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2. Géométrie analytique dans l’espace
P.105-108

Entraînement


2
Géométrie analytique dans l’espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Pour les exercices
64
à
66


On se place dans un repère orthonormé .

64
FLASH

Donner la norme du vecteur dans chacun des cas suivants.

1. .


2. .


3. et .


4. et .
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65
FLASH

Calculer les produits scalaires dans chacun des cas suivants.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
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66
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation du plan passant par et de vecteur normal .

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
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67
[Communiquer.]
Dans l’octaèdre régulier , on admet que , et sont des carrés.

Orthogonalité et produit scalaire

1. Soit le milieu de . Justifer que est aussi le milieu de et de .


2. Justifer que , et sont deux à deux orthogonaux puis en déduire une base orthonormée de l’espace.
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68
PYTHON
[Modéliser.]
On donne la fonction suivante écrite avec Python.

from math import sqrt
def norme(x, y, z):
  l = sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
  return l

1. Après avoir interprété le script, appeler la fonction norme(4,3,0) dans la console.


2. Que renvoie cette fonction ?


3. Proposer une fonction qui renvoie la distance entre deux points en utilisant la fonction norme.
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69
[Calculer.] ◉◉ 
[DÉMO]

Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l’espace , pour tout vecteur , on a . »

1. On considère le point tel que . Déterminer les coordonnées du point .


2. On donne , et , et sont trois réels. Déterminer les coordonnées des points , et tels que soit un pavé droit.


3. En utilisant le triangle , déterminer .


4. Justifier que le triangle est rectangle en .


5. Déterminer alors la longueur .


6. Conclure.
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70
[Chercher.]
Quelle est la distance entre deux sommets opposés d’un cube de côté ?
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71
[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en . Soit un tétraèdre trirectangle en .

1. Peut-on définir un repère orthonormé de l’espace à partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.


2. Montrer que la face est un triangle équilatéral.
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72
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé , on a , , et . Les droites et sont-elles orthogonales ? Justifier.
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73
[Communiquer.] ◉◉
On se place dans un repère orthonormé .
Dans chacun des cas suivants, préciser si l’équation donnée correspond à une équation de plan. Si c’est le cas, donner un vecteur normal au plan.

1.


2.


3.


4.
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74
[Communiquer.]
On se place dans un repère orthonormé .
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.

1.


2.


3.
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75
VRAI/FAUX
[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé .
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite dont on donne une représentation paramétrique est orthogonale au plan d’équation .

1. ,


2. ,


3. ,
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76
[Calculer.]
est un pavé droit tel que , et .

1. Définir des vecteurs , et tels que soit un repère orthonormé de l’espace.


2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.


3. Calculer les produits scalaires suivants.
a.


b.


c.


d.
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77
[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : «  est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites et sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.

Dans le repère , on a , , et . Alors et donc . Les côtés sont bien orthogonaux.


1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n’est pas valable.


2. Proposer une démonstration valable.
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78
[Calculer.] ◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace , on considère les vecteurs et .

1. Justifer que et ne sont pas colinéaires.


2. On considère le vecteur orthogonal aux vecteurs et . Justifer que les coordonnées de vérifent le système .


3. En posant , résoudre le système.


4. Montrer alors qu’une équation du plan passant par et de vecteurs directeurs et est .
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79
[Calculer.]
L’espace est muni d’un repère orthonormé .
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal aux vecteurs et donnés.

1. et


2. et
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80
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace , on donne les points , et .

1. Calculer .


2. Après avoir calculé les longueurs et , calculer une mesure au dixième de degré près de l’angle .
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81
[Communiquer.] ◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace , on considère les points , , et .

1. Calculer les coordonnées de et . Qu’en déduire pour le quadrilatère ?


2. Calculer et . Que remarque-t-on ?


3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.
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82
[Raisonner.] 
[DÉMO]

Partie A
Soient , et trois vecteurs dans un repère orthonormé de l’espace.

1. À l’aide de la formule du cosinus, montrer que .


2. Démontrer que, pour tout :


Partie B
Soient une droite de vecteur directeur et un plan dirigé par deux vecteurs et .
Le but de l’exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »

1. Supposons que .
a. Rappeler la définition d’une droite orthogonale à un plan.


b. Que peut-on dire de et des vecteurs du plan ?


c. Conclure pour les vecteurs , et .


2. Supposons maintenant que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et .
a. Justifer que, pour tout , .


b. Conclure.
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83
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace , on définit les plans et par les équations cartésiennes respectives et .

1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans et que l’on notera respectivement et .


2. En déduire que les plans et sont sécants.


3. En posant , déterminer en fonction de les coordonnées et d’un point à l’intersection des deux plans.


4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans et .
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84
[[Raisonner.]
Plan médiateur
Dans un repère orthonormé de l’espace , on définit les points et .

1. Quelles sont les coordonnées de , milieu du segment ?


2. Déterminer une équation du plan contenant et de vecteur normal .


3. Justifer que le point est un point de ce plan.


4. Calculer les distances et . Que peut-on remarquer ?


Remarque

Ce plan est appelé plan médiateur des points et .
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