Donner la norme du vecteur AB dans chacun des cas suivants.
1. AB⎝⎛13−2⎠⎞.
2. AB⎝⎛4−146⎠⎞.
3.A(1;14;7) et B(1;6;1).
4.A(1;−5;3) et B(−4;7;3).
65
FLASH
Calculer les produits scalaires u⋅v dans chacun des cas suivants.
1.u⎝⎛1−32⎠⎞ et v⎝⎛−417⎠⎞.
2.u⎝⎛121⎠⎞ et v⎝⎛211⎠⎞.
3.u⎝⎛13−6−11⎠⎞ et v⎝⎛−24−3⎠⎞.
4.u⎝⎛32−13⎠⎞ et v⎝⎛2721⎠⎞.
66
FLASH
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation du plan passant par A et de vecteur normal n.
1.A(1;2;1) et n⎝⎛101⎠⎞.
2.A(2;−5;1) et n⎝⎛32−2⎠⎞.
3.A(2;22;3) et n⎝⎛−212⎠⎞.
4.A(−1;1;−1) et n⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛316541⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
67
[Communiquer.]
Dans l’octaèdre régulier ABCDEF, on admet que ABCD,
EBFD et EAFC sont des carrés.
1. Soit O le milieu de [EF]. Justifer que O est aussi le milieu de [AC] et de [BD].
2. Justifer que OA, OB et OE sont deux à deux orthogonaux puis en déduire une base orthonormée de l’espace.
68
PYTHON
[Modéliser.]
On donne la fonction suivante écrite avec Python.
from math import sqrt
def norme(x, y, z):
l = sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
return l
1. Après avoir interprété le script, appeler la fonction norme(4,3,0) dans la console.
2. Que renvoie cette fonction ?
3. Proposer une fonction qui renvoie la distance entre deux points en utilisant la fonction norme.
69
[Calculer.]◉◉◉
[DÉMO]
Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), pour tout vecteur u⎝⎛xyz⎠⎞, on a ∥u∥=x2+y2+z2. »
1. On considère le point M tel que OM=u. Déterminer
les coordonnées du point M.
2. On donne A(x;0;0), C(0;y;0) et D(0;0;z) où x, y et z sont trois réels.
Déterminer les coordonnées des points B, E et G tels que OABCDEMG soit un pavé droit.
3. En utilisant le triangle OAB, déterminer OB.
4. Justifier que le triangle OBM est rectangle en B.
5. Déterminer alors la longueur OM.
6. Conclure.
70
[Chercher.]
Quelle est la distance entre deux sommets opposés d’un cube de côté a ?
71
[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en A un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en A. Soit RECT un tétraèdre trirectangle en R.
1. Peut-on définir un repère orthonormé de l’espace à
partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.
2. Montrer que la face ECT est un triangle équilatéral.
72
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on a P(1;0;4), R(3;2;4),U(32;41;2) et D(0;1211;4).
Les droites (PR) et (UD) sont-elles orthogonales ?
Justifier.
73
[Communiquer.]◉◉◉
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k).
Dans chacun des cas suivants, préciser si l’équation
donnée correspond à une équation de plan. Si c’est le
cas, donner un vecteur normal au plan.
1. x2+y2+z2−3=0
2. y=2x+4
3. (x−1)2+(y+4)2+3z=x2+y2
4. x=4
74
[Communiquer.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k).
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.
1. P:x−2y+3z−4=0
2. J:31x−2y+45z−12=0
3. L:2x−3z−y+11=0
75
VRAI/FAUX
[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k).
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite
dont on donne une représentation paramétrique est
orthogonale au plan d’équation 2x+y−z−4=0.
1. ⎩⎪⎨⎪⎧x=t+1y=t+1z=3t−1, t∈R
2. ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t−3y=t+4z=−t, t∈R
3. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=−ty=−21t−4z=21t−3, t∈R
76
[Calculer.] ABCDEFGH est un pavé droit tel que AB=2 cm,
AD=3 cm et AE=2 cm.
1. Définir des vecteurs i, j et k tels que (A;i,j,k) soit un repère orthonormé de l’espace.
2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.
3. Calculer les produits scalaires suivants. a. AB⋅AC
b. EG⋅HF
c. AF⋅BE
d. DH⋅EF
77
[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : « ABCD est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.
Dans le repère (A;AB,AC,AD), on a A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) et D(0;0;1).
Alors AB⎝⎛100⎠⎞ et CD⎝⎛0−11⎠⎞ donc AB⋅CD=1+0×(−1)+0×1=0. Les côtés sont bien orthogonaux.
1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n’est pas valable.
2. Proposer une démonstration valable.
78
[Calculer.]◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), on considère les vecteurs u⎝⎛134⎠⎞ et v⎝⎛2−11⎠⎞.
1. Justifer que u et v ne sont pas colinéaires.
2. On considère le vecteur n⎝⎛abc⎠⎞ orthogonal aux vecteurs u et v. Justifer que les coordonnées de n vérifent le système {a+3b+4c=02a−b+c=0.
3. En posant c=−3, résoudre le système.
4. Montrer alors qu’une équation du plan passant
par A(1;1;1) et de vecteurs directeurs u et v est 3x+3y−3z−3=0.
79
[Calculer.]
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d’un vecteur n orthogonal aux vecteurs u et v donnés.
1. u⎝⎛111⎠⎞ et v⎝⎛312⎠⎞
2. u⎝⎛301⎠⎞ et v⎝⎛110⎠⎞
80
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), on donne les points A(3;−2;−1), B(1;2;1) et C(−1;2;1).
1. Calculer AB⋅AC.
2. Après avoir calculé les longueurs AB et AC, calculer une mesure au dixième de degré près de l’angle BAC.
81
[Communiquer.]◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), on considère les points A(1;3;5), B(4;1;5), C(2;0;3) et D(−1;2;3).
1. Calculer les coordonnées de AB et DC. Qu’en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
2. Calculer AC2+BD2 et 2AB2+2AD2. Que remarque-t-on ?
3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.
82
[Raisonner.]
[DÉMO]
Partie A
Soient u⎝⎛xyz⎠⎞, v⎝⎛x′y′z′⎠⎞ et w⎝⎛abc⎠⎞ trois vecteurs dans un repère orthonormé de l’espace.
1. À l’aide de la formule du cosinus, montrer que u⋅v=v⋅u.
2. Démontrer que, pour tout λ∈R :
(λu+v)⋅w=λ×u⋅w+v⋅w
Partie B
Soient d une droite de vecteur directeur u et P un plan dirigé par deux vecteurs v et w.
Le but de l’exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur
de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »
1. Supposons que d⊥P. a. Rappeler la définition d’une droite orthogonale à un plan.
b. Que peut-on dire de u et des vecteurs du plan ?
c. Conclure pour les vecteurs u, v et w.
2. Supposons maintenant que le vecteur u est
orthogonal aux vecteurs v et w. a. Justifer que, pour tout λ∈R, u⊥(λv+w).
b. Conclure.
83
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), on définit les plans P1 et P2 par les équations cartésiennes
respectives 4x+y−3z+1=0 et 2x−3y+2z+4=0.
1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans P1 et P2 que l’on notera respectivement n1 et n2.
2. En déduire que les plans P1 et P2 sont sécants.
3. En posant x=t, déterminer en fonction de t les coordonnées y et z d’un point à l’intersection des deux plans.
4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans P1 et P2.
84
[[Raisonner.] Plan médiateur
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k), on
définit les points H(2;2;−4) et K(3;1;−3).
1. Quelles sont les coordonnées de L, milieu du
segment [HK] ?
2. Déterminer une équation du plan contenant L et de vecteur normal HK.
3. Justifer que le point M(x;y;−x+y−25) est un point de ce plan.
4. Calculer les distances MH et MK. Que peut-on remarquer ?
Remarque
Ce plan est appelé plan médiateur des points H et K.
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