Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2
Géométrie analytique dans l'espace
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A Distance dans l'espace
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Définition
Une base orthonormée de l'espace est la donnée de trois vecteurs linéairement
indépendants \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} tels que \|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=\|\overrightarrow{k}\|=1 et \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k}=0.
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Un
repère orthonormé
est la donnée d'un
point (l'origine) et
d'une base orthonormée.
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Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tout vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) et pour tous points \text{A} \left(x_{A} \: ; y_{A} \: ; z_{A}\right) et \text{B} \left(x_{B} \: ; y_{B} \: ; z_{B}\right), on a :
\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} et \text{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}.
\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} et \text{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}}.
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Les
formules dans l'espace sont similaires
à celles que l'on
connaît dans le plan
avec une coordonnée
de plus.
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Démonstration
Voir exercice p. 106.
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Propriété
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tous vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}
x' \\
y' \\
z'
\end{array}\right), on a :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
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Démonstration
On a vu que \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\vec{v}\|^{2}\right].
Or, \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}=\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2} donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-\left(x^{2}-2 x x^{\prime}+x'^{2}+y^{2}-2 y y^{\prime}+y'^{2}+z^{2}-2 z z^{\prime}+z^{\prime 2}\right)\right] d'où \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2 x x^{\prime}+2 y y^{\prime}+2 z z^{\prime}\right)=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
Or, \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}=\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2} donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-\left(x^{2}-2 x x^{\prime}+x'^{2}+y^{2}-2 y y^{\prime}+y'^{2}+z^{2}-2 z z^{\prime}+z^{\prime 2}\right)\right] d'où \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(2 x x^{\prime}+2 y y^{\prime}+2 z z^{\prime}\right)=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.
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Propriété
Dans un repère orthonormé, une équation de la sphère de centre \Omega(a \: ; b \: ; c) et de rayon \text{R} est (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=\text{R}^{2}.
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Démonstration
Voir p. 89.
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Exemple
La sphère de centre \Omega(1 \: ; -3 \: ; 4) et de rayon 2 admet pour équation cartésienne (x-1)^{2}+(y-(-3))^{2}+(z-4)^{2}=2^{2} soit x^{2}-2 x+1+y^{2}+6 y+9+z^{2}-8 z+16=4 ou bien encore x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+6 y-8 z+22=0.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Donner une base orthonormée dans le pavé droit \text{ABCDEFGH} telle que \text{AB} = 3, \text{AD} = 2 et \text{AE} = 4.
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- On détermine si les trois vecteurs linéairement indépendants sont orthogonaux deux à deux.
- On calcule les normes des vecteurs et on choisit des vecteurs colinéaires de norme 1.
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Solution
Comme \mathrm{ABCDEFGH} est un pavé droit, on sait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont orthogonaux deux à deux.
On pose alors \vec{i}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{j}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{k}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est donc une base orthonormée.
On pose alors \vec{i}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{j}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{k}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}} : les trois vecteurs ainsi créés sont de norme 1. (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est donc une base orthonormée.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 102
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BÉquation cartésienne d'un plan
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Propriété
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On considère un vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et un point \text{A}\left(x_{\text{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\text{A}}\right).
Le plan \mathcal{P} qui passe par le point \text{A} et de vecteur normal \vec{n} admet pour équation cartésienne a x+b y+c z+d=0 où d=-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right).
On considère un vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et un point \text{A}\left(x_{\text{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\text{A}}\right).
Le plan \mathcal{P} qui passe par le point \text{A} et de vecteur normal \vec{n} admet pour équation cartésienne a x+b y+c z+d=0 où d=-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right).
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En pratique, on détermine
la valeur de d en
utilisant l'appartenance d'un point au
plan \mathcal{P}.
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Démonstration
Soit \text{M}\left(x \: ; y \: ; z \right) un point du plan \mathcal{P}. Par définition, \overrightarrow{\text{AM}} est orthogonal à \overrightarrow{n} donc \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0.
Ainsi \left(x-x_{\mathrm{A}}\right) a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right) b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right) c=0. En développant, on obtient a x+b y+c z-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right)=0.
Ainsi \left(x-x_{\mathrm{A}}\right) a+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right) b+\left(z-z_{\mathrm{A}}\right) c=0. En développant, on obtient a x+b y+c z-\left(a x_{A}+b y_{A}+c z_{A}\right)=0.
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Exemples
1. Une équation du plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
2
\end{array}\right) et passant par \text{A}(1 \: ; 0 \: ; 1) est 2 x+y+2 z-4=0.
2. Le plan d'équation -3 x+2 y-z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
2. Le plan d'équation -3 x+2 y-z+5=0 admet pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
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Application et méthode - 5
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Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}). On considère le point \text{I}(1 \: ; 0 \: ; 0).
Quelle équation parmi les deux ci-dessous correspond à celle d'un plan ?
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si \text{I} appartient à ce plan.
1. 2 x^{2}+3 y-5 z-2=0
2. 2 x+3 y-5 z-2=0
Donner alors un vecteur normal de ce plan et indiquer si \text{I} appartient à ce plan.
1. 2 x^{2}+3 y-5 z-2=0
2. 2 x+3 y-5 z-2=0
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- On essaye de reconnaître la forme quitte à effectuer quelques calculs pour y arriver.
- On identifie alors les coordonnées d'un vecteur normal avec les coefficients de x, y et z.
- Pour vérifier si un point appartient à un plan, on teste si ses coordonnées vérifient l'équation donnée du plan.
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Solution
La première équation n'est pas celle d'un plan à cause de la
présence de x^2.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par \vec{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right).
On remplace donc les coordonnées de \text{I} dans l'équation donnée et on obtient alors 2 \times 1+3 \times 0-5 \times 0-2=2-2=0. Ainsi, les coordonnées de \text{I} vérifient bien l'équation donnée du plan : \text{I} est un point de ce plan.
La seconde est bien une équation de plan. Dans ce cas, un vecteur normal est donné par \vec{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right).
On remplace donc les coordonnées de \text{I} dans l'équation donnée et on obtient alors 2 \times 1+3 \times 0-5 \times 0-2=2-2=0. Ainsi, les coordonnées de \text{I} vérifient bien l'équation donnée du plan : \text{I} est un point de ce plan.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 103
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