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Orthogonalité et produit scalaire

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Exemple

Dans un cube $\text{ABCDEFGH}$, les droites $(\text{AC})$ et $(\text{GD})$ sont orthogonales mais pas perpendiculaires : ces droites ne sont pas coplanaires.

L’intersection de deux droites perpendiculaires est nécessairement un point alors que l’intersection de deux droites orthogonales peut être vide.

DÉMONSTRATION

Supposons que les droites $d$ et $d^{\prime }$ soient orthogonales. Par définition, il existe deux droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ respectivement parallèles à $d$ et $d^{\prime }$ passant par un point $\text{A}$ telles que $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ soient perpendiculaires. Comme deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs, on en déduit que les vecteurs directeurs de $d$ et $d^{\prime }$ sont orthogonaux.
Réciproquement, considérons deux vecteurs orthogonaux. Alors il existe deux droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ dirigées par ces vecteurs et passant par un même point qui sont perpendiculaires. $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ sont donc respectivement parallèles à $d$ et $d^{\prime }$.
On a donc bien $d\perp d^{\prime }$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

82

p. 107.

Un plan est uniquement déterminé par un point du plan et un vecteur normal.

$\text{ABCDE}$ est une pyramide à base carrée telle que les faces issues de $\text{E}$ sont des triangles isocèles. On note $\text{O}$ le centre du carré $\text{ABCD}$.
Montrer que la droite $(\text{EO})$ est orthogonale au plan $(\text{ABC})$.

Ici, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ désigne la longueur $\text{OM}$ telle que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$.

Exemple

Dans un tétraèdre régulier $\text{ABCD}$ de côté $4$ cm,
$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\mathrm{A}\mathrm{B}\times \mathrm{A}\mathrm{C}\times \cos (\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}})=4\times 4\times \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=8$

Le tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux.

Le point $\text{H}$ est appelé projeté orthogonal de $\text{B}$ sur $[\text{OA})$ (voir partie 3).

DÉMONSTRATION

On suppose que $\text{H}\in [\text{OA})$ (la démonstration $\text{H}\in [\text{AO})$ est analogue).
On a $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$. Or $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\text{ OA}$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\mathrm{O}\mathrm{B}$ donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\mathrm{O}\mathrm{A}\times \mathrm{O}\mathrm{B}\times \cos (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}})$. Or, le triangle $\text{OHB}$ est rectangle en $\text{H}$ donc $\mathrm{O}\mathrm{H}=\mathrm{O}\mathrm{B}\times \cos (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}})$. D'où $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\mathrm{O}\mathrm{A}\times \mathrm{O}\mathrm{H}$.

Le produit scalaire est dit bilinéaire car le développement que l’on fait sur le vecteur de gauche peut aussi bien se faire à droite.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

82

p. 107.

Ces identités sont appelées les formules de polarisation.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

52

p. 104.

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$. De plus, on donne $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{22}$.
Quelle est la mesure principale de l’angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ ? Arrondir le résultat au degré près.

DÉMONSTRATION

Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$. Sinon, on a $\cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0$. On en déduit que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.
Réciproquement, supposons que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$. Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. Sinon $\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0$. Comme $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas nuls, leur norme non plus. On en déduit alors que $\cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0$ et donc que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$.
Montrer que les droites $(\text{BG})$ et $(\text{EC})$ sont orthogonales.