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1. Orthogonalité et produit scalaire
P.104-105

Entraînement


1
Orthogonalité et produit scalaire





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

47
FLASH

Dans le cube d’arête , en décomposant les vecteurs et suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
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48
FLASH

Dans chacun des cas suivants, calculer .

1., et .


2. et .


3. et dirigent les diagonales d’un losange.
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49
FLASH

Soient deux vecteurs et tels que , et .
Que vaut alors ?
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50
[Communiquer.]
est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points , , et sont coplanaires.

Orthogonalité et produit scalaire
1. Montrer que est un carré.


2. Soit le centre du carré . Montrer que .


3. Montrer que la droite est orthogonale au plan .
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51
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier sont orthogonales.
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52
[Raisonner.] ◉◉ 
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout vecteur , .

1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer et .


2. Retrouver les formules de polarisation du cours.
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53
[Calculer.]
À l’aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.

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54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre , on donne , et .

1. À l’aide des formules de polarisation, déterminer le produire scalaire .


2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré près de l’angle .
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55
[Calculer.]◉◉
Soit un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.

1.


2.


3.


4.
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56
[Chercher.] ◉◉
Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales d’un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.
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57
[Raisonner.]
est un tétraèdre régulier de côté et est le milieu du segment .

Orthogonalité et produit scalaire

Déterminer la mesure en degré de l’angle .


Aide

Utiliser plusieurs expressions d’un même produit scalaire.
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58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier , on note le milieu de et celui de . Calculer .
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59
[Raisonner.] ◉◉
Dans le cube , on place un point quelconque sur le segment . On note le milieu de et celui de .

1. Montrer que la droite est parallèle à la droite puis en déduire que est parallèle à .


2. En déduire que est orthogonale au plan .


3. En déduire que est orthogonale à .
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60
[Raisonner.]
Soit un prisme droit à base triangulaire. On note le centre de gravité de et celui de .
Orthogonalité et produit scalaire

Montrer que est orthogonal au plan .
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61
[Calculer.]◉◉
Dans un pavé droit , on pose , et . On note le centre de la face .

1. Calculer la longueur.


2. En déduire les longueurs , et .


3. Déterminer une mesure de l’angle arrondie au degré près.

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62
[Raisonner.]
Orthogonalité et produit scalaire

est un cube, et et sont les milieux respectifs des côtés et . Déterminer une mesure de l’angle .
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63
[Raisonner.]
est un cube. Les points , , et sont les milieux respectifs des côtés , , et .

1. Justifer que est un point du plan .


2. Quelle est la nature du quadrilatère ?


3. Soient et les milieux respectifs de et . Justifer que la droite est l’intersection des plans et .


4. Justifer que est orthogonale à .
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