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1. Orthogonalité et produit scalaire
P.104-105

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Entraînement


1
Orthogonalité et produit scalaire





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

47
FLASH

Dans le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} d’arête 11, en décomposant les vecteurs AG\overrightarrow{\text{AG}} et EC\overrightarrow{\text{EC}} suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
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48
FLASH

Dans chacun des cas suivants, calculer uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.

1.u=3 \|\overrightarrow{u}\|=3,v=4\|\overrightarrow{v}\|=4 et (u;v)=π4(\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{4}.


2. v=2u\overrightarrow{v}=-2 \overrightarrow{u} et u=34\|\overrightarrow{u}\|=\dfrac{3}{4}.


3. u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} dirigent les diagonales d’un losange.
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49
FLASH

Soient deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} tels que (u;v)=π3(\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{3}, u=8\|\overrightarrow{u}\|=8 et uv=24 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=24.
Que vaut alors v\| \overrightarrow{v} \| ?
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50
[Communiquer.]
ABCDEF\text{ABCDEF} est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} sont coplanaires.

Orthogonalité et produit scalaire
1. Montrer que ABCD\text{ABCD} est un carré.


2. Soit O\text{O} le centre du carré ABCD\text{ABCD}. Montrer que O(EF)\text{O} \in (\text{EF}).


3. Montrer que la droite (EF)(\text{EF}) est orthogonale au plan (ABC)(\text{ABC}).
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51
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier sont orthogonales.
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52
[Raisonner.] ◉◉ 
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout vecteur u\overrightarrow{u}, u2=uu=u2\overrightarrow{u}^{2}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}=\|\overrightarrow{u}\|^{2}.

1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer (uv)2(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^{2} et (u+v)2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^{2}.


2. Retrouver les formules de polarisation du cours.
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53
[Calculer.]
À l’aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.

uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} u\|\overrightarrow{u}\| v\|\overrightarrow{v}\| u+v\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\| uv\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|
33 22 44
55 22 3\sqrt{3}
88 33 44
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54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre HARU\text{HARU}, on donne HA=2\text{HA} = 2, HR=3\text{HR} = 3 et AR=4\text{AR} = 4.

1. À l’aide des formules de polarisation, déterminer le produire scalaire HAHR\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HR}}.


2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré près de l’angle RHA^\widehat{\mathrm{RHA}}.
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55
[Calculer.]◉◉
Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.

1. ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}


2. EGHF\overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}


3. AFBE\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}


4. DHEF\overrightarrow{\mathrm{DH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}
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56
[Chercher.] ◉◉
Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales d’un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.
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57
[Raisonner.]
TERA\text{TERA} est un tétraèdre régulier de côté aa et B\text{B} est le milieu du segment [RA][\text{RA}].

Orthogonalité et produit scalaire

Déterminer la mesure α\alpha en degré de l’angle EBT^\widehat{\text{EBT}}.


Aide

Utiliser plusieurs expressions d’un même produit scalaire.
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58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier KLMN\text{KLMN}, on note I\text{I} le milieu de [KL][\text{KL}] et J\text{J} celui de [MN][\text{MN}]. Calculer KLIJ\overrightarrow{\mathrm{KL}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.
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59
[Raisonner.] ◉◉
Dans le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, on place un point M\text{M} quelconque sur le segment [AB][\text{AB}]. On note I\text{I} le milieu de [MF][\text{MF}] et J\text{J} celui de [MC][\text{MC}].

1. Montrer que la droite (IJ)(\text{IJ}) est parallèle à la droite (FC)(\text{FC}) puis en déduire que (IJ)(\text{IJ}) est parallèle à (ED)(\text{ED}).


2. En déduire que (IJ)(\text{IJ}) est orthogonale au plan (ABG)(\text{ABG}).


3. En déduire que (IJ)(\text{IJ}) est orthogonale à (BH)(\text{BH}).
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60
[Raisonner.]
Soit ABCDEF\text{ABCDEF} un prisme droit à base triangulaire. On note G\text{G} le centre de gravité de ABC\text{ABC} et G\text{G}' celui de DEF\text{DEF}.
Orthogonalité et produit scalaire

Montrer que GG\overrightarrow{\text{GG}'} est orthogonal au plan (ABC)(\text{ABC}).
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61
[Calculer.]◉◉
Dans un pavé droit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, on pose AB=3AB = 3, AD=5\text{AD} = 5 et AE=2\text{AE} = 2. On note I\text{I} le centre de la face EFGH\text{EFGH}.

1. Calculer la longueurAC \text{AC}.


2. En déduire les longueurs GI\text{GI}, IA\text{IA} et GA\text{GA}.


3. Déterminer une mesure de l’angle AGI^\widehat{AGI} arrondie au degré près.

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62
[Raisonner.]
Orthogonalité et produit scalaire

ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un cube, et I\text{I} et L\text{L} sont les milieux respectifs des côtés [AB][\text{AB}] et [CD][\text{CD}]. Déterminer une mesure de l’angle IHL^\widehat{\text{IHL}}.
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63
[Raisonner.]
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un cube. Les points I\text{I}, J\text{J}, K\text{K} et L\text{L} sont les milieux respectifs des côtés [AB][\text{AB}], [EF][\text{EF}], [GH][\text{GH}] et [CD][\text{CD}].

1. Justifer que I\text{I} est un point du plan (EKC)(\text{EKC}).


2. Quelle est la nature du quadrilatère EKCI\text{EKCI} ?


3. Soient M\text{M} et N\text{N} les milieux respectifs de [AJ][\text{AJ}] et [JH][\text{JH}]. Justifer que la droite (MN)(\text{MN}) est l’intersection des plans (EKC)(\text{EKC}) et (AJH)(\text{AJH}).


4. Justifer que (MN)(\text{MN}) est orthogonale à (EC)(\text{EC}).
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