Géométrie analytique dans l'espace

69

[Calculer.]  

Démo

Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l'espace $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, pour tout vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, on a $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. »

1. On considère le point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{u}$. Déterminer les coordonnées du point $\text{M}$.

2. On donne $\text{A}(x;0;0)$, $\text{C}(0;y;0)$ et $\text{D}(0;0;z)$ où $x$, $y$ et $z$ sont trois réels. Déterminer les coordonnées des points $\text{B}$, $\text{E}$ et $\text{G}$ tels que $\text{OABCDEMG}$ soit un pavé droit.

3. En utilisant le triangle $\text{OAB}$, déterminer $\text{OB}$.

4. Justifier que le triangle $\text{OBM}$ est rectangle en $\text{B}$.

5. Déterminer alors la longueur $\text{OM}$.

6. Conclure.

70

[Chercher.] Quelle est la distance entre deux sommets opposés d'un cube de côté $a$ ?

71

[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en $\text{A}$ un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en $\text{A}$. Soit $\text{RECT}$ un tétraèdre trirectangle en $\text{R}$.

1. Peut-on définir un repère orthonormé de l'espace à partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.

2. Montrer que la face $\text{ECT}$ est un triangle équilatéral.

72

[Raisonner.] Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on a $\text{P}(1;0;4)$, $\text{R}(3;2;4)$,$\text{U}(\frac{2}{3};\frac{1}{4};2)$ et $\text{D}(0;\frac{11}{12};4)$. Les droites $(\text{PR})$ et $(\text{UD})$ sont-elles orthogonales ? Justifier.

73

[Communiquer.] On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Dans chacun des cas suivants, préciser si l'équation donnée correspond à une équation de plan. Si c'est le cas, donner un vecteur normal au plan.

1. $x^2+y^2+z^2-3=0$

2. $y=2x+4$

3. $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+3z=x^2+y^2$

4. $x=4$

74

[Communiquer.] On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.

1. $\mathcal{P}:x-2y+3z-4=0$

2. $\mathcal{J}:\frac{1}{3}x-2y+\frac{5}{4}z-12=0$

3. $\mathcal{L}:\sqrt{2}x-\sqrt{3}z-y+11=0$

75

[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite dont on donne une représentation paramétrique est orthogonale au plan d'équation $2x+y-z-4=0$.

1. $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+1\\ z=3t-1\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$

2. $\{\begin{array}{l}x=2t-3\\ y=t+4\\ z=-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$

3. $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-\frac{1}{2}t-4\\ z=\frac{1}{2}t-3\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$

76

[Calculer.]
$\text{ABCDEFGH}$ est un pavé droit tel que $\text{AB}=2\text{ cm}$, $\text{AD}=3\text{ cm}$ et $\text{AE}=2\text{ cm}$.

1. Définir des vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ tels que $(\mathrm{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ soit un repère orthonormé de l'espace.

2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.

3. Calculer les produits scalaires suivants.
a. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$

b. $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{G}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{F}}$

c. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}}$

d. $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{H}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{F}}$

77

[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : « $\text{ABCD}$ est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites $(\text{AB})$ et $(\text{CD})$ sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.

Dans le repère $(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AD}})$, on a $\text{A}(0;0;0)$, $\text{B}(1;0;0)$, $\text{C}(0;1;0)$ et $\text{D}(0;0;1)$. Alors $\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{CD}}\left(\begin{array}{l}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=1+0\times (-1)+0\times 1=0$. Les côtés sont bien orthogonaux.
1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n'est pas valable.

2. Proposer une démonstration valable.

78

[Calculer.] 
Dans un repère orthonormé de l'espace $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

1. Justifer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

2. On considère le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Justifer que les coordonnées de $\overrightarrow{n}$ vérifent le système $\{\begin{array}{c}a+3b+4c=0\\ 2a-b+c=0\end{array}$.

3. En posant $c=-3$, résoudre le système.

4. Montrer alors qu'une équation du plan passant par $\text{A}(1;1;1)$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est $3x+3y-3z-3=0$.

79

[Calculer.]
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ donnés.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

80

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les points $\text{A}(3;-2;-1)$, $\text{B}(1;2;1)$ et $\text{C}(-1;2;1)$.

1. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.

2. Après avoir calculé les longueurs $\text{AB}$ et $\text{AC}$, calculer une mesure au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

81

[Communiquer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $\text{A}(1;3;5)$, $\text{B}(4;1;5)$, $\text{C}(2;0;3)$ et $\text{D}(-1;2;3)$.

1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Qu'en déduire pour le quadrilatère $\text{ABCD}$ ?

2. Calculer ${\text{AC}}^2+{\text{BD}}^2$ et $2{\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+2{\mathrm{A}\mathrm{D}}^2$. Que remarque-t-on ?

3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.

82

[Raisonner.] 
Partie A
Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ trois vecteurs dans un repère orthonormé de l'espace.

1. À l'aide de la formule du cosinus, montrer que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$.

2. Démontrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ :

$(\lambda \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=\lambda \times \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$

Partie B
Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
Le but de l'exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »

1. Supposons que $d\perp \mathcal{P}$.
a. Rappeler la définition d'une droite orthogonale à un plan.

b. Que peut-on dire de $\overrightarrow{u}$ et des vecteurs du plan ?

c. Conclure pour les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

2. Supposons maintenant que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
a. Justifer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\overrightarrow{u}\perp (\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$.

b. Conclure.

83

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on définit les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ par les équations cartésiennes respectives $4x+y-3z+1=0$ et $2x-3y+2z+4=0$.

1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ que l'on notera respectivement ${\overrightarrow{n}}_1$ et ${\overrightarrow{n}}_2$.

2. En déduire que les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont sécants.

3. En posant $x=t$, déterminer en fonction de $t$ les coordonnées $y$ et $z$ d'un point à l'intersection des deux plans.

4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$.