3

Projection orthogonale

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ dans les exercices suivants.

85

Dans chaque cas, déterminer si le point $\text{R}$ est le projeté orthogonal du point $\text{V}$ sur le plan $\mathcal{P}$. Justifer

1. $\mathrm{R}(2;1;4)$, $\mathrm{V}(1;2;3)$ et $\mathcal{P}:x-y+z-2=0$.

2. $\mathrm{R}(2;-5;1)$, $\mathrm{V}(1;1;2)$ et $\mathcal{P}:2x+y-4z+5=0$.

86

On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=-3t+4\\ z=2t-5\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point $\text{K}$ est le projeté orthogonal du point $\text{H}$ sur $d$. Justifer.

1. $\mathrm{H}(2;4;-5)$ et $\mathrm{K}(3;1;-3)$.


2. $\mathrm{H}(2;4;2)$ et $\mathrm{K}(3;1;-3)$.


3.$\mathrm{H}(16;4;-5)$ et $\mathrm{K}(3;1;-3)$.


4. $\mathrm{H}(0;-1;1)$ et $\mathrm{K}(1;0;2)$.

87

Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point $\text{C}$ et le plan $\mathcal{M}$ d’équation $-2x+3y-6z+12=0$.

1. $\text{C}(-2;1;2)$

2. $\text{C}(1;1;0)$

3. $\text{C}(7;-2;1)$

4. $\text{C}(3;2;2)$

88

[Raisonner.]
Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, on note $\text{R}$ le centre de la face $\text{ABCD}$ et $\text{P}$ celui de la face $\text{EFGH}$.

1. a. Montrer que $\overrightarrow{\text{AC}}$ est normal au plan $(\text{FBD})$.

b. Quel est le point d’intersection entre la droite $(\text{EG})$ et le plan $(\text{FBD})$ ?


c. Déterminer le projeté orthogonal de $\text{G}$ sur $(\text{FBD})$.


2. Déterminer le projeté orthogonal de $\text{D}$ sur $(\text{EAC})$.

89

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point $\text{R}$ sur le plan $\mathcal{B}$.

1. $\mathrm{R}(7;-2;6)$ et $\mathcal{B}:-x+y+3z+2=0$.


2. $\mathrm{R}(5;2;-3)$ et $\mathcal{B}:x+2y-z+3=0$.


3. $\mathrm{R}(-1;-2;-1)$ et $\mathcal{B}:x+y+2z-2=0$.

90

[Calculer.]
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=-2t+3\\ y=-t\\ z=2t-2\end{array},t\in \mathbb{R}$.
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point $\text{U}$ sur la droite $d$.

1. $\text{U}(2;2;-2)$


2. $\text{U}(1;1;1)$


3. $\text{U}(2;4;2)$


4. $\text{U}(0;1;0)$

91

[Raisonner.] 

[DÉMO]

En vous inspirant de la démonstration du cours p. 96 pour le plan et de la propriété concernant les distances d’un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur la droite $\text{D}$, alors $d(\mathrm{A},\mathcal{D})=\mathrm{A}\mathrm{H}$. »

92

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point $\text{E}$ et la droite $\Delta$ : $\{\begin{array}{l}x=2k-4\\ y=k+1,k\in \mathbb{R}.\\ z=-5k+6\end{array}$

1. $\text{E}(-1;0;1)$


2. $\text{E}(-1;0;7)$


3. $\text{E}(-3,8;1,1;5,5)$


4. $\text{E}(-25;-7;10)$

93

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point $\text{N}$ et le plan $\mathcal{R}$.

1. $\mathrm{N}(3;4;1)$ et $\mathcal{R}:2x-2y+z+4=0$.

2. $\mathrm{N}(4;\sqrt{5};4)$ et $\mathcal{R}:-4x+\sqrt{5}y+2z+13=0$.

3. $\mathrm{N}(1;1;1)$ et $\mathcal{R}:x+y+z=0$.

94

[Représenter.] ◉◉◉
On considère les points $\mathrm{C}(1;0;0)$, $\mathrm{T}(0;1;0)$, $\mathrm{A}(-1;0;0)$, $\mathrm{E}(0;-1;0)$, $\mathrm{D}(0;0;1)$ et $\mathrm{R}(0;0;-1)$.

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1. Placer les points dans GeoGebra puis donner la nature de $\text{CTAEDR}$. Quelle est la longueur d’une arête ?


2. Quel est le projeté orthogonal de $\text{D}$ sur $(\text{CTA})$ ?


3. a. Justifer qu’une équation du plan $(\text{AED})$ est $x+y-z+1=0$. En déduire un vecteur normal à $(\text{AED})$.


b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l’origine du repère sur le plan $(\text{AED})$.

95

[Calculer.]
Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, on considère le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$. On note $\text{K}$ le centre du carré $\text{ABFE}$.

1. Justifer que le plan $(\text{ACE})$ admet pour équation $x-y=0$.

2. Calculer les coordonnées de $\text{H}$, projeté orthogonal du point $\text{K}$ sur le plan $(\text{ACE})$.

96

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Soient $\mathcal{P}$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels, $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ un vecteur normal à $\mathcal{P}$ et $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}};z_{\mathrm{A}}\right)$ un point quelconque de l’espace. On considère un point $\mathrm{M}(x;y;z)$ appartenant au plan $\mathcal{P}$ et on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur $\text{P}$.

1. Justifer que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{n}$.


2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{n}$.


3. Que peut-on dire de l’angle $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}},\overrightarrow{n})$ ?


4. En déduire que $|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{n}|=\mathrm{A}\mathrm{H}\times \Vert \overrightarrow{n}\Vert$.


5. En remarquant que $d=-ax-by-cz$, simplifer l’expression analytique de $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \overrightarrow{n}$.


6. En déduire une expression de la distance de $\text{A}$ à $\mathcal{P}$.

97

[Calculer.]
Dans un cube $\text{ABCDEFGH}$ d’arête $3\text{ cm}$, on pose $\overrightarrow{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{j}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$ et $\overrightarrow{k}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$ et on définit ainsi le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On note ${\text{O}}_1$ et ${\text{O}}_2$ les centres respectifs des faces $\text{ABCD}$ et $\text{ABFE}$.

1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale $(\text{HB})$, déterminer la distance des points ${\text{O}}_1$ et ${\text{O}}_2$ à la droite $(\text{HB})$.

2. a. Montrer que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABG})$.

b. Déterminer alors une équation du plan $(\text{ABG})$.

c. Calculer la distance des points ${\text{O}}_1$ et ${\text{O}}_2$ au plan $(\text{ABG})$.

98

[Communiquer.]
On considère les points $\text{R}(1;0;0)$, $\text{I}(0;1;0)$, $\text{E}(0;0;1)$ et $\text{N}(1;1;1)$.

1. Justifer que $x+y+z-1=0$ est une équation du plan $(\text{RIE})$.

2. Déterminer les coordonnées du point $\text{J}$, projeté orthogonal du point $\text{N}$ sur le plan $(\text{RIE})$.

3. Montrer que $\text{J}$ est le centre de gravité de $\text{RIE}$.

99

[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois points de l'espace $\text{F}(0;-1;1)$, $\text{G}(2;-1;3)$, $\text{H}(4;-5;3)$ et un plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-y+2z+3=0$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$, projetés orthogonaux respectifs des points $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ sur le plan $\mathcal{P}$.


2. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{G}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{H}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}$.


3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.

100

[Communiquer.] ◉◉◉
On considère les points $\text{A}(-3;0;0)$, $\text{B}(0;-3;0)$, $\text{C}(0;0;-3)$ et $\text{D}(-3;-3;3)$. On admet que $\text{ABCD}$ est un tétraèdre régulier.

1. Prouver que $\text{H}(-2;-2;1)$ est le projeté orthogonal du point $\text{C}$ sur $(\text{ABD})$.


2. Prouver que $\text{G}(-1;-2;2)$ est le projeté orthogonal du point $\text{A}$ sur $(\text{BCD})$.


3. a. Vérifer que le plan $(\text{ACD})$ admet pour équation $x-y-z+3=0$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$, projeté orthogonal de $\text{B}$ sur le plan $(\text{ACD})$.


4. a. Prouver que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{E}$, projeté orthogonal de $\text{D}$ sur le plan $(\text{ABC})$.


5. Justifer que $\text{EFGH}$ est un tétraèdre régulier.

101

[Raisonner.]
Soient $\text{E}(-2,5;0,5;-1)$, $\text{D}(3;4;3)$, $\text{F}(2;-1;5)$ trois points de l’espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{ED}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$.

2. Justifer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 8\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(\text{EDF})$.

3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de $\text{E}$ sur la droite $(\text{DF})$.

4. En déduire l’aire du triangle $\text{EDF}$.