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1. Orthogonalité et produit scalaire
P.90-93

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COURS 1


1
Orthogonalité et produit scalaire




A
Orthogonalité dans l’espace


Définitions

  • Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
  • Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

NOTATION

Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole .

Exemple

Dans un cube , les droites et sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.


Propriété

Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Remarque

L’intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l’intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

DÉMONSTRATION

Supposons que les droites et soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites et respectivement parallèles à et passant par un point telles que et soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de et sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites et dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. et sont donc respectivement parallèles à et .
On a donc bien .


Propriété

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
p. 107.

Définition

On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Remarque

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

Propriété (admise)

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Application et méthode - 1

Énoncé

est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de sont des triangles isocèles. On note le centre du carré .
Montrer que la droite est orthogonale au plan .

Orthogonalité et produit scalaire

B
Le produit scalaire dans l’espace


Définition

Soient et deux vecteurs de l’espace. Lorsqu’ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par .
Lorsque l’un des vecteurs est nul, alors .

Remarque

Ici, désigne la longueur telle que .

Exemple

Dans un tétraèdre régulier de côté cm,
Orthogonalité et produit scalaire

Remarque

Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.


Propriété

Soient et deux vecteurs non nuls. On pose trois points , et tels que et . On appelle le point de tel que . Alors :
.

Remarque

Le point est appelé projeté orthogonal de sur (voir partie 3).

DÉMONSTRATION

On suppose que (la démonstration est analogue).
On a . Or et donc . Or, le triangle est rectangle en donc . D'où .

Propriétés

Soient , et trois vecteurs et un réel quelconque. Le produit scalaire est :
  • symétrique : ;
  • linéaire à gauche : ;
  • linéaire à droite : .

Vocabulaire

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l’on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
p. 107.

Propriété

Soient et deux vecteurs. On a alors :

et .

Vocabulaire

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
52
p. 104.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère deux vecteurs et tels que et . De plus, on donne .
Quelle est la mesure principale de l’angle ? Arrondir le résultat au degré près.

C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire


Propriété

Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

LOGIQUE

On démontre l’équivalence en démontrant la double implication.

DÉMONSTRATION

Supposons que et sont orthogonaux. Si ou alors . Sinon, on a . On en déduit que .
Réciproquement, supposons que . Si ou alors et sont orthogonaux. Sinon . Comme et ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que et donc que les vecteurs et sont orthogonaux.

Application et méthode - 3

Énoncé

On considère un cube .
Montrer que les droites et sont orthogonales.
Orthogonalité et produit scalaire