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Orthogonalité et produit scalaire

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

47

Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$ d’arête $1$, en décomposant les vecteurs $\overrightarrow{\text{AG}}$ et $\overrightarrow{\text{EC}}$ suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

48

Dans chacun des cas suivants, calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

1.$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3$,$\Vert \overrightarrow{v}\Vert =4$ et $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\frac{\pi }{4}$.

2. $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}$ et $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{3}{4}$.

3. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ dirigent les diagonales d’un losange.

49

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\frac{\pi }{3}$, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =8$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=24$.
Que vaut alors $\Vert \overrightarrow{v}\Vert$ ?

50

[Communiquer.]
$\text{ABCDEF}$ est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont coplanaires.

1. Montrer que $\text{ABCD}$ est un carré.

2. Soit $\text{O}$ le centre du carré $\text{ABCD}$. Montrer que $\text{O}\in (\text{EF})$.

3. Montrer que la droite $(\text{EF})$ est orthogonale au plan $(\text{ABC})$.

51

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier sont orthogonales.

52

[Raisonner.] ◉◉◉ 

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$, ${\overrightarrow{u}}^2=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2$.

1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{)}^2$ et $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{)}^2$.


2. Retrouver les formules de polarisation du cours.

53

[Calculer.]
À l’aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.

54

[Calculer.]
Dans le tétraèdre $\text{HARU}$, on donne $\text{HA}=2$, $\text{HR}=3$ et $\text{AR}=4$.

1. À l’aide des formules de polarisation, déterminer le produire scalaire $\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{R}}$.

2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré près de l’angle $\widehat{\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{A}}$.

55

[Calculer.]◉◉◉
Soit $\text{ABCDEFGH}$ un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.

1. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{G}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{F}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{F}}$

56

[Chercher.] ◉◉◉
Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales d’un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.

57

[Raisonner.]
$\text{TERA}$ est un tétraèdre régulier de côté $a$ et $\text{B}$ est le milieu du segment $[\text{RA}]$.

Déterminer la mesure $\alpha$ en degré de l’angle $\widehat{\text{EBT}}$.

58

[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier $\text{KLMN}$, on note $\text{I}$ le milieu de $[\text{KL}]$ et $\text{J}$ celui de $[\text{MN}]$. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{L}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{I}\mathrm{J}}$.

59

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, on place un point $\text{M}$ quelconque sur le segment $[\text{AB}]$. On note $\text{I}$ le milieu de $[\text{MF}]$ et $\text{J}$ celui de $[\text{MC}]$.

1. Montrer que la droite $(\text{IJ})$ est parallèle à la droite $(\text{FC})$ puis en déduire que $(\text{IJ})$ est parallèle à $(\text{ED})$.

2. En déduire que $(\text{IJ})$ est orthogonale au plan $(\text{ABG})$.

3. En déduire que $(\text{IJ})$ est orthogonale à $(\text{BH})$.

60

[Raisonner.]
Soit $\text{ABCDEF}$ un prisme droit à base triangulaire. On note $\text{G}$ le centre de gravité de $\text{ABC}$ et ${\text{G}}^{\prime }$ celui de $\text{DEF}$.

Montrer que $\overrightarrow{{\text{GG}}^{\prime }}$ est orthogonal au plan $(\text{ABC})$.

61

[Calculer.]◉◉◉
Dans un pavé droit $\text{ABCDEFGH}$, on pose $AB=3$, $\text{AD}=5$ et $\text{AE}=2$. On note $\text{I}$ le centre de la face $\text{EFGH}$.

1. Calculer la longueur$\text{AC}$.

2. En déduire les longueurs $\text{GI}$, $\text{IA}$ et $\text{GA}$.

3. Déterminer une mesure de l’angle $\widehat{AGI}$ arrondie au degré près.

62

[Raisonner.]

$\text{ABCDEFGH}$ est un cube, et $\text{I}$ et $\text{L}$ sont les milieux respectifs des côtés $[\text{AB}]$ et $[\text{CD}]$. Déterminer une mesure de l’angle $\widehat{\text{IHL}}$.

63

[Raisonner.]
$\text{ABCDEFGH}$ est un cube. Les points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$ sont les milieux respectifs des côtés $[\text{AB}]$, $[\text{EF}]$, $[\text{GH}]$ et $[\text{CD}]$.

1. Justifer que $\text{I}$ est un point du plan $(\text{EKC})$.

2. Quelle est la nature du quadrilatère $\text{EKCI}$ ?

3. Soient $\text{M}$ et $\text{N}$ les milieux respectifs de $[\text{AJ}]$ et $[\text{JH}]$. Justifer que la droite $(\text{MN})$ est l’intersection des plans $(\text{EKC})$ et $(\text{AJH})$.

4. Justifer que $(\text{MN})$ est orthogonale à $(\text{EC})$.