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3. Projection orthogonale
P.108-109

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Entraînement


3
Projection orthogonale





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k)(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) dans les exercices suivants.

85
FLASH

Dans chaque cas, déterminer si le point R\text{R} est le projeté orthogonal du point V\text{V} sur le plan P\mathcal{P}. Justifer

1. R(2;1;4)\mathrm{R}(2 \: ; 1 \: ; 4), V(1;2;3)\mathrm{V}(1 \: ; 2 \: ; 3) et P:xy+z2=0\mathcal{P}: x-y+z-2=0.


2. R(2;5;1)\mathrm{R}(2 \: ;-5 \: ; 1), V(1;1;2)\mathrm{V}(1 \: ; 1 \: ; 2) et P:2x+y4z+5=0\mathcal{P}: 2 x+y-4 z+5=0.
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86
FLASH

On considère la droite dd de représentation paramétrique {x=t+2y=3t+4z=2t5\left\{\begin{array}{l} x=t+2 \\ y=-3 t+4\\ z=2 t-5 \end{array}\right., tRt \in \mathbb{R}.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point K\text{K} est le projeté orthogonal du point H\text{H} sur dd. Justifer.

1. H(2;4;5)\mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;-5) et K(3;1;3)\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).


2. H(2;4;2)\mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;2) et K(3;1;3)\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).


3.H(16;4;5)\mathrm{H}(16 \: ; 4 \: ;-5) et K(3;1;3)\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3).


4. H(0;1;1)\mathrm{H}(0 \: ; -1 \: ;1) et K(1;0;2)\mathrm{K}(1 \: ; 0 \: ;2).
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87
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point C\text{C} et le plan M\mathcal{M} d’équation 2x+3y6z+12=0-2 x+3 y-6 z+12=0.

1. C(2;1;2)\text{C} (-2 \: ; 1 \: ; 2)


2. C(1;1;0)\text{C} (1 \: ; 1 \: ; 0)


3. C(7;2;1)\text{C} (7 \: ; -2 \: ; 1)


4. C(3;2;2)\text{C} (3 \: ; 2 \: ; 2)
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88
[Raisonner.]
Dans le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, on note R\text{R} le centre de la face ABCD\text{ABCD} et P\text{P} celui de la face EFGH\text{EFGH}.

1. a. Montrer que AC\overrightarrow{\text{AC}} est normal au plan (FBD)(\text{FBD}).


b. Quel est le point d’intersection entre la droite (EG)(\text{EG}) et le plan (FBD)(\text{FBD}) ?


c. Déterminer le projeté orthogonal de G\text{G} sur (FBD)(\text{FBD}).


2. Déterminer le projeté orthogonal de D\text{D} sur (EAC)(\text{EAC}).
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89
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point R\text{R} sur le plan B\mathcal{B}.

1. R(7;2;6)\mathrm{R}(7 \: ;-2 \: ; 6) et B:x+y+3z+2=0\mathcal{B}:-x+y+3 z+2=0.


2. R(5;2;3)\mathrm{R}(5 \: ;2 \: ; -3) et B:x+2yz+3=0\mathcal{B}:x+2y-z+3=0.


3. R(1;2;1)\mathrm{R}(-1 \: ;-2 \: ; -1) et B:x+y+2z2=0\mathcal{B}:x+y+2z-2=0.
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90
[Calculer.]
On considère la droite dd de représentation paramétrique {x=2t+3y=tz=2t2,tR\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-t \\ z=2 t-2 \end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point U\text{U} sur la droite dd.

1. U(2;2;2)\text{U}(2 \: ; 2 \: ;-2)


2. U(1;1;1)\text{U}(1 \: ; 1 \: ;1)


3. U(2;4;2)\text{U}(2 \: ; 4 \: ;2)


4. U(0;1;0)\text{U}(0 \: ; 1 \: ;0)
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91
[Raisonner.
[DÉMO]

En vous inspirant de la démonstration du cours p. 96 pour le plan et de la propriété concernant les distances d’un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note H\text{H} le projeté orthogonal de A\text{A} sur la droite D\text{D}, alors d(A,D)=AHd(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}. »
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92
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point E\text{E} et la droite Δ\Delta : {x=2k4y=k+1,kR.z=5k+6\left\{\begin{array}{l} x=2 k-4 \\ y=k+1 \quad, k \in \mathbb{R}. \\ z=-5 k+6 \end{array}\right.

1. E(1;0;1)\text{E}(-1 \: ; 0 \: ;1)


2. E(1;0;7)\text{E}(-1 \: ; 0 \: ;7)


3. E(3,8;1,1;5,5)\text{E}(-3{,}8 \: ; 1{,}1 \: ;5{,}5)


4. E(25;7;10)\text{E}(-25 \: ; -7 \: ; 10)
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93
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point N\text{N} et le plan R\mathcal{R}.

1. N(3;4;1)\mathrm{N}(3 \: ; 4 \:; 1) et R:2x2y+z+4=0\mathcal{R}: 2 x-2 y+z+4=0.


2. N(4;5;4)\mathrm{N}(4 \: ; \sqrt{5} \: ; 4) et R:4x+5y+2z+13=0\mathcal{R}:-4 x+\sqrt{5} y+2 z+13=0.


3. N(1;1;1)\mathrm{N}(1 \: ; 1 \: ; 1) et R:x+y+z=0\mathcal{R}:x+y+z=0.
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94
GEOGEBRA
[Représenter.] ◉◉
On considère les points C(1;0;0)\mathrm{C}(1 \: ; 0 \: ; 0), T(0;1;0)\mathrm{T}(0 \: ; 1 \: ; 0), A(1;0;0)\mathrm{A}(-1 \: ; 0 \: ; 0), E(0;1;0)\mathrm{E}(0 \: ;-1 \: ; 0), D(0;0;1)\mathrm{D}(0 \: ; 0 \: ; 1) et R(0;0;1)\mathrm{R}(0 \: ; 0 \: ;-1).

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1. Placer les points dans GeoGebra puis donner la nature de CTAEDR\text{CTAEDR}. Quelle est la longueur d’une arête ?


2. Quel est le projeté orthogonal de D\text{D} sur (CTA)(\text{CTA}) ?


3. a. Justifer qu’une équation du plan (AED)(\text{AED}) est x+yz+1=0x+y-z+1=0. En déduire un vecteur normal à (AED)(\text{AED}).


b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l’origine du repère sur le plan (AED)(\text{AED}).
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95
[Calculer.]
Dans le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, on considère le repère orthonormé (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}). On note K\text{K} le centre du carré ABFE\text{ABFE}.

1. Justifer que le plan (ACE)(\text{ACE}) admet pour équation xy=0x - y = 0.


2. Calculer les coordonnées de H\text{H}, projeté orthogonal du point K\text{K} sur le plan (ACE)(\text{ACE}).
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96
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soient P\mathcal{P} le plan d’équation ax+by+cz+d=0a x+b y+c z+d=0aa, bb, cc et dd sont des réels, n(abc)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) un vecteur normal à P\mathcal{P} et A(xA;yA;zA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\mathrm{A}}\right) un point quelconque de l’espace. On considère un point M(x;y;z)\mathrm{M}(x \: ; y \: ; z) appartenant au plan P\mathcal{P} et on note H\text{H} le projeté orthogonal de A\text{A} sur P\text{P}.

1. Justifer que AMn=AHn\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}.


2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer AHn\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}.


3. Que peut-on dire de l’angle (AH,n)(\overrightarrow{\mathrm{AH}} \: , \overrightarrow{n}) ?


4. En déduire que AHn=AH×n|\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}|=\mathrm{AH} \times\|\overrightarrow{n}\|.


5. En remarquant que d=axbyczd=-a x-b y-c z, simplifer l’expression analytique de AMn\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}.


6. En déduire une expression de la distance de A\text{A} à P\mathcal{P}.
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97
[Calculer.]
Dans un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} d’arête 3 cm3\text{ cm}, on pose i=13AB\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, j=13AD\overrightarrow{j}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et k=13AE\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}} et on définit ainsi le repère orthonormé (A;i,j,k)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}). On note O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 les centres respectifs des faces ABCD\text{ABCD} et ABFE\text{ABFE}.

1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale (HB)(\text{HB}), déterminer la distance des points O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 à la droite (HB)(\text{HB}).


2. a. Montrer que n(011)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABG)(\text{ABG}).


b. Déterminer alors une équation du plan (ABG)(\text{ABG}).


c. Calculer la distance des points O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 au plan (ABG)(\text{ABG}).
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98
[Communiquer.]
On considère les points R(1;0;0)\text{R}(1 \: ;0 \: ;0), I(0;1;0)\text{I}(0 \: ; 1 \: ; 0), E(0;0;1)\text{E}(0 \: ; 0 \: ; 1) et N(1;1;1)\text{N} (1 \: ; 1 \: ; 1).

1. Justifer que x+y+z1=0x + y + z - 1 = 0 est une équation du plan (RIE)(\text{RIE}).


2. Déterminer les coordonnées du point J\text{J}, projeté orthogonal du point N\text{N} sur le plan (RIE)(\text{RIE}).


3. Montrer que J\text{J} est le centre de gravité de RIE\text{RIE}.
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99
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois points de l'espace F(0;1;1)\text{F}(0 \: ;-1 \: ;1), G(2;1;3)\text{G}(2 \: ; -1 \: ; 3), H(4;5;3)\text{H}(4 \: ; -5 \: ; 3) et un plan P\mathcal{P} d'équation xy+2z+3=0x-y+2 z+3=0.

1. Déterminer les coordonnées des points P\text{P}, Q\text{Q} et R\text{R}, projetés orthogonaux respectifs des points F \text{F}, G\text{G} et H\text{H} sur le plan P\mathcal{P}.


2. Calculer FGFH\overrightarrow{\mathrm{FG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}} et PQPR\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}.


3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.
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100
[Communiquer.] ◉◉
On considère les points A(3;0;0)\text{A}(-3 \: ;0 \: ; 0), B(0;3;0)\text{B}(0 \: ; -3 \: ; 0), C(0;0;3)\text{C}(0 \: ; 0 \: ; -3) et D(3;3;3)\text{D}(-3 \: ; -3 \: ; 3). On admet que ABCD\text{ABCD} est un tétraèdre régulier.

1. Prouver que H(2;2;1)\text{H}(-2 \: ;-2 \: ; 1) est le projeté orthogonal du point C\text{C} sur (ABD)(\text{ABD}).


2. Prouver que G(1;2;2)\text{G}(-1 \: ;-2 \: ; 2) est le projeté orthogonal du point A\text{A} sur (BCD)(\text{BCD}).


3. a. Vérifer que le plan (ACD)(\text{ACD}) admet pour équation xyz+3=0x - y - z + 3 = 0.


b. Déterminer les coordonnées du point F\text{F}, projeté orthogonal de B\text{B} sur le plan (ACD)(\text{ACD}).


4. a. Prouver que n(111)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC)(\text{ABC}).


b. Déterminer les coordonnées du point E\text{E}, projeté orthogonal de D\text{D} sur le plan (ABC)(\text{ABC}).


5. Justifer que EFGH\text{EFGH} est un tétraèdre régulier.
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101
[Raisonner.]
Soient E(2,5;0,5;1)\text{E}(-2{,}5 \: ;0{,}5 \: ;-1), D(3;4;3)\text{D}(3 \: ; 4 \: ; 3), F(2;1;5)\text{F}(2 \: ; -1 \: ; 5) trois points de l’espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs ED\overrightarrow{\text{ED}} et EF\overrightarrow{\text{EF}}.


2. Justifer que le vecteur n(958)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (EDF)(\text{EDF}).


3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de E\text{E} sur la droite (DF)(\text{DF}).


4. En déduire l’aire du triangle EDF\text{EDF}.
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