Sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k) dans les exercices suivants.
85
FLASH
Dans chaque cas, déterminer si le point R est le projeté orthogonal du point V sur le plan P. Justifer
1. R(2;1;4), V(1;2;3) et P:x−y+z−2=0.
2. R(2;−5;1), V(1;1;2) et P:2x+y−4z+5=0.
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86
FLASH
On considère la droite d de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=t+2y=−3t+4z=2t−5, t∈R.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si le point K est le projeté orthogonal du point H sur d. Justifer.
1.H(2;4;−5) et K(3;1;−3).
2.H(2;4;2) et K(3;1;−3).
3.H(16;4;−5) et K(3;1;−3).
4.H(0;−1;1) et K(1;0;2).
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87
FLASH
Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre le point C et le plan M d’équation −2x+3y−6z+12=0.
1.C(−2;1;2)
2.C(1;1;0)
3.C(7;−2;1)
4.C(3;2;2)
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88
[Raisonner.]
Dans le cube ABCDEFGH, on note R le centre de la face ABCD et P celui de la face EFGH.
1.a. Montrer que AC est normal au plan (FBD).
b. Quel est le point d’intersection entre la droite (EG) et le plan (FBD) ?
c. Déterminer le projeté orthogonal de G sur (FBD).
2. Déterminer le projeté orthogonal de D sur (EAC).
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89
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point R sur le plan B.
1. R(7;−2;6) et B:−x+y+3z+2=0.
2. R(5;2;−3) et B:x+2y−z+3=0.
3. R(−1;−2;−1) et B:x+y+2z−2=0.
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90
[Calculer.]
On considère la droite d de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+3y=−tz=2t−2,t∈R.
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées
du projeté orthogonal du point U sur la droite d.
1.U(2;2;−2)
2.U(1;1;1)
3.U(2;4;2)
4.U(0;1;0)
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91
[Raisonner.]
[DÉMO]
En vous inspirant de la démonstration du cours p. 96 pour le plan et de la propriété concernant les distances d’un point à un plan, démontrer la propriété suivante :
« Si on note H le projeté orthogonal de A sur la droite D, alors d(A,D)=AH. »
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92
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre
le point E et la droite Δ : ⎩⎪⎨⎪⎧x=2k−4y=k+1,k∈R.z=−5k+6
1.E(−1;0;1)
2.E(−1;0;7)
3.E(−3,8;1,1;5,5)
4.E(−25;−7;10)
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93
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner la distance entre le point N et le plan R.
1.N(3;4;1) et R:2x−2y+z+4=0.
2.N(4;5;4) et R:−4x+5y+2z+13=0.
3.N(1;1;1) et R:x+y+z=0.
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94
GEOGEBRA
[Représenter.]◉◉◉
On considère les points C(1;0;0), T(0;1;0), A(−1;0;0), E(0;−1;0), D(0;0;1) et R(0;0;−1).
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1. Placer les points dans GeoGebra puis donner la nature de CTAEDR. Quelle est la longueur d’une arête ?
2. Quel est le projeté orthogonal de D sur (CTA) ?
3. a. Justifer qu’une équation du plan (AED) est x+y−z+1=0. En déduire un vecteur normal à (AED).
b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l’origine du repère sur le plan (AED).
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95
[Calculer.]
Dans le cube ABCDEFGH, on considère le repère orthonormé (A;AB,AD,AE). On note K le centre du carré ABFE.
1. Justifer que le plan (ACE) admet pour équation x−y=0.
2. Calculer les coordonnées de H, projeté orthogonal du point K sur le plan (ACE).
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96
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
Soient P le plan d’équation ax+by+cz+d=0 où a, b, c et d sont des réels, n⎝⎛abc⎠⎞ un vecteur normal à P et A(xA;yA;zA) un point quelconque de l’espace. On considère un point M(x;y;z) appartenant au plan P et on note H le projeté orthogonal de A sur P.
1. Justifer que AM⋅n=AH⋅n.
2. En utilisant la formule du cosinus, exprimer AH⋅n.
3. Que peut-on dire de l’angle (AH,n) ?
4. En déduire que ∣AH⋅n∣=AH×∥n∥.
5. En remarquant que d=−ax−by−cz, simplifer l’expression analytique de AM⋅n.
6. En déduire une expression de la distance de A à P.
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97
[Calculer.]
Dans un cube ABCDEFGH d’arête 3 cm, on pose i=31AB, j=31AD et k=31AE et on définit ainsi le
repère orthonormé (A;i,j,k). On note O1 et O2 les centres respectifs des faces ABCD et ABFE.
1. Après avoir donné une représentation paramétrique de la diagonale (HB), déterminer la distance des points O1 et O2 à la droite (HB).
2. a. Montrer que n⎝⎛01−1⎠⎞ est un vecteur normal au plan (ABG).
b. Déterminer alors une équation du plan (ABG).
c. Calculer la distance des points O1 et O2 au plan (ABG).
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98
[Communiquer.]
On considère les points R(1;0;0), I(0;1;0), E(0;0;1) et N(1;1;1).
1. Justifer que x+y+z−1=0 est une équation du plan (RIE).
2. Déterminer les coordonnées du point J, projeté orthogonal du point N sur le plan (RIE).
3. Montrer que J est le centre de gravité de RIE.
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99
[Calculer.]◉◉◉
On considère trois points de l'espace F(0;−1;1), G(2;−1;3), H(4;−5;3) et un plan P d'équation x−y+2z+3=0.
1. Déterminer les coordonnées des points P, Q et R, projetés orthogonaux respectifs des points F, G et H sur le plan P.
2. Calculer FG⋅FH et PQ⋅PR.
3. Peut-on dire que la projection orthogonale conserve les angles ? Justifer.
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100
[Communiquer.]◉◉◉
On considère les points A(−3;0;0), B(0;−3;0), C(0;0;−3) et D(−3;−3;3). On admet que ABCD est un tétraèdre régulier.
1. Prouver que H(−2;−2;1) est le projeté orthogonal du point C sur (ABD).
2. Prouver que G(−1;−2;2) est le projeté orthogonal du point A sur (BCD).
3. a. Vérifer que le plan (ACD) admet pour équation x−y−z+3=0.
b. Déterminer les coordonnées du point F, projeté orthogonal de B sur le plan (ACD).
4. a. Prouver que n⎝⎛11−1⎠⎞ est un vecteur normal au plan (ABC).
b. Déterminer les coordonnées du point E, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
5. Justifer que EFGH est un tétraèdre régulier.
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101
[Raisonner.]
Soient E(−2,5;0,5;−1), D(3;4;3), F(2;−1;5) trois points de l’espace.
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs ED et EF.
2. Justifer que le vecteur n⎝⎛−958⎠⎞ est un vecteur normal au plan (EDF).
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de
E sur la droite (DF).
4. En déduire l’aire du triangle EDF.
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