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1. Orthogonalité et produit scalaire

P.90-93

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COURS 1

1
Orthogonalité et produit scalaire

A
Orthogonalité dans l’espace

Définitions

Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

NOTATION

Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole

⊥

Exemple

Dans un cube

ABCDEFGH

, les droites

(AC)

(GD)

sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

Propriété

Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Remarque

L’intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l’intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

DÉMONSTRATION

Supposons que les droites

d

d^{'}

soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites

Δ

Δ^{'}

respectivement parallèles à

d

d^{'}

passant par un point

A

telles que

Δ

Δ^{'}

soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de

d

d^{'}

sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites

Δ

Δ^{'}

dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires.

Δ

Δ^{'}

sont donc respectivement parallèles à

d

d^{'}

.
On a donc bien

d ⊥ d^{'}

Propriété

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 107.

Définition

On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Remarque

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

Propriété (admise)

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Application et méthode - 1

Énoncé

ABCDE

est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de

E

sont des triangles isocèles. On note

O

le centre du carré

ABCD

.
Montrer que la droite

(EO)

est orthogonale au plan

(ABC)

Solution

Comme les triangles

EAB

EAD

sont isocèles en

E

, on peut en déduire que

EB = ED

et donc le triangle

EBD

est isocèle en

E

.
Or,

O

est le milieu du segment

[BD]

, donc la médiane

(EO)

est la médiatrice de

[BD]

. Ainsi,

(EO) ⊥ (BD)

. De la même façon, comme

AEC

est isocèle en

E

, on en déduit que

(EO) ⊥ (AC)

.
Par conséquent,

(EO) ⊥ (ABC)

Pour s'entraîner : exercices exercices 24 et 25 p. 102

Méthode

On se place dans des configurations planes connues.
On cherche deux droites sécantes du plan $(ABC)$ et on démontre qu’elles sont orthogonales à la droite $(EO)$ .

B
Le produit scalaire dans l’espace

Définition

Soient

u

v

deux vecteurs de l’espace. Lorsqu’ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u; v)

.
Lorsque l’un des vecteurs est nul, alors

u \cdot v = 0

Remarque

Ici,

∥ u ∥

désigne la longueur

OM

telle que

u = O M

Exemple

Dans un tétraèdre régulier

ABCD

de côté

4

cm,

A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (A B; A C) = 4 \times 4 \times cos (\frac{π}{3}) = 8

Remarque

Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.

Propriété

Soient

u

v

deux vecteurs non nuls. On pose trois points

O

A

B

tels que

u = O A

v = O B

. On appelle

H

le point de

(OA)

tel que

(B H) ⊥ (O A)

. Alors :

u \cdot v = {OA \times OH si H \in [O A) - OA \times O H sinon

Remarque

Le point

H

est appelé projeté orthogonal de

B

sur

[OA)

(voir partie 3).

DÉMONSTRATION

On suppose que

H \in [OA)

(la démonstration

H \in [AO)

est analogue).
On a

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u; v)

. Or

∥ u ∥ = OA

∥ v ∥ = O B

donc

u \cdot v = O A \times O B \times cos (O A; O B)

. Or, le triangle

OHB

est rectangle en

H

donc

O H = O B \times cos (O A; O B)

. D'où

u \cdot v = O A \times O H

Propriétés

Soient

u

v

w

trois vecteurs et

λ

un réel quelconque. Le produit scalaire est :

symétrique : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
linéaire à gauche : $(u + λ v) \cdot w = u \cdot w + λ \times v \cdot w$ ;
linéaire à droite : $u \cdot (λ v + w) = λ \times u \cdot v + u \cdot w$ .

Vocabulaire

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l’on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 107.

Propriété

Soient

u

v

deux vecteurs. On a alors :

u \cdot v = \frac{1}{2} [∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2}]

u \cdot v = \frac{1}{2} [∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}]

Vocabulaire

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 104.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère deux vecteurs

u

v

tels que

∥ u ∥ = 3

∥ v ∥ = 5

. De plus, on donne

∥ u - v ∥ = 22

.
Quelle est la mesure principale de l’angle

(u; v)

? Arrondir le résultat au degré près.

Solution

On a, d’une part,

u \cdot v = \frac{1}{2} [∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2}]

.
On a donc

u \cdot v = \frac{1}{2} [9 + 25 - 22]

et donc

u \cdot v = 6

.
D’autre part,

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u; v)

. Ainsi,

6 = 3 \times 5 \times cos (u; v)

donc

cos (u; v) = \frac{6}{1 5}

. On obtient donc

(u; v) = arccos (\frac{2}{5})

soit

(u; v) \approx 6 6^{\circ}

Pour s'entraîner : exercices 27 p. 102 et 53 et 54 p. 104

Méthode

On exprime le produit scalaire des vecteurs :

en utilisant une des formules qui ne fait pas intervenir l’angle d’une part ;
puis en utilisant la formule faisant intervenir le cosinus de l’angle ;
on retrouve l’angle grâce à la touche arccos ou cos^-1 de la calculatrice.

C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire

Propriété

Deux vecteurs

u

v

sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

LOGIQUE

On démontre l’équivalence en démontrant la double implication.

DÉMONSTRATION

Supposons que

u

v

sont orthogonaux. Si

u = 0

v = 0

alors

u \cdot v = 0

. Sinon, on a

cos (u; v) = 0

. On en déduit que

u \cdot v = 0

.
Réciproquement, supposons que

u \cdot v = 0

. Si

u = 0

v = 0

alors

u

v

sont orthogonaux. Sinon

∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u; v) = 0

. Comme

u

v

ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que

cos (u; v) = 0

et donc que les vecteurs

u

v

sont orthogonaux.

Application et méthode - 3

Énoncé

On considère un cube

ABCDEFGH

.
Montrer que les droites

(BG)

(EC)

sont orthogonales.

Solution

Calculons

B G \cdot E C

.
D’après la relation de Chasles, on a

E C = E F + F C

.
Par linéarité,

B G \cdot E C = B G \cdot E F + B G \cdot F C

.
D’une part, les diagonales du carré

BCGF

sont perpendiculaires donc

B G \cdot F C = 0

. D’autre part,

(E F) ⊥ (B F C)

donc

B G \cdot E F = 0

.
Ainsi,

B G \cdot E C = 0

: les droites

(BG)

(EC)

sont orthogonales.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 102

Méthode

Pour prouver que deux droites sont orthogonales à l’aide d’un produit scalaire :

on décompose l’un des vecteurs à l’aide de la relation de Chasles de façon à ce que les expressions se simplifent ;
on montre que le produit scalaire est nul.

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1Orthogonalité et produit scalaire

AOrthogonalité dans l’espace

Remarque

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Remarque

Application et méthode - 1

Énoncé

Solution

Méthode

BLe produit scalaire dans l’espace

Remarque

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Vocabulaire

DÉMONSTRATION

Vocabulaire

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 2

Énoncé

Solution

Méthode

COrthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 3

Énoncé

Solution

Méthode

1
Orthogonalité et produit scalaire

A
Orthogonalité dans l’espace

B
Le produit scalaire dans l’espace

C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire