Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant
par un même point sont perpendiculaires.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces
vecteurs sont orthogonales.
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
Remarque
Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.
Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
NOTATION
Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole ⊥.
Exemple
Dans un cube ABCDEFGH, les droites (AC) et (GD) sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.
Propriété
Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
Remarque
L’intersection
de deux droites
perpendiculaires
est nécessairement
un point alors
que l’intersection
de deux droites
orthogonales peut
être vide.
DÉMONSTRATION
Supposons que les droites d et d′ soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites Δ et Δ′ respectivement parallèles à d et d′ passant par un point A telles que Δ et Δ′ soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de d et d′ sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites Δ et Δ′ dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. Δ et Δ′ sont donc respectivement parallèles à d et d′.
On a donc bien d⊥d′.
Propriété
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.
On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.
Remarque
Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.
Propriété (admise)
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes
de ce plan.
Application et méthode - 1
Énoncé
ABCDE est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de E sont des triangles isocèles. On note O le centre du carré ABCD.
Montrer que la droite (EO) est orthogonale au plan (ABC).
B
Le produit scalaire dans l’espace
Définition
Soient u et v deux vecteurs de l’espace. Lorsqu’ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par u⋅v=∥u∥×∥v∥×cos(u;v).
Lorsque l’un des vecteurs est nul, alors u⋅v=0.
Remarque
Ici, ∥u∥ désigne la longueur OM telle que u=OM.
Exemple
Dans un tétraèdre régulier ABCD de côté 4 cm, AB⋅AC=AB×AC×cos(AB;AC)=4×4×cos(3π)=8
Remarque
Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.
Propriété
Soient u et v deux vecteurs non nuls. On pose trois points O, A et B tels que u=OA et v=OB. On appelle H le point de (OA) tel que (BH)⊥(OA). Alors :
u⋅v={ OA × OH si H∈[OA)− OA ×OH sinon .
Remarque
Le point H est appelé projeté orthogonal de B sur [OA) (voir partie 3).
DÉMONSTRATION
On suppose que H∈[OA) (la démonstration H∈[AO) est analogue).
On a u⋅v=∥u∥×∥v∥×cos(u;v). Or ∥u∥= OA et ∥v∥=OB donc u⋅v=OA×OB×cos(OA;OB). Or, le triangle OHB est rectangle en H donc OH=OB×cos(OA;OB). D'où u⋅v=OA×OH.
Propriétés
Soient u, v et w trois vecteurs et λ un réel quelconque. Le produit scalaire est :
symétrique : u⋅v=v⋅u ;
linéaire à gauche : (u+λv)⋅w=u⋅w+λ×v⋅w ;
linéaire à droite : u⋅(λv+w)=λ×u⋅v+u⋅w.
Vocabulaire
Le produit scalaire est dit bilinéaire car le
développement que
l’on fait sur le vecteur de gauche peut
aussi bien se faire à
droite.
On considère deux vecteurs u et v tels que∥u∥=3 et ∥v∥=5. De plus, on donne ∥u−v∥=22.
Quelle est la mesure principale de l’angle (u;v) ? Arrondir le résultat au degré près.
C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire
Propriété
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
LOGIQUE
On démontre
l’équivalence en
démontrant la
double implication.
DÉMONSTRATION
Supposons que u et v sont orthogonaux. Si u=0 ou v=0 alors u⋅v=0. Sinon, on a cos(u;v)=0. On en déduit que u⋅v=0.
Réciproquement, supposons que u⋅v=0. Si u=0 ou v=0 alors u et v sont orthogonaux. Sinon ∥u∥×∥v∥×cos(u;v)=0. Comme u et v ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que cos(u;v)=0 et donc que les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Application et méthode - 3
Énoncé
On considère un cube ABCDEFGH.
Montrer que les droites (BG) et (EC) sont orthogonales.
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