Géométrie analytique dans l'espace

69

[Calculer.]  

Démo

Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tout vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right), on a \|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. »

1. On considère le point \text{M} tel que \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}. Déterminer les coordonnées du point \text{M}.

2. On donne \text{A}(x \: ; 0 \: ; 0), \text{C}(0 \: ; y \: ; 0) et \text{D}(0 \: ; 0 \: ; z) où x, y et z sont trois réels. Déterminer les coordonnées des points \text{B}, \text{E} et \text{G} tels que \text{OABCDEMG} soit un pavé droit.

3. En utilisant le triangle \text{OAB}, déterminer \text{OB}.

4. Justifier que le triangle \text{OBM} est rectangle en \text{B}.

5. Déterminer alors la longueur \text{OM}.

6. Conclure.

70

[Chercher.] Quelle est la distance entre deux sommets opposés d'un cube de côté a ?

71

[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en \text{A} un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en \text{A}. Soit \text{RECT} un tétraèdre trirectangle en \text{R}.

1. Peut-on définir un repère orthonormé de l'espace à partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.

2. Montrer que la face \text{ECT} est un triangle équilatéral.

72

[Raisonner.] Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on a \text{P}(1 \: ; 0 \: ; 4), \text{R}(3 \: ; 2 \: ; 4),\text{U}( \dfrac{2}{3} \: ; \dfrac{1}{4} \: ; 2) et \text{D}(0 \: ; \dfrac{11}{12} \: ; 4). Les droites (\text{PR}) et (\text{UD}) sont-elles orthogonales ? Justifier.

73

[Communiquer.] On se place dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chacun des cas suivants, préciser si l'équation donnée correspond à une équation de plan. Si c'est le cas, donner un vecteur normal au plan.

1. x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0

2. y=2 x+4

3. (x-1)^{2}+(y+4)^{2}+3 z=x^{2}+y^{2}

4. x=4

74

[Communiquer.] On se place dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.

1. \mathcal{P}: x-2 y+3 z-4=0

2. \mathcal{J}: \frac{1}{3} x-2 y+\frac{5}{4} z-12=0

3. \mathcal{L}: \sqrt{2} x-\sqrt{3} z-y+11=0

75

[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite dont on donne une représentation paramétrique est orthogonale au plan d'équation 2 x+y-z-4=0.

1. \left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\ y=t+1\\ z=3 t-1 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

2. \left\{\begin{array}{l} x=2 t-3 \\ y=t+4\\ z=-t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

3. \left\{\begin{array}{l} x=-t \\ y=-\frac{1}{2} t-4\\ z=\frac{1}{2} t-3 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

76

[Calculer.]
\text{ABCDEFGH} est un pavé droit tel que \text{AB} = 2\text{ cm}, \text{AD} = 3\text{ cm} et \text{AE} = 2\text{ cm}.

1. Définir des vecteurs \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} tels que (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) soit un repère orthonormé de l'espace.

2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.

3. Calculer les produits scalaires suivants.
a. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

b. \overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}

c. \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}

d. \overrightarrow{\mathrm{DH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}

77

[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : « \text{ABCD} est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.


1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n'est pas valable.

2. Proposer une démonstration valable.

78

[Calculer.] 
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les vecteurs \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).

1. Justifer que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.

2. On considère le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. Justifer que les coordonnées de \overrightarrow{n} vérifent le système \left\{\begin{array}{c} a+3 b+4 c=0 \\ 2 a-b+c=0 \end{array}\right..

3. En posant c = -3, résoudre le système.

4. Montrer alors qu'une équation du plan passant par \text{A} (1 \: ; 1 \: ; 1) et de vecteurs directeurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est 3 x+3 y-3 z-3=0.

79

[Calculer.]
L'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d'un vecteur \vec{n} orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} donnés.

1. \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)

2. \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)

80

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on donne les points \text{A}(3 \: ;-2 \: ;-1), \text{B}(1 \: ; 2 \: ; 1) et \text{C} (-1 \: ; 2 \: ; 1).

1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. Après avoir calculé les longueurs \text{AB} et \text{AC}, calculer une mesure au dixième de degré près de l'angle \widehat{\text{BAC}}.

81

[Communiquer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les points \text{A}(1 \: ; 3 \: ; 5), \text{B} (4 \: ; 1 \: ; 5), \text{C} (2 ; 0 ; 3) et \text{D} (-1 \: ; 2 \: ; 3).

1. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC}. Qu'en déduire pour le quadrilatère \text{ABCD} ?

2. Calculer \text{AC}^2 + \text{BD}^2 et 2 \mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{AD}^{2}. Que remarque-t-on ?

3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.

83

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on définit les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 par les équations cartésiennes respectives 4 x+y-3 z+1=0 et 2 x-3 y+2 z+4=0.

1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 que l'on notera respectivement \vec{n}_1 et \vec{n}_2.

2. En déduire que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants.

3. En posant x=t, déterminer en fonction de t les coordonnées y et z d'un point à l'intersection des deux plans.

4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2.

82

[Raisonner.] 
Partie A
Soient \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right), \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right) et \overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) trois vecteurs dans un repère orthonormé de l'espace.

1. À l'aide de la formule du cosinus, montrer que \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.

2. Démontrer que, pour tout \lambda \in \R :

(\lambda \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}=\lambda \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}

Partie B
Soient d une droite de vecteur directeur \vec{u} et \mathcal{P} un plan dirigé par deux vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.
Le but de l'exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »

1. Supposons que d \bot \mathcal{P}.
a. Rappeler la définition d'une droite orthogonale à un plan.

b. Que peut-on dire de \overrightarrow{u} et des vecteurs du plan ?

c. Conclure pour les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

2. Supposons maintenant que le vecteur \overrightarrow{u} est orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.
a. Justifer que, pour tout \lambda \in \mathbb{R}, \vec{u} \perp(\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}).

b. Conclure.