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1. Orthogonalité et produit scalaire
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COURS 1


1
Orthogonalité et produit scalaire




A
Orthogonalité dans l’espace


Définitions
  • Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
  • Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

NOTATION
Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole ⊥\bot.

Exemple

Dans un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, les droites (AC)(\text{AC}) et (GD)(\text{GD}) sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

Propriété
Deux droites sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Remarque

L’intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l’intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

DÉMONSTRATION

Supposons que les droites dd et d′d' soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites Δ\Delta et Δ′\Delta ' respectivement parallèles à dd et d′d' passant par un point A\text{A} telles que Δ\Delta et Δ′\Delta ' soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de dd et d′d' sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites Δ\Delta et Δ′\Delta ' dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. Δ\Delta et Δ′\Delta ' sont donc respectivement parallèles à dd et d′d'.
On a donc bien d⊥d′d \bot d'.

Propriété
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
 p. 107.

Définition
On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Remarque

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

Propriété (admise)
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Application et méthode - 1

Énoncé

ABCDE\text{ABCDE} est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de E\text{E} sont des triangles isocèles. On note O\text{O} le centre du carré ABCD\text{ABCD}.
Montrer que la droite (EO)(\text{EO}) est orthogonale au plan (ABC)(\text{ABC}).

Orthogonalité et produit scalaire

Solution


Comme les triangles EAB\text{EAB} et EAD\text{EAD} sont isocèles en E\text{E}, on peut en déduire que EB=ED\text{EB} = \text{ED} et donc le triangle EBD\text{EBD} est isocèle en E\text{E}.
Or, O\text{O} est le milieu du segment [BD][\text{BD}], donc la médiane (EO)(\text{EO}) est la médiatrice de [BD][\text{BD}]. Ainsi, (EO)⊥(BD)(\text{EO}) \bot (\text{BD}). De la même façon, comme AEC\text{AEC} est isocèle en E\text{E}, on en déduit que (EO)⊥(AC)(\text{EO}) \bot (\text{AC}).
Par conséquent, (EO)⊥(ABC)(\text{EO}) \bot (\text{ABC}).

Pour s'entraîner : exercices exercices 24 et 25 p. 102

Méthode

  • On se place dans des configurations planes connues.
  • On cherche deux droites sécantes du plan (ABC)(\text{ABC}) et on démontre qu’elles sont orthogonales à la droite (EO)(\text{EO}).


B
Le produit scalaire dans l’espace


Définition

Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace. Lorsqu’ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→ ;v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\| \times \| \overrightarrow{v} \| \times \cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}).
Lorsque l’un des vecteurs est nul, alors u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.

Remarque

Ici, ∥u→∥\|\overrightarrow{u}\| désigne la longueur OM\text{OM} telle que u→=OM→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}.

Exemple

Dans un tétraèdre régulier ABCD\text{ABCD} de côté 44 cm,
AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(AB→;AC→)=4×4×cos⁡(π3)=8\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=4 \times 4 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 8
Orthogonalité et produit scalaire

Remarque

Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.

Propriété

Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls. On pose trois points O\text{O}, A\text{A} et B\text{B} tels que u→=OA→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} et v→=OB→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}. On appelle H\text{H} le point de (OA)(\text{OA}) tel que (BH)⊥(OA)(\mathrm{BH}) \perp(\mathrm{OA}). Alors :
u→⋅v→={ OA × OH si H∈[OA)− OA ×OH sinon \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\left\{\begin{array}{l} \text { OA } \times \text { OH si } \mathrm{H} \in[\mathrm{OA}) \\ -\text { OA } \times \mathrm{OH} \text { sinon } \end{array}\right..

Remarque

Le point H\text{H} est appelé projeté orthogonal de B\text{B} sur [OA)[\text{OA}) (voir partie 3).

DÉMONSTRATION

On suppose que H∈[OA)\text{H} \in [\text{OA}) (la démonstration H∈[AO)\text{H} \in [\text{AO}) est analogue).
On a u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→ ;v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\| \times\|\overrightarrow{v}\| \times \cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}). Or ∥u→∥= OA\|\overrightarrow{u}\|=\text { OA} et ∥v→∥=OB\|\overrightarrow{v}\|=\mathrm{OB} donc u→⋅v→=OA×OB×cos⁡(OA→;OB→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\mathrm{OA} \times \mathrm{OB} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{OB}}). Or, le triangle OHB\text{OHB} est rectangle en H\text{H} donc OH=OB×cos⁡(OA→ ;OB→)\mathrm{OH}=\mathrm{OB} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{OB}}). D'où u→⋅v→=OA×OH\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\mathrm{OA} \times \mathrm{OH}.

Propriétés

Soient u→\overrightarrow{u}, v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} trois vecteurs et λ\lambda un réel quelconque. Le produit scalaire est :
  • symétrique : u→⋅v→=v→⋅u→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} ;
  • linéaire à gauche : (u→+λv→)⋅w→=u→⋅w→+λ×v→⋅w→(\overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+\lambda \times \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} ;
  • linéaire à droite : u→⋅(λv→+w→)=λ×u→⋅v→+u→⋅w→\overrightarrow{u} \cdot(\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\lambda \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.

Vocabulaire

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l’on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
 p. 107.

Propriété

Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs. On a alors :
u→⋅v→=12[∥u→∥2+∥v→∥2−∥u→−v→∥2]\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\right]

et u→⋅v→=12[∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2] \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}\|^{2}-\|\overrightarrow{v}\|^{2}\right].

Vocabulaire

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
52
 p. 104.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} tels que∥u→∥=3 \|\overrightarrow{u}\|=3 et ∥v→∥=5\|\overrightarrow{v}\|=5. De plus, on donne ∥u→−v→∥=22\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|=\sqrt{22}.
Quelle est la mesure principale de l’angle (u→ ;v→)(\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}) ? Arrondir le résultat au degré près.

Solution


On a, d’une part, u→⋅v→=12[∥u→∥2+∥v→∥2−∥u→−v→∥2]\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\right].
On a donc u→⋅v→=12[9+25−22]\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}[9+25-22] et donc u→⋅v→=6\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=6.
D’autre part, u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→ ;v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\| \times\|\overrightarrow{v}\| \times \cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}). Ainsi, 6=3×5×cos⁡(u→ ;v→)6=3 \times 5 \times \cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}) donc cos⁡(u→ ;v→)=615\cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=\dfrac{6}{15}. On obtient donc (u→ ;v→)=arccos⁡(25)(\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=\arccos \left(\dfrac{2}{5}\right) soit (u→ ;v→)≈66∘(\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}) \approx 66^{\circ}.

Pour s'entraîner : exercices 27 p. 102 et 53 et 54 p. 104

Méthode

On exprime le produit scalaire des vecteurs :
  • en utilisant une des formules qui ne fait pas intervenir l’angle d’une part ;
  • puis en utilisant la formule faisant intervenir le cosinus de l’angle ;
  • on retrouve l’angle grâce à la touche arccos ou cos-1 de la calculatrice.

C
Orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire


Propriété

Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

LOGIQUE
On démontre l’équivalence en démontrant la double implication.

DÉMONSTRATION

Supposons que u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux. Si u→=0→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} ou v→=0→\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} alors u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0. Sinon, on a cos⁡(u→ ;v→)=0\cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=0. On en déduit que u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.
Réciproquement, supposons que u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0. Si u→=0→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} ou v→=0→\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} alors u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux. Sinon ∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→;v→)=0\|\overrightarrow{u}\| \times\|\overrightarrow{v}\| \times \cos (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})=0. Comme u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que cos⁡(u→ ;v→)=0\cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=0 et donc que les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux.

Application et méthode - 3

Énoncé

On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}.
Montrer que les droites (BG)(\text{BG}) et (EC)(\text{EC}) sont orthogonales.
Orthogonalité et produit scalaire

Solution


Calculons BG→⋅EC→\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.
D’après la relation de Chasles, on a EC→=EF→+FC→\overrightarrow{\mathrm{EC}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{FC}}.
Par linéarité, BG→⋅EC→=BG→⋅EF→+BG→⋅FC→\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FC}}.
D’une part, les diagonales du carré BCGF\text{BCGF} sont perpendiculaires donc BG→⋅FC→=0\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FC}}=0. D’autre part, (EF)⊥(BFC)(\mathrm{EF}) \perp(\mathrm{BFC}) donc BG→⋅EF→=0\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}=0.
Ainsi, BG→⋅EC→=0\overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=0 : les droites (BG)(\text{BG}) et (EC)(\text{EC}) sont orthogonales.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 102

Méthode

Pour prouver que deux droites sont orthogonales à l’aide d’un produit scalaire :
  • on décompose l’un des vecteurs à l’aide de la relation de Chasles de façon à ce que les expressions se simplifent ;
  • on montre que le produit scalaire est nul.


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