Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 1

Orthogonalité et produit scalaire

A
Orthogonalité dans l'espace

Définitions
  • Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.

  • Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
Exemple
Dans un cube , les droites et sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

Notation

Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole .
Propriété
Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
Démonstration
Supposons que les droites et soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites et respectivement parallèles à et passant par un point telles que et soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de et sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites et dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. et sont donc respectivement parallèles à et .
On a donc bien .

Remarque

L'intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l'intersection de deux droites orthogonales peut être vide.
Propriété
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.
Démonstration
Voir exercice p. 107.
Définition
On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Remarque

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.
Propriété (admise)
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Application et méthode - 1
Énoncé
est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de sont des triangles isocèles. On note le centre du carré . Montrer que la droite est orthogonale au plan .

Orthogonalité et produit scalaire
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Méthode

  • On se place dans des configurations planes connues.

  • On cherche deux droites sécantes du plan et on démontre qu'elles sont orthogonales à la droite .
Solution
Comme les triangles et sont isocèles en , on peut en déduire que et donc le triangle est isocèle en .

Or, est le milieu du segment , donc la médiane est la médiatrice de . Ainsi, . De la même façon, comme est isocèle en , on en déduit que . Par conséquent, .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 102

B
Le produit scalaire dans l'espace

Définition
Soient et deux vecteurs de l'espace. Lorsqu'ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par .
Lorsque l'un des vecteurs est nul, alors .

Remarque

Ici, désigne la longueur telle que .
Exemple
Dans un tétraèdre régulier de côté cm,


Orthogonalité et produit scalaire
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.
Propriété
Soient et deux vecteurs non nuls. On pose trois points , et tels que et . On appelle le point de tel que . Alors :
.

Remarque

Le point est appelé projeté orthogonal de sur (voir ).
Démonstration
On suppose que (la démonstration est analogue).
On a . Or et donc . Or, le triangle est rectangle en donc . D'où .

Propriétés


Soient , et trois vecteurs et un réel quelconque. Le produit scalaire est :
  • symétrique : ;
  • linéaire à gauche : ;
  • linéaire à droite : .

Vocabulaire

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l'on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.
Démonstration
Voir exercice p. 107.
Propriétés
Soient et deux vecteurs. On a alors :

et .

Vocabulaire

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.
Démonstration
Voir exercice p. 104.
Application et méthode - 2
Énoncé
On considère deux vecteurs et tels que et . De plus, on donne . Quelle est la mesure principale de l'angle ? Arrondir le résultat au degré près.

Méthode

On exprime le produit scalaire des vecteurs :
  • en utilisant une des formules qui ne fait pas intervenir l'angle d'une part ;
  • puis en utilisant la formule faisant intervenir le cosinus de l'angle ;
  • on retrouve l'angle grâce à la touche ou de la calculatrice.
Solution
On a, d'une part, .
On a donc et donc .
D'autre part, .
Ainsi, donc .
On obtient donc soit .

Pour s'entraîner
Exercices p. 102 et et p. 104

C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire

Propriété
Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Démonstration
Supposons que et sont orthogonaux. Si ou alors . Sinon, on a . On en déduit que .
Réciproquement, supposons que . Si ou alors et sont orthogonaux. Sinon . Comme et ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que et donc que les vecteurs et sont orthogonaux.

Logique

On démontre l'équivalence en démontrant la double implication.
Application et méthode - 3
Énoncé
On considère un cube . Montrer que les droites et sont orthogonales.

Orthogonalité et produit scalaire
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Méthode

Pour prouver que deux droites sont orthogonales à l'aide d'un produit scalaire :
  • on décompose l'un des vecteurs à l'aide de la relation de Chasles de façon à ce que les expressions se simplifient ;
  • on montre que le produit scalaire est nul.
Solution
Calculons .
D'après la relation de Chasles, on a .
Par linéarité, .
D'une part, les diagonales du carré sont perpendiculaires donc . D'autre part, donc .
Ainsi,  : les droites et sont donc orthogonales.

Pour s'entraîner
exercices et p. 102

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