Dans le cube \text{ABCDEFGH} d'arête 1, en décomposant les vecteurs \overrightarrow{\text{AG}} et \overrightarrow{\text{EC}} suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Dans chacun des cas suivants, calculer \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.

1. \|\overrightarrow{u}\|=3,\|\overrightarrow{v}\|=4 et (\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v})=\frac{\pi}{4}.

2. \overrightarrow{v}=-2 \overrightarrow{u} et \|\overrightarrow{u}\|=\frac{3}{4}.

3. \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} dirigent les diagonales d'un losange.

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Soient deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} tels que (\overrightarrow{u} \: ; \overrightarrow{v})=\frac{\pi}{3}, \|\overrightarrow{u}\|=8 et \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=24.
Que vaut alors \| \overrightarrow{v} \| ?

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50
[Communiquer.]

\text{ABCDEF} est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont coplanaires.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Montrer que \text{ABCD} est un carré.

2. Soit \text{O} le centre du carré \text{ABCD}. Montrer que \text{O} \in (\text{EF}).

3. Montrer que la droite (\text{EF}) est orthogonale au plan (\text{ABC}).

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51
[Raisonner.]

Montrer que les arêtes opposées d'un tétraèdre régulier sont orthogonales.

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52
[Raisonner.]

Démo

On rappelle que, pour tout vecteur \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}^{2}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}=\|\overrightarrow{u}\|^{2}.

1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^{2} et (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^{2}.

2. Retrouver les formules de polarisation du cours.

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53
[Calculer.]
À l'aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}	\\|\overrightarrow{u}\\|	\\|\overrightarrow{v}\\|	\\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\\|	\\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\\|
	3	2	4
5	2			\sqrt{3}
8	3	4

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54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre \text{HARU}, on donne \text{HA} = 2, \text{HR} = 3 et \text{AR} = 4.

1. À l'aide des formules de polarisation, déterminer le produire scalaire \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HR}}.

2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré près de l'angle \widehat{\mathrm{RHA}}.

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55
[Calculer.]

Soit \text{ABCDEFGH} un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.

1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. \overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}

4. \overrightarrow{\mathrm{DH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}

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56
[Chercher.]

Quelle est la mesure de l'angle formé par deux diagonales d'un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.

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57
[Raisonner.]

\text{TERA} est un tétraèdre régulier de côté a et \text{B} est le milieu du segment [\text{RA}].

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Déterminer la mesure \alpha en degré de l'angle \widehat{\text{EBT}}.

Aide

Utiliser plusieurs expressions d'un même produit scalaire.

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58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier \text{KLMN}, on note \text{I} le milieu de [\text{KL}] et \text{J} celui de [\text{MN}]. Calculer \overrightarrow{\mathrm{KL}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.

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59
[Raisonner.]

Dans le cube \text{ABCDEFGH}, on place un point \text{M} quelconque sur le segment [\text{AB}]. On note \text{I} le milieu de [\text{MF}] et \text{J} celui de [\text{MC}].

1. Montrer que la droite (\text{IJ}) est parallèle à la droite (\text{FC}) puis en déduire que (\text{IJ}) est parallèle à (\text{ED}).

2. En déduire que (\text{IJ}) est orthogonale au plan (\text{ABG}).

3. En déduire que (\text{IJ}) est orthogonale à (\text{BH}).

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60
[Raisonner.]
Soit \text{ABCDEF} un prisme droit à base triangulaire. On note \text{G} le centre de gravité de \text{ABC} et \text{G}' celui de \text{DEF}.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Montrer que \overrightarrow{\text{GG}'} est orthogonal au plan (\text{ABC}).

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61
[Calculer.]

Dans un pavé droit \text{ABCDEFGH}, on pose AB = 3, \text{AD} = 5 et \text{AE} = 2. On note \text{I} le centre de la face \text{EFGH}.

1. Calculer la longueur \text{AC}.

2. En déduire les longueurs \text{GI}, \text{IA} et \text{GA}.

3. Déterminer une mesure de l'angle \widehat{AGI} arrondie au degré près.

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62
[Raisonner.]

Le zoom est accessible dans la version Premium.

\text{ABCDEFGH} est un cube, et \text{I} et \text{L} sont les milieux respectifs des côtés [\text{AB}] et [\text{CD}]. Déterminer une mesure de l'angle \widehat{\text{IHL}}.

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63
[Raisonner.]
\text{ABCDEFGH} est un cube. Les points \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L} sont les milieux respectifs des côtés [\text{AB}], [\text{EF}], [\text{GH}] et [\text{CD}].

1. Justifier que \text{I} est un point du plan (\text{EKC}).

2. Quelle est la nature du quadrilatère \text{EKCI} ?

3. Soient \text{M} et \text{N} les milieux respectifs de [\text{AJ}] et [\text{JH}]. Justifier que la droite (\text{MN}) est l'intersection des plans (\text{EKC}) et (\text{AJH}).

4. Justifier que (\text{MN}) est orthogonale à (\text{EC}).

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