Orthogonalité et produit scalaire

• Deux droites sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.


• Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.


• Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Dans un cube \text{ABCDEFGH}, les droites (\text{AC}) et (\text{GD}) sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

Pour noter que deux objets sont orthogonaux, on pourra utiliser le symbole \bot.

Supposons que les droites d et d' soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites \Delta et \Delta ' respectivement parallèles à d et d' passant par un point \text{A} telles que \Delta et \Delta ' soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de d et d' sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites \Delta et \Delta ' dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. \Delta et \Delta ' sont donc respectivement parallèles à d et d'.
On a donc bien d \bot d'.

L'intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l'intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est orthogonal à une base de ce plan.

Voir exercice

82

p. 107.

On considère une droite orthogonale à un plan.
Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal au plan.

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace. Lorsqu'ils ne sont pas nuls, on définit leur produit scalaire par \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\| \times \| \vec{v} \| \times \cos (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}).
Lorsque l'un des vecteurs est nul, alors \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.

Ici, \|\overrightarrow{u}\| désigne la longueur \text{OM} telle que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}.

Le point \text{H} est appelé projeté orthogonal de \text{B} sur [\text{OA}) (voir

partie 3

).

Propriétés

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs et \lambda un réel quelconque. Le produit scalaire est :

• symétrique : \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} ;
• linéaire à gauche : (\overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+\lambda \times \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} ;
• linéaire à droite : \overrightarrow{u} \cdot(\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\lambda \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l'on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. On a alors :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\right]
et \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}\|^{2}-\|\overrightarrow{v}\|^{2}\right].

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

On considère deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} tels que \|\overrightarrow{u}\|=3 et \|\overrightarrow{v}\|=5. De plus, on donne \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|=\sqrt{22}. Quelle est la mesure principale de l'angle (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v}) ? Arrondir le résultat au degré près.

On exprime le produit scalaire des vecteurs :

• en utilisant une des formules qui ne fait pas intervenir l'angle d'une part ;
• puis en utilisant la formule faisant intervenir le cosinus de l'angle ;
• on retrouve l'angle grâce à la touche \color{purple}\text{arccos} ou \color{purple}\text{cos}^{—1} de la calculatrice.

Pour prouver que deux droites sont orthogonales à l'aide d'un produit scalaire :

• on décompose l'un des vecteurs à l'aide de la relation de Chasles de façon à ce que les expressions se simplifient ;
• on montre que le produit scalaire est nul.