Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Entraînement 1

Orthogonalité et produit scalaire

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

100

Parcours 3 : exercices

;

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Flash

Dans le cube

ABCDEFGH

d'arête

1

, en décomposant les vecteurs

AG

EC

suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Flash

Dans chacun des cas suivants, calculer

u \cdot v

.

1.

∥ u ∥ = 3

∥ v ∥ = 4

(u; v) = \frac{π}{4}

v = - 2 u

∥ u ∥ = \frac{3}{4}

u

v

dirigent les diagonales d'un losange.

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Flash

Soient deux vecteurs

u

v

tels que

(u; v) = \frac{π}{3}

∥ u ∥ = 8

u \cdot v = 24

.
Que vaut alors

∥ v ∥

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50
[Communiquer.]

ABCDEF

est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points

A

B

C

D

sont coplanaires.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Montrer que

ABCD

est un carré.

2. Soit

O

le centre du carré

ABCD

. Montrer que

O \in (EF)

3. Montrer que la droite

(EF)

est orthogonale au plan

(ABC)

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51
[Raisonner.]

Montrer que les arêtes opposées d'un tétraèdre régulier sont orthogonales.

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52
[Raisonner.]

Démo

On rappelle que, pour tout vecteur

u

u^{2} = u \cdot u = ∥ u ∥^{2}

.

1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer

(u - v)^{2}

(u + v)^{2}

2. Retrouver les formules de polarisation du cours.

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53
[Calculer.]
À l'aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.

$u \cdot v$	$∥ u ∥$	$∥ v ∥$	$∥ u + v ∥$	$∥ u - v ∥$
	$3$	$2$	$4$
$5$	$2$			$3$
$8$	$3$	$4$

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54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre

HARU

, on donne

HA = 2

HR = 3

AR = 4

.

1. À l'aide des formules de polarisation, déterminer le produire scalaire

H A \cdot H R

2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré près de l'angle

R H A

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55
[Calculer.]

Soit

ABCDEFGH

un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.

1.

A B \cdot A C

E G \cdot H F

A F \cdot B E

D H \cdot E F

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56
[Chercher.]

Quelle est la mesure de l'angle formé par deux diagonales d'un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.

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57
[Raisonner.]

TERA

est un tétraèdre régulier de côté

a

B

est le milieu du segment

[RA]

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Déterminer la mesure

α

en degré de l'angle

EBT

Utiliser plusieurs expressions d'un même produit scalaire.

Aide

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58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier

KLMN

, on note

I

le milieu de

[KL]

J

celui de

[MN]

. Calculer

K L \cdot I J

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59
[Raisonner.]

Dans le cube

ABCDEFGH

, on place un point

M

quelconque sur le segment

[AB]

. On note

I

le milieu de

[MF]

J

celui de

[MC]

.

1. Montrer que la droite

(IJ)

est parallèle à la droite

(FC)

puis en déduire que

(IJ)

est parallèle à

(ED)

2. En déduire que

(IJ)

est orthogonale au plan

(ABG)

3. En déduire que

(IJ)

est orthogonale à

(BH)

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60
[Raisonner.]
Soit

ABCDEF

un prisme droit à base triangulaire. On note

G

le centre de gravité de

ABC

G^{'}

celui de

DEF

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Montrer que

GG^{'}

est orthogonal au plan

(ABC)

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61
[Calculer.]

Dans un pavé droit

ABCDEFGH

, on pose

A B = 3

AD = 5

AE = 2

. On note

I

le centre de la face

EFGH

.

1. Calculer la longueur

AC

2. En déduire les longueurs

GI

IA

GA

3. Déterminer une mesure de l'angle

A G I

arrondie au degré près.

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62
[Raisonner.]

Le zoom est accessible dans la version Premium.

ABCDEFGH

est un cube, et

I

L

sont les milieux respectifs des côtés

[AB]

[CD]

. Déterminer une mesure de l'angle

IHL

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63
[Raisonner.]

ABCDEFGH

est un cube. Les points

I

J

K

L

sont les milieux respectifs des côtés

[AB]

[EF]

[GH]

[CD]

.

1. Justifier que

I

est un point du plan

(EKC)

2. Quelle est la nature du quadrilatère

EKCI

3. Soient

M

N

les milieux respectifs de

[AJ]

[JH]

. Justifier que la droite

(MN)

est l'intersection des plans

(EKC)

(AJH)

4. Justifier que

(MN)

est orthogonale à

(EC)

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