Voir exercice

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p. 106.

On a vu que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2\right]$.
Or, $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2={\left(x-x^{\prime }\right)}^2+{\left(y-y^{\prime }\right)}^2+{\left(z-z^{\prime }\right)}^2$ donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^2+y^2+z^2+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-\left(x^2-2x{x}^{\prime }+x^{\prime 2}+y^2-2y{y}^{\prime }+y^{\prime 2}+z^2-2z{z}^{\prime }+z^{\prime 2}\right)\right]$ d'où $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2x{x}^{\prime }+2y{y}^{\prime }+2z{z}^{\prime }\right)=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$.

La sphère de centre $\Omega (1;-3;4)$ et de rayon $2$ admet pour équation cartésienne $(x-1{)}^2+(y-(-3){)}^2+(z-4{)}^2=2^2$ soit $x^2-2x+1+y^2+6y+9+z^2-8z+16=4$ ou bien encore $x^2+y^2+z^2-2x+6y-8z+22=0$.

Comme $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$ est un pavé droit, on sait que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$, et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$ sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors $\overrightarrow{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{j}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$ et $\overrightarrow{k}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$ : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme $1$. $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est donc une base orthonormée.

Exercices

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et

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p. 102

Soit $\text{M}\left(x;y;z\right)$ un point du plan $\mathcal{P}$. Par définition, $\overrightarrow{\text{AM}}$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \overrightarrow{n}=0$.
Ainsi $\left(x-x_{\mathrm{A}}\right)a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right)b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right)c=0$. En développant, on obtient $ax+by+cz-\left(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A\right)=0$.

1. Une équation du plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ et passant par $\text{A}(1;0;1)$ est $2x+y+2z-4=0$.

2. Le plan d'équation $-3x+2y-z+5=0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.

La première équation n'est pas celle d'un plan à cause de la présence de $x^2$.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -5\end{array}\right)$.
On remplace donc les coordonnées de $\text{I}$ dans l'équation donnée et on obtient alors $2\times 1+3\times 0-5\times 0-2=2-2=0$. Ainsi, les coordonnées de $\text{I}$ vérifient bien l'équation donnée du plan : $\text{I}$ est un point de ce plan.

Exercices

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et

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p. 103