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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2
Géométrie analytique dans l'espace
A
Distance dans l'espace
Définition
Une base orthonormée de l'espace est la donnée de trois vecteurs linéairement
indépendants i, j et k tels que ∥i∥=∥j∥=∥k∥=1 et i⋅j=j⋅k=i⋅k=0.
Remarque
Un
repère orthonormé
est la donnée d'un
point (l'origine) et
d'une base orthonormée.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace (O;i,j,k), pour tout vecteur u⎝⎛xyz⎠⎞ et pour tous points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), on a : ∥u∥=x2+y2+z2 et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Remarque
Les
formules dans l'espace sont similaires
à celles que l'on
connaît dans le plan
avec une coordonnée
de plus.
Dans un repère orthonormé de l'espace (O;i,j,k), pour tous vecteur u⎝⎛xyz⎠⎞ et v⎝⎛x′y′z′⎠⎞, on a :
u⋅v=xx′+yy′+zz′.
Démonstration
On a vu que u⋅v=21[∥u∥2+∥v∥2−∥u−v∥2].
Or, ∥u−v∥2=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2 donc u⋅v=21[x2+y2+z2+x′2+y′2+z′2−(x2−2xx′+x′2+y2−2yy′+y′2+z2−2zz′+z′2)] d'où u⋅v=21(2xx′+2yy′+2zz′)=xx′+yy′+zz′.
Propriété
Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre Ω(a;b;c) et de rayon R est (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
La sphère de centre Ω(1;−3;4) et de rayon 2 admet pour équation cartésienne (x−1)2+(y−(−3))2+(z−4)2=22 soit x2−2x+1+y2+6y+9+z2−8z+16=4 ou bien encore x2+y2+z2−2x+6y−8z+22=0.
Application et méthode - 4
Énoncé
Donner une base orthonormée dans le pavé droit ABCDEFGH telle que AB=3, AD=2 et AE=4.
Méthode
On détermine si les trois vecteurs linéairement
indépendants sont orthogonaux deux à deux.
On calcule les normes des vecteurs et on
choisit des vecteurs colinéaires de norme 1.
Solution
Comme ABCDEFGH est un pavé droit, on sait que les vecteurs AB, AD, et AE sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors i=31AB, j=21AD et k=41AE : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (i,j,k) est donc une base orthonormée.
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k).
On considère un vecteur n⎝⎛abc⎠⎞ et un point A(xA;yA;zA).
Le plan P qui passe par le point A et de vecteur normal n admet pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0 où d=−(axA+byA+czA).
Remarque
En pratique, on détermine
la valeur de d en
utilisant l'appartenance d'un point au
plan P.
Démonstration
Soit M(x;y;z) un point du plan P. Par définition, AM est orthogonal à n donc AM⋅n=0.
Ainsi (x−xA)a+(y−yA)b+(z−zA)c=0. En développant, on obtient ax+by+cz−(axA+byA+czA)=0.
Exemples
1. Une équation du plan de vecteur normal n⎝⎛212⎠⎞ et passant par A(1;0;1) est 2x+y+2z−4=0.
2. Le plan d'équation −3x+2y−z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur n⎝⎛−32−1⎠⎞.
Application et méthode - 5
Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k). On considère le point I(1;0;0).
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d'un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si I appartient à ce plan.
1.2x2+3y−5z−2=0 2.2x+3y−5z−2=0
Méthode
On essaye de reconnaître la forme quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
On identifie alors les coordonnées d'un vecteur normal avec les coefficients de x, y et z.
Pour vérifier si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifient l'équation donnée du plan.
Solution
La première équation n'est pas celle d'un plan à cause de la
présence de x2.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un
vecteur normal est donné par n⎝⎛23−5⎠⎞.
On remplace donc les coordonnées de I dans l'équation donnée
et on obtient alors 2×1+3×0−5×0−2=2−2=0. Ainsi,
les coordonnées de I vérifient bien l'équation donnée du plan :
I est un point de ce plan.