients de , et .
  • Pour vérifer si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifent l’équation donnée du plan.


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