Projection orthogonale

Parcours 1 : exercices

55

;

61

;

73

;

89

et

93

Parcours 2 : exercices

52

;

56

;

59

;

69

;

81

;

94

et

100

Parcours 3 : exercices

51

;

78

;

96

et

99

85

Dans chaque cas, déterminer si le point \text{R} est le projeté orthogonal du point \text{V} sur le plan \mathcal{P}. Justifer

1. \mathrm{R}(2 \: ; 1 \: ; 4), \mathrm{V}(1 \: ; 2 \: ; 3) et \mathcal{P}: x-y+z-2=0.

2. \mathrm{R}(2 \: ;-5 \: ; 1), \mathrm{V}(1 \: ; 1 \: ; 2) et \mathcal{P}: 2 x+y-4 z+5=0.

86

On considère la droite d de représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x=t+2 \\ y=-3 t+4\\ z=2 t-5 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point \text{K} est le projeté orthogonal du point \text{H} sur d. Justifer.

1. \mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;-5) et \mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).

2. \mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;2) et \mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).

3.\mathrm{H}(16 \: ; 4 \: ;-5) et \mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).

4. \mathrm{H}(0 \: ; -1 \: ;1) et \mathrm{K}(1 \: ; 0 \: ;2).

87

Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point \text{C} et le plan \mathcal{M} d'équation -2 x+3 y-6 z+12=0.

1. \text{C} (-2 \: ; 1 \: ; 2)

2. \text{C} (1 \: ; 1 \: ; 0)

3. \text{C} (7 \: ; -2 \: ; 1)

4. \text{C} (3 \: ; 2 \: ; 2)

88

[Raisonner.]
Dans le cube \text{ABCDEFGH}, on note \text{R} le centre de la face \text{ABCD} et \text{P} celui de la face \text{EFGH}.

1. a. Montrer que \overrightarrow{\text{AC}} est normal au plan (\text{FBD}).

b. Quel est le point d'intersection entre la droite (\text{EG}) et le plan (\text{FBD}) ?

c. Déterminer le projeté orthogonal de \text{G} sur (\text{FBD}).

2. Déterminer le projeté orthogonal de \text{D} sur (\text{EAC}).

89

[Calculer.] Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point \text{R} sur le plan \mathcal{B}.

1. \mathrm{R}(7 \: ;-2 \: ; 6) et \mathcal{B}:-x+y+3 z+2=0.

2. \mathrm{R}(5 \: ;2 \: ; -3) et \mathcal{B}:x+2y-z+3=0.

3. \mathrm{R}(-1 \: ;-2 \: ; -1) et \mathcal{B}:x+y+2z-2=0.

90

[Calculer.]
On considère la droite d de représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-t \\ z=2 t-2 \end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point \text{U} sur la droite d.

1. \text{U}(2 \: ; 2 \: ;-2)

2. \text{U}(1 \: ; 1 \: ;1)

3. \text{U}(2 \: ; 4 \: ;2)

4. \text{U}(0 \: ; 1 \: ;0)

91

[Raisonner.] 
En vous inspirant de la

démonstration du cours p. 96

pour le plan et de la propriété concernant les distances d'un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur la droite \text{D}, alors d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}. »

93

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point \text{N} et le plan \mathcal{R}.

1. \mathrm{N}(3 \: ; 4 \:; 1) et \mathcal{R}: 2 x-2 y+z+4=0.

2. \mathrm{N}(4 \: ; \sqrt{5} \: ; 4) et \mathcal{R}:-4 x+\sqrt{5} y+2 z+13=0.

3. \mathrm{N}(1 \: ; 1 \: ; 1) et \mathcal{R}:x+y+z=0.

92

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point \text{E} et la droite \Delta : \left\{\begin{array}{l} x=2 k-4 \\ y=k+1 \quad, k \in \mathbb{R}. \\ z=-5 k+6 \end{array}\right.

1. \text{E}(-1 \: ; 0 \: ;1)

2. \text{E}(-1 \: ; 0 \: ;7)

3. \text{E}(-3{,}8 \: ; 1{,}1 \: ;5{,}5)

4. \text{E}(-25 \: ; -7 \: ; 10)

95

[Calculer.]
Dans le cube \text{ABCDEFGH}, on considère le repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}). On note \text{K} le centre du carré \text{ABFE}.

1. Justifer que le plan (\text{ACE}) admet pour équation x - y = 0.

2. Calculer les coordonnées de \text{H}, projeté orthogonal du point \text{K} sur le plan (\text{ACE}).

97

[Calculer.]
Dans un cube \text{ABCDEFGH} d'arête 3\text{ cm}, on pose \overrightarrow{i}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{j}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{k}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}} et on définit ainsi le repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}). On note \text{O}_1 et \text{O}_2 les centres respectifs des faces \text{ABCD} et \text{ABFE}.

1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale (\text{HB}), déterminer la distance des points \text{O}_1 et \text{O}_2 à la droite (\text{HB}).

2. a. Montrer que \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (\text{ABG}).

b. Déterminer alors une équation du plan (\text{ABG}).

c. Calculer la distance des points \text{O}_1 et \text{O}_2 au plan (\text{ABG}).

96

[Raisonner.]
Soient \mathcal{P} le plan d'équation a x+b y+c z+d=0 où a, b, c et d sont des réels, \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) un vecteur normal à \mathcal{P} et \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\mathrm{A}}\right) un point quelconque de l'espace. On considère un point \mathrm{M}(x \: ; y \: ; z) appartenant au plan \mathcal{P} et on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur \text{P}.

1. Justifer que \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}.

2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer \overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}.

3. Que peut-on dire de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AH}} \: , \overrightarrow{n}) ?

4. En déduire que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}|=\mathrm{AH} \times\|\overrightarrow{n}\|.

5. En remarquant que d=-a x-b y-c z, simplifer l'expression analytique de \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}.

6. En déduire une expression de la distance de \text{A} à \mathcal{P}.

98

[Communiquer.]
On considère les points \text{R}(1 \: ;0 \: ;0), \text{I}(0 \: ; 1 \: ; 0), \text{E}(0 \: ; 0 \: ; 1) et \text{N} (1 \: ; 1 \: ; 1).

1. Justifer que x + y + z - 1 = 0 est une équation du plan (\text{RIE}).

2. Déterminer les coordonnées du point \text{J}, projeté orthogonal du point \text{N} sur le plan (\text{RIE}).

3. Montrer que \text{J} est le centre de gravité de \text{RIE}.

99

[Calculer.]
On considère trois points de l'espace \text{F}(0 \: ;-1 \: ;1), \text{G}(2 \: ; -1 \: ; 3), \text{H}(4 \: ; -5 \: ; 3) et un plan \mathcal{P} d'équation x-y+2 z+3=0.

1. Déterminer les coordonnées des points \text{P}, \text{Q} et \text{R}, projetés orthogonaux respectifs des points \text{F}, \text{G} et \text{H} sur le plan \mathcal{P}.

2. Calculer \overrightarrow{\mathrm{FG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}} et \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}.

3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.

100

[Communiquer.]
On considère les points \text{A}(-3 \: ;0 \: ; 0), \text{B}(0 \: ; -3 \: ; 0), \text{C}(0 \: ; 0 \: ; 3) et \text{D}(-3 \: ; -3 \: ; 3). On admet que \text{ABCD} est un tétraèdre régulier.

1. Prouver que \text{H}(-2 \: ;-2 \: ; 1) est le projeté orthogonal du point \text{C} sur (\text{ABD}).

2. Prouver que \text{G}(-1 \: ;-2 \: ; 2) est le projeté orthogonal du point \text{A} sur (\text{BCD}).

3. a. Vérifer que le plan (\text{ACD}) admet pour équation x - y - z + 3 = 0.

b. Déterminer les coordonnées du point \text{F}, projeté orthogonal de \text{B} sur le plan (\text{ACD}).

4. a. Prouver que \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (\text{ABC}).

b. Déterminer les coordonnées du point \text{E}, projeté orthogonal de \text{D} sur le plan (\text{ABC}).

5. Justifer que \text{EFGH} est un tétraèdre régulier.

101

[Raisonner.]
Soient \text{E}(-2{,}5 \: ;0{,}5 \: ;-1), \text{D}(3 \: ; 4 \: ; 3), \text{F}(2 \: ; -1 \: ; 5) trois points de l'espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{ED}} et \overrightarrow{\text{EF}}.

2. Justifer que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (\text{EDF}).

3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de \text{E} sur la droite (\text{DF}).

4. En déduire l'aire du triangle \text{EDF}.