Dans le cube ABCDEFGH d’arête 1, en décomposant les vecteurs AG et EC suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
48
FLASH
Dans chacun des cas suivants, calculer u⋅v.
1.∥u∥=3,∥v∥=4 et (u;v)=4π.
2.v=−2u et ∥u∥=43.
3.u et v dirigent les diagonales d’un losange.
49
FLASH
Soient deux vecteurs u et v tels que (u;v)=3π, ∥u∥=8 et u⋅v=24.
Que vaut alors ∥v∥ ?
50
[Communiquer.] ABCDEF est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points A, B, C et D sont coplanaires.
1. Montrer que ABCD est un carré.
2. Soit O le centre du carré ABCD.
Montrer que O∈(EF).
3. Montrer que la droite (EF) est orthogonale au plan (ABC).
51
[Raisonner.]◉◉◉
Montrer que les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier sont orthogonales.
52
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
On rappelle que, pour tout vecteur u, u2=u⋅u=∥u∥2.
1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer (u−v)2 et (u+v)2.
2. Retrouver les formules de polarisation du cours.
53
[Calculer.]
À l’aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.
u⋅v
∥u∥
∥v∥
∥u+v∥
∥u−v∥
3
2
4
5
2
3
8
3
4
54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre HARU, on donne HA=2, HR=3 et AR=4.
1. À l’aide des formules de polarisation, déterminer le
produire scalaire HA⋅HR.
2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré
près de l’angle RHA.
55
[Calculer.]◉◉◉
Soit ABCDEFGH un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.
1.AB⋅AC
2.EG⋅HF
3.AF⋅BE
4.DH⋅EF
56
[Chercher.]◉◉◉
Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales
d’un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.
57
[Raisonner.] TERA est un tétraèdre régulier de côté a et B est le milieu du segment [RA].
Déterminer la mesure α en degré de l’angle EBT.
Aide
Utiliser plusieurs expressions d’un même produit scalaire.
58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier KLMN, on note I le milieu de [KL] et J celui de [MN]. Calculer KL⋅IJ.
59
[Raisonner.]◉◉◉
Dans le cube ABCDEFGH, on place un point M quelconque sur le segment [AB]. On note I le milieu de [MF] et J celui de [MC].
1. Montrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (FC) puis en déduire que (IJ) est parallèle à (ED).
2. En déduire que (IJ) est orthogonale au plan (ABG).
3. En déduire que (IJ) est orthogonale à (BH).
60
[Raisonner.]
Soit ABCDEF un prisme droit à base triangulaire. On note G le centre de gravité de ABC et G′ celui de DEF.
Montrer que GG′ est orthogonal au plan (ABC).
61
[Calculer.]◉◉◉
Dans un pavé droit ABCDEFGH, on pose AB=3,
AD=5 et AE=2.
On note I le centre de la face EFGH.
1. Calculer la longueurAC.
2. En déduire les longueurs GI, IA et GA.
3. Déterminer une mesure de l’angle AGI arrondie au degré près.
62
[Raisonner.]
ABCDEFGH est un cube, et I et L sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD]. Déterminer une mesure de l’angle IHL.
63
[Raisonner.] ABCDEFGH est un cube. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [EF], [GH] et [CD].
1. Justifier que I est un point du plan (EKC).
2. Quelle est la nature du quadrilatère EKCI ?
3. Soient M et N les milieux respectifs de [AJ] et [JH]. Justifier que la droite (MN) est l’intersection des plans (EKC) et (AJH).
4. Justifier que (MN) est orthogonale à (EC).
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