Dans le cube ABCDEFGH d’arête 1, en décomposant les vecteurs AG et EC suivant les arêtes du cube, montrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
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48
FLASH
Dans chacun des cas suivants, calculer u⋅v.
1.∥u∥=3,∥v∥=4 et (u;v)=4π.
2.v=−2u et ∥u∥=43.
3.u et v dirigent les diagonales d’un losange.
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49
FLASH
Soient deux vecteurs u et v tels que (u;v)=3π, ∥u∥=8 et u⋅v=24.
Que vaut alors ∥v∥ ?
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50
[Communiquer.] ABCDEF est un octaèdre régulier composé de huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux. Les points A, B, C et D sont coplanaires.
1. Montrer que ABCD est un carré.
2. Soit O le centre du carré ABCD.
Montrer que O∈(EF).
3. Montrer que la droite (EF) est orthogonale au plan (ABC).
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51
[Raisonner.]◉◉◉
Montrer que les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier sont orthogonales.
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52
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
On rappelle que, pour tout vecteur u, u2=u⋅u=∥u∥2.
1. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, développer et simplifer (u−v)2 et (u+v)2.
2. Retrouver les formules de polarisation du cours.
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53
[Calculer.]
À l’aide des formules de polarisation, retrouver les valeurs manquantes.
u⋅v
∥u∥
∥v∥
∥u+v∥
∥u−v∥
3
2
4
5
2
3
8
3
4
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54
[Calculer.]
Dans le tétraèdre HARU, on donne HA=2, HR=3 et AR=4.
1. À l’aide des formules de polarisation, déterminer le
produire scalaire HA⋅HR.
2. En déduire une mesure arrondie au dixième de degré
près de l’angle RHA.
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55
[Calculer.]◉◉◉
Soit ABCDEFGH un pavé droit.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ? Justifer.
1.AB⋅AC
2.EG⋅HF
3.AF⋅BE
4.DH⋅EF
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56
[Chercher.]◉◉◉
Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales
d’un cube ? Donner le résultat arrondi au degré près.
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57
[Raisonner.] TERA est un tétraèdre régulier de côté a et B est le milieu du segment [RA].
Déterminer la mesure α en degré de l’angle EBT.
Aide
Utiliser plusieurs expressions d’un même produit scalaire.
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58
[Calculer.]
Dans un tétraèdre régulier KLMN, on note I le milieu de [KL] et J celui de [MN]. Calculer KL⋅IJ.
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59
[Raisonner.]◉◉◉
Dans le cube ABCDEFGH, on place un point M quelconque sur le segment [AB]. On note I le milieu de [MF] et J celui de [MC].
1. Montrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (FC) puis en déduire que (IJ) est parallèle à (ED).
2. En déduire que (IJ) est orthogonale au plan (ABG).
3. En déduire que (IJ) est orthogonale à (BH).
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60
[Raisonner.]
Soit ABCDEF un prisme droit à base triangulaire. On note G le centre de gravité de ABC et G′ celui de DEF.
Montrer que GG′ est orthogonal au plan (ABC).
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61
[Calculer.]◉◉◉
Dans un pavé droit ABCDEFGH, on pose AB=3,
AD=5 et AE=2.
On note I le centre de la face EFGH.
1. Calculer la longueurAC.
2. En déduire les longueurs GI, IA et GA.
3. Déterminer une mesure de l’angle AGI arrondie au degré près.
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62
[Raisonner.]
ABCDEFGH est un cube, et I et L sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD]. Déterminer une mesure de l’angle IHL.
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63
[Raisonner.] ABCDEFGH est un cube. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [EF], [GH] et [CD].
1. Justifer que I est un point du plan (EKC).
2. Quelle est la nature du quadrilatère EKCI ?
3. Soient M et N les milieux respectifs de [AJ] et [JH]. Justifer que la droite (MN) est l’intersection des plans (EKC) et (AJH).
4. Justifer que (MN) est orthogonale à (EC).
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