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3. Projection orthogonale
P.108-109

Entraînement


3
Projection orthogonale





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormé dans les exercices suivants.

85
FLASH

Dans chaque cas, déterminer si le point est le projeté orthogonal du point sur le plan . Justifer

1. , et .


2. , et .

86
FLASH

On considère la droite de représentation paramétrique , .
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point est le projeté orthogonal du point sur . Justifer.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

87
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point et le plan d’équation .

1.


2.


3.


4.

88
[Raisonner.]
Dans le cube , on note le centre de la face et celui de la face .

1. a. Montrer que est normal au plan .


b. Quel est le point d’intersection entre la droite et le plan ?


c. Déterminer le projeté orthogonal de sur .


2. Déterminer le projeté orthogonal de sur .

89
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan .

1. et .


2. et .


3. et .

90
[Calculer.]
On considère la droite de représentation paramétrique .
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite .

1.


2.


3.


4.

91
[Raisonner.
[DÉMO]

En vous inspirant de la démonstration du cours p. 96 pour le plan et de la propriété concernant les distances d’un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note le projeté orthogonal de sur la droite , alors . »

92
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point et la droite :

1.


2.


3.


4.

93
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point et le plan .

1. et .


2. et .


3. et .

94
GEOGEBRA
[Représenter.] ◉◉
On considère les points , , , , et .

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1. Placer les points dans GeoGebra puis donner la nature de . Quelle est la longueur d’une arête ?


2. Quel est le projeté orthogonal de sur ?


3. a. Justifer qu’une équation du plan est . En déduire un vecteur normal à .


b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l’origine du repère sur le plan .

95
[Calculer.]
Dans le cube , on considère le repère orthonormé . On note le centre du carré .

1. Justifer que le plan admet pour équation .


2. Calculer les coordonnées de , projeté orthogonal du point sur le plan .

96
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soient le plan d’équation , , et sont des réels, un vecteur normal à et un point quelconque de l’espace. On considère un point appartenant au plan et on note le projeté orthogonal de sur .

1. Justifer que .


2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer .


3. Que peut-on dire de l’angle ?


4. En déduire que .


5. En remarquant que , simplifer l’expression analytique de .


6. En déduire une expression de la distance de à .

97
[Calculer.]
Dans un cube d’arête , on pose , et et on définit ainsi le repère orthonormé . On note et les centres respectifs des faces et .

1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale , déterminer la distance des points et à la droite .


2. a. Montrer que est un vecteur normal au plan .


b. Déterminer alors une équation du plan .


c. Calculer la distance des points et au plan .

98
[Communiquer.]
On considère les points , , et .

1. Justifer que est une équation du plan .


2. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal du point sur le plan .


3. Montrer que est le centre de gravité de .

99
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois points de l'espace , , et un plan d'équation .

1. Déterminer les coordonnées des points , et , projetés orthogonaux respectifs des points , et sur le plan .


2. Calculer et .


3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.

100
[Communiquer.] ◉◉
On considère les points , , et . On admet que est un tétraèdre régulier.

1. Prouver que est le projeté orthogonal du point sur .


2. Prouver que est le projeté orthogonal du point sur .


3. a. Vérifer que le plan admet pour équation .


b. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur le plan .


4. a. Prouver que est un vecteur normal au plan .


b. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur le plan .


5. Justifer que est un tétraèdre régulier.

101
[Raisonner.]
Soient , , trois points de l’espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs et .


2. Justifer que le vecteur est un vecteur normal au plan .


3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de sur la droite .


4. En déduire l’aire du triangle .
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