Un repère orthonormé est la donnée d’un point (l’origine) et d’une base orthonormée.

Les formules dans l’espace sont similaires à celles que l’on connaît dans le plan avec une coordonnée de plus.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

69

p. 106.

DÉMONSTRATION

On a vu que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2\right]$.
Or, $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2={\left(x-x^{\prime }\right)}^2+{\left(y-y^{\prime }\right)}^2+{\left(z-z^{\prime }\right)}^2$ donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^2+y^2+z^2+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-\left(x^2-2x{x}^{\prime }+x^{\prime 2}+y^2-2y{y}^{\prime }+y^{\prime 2}+z^2-2z{z}^{\prime }+z^{\prime 2}\right)\right]$ d'où $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2x{x}^{\prime }+2y{y}^{\prime }+2z{z}^{\prime }\right)=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$.

Donner une base orthonormée dans le pavé droit $\text{ABCDEFGH}$ telle que $\text{AB}=3$, $\text{AD}=2$ et $\text{AE}=4$.

DÉMONSTRATION

Voir activité

C

p. 89.

Exemple

La sphère de centre $\Omega (1;-3;4)$ et de rayon $2$ admet pour équation cartésienne $(x-1{)}^2+(y-(-3){)}^2+(z-4{)}^2=2^2$ soit $x^2-2x+1+y^2+6y+9+z^2-8z+16=4$ ou bien encore $x^2+y^2+z^2-2x+6y-8z+22=0$.

En pratique, on détermine la valeur de $d$ en utilisant l’appartenance d’un point au plan $\mathcal{P}$.

DÉMONSTRATION

Soit $\text{M}\left(x;y;z\right)$ un point du plan $\mathcal{P}$. Par définition, $\overrightarrow{\text{AM}}$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \overrightarrow{n}=0$.
Ainsi $\left(x-x_{\mathrm{A}}\right)a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right)b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right)c=0$. En développant, on obtient $ax+by+cz-\left(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A\right)=0$.

Exemples

1. Une équation du plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ et passant par $\text{A}(1;0;1)$ est $2x+y+2z-4=0$.
2. Le plan d’équation $-3x+2y-z+5=0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère le point $\text{I}(1;0;0)$.
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d’un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si $\text{I}$ appartient à ce plan.

1. $2x^2+3y-5z-2=0$
2. $2x+3y-5z-2=0$