• Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.


• Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.


• Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Dans un cube $\text{ABCDEFGH}$, les droites $(\text{AC})$ et $(\text{GD})$ sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole $\perp$.

Supposons que les droites $d$ et $d^{\prime }$ soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ respectivement parallèles à $d$ et $d^{\prime }$ passant par un point $\text{A}$ telles que $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de $d$ et $d^{\prime }$ sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ sont donc respectivement parallèles à $d$ et $d^{\prime }$.
On a donc bien $d\perp d^{\prime }$.

L'intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l'intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.

Voir exercice

82

p. 107.

On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace. Lorsqu'ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
Lorsque l'un des vecteurs est nul, alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

Ici, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ désigne la longueur $\text{OM}$ telle que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$.

Le point $\text{H}$ est appelé projeté orthogonal de $\text{B}$ sur $[\text{OA})$ (voir

partie 3

).

Propriétés

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $\lambda$ un réel quelconque. Le produit scalaire est :

• symétrique : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ ;
• linéaire à gauche : $(\overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+\lambda \times \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$ ;
• linéaire à droite : $\overrightarrow{u}\cdot (\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\lambda \times \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$.

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l'on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs. On a alors :
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2\right]$
et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right]$.

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$. De plus, on donne $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{22}$. Quelle est la mesure principale de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ ? Arrondir le résultat au degré près.

On exprime le produit scalaire des vecteurs :

• en utilisant une des formules qui ne fait pas intervenir l'angle d'une part ;
• puis en utilisant la formule faisant intervenir le cosinus de l'angle ;
• on retrouve l'angle grâce à la touche $\text{arccos}$ ou ${\text{cos}}^{—1}$ de la calculatrice.

Pour prouver que deux droites sont orthogonales à l'aide d'un produit scalaire :

• on décompose l'un des vecteurs à l'aide de la relation de Chasles de façon à ce que les expressions se simplifient ;
• on montre que le produit scalaire est nul.