Mathématiques Terminale Spécialité
Mes Pages
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2
Géométrie analytique dans l'espace
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
A Distance dans l'espace
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Une base orthonormée de l'espace est la donnée de trois vecteurs linéairement
indépendants \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} tels que \|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=\|\overrightarrow{k}\|=1 et \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k}=0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Un
repère orthonormé
est la donnée d'un
point (l'origine) et
d'une base orthonormée.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tout vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) et pour tous points \text{A} \left(x_{A} \: ; y_{A} \: ; z_{A}\right) et \text{B} \left(x_{B} \: ; y_{B} \: ; z_{B}\right), on a :
\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} et \text{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}.
\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} et \text{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Les
formules dans l'espace sont similaires
à celles que l'on
connaît dans le plan
avec une coordonnée
de plus.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Voir exercice p. 106.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tous vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}
x' \\
y' \\
z'
\end{array}\right), on a :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
On a vu que \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\vec{v}\|^{2}\right].
Or, \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}=\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2} donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-\left(x^{2}-2 x x^{\prime}+x'^{2}+y^{2}-2 y y^{\prime}+y'^{2}+z^{2}-2 z z^{\prime}+z^{\prime 2}\right)\right] d'où \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2 x x^{\prime}+2 y y^{\prime}+2 z z^{\prime}\right)=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
Or, \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}=\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2} donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-\left(x^{2}-2 x x^{\prime}+x'^{2}+y^{2}-2 y y^{\prime}+y'^{2}+z^{2}-2 z z^{\prime}+z^{\prime 2}\right)\right] d'où \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2 x x^{\prime}+2 y y^{\prime}+2 z z^{\prime}\right)=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre \Omega(a \: ; b \: ; c) et de rayon \text{R} est (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=\text{R}^{2}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Voir p. 89.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
La sphère de centre \Omega(1 \: ; -3 \: ; 4) et de rayon 2 admet pour équation cartésienne (x-1)^{2}+(y-(-3))^{2}+(z-4)^{2}=2^{2} soit x^{2}-2 x+1+y^{2}+6 y+9+z^{2}-8 z+16=4 ou bien encore x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+6 y-8 z+22=0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 4
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Donner une base orthonormée dans le pavé droit \text{ABCDEFGH} telle que \text{AB} = 3, \text{AD} = 2 et \text{AE} = 4.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
- On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
- On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
Comme \mathrm{ABCDEFGH} est un pavé droit, on sait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors \vec{i}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{j}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{k}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est donc une base orthonormée.
On pose alors \vec{i}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{j}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{k}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est donc une base orthonormée.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 102
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BÉquation cartésienne d'un plan
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On considère un vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et un point \text{A}\left(x_{\text{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\text{A}}\right).
Le plan \mathcal{P} qui passe par le point \text{A} et de vecteur normal \vec{n} admet pour équation cartésienne a x+b y+c z+d=0 où d=-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right).
On considère un vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et un point \text{A}\left(x_{\text{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\text{A}}\right).
Le plan \mathcal{P} qui passe par le point \text{A} et de vecteur normal \vec{n} admet pour équation cartésienne a x+b y+c z+d=0 où d=-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
En pratique, on détermine
la valeur de d en
utilisant l'appartenance d'un point au
plan \mathcal{P}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soit \text{M}\left(x \: ; y \: ; z \right) un point du plan \mathcal{P}. Par définition, \overrightarrow{\text{AM}} est orthogonal à \overrightarrow{n} donc \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0.
Ainsi \left(x-x_{\mathrm{A}}\right) a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right) b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right) c=0. En développant, on obtient a x+b y+c z-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right)=0.
Ainsi \left(x-x_{\mathrm{A}}\right) a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right) b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right) c=0. En développant, on obtient a x+b y+c z-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right)=0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. Une équation du plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
2
\end{array}\right) et passant par \text{A}(1 \: ; 0 \: ; 1) est 2 x+y+2 z-4=0.
2. Le plan d'équation -3 x+2 y-z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
2. Le plan d'équation -3 x+2 y-z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 5
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}). On considère le point \text{I}(1 \: ; 0 \: ; 0).
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d'un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si \text{I} appartient à ce plan.
1. 2 x^{2}+3 y-5 z-2=0
2. 2 x+3 y-5 z-2=0
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si \text{I} appartient à ce plan.
1. 2 x^{2}+3 y-5 z-2=0
2. 2 x+3 y-5 z-2=0
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
- On essaye de reconnaître la forme quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
- On identifie alors les coordonnées d'un vecteur normal avec les coefficients de x, y et z.
- Pour vérifier si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifient l'équation donnée du plan.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
La première équation n'est pas celle d'un plan à cause de la
présence de x^2.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par \vec{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right).
On remplace donc les coordonnées de \text{I} dans l'équation donnée et on obtient alors 2 \times 1+3 \times 0-5 \times 0-2=2-2=0. Ainsi, les coordonnées de \text{I} vérifient bien l'équation donnée du plan : \text{I} est un point de ce plan.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par \vec{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right).
On remplace donc les coordonnées de \text{I} dans l'équation donnée et on obtient alors 2 \times 1+3 \times 0-5 \times 0-2=2-2=0. Ainsi, les coordonnées de \text{I} vérifient bien l'équation donnée du plan : \text{I} est un point de ce plan.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 103
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
