3

Projection orthogonale

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$ dans les exercices suivants.

85

Dans chaque cas, déterminer si le point $\text{R}$ est le projeté orthogonal du point $\text{V}$ sur le plan $\mathcal{P}$. Justifer

1. $\mathrm{R}(2 \: ; 1 \: ; 4)$, $\mathrm{V}(1 \: ; 2 \: ; 3)$ et $\mathcal{P}: x-y+z-2=0$.

2. $\mathrm{R}(2 \: ;-5 \: ; 1)$, $\mathrm{V}(1 \: ; 1 \: ; 2)$ et $\mathcal{P}: 2 x+y-4 z+5=0$.

86

On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=t+2 \\ y=-3 t+4\\ z=2 t-5 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point $\text{K}$ est le projeté orthogonal du point $\text{H}$ sur $d$. Justifer.

1. $\mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;-5)$ et $\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3)$.


2. $\mathrm{H}(2 \: ; 4 \: ;2)$ et $\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3)$.


3.$\mathrm{H}(16 \: ; 4 \: ;-5)$ et $\mathrm{K}(3 \: ; 1 \: ;-3)$.


4. $\mathrm{H}(0 \: ; -1 \: ;1)$ et $\mathrm{K}(1 \: ; 0 \: ;2)$.

87

Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point $\text{C}$ et le plan $\mathcal{M}$ d’équation $-2 x+3 y-6 z+12=0$.

1. $\text{C} (-2 \: ; 1 \: ; 2)$

2. $\text{C} (1 \: ; 1 \: ; 0)$

3. $\text{C} (7 \: ; -2 \: ; 1)$

4. $\text{C} (3 \: ; 2 \: ; 2)$

88

[Raisonner.]
Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, on note $\text{R}$ le centre de la face $\text{ABCD}$ et $\text{P}$ celui de la face $\text{EFGH}$.

1. a. Montrer que $\overrightarrow{\text{AC}}$ est normal au plan $(\text{FBD})$.

b. Quel est le point d’intersection entre la droite $(\text{EG})$ et le plan $(\text{FBD})$ ?


c. Déterminer le projeté orthogonal de $\text{G}$ sur $(\text{FBD})$.


2. Déterminer le projeté orthogonal de $\text{D}$ sur $(\text{EAC})$.

89

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point $\text{R}$ sur le plan $\mathcal{B}$.

1. $\mathrm{R}(7 \: ;-2 \: ; 6)$ et $\mathcal{B}:-x+y+3 z+2=0$.


2. $\mathrm{R}(5 \: ;2 \: ; -3)$ et $\mathcal{B}:x+2y-z+3=0$.


3. $\mathrm{R}(-1 \: ;-2 \: ; -1)$ et $\mathcal{B}:x+y+2z-2=0$.

90

[Calculer.]
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-t \\ z=2 t-2 \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$.
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point $\text{U}$ sur la droite $d$.

1. $\text{U}(2 \: ; 2 \: ;-2)$


2. $\text{U}(1 \: ; 1 \: ;1)$


3. $\text{U}(2 \: ; 4 \: ;2)$


4. $\text{U}(0 \: ; 1 \: ;0)$

91

[Raisonner.] 

[DÉMO]

En vous inspirant de la démonstration du cours p. 96 pour le plan et de la propriété concernant les distances d’un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur la droite $\text{D}$, alors $d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}$. »

92

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point $\text{E}$ et la droite $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l} x=2 k-4 \\ y=k+1 \quad, k \in \mathbb{R}. \\ z=-5 k+6 \end{array}\right.$

1. $\text{E}(-1 \: ; 0 \: ;1)$


2. $\text{E}(-1 \: ; 0 \: ;7)$


3. $\text{E}(-3{,}8 \: ; 1{,}1 \: ;5{,}5)$


4. $\text{E}(-25 \: ; -7 \: ; 10)$

93

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point $\text{N}$ et le plan $\mathcal{R}$.

1. $\mathrm{N}(3 \: ; 4 \:; 1)$ et $\mathcal{R}: 2 x-2 y+z+4=0$.

2. $\mathrm{N}(4 \: ; \sqrt{5} \: ; 4)$ et $\mathcal{R}:-4 x+\sqrt{5} y+2 z+13=0$.

3. $\mathrm{N}(1 \: ; 1 \: ; 1)$ et $\mathcal{R}:x+y+z=0$.

94

[Représenter.] ◉◉◉
On considère les points $\mathrm{C}(1 \: ; 0 \: ; 0)$, $\mathrm{T}(0 \: ; 1 \: ; 0)$, $\mathrm{A}(-1 \: ; 0 \: ; 0)$, $\mathrm{E}(0 \: ;-1 \: ; 0)$, $\mathrm{D}(0 \: ; 0 \: ; 1)$ et $\mathrm{R}(0 \: ; 0 \: ;-1)$.

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1. Placer les points dans GeoGebra puis donner la nature de $\text{CTAEDR}$. Quelle est la longueur d’une arête ?


2. Quel est le projeté orthogonal de $\text{D}$ sur $(\text{CTA})$ ?


3. a. Justifer qu’une équation du plan $(\text{AED})$ est $x+y-z+1=0$. En déduire un vecteur normal à $(\text{AED})$.


b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l’origine du repère sur le plan $(\text{AED})$.

95

[Calculer.]
Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, on considère le repère orthonormé $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}})$. On note $\text{K}$ le centre du carré $\text{ABFE}$.

1. Justifer que le plan $(\text{ACE})$ admet pour équation $x - y = 0$.

2. Calculer les coordonnées de $\text{H}$, projeté orthogonal du point $\text{K}$ sur le plan $(\text{ACE})$.

96

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Soient $\mathcal{P}$ le plan d’équation $a x+b y+c z+d=0$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels, $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)$ un vecteur normal à $\mathcal{P}$ et $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \: ; y_{\mathrm{A}} \: ; z_{\mathrm{A}}\right)$ un point quelconque de l’espace. On considère un point $\mathrm{M}(x \: ; y \: ; z)$ appartenant au plan $\mathcal{P}$ et on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur $\text{P}$.

1. Justifer que $\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}$.


2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer $\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}$.


3. Que peut-on dire de l’angle $(\overrightarrow{\mathrm{AH}} \: , \overrightarrow{n})$ ?


4. En déduire que $|\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}|=\mathrm{AH} \times\|\overrightarrow{n}\|$.


5. En remarquant que $d=-a x-b y-c z$, simplifer l’expression analytique de $\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}$.


6. En déduire une expression de la distance de $\text{A}$ à $\mathcal{P}$.

97

[Calculer.]
Dans un cube $\text{ABCDEFGH}$ d’arête $3\text{ cm}$, on pose $\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{j}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ et $\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}$ et on définit ainsi le repère orthonormé $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$. On note $\text{O}_1$ et $\text{O}_2$ les centres respectifs des faces $\text{ABCD}$ et $\text{ABFE}$.

1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale $(\text{HB})$, déterminer la distance des points $\text{O}_1$ et $\text{O}_2$ à la droite $(\text{HB})$.

2. a. Montrer que $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABG})$.

b. Déterminer alors une équation du plan $(\text{ABG})$.

c. Calculer la distance des points $\text{O}_1$ et $\text{O}_2$ au plan $(\text{ABG})$.

98

[Communiquer.]
On considère les points $\text{R}(1 \: ;0 \: ;0)$, $\text{I}(0 \: ; 1 \: ; 0)$, $\text{E}(0 \: ; 0 \: ; 1)$ et $\text{N} (1 \: ; 1 \: ; 1)$.

1. Justifer que $x + y + z - 1 = 0$ est une équation du plan $(\text{RIE})$.

2. Déterminer les coordonnées du point $\text{J}$, projeté orthogonal du point $\text{N}$ sur le plan $(\text{RIE})$.

3. Montrer que $\text{J}$ est le centre de gravité de $\text{RIE}$.

99

[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois points de l'espace $\text{F}(0 \: ;-1 \: ;1)$, $\text{G}(2 \: ; -1 \: ; 3)$, $\text{H}(4 \: ; -5 \: ; 3)$ et un plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-y+2 z+3=0$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$, projetés orthogonaux respectifs des points $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ sur le plan $\mathcal{P}$.


2. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{FG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$.


3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.

100

[Communiquer.] ◉◉◉
On considère les points $\text{A}(-3 \: ;0 \: ; 0)$, $\text{B}(0 \: ; -3 \: ; 0)$, $\text{C}(0 \: ; 0 \: ; -3)$ et $\text{D}(-3 \: ; -3 \: ; 3)$. On admet que $\text{ABCD}$ est un tétraèdre régulier.

1. Prouver que $\text{H}(-2 \: ;-2 \: ; 1)$ est le projeté orthogonal du point $\text{C}$ sur $(\text{ABD})$.


2. Prouver que $\text{G}(-1 \: ;-2 \: ; 2)$ est le projeté orthogonal du point $\text{A}$ sur $(\text{BCD})$.


3. a. Vérifer que le plan $(\text{ACD})$ admet pour équation $x - y - z + 3 = 0$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$, projeté orthogonal de $\text{B}$ sur le plan $(\text{ACD})$.


4. a. Prouver que $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(\text{ABC})$.


b. Déterminer les coordonnées du point $\text{E}$, projeté orthogonal de $\text{D}$ sur le plan $(\text{ABC})$.


5. Justifer que $\text{EFGH}$ est un tétraèdre régulier.

101

[Raisonner.]
Soient $\text{E}(-2{,}5 \: ;0{,}5 \: ;-1)$, $\text{D}(3 \: ; 4 \: ; 3)$, $\text{F}(2 \: ; -1 \: ; 5)$ trois points de l’espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{ED}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$.

2. Justifer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(\text{EDF})$.

3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de $\text{E}$ sur la droite $(\text{DF})$.

4. En déduire l’aire du triangle $\text{EDF}$.