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Géométrie analytique dans l’espace

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Pour les exercices

64

à

66

On se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.

64

Donner la norme du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ dans chacun des cas suivants.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)$.

2. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -\sqrt{14} \\ 6 \end{array}\right)$.

3. $\text{A}(1 \: ; 14 \: ; 7)$ et $\text{B} (1 \: ; 6 \: ; 1)$.

4. $\text{A}(1 \: ; -5 \: ; 3)$ et $\text{B} (-4 \: ; 7 \: ; 3)$.

65

Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ dans chacun des cas suivants.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right)$.

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$.

3. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 13 \\ -6 \\ -11 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right)$.

4. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} \sqrt{3} \\ \sqrt{2} \\ -13 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{27} \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}\right)$.

66

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation du plan passant par $\text{A}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.

1. $\text{A} (1 \: ; 2 \: ; 1)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$.

2. $\text{A} (2 \: ;-5 \: ; 1)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$.

3. $\text{A} (\sqrt{2}\: ; 2 \sqrt{2} \: ; 3)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$.

4. $\text{A}(-1 \: ; 1 \: ;-1)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{5}{6} \\ \dfrac{1}{4} \end{array}\right)$.

67

[Communiquer.]
Dans l’octaèdre régulier $\text{ABCDEF}$, on admet que $\text{ABCD}$, $\text{EBFD}$ et $\text{EAFC}$ sont des carrés.

1. Soit $\text{O}$ le milieu de $[\text{EF}]$. Justifer que $\text{O}$ est aussi le milieu de $[\text{AC}]$ et de $[\text{BD}]$.


2. Justifer que $\overrightarrow{\text{OA}}$, $\overrightarrow{\text{OB}}$ et $\overrightarrow{\text{OE}}$ sont deux à deux orthogonaux puis en déduire une base orthonormée de l’espace.

68

[Modéliser.]
On donne la fonction suivante écrite avec Python.

from math import sqrt
def norme(x, y, z):
l = sqrt(x,y,z):
return l

1. Après avoir interprété le script, appeler la fonction norme(4,3,0) dans la console.


2. Que renvoie cette fonction ?


3. Proposer une fonction qui renvoie la distance entre deux points en utilisant la fonction norme.

69

[Calculer.] ◉◉◉ 

[DÉMO]

Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, pour tout vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$, on a $\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. »

1. On considère le point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}$. Déterminer les coordonnées du point $\text{M}$.


2. On donne $\text{A}(x \: ; 0 \: ; 0)$, $\text{C}(0 \: ; y \: ; 0)$ et $\text{D}(0 \: ; 0 \: ; z)$ où $x$, $y$ et $z$ sont trois réels. Déterminer les coordonnées des points $\text{B}$, $\text{E}$ et $\text{G}$ tels que $\text{OABCDEMG}$ soit un pavé droit.


3. En utilisant le triangle $\text{OAB}$, déterminer $\text{OB}$.


4. Justifier que le triangle $\text{OBM}$ est rectangle en $\text{B}$.


5. Déterminer alors la longueur $\text{OM}$.


6. Conclure.

70

[Chercher.]
Quelle est la distance entre deux sommets opposés d’un cube de côté $a$ ?

71

[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en $\text{A}$ un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en $\text{A}$. Soit $\text{RECT}$ un tétraèdre trirectangle en $\text{R}$.

1. Peut-on définir un repère orthonormé de l’espace à partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.

2. Montrer que la face $\text{ECT}$ est un triangle équilatéral.

72

[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on a $\text{P}(1 \: ; 0 \: ; 4)$, $\text{R}(3 \: ; 2 \: ; 4)$,$\text{U}( \dfrac{2}{3} \: ; \dfrac{1}{4} \: ; 2)$ et $\text{D}(0 \: ; \dfrac{11}{12} \: ; 4)$. Les droites $(\text{PR})$ et $(\text{UD})$ sont-elles orthogonales ? Justifier.

73

[Communiquer.] ◉◉◉
On se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$.
Dans chacun des cas suivants, préciser si l’équation donnée correspond à une équation de plan. Si c’est le cas, donner un vecteur normal au plan.

1. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0$


2. $y=2 x+4$


3. $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}+3 z=x^{2}+y^{2}$


4. $x=4$

74

[Communiquer.]
On se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$.
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.

1. $\mathcal{P}: x-2 y+3 z-4=0$


2. $\mathcal{J}: \dfrac{1}{3} x-2 y+\dfrac{5}{4} z-12=0$


3. $\mathcal{L}: \sqrt{2} x-\sqrt{3} z-y+11=0$

75

[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$.
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite dont on donne une représentation paramétrique est orthogonale au plan d’équation $2 x+y-z-4=0$.

1. $\left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\ y=t+1\\ z=3 t-1 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$


2. $\left\{\begin{array}{l} x=2 t-3 \\ y=t+4\\ z=-t \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$


3. $\left\{\begin{array}{l} x=-t \\ y=-\dfrac{1}{2} t-4\\ z=\dfrac{1}{2} t-3 \end{array}\right.$, $t \in \mathbb{R}$

76

[Calculer.]
$\text{ABCDEFGH}$ est un pavé droit tel que $\text{AB} = 2\text{ cm}$, $\text{AD} = 3\text{ cm}$ et $\text{AE} = 2\text{ cm}$.

1. Définir des vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ tels que $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$ soit un repère orthonormé de l’espace.

2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.


3. Calculer les produits scalaires suivants.
a. $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$


b. $\overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$


c. $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$


d. $\overrightarrow{\mathrm{DH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}$

77

[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : « $\text{ABCD}$ est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites $(\text{AB})$ et $(\text{CD})$ sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.



1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n’est pas valable.


2. Proposer une démonstration valable.

78

[Calculer.] ◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$.

1. Justifer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

2. On considère le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Justifer que les coordonnées de $\overrightarrow{n}$ vérifent le système $\left\{\begin{array}{c} a+3 b+4 c=0 \\ 2 a-b+c=0 \end{array}\right.$.

3. En posant $c = -3$, résoudre le système.

4. Montrer alors qu’une équation du plan passant par $\text{A} (1 \: ; 1 \: ; 1)$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est $3 x+3 y-3 z-3=0$.

79

[Calculer.]
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$.
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{n}$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ donnés.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$


2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

80

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on donne les points $\text{A}(3 \: ;-2 \: ;-1)$, $\text{B}(1 \: ; 2 \: ; 1)$ et $\text{C} (-1 \: ; 2 \: ; 1)$.

1. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$.


2. Après avoir calculé les longueurs $\text{AB}$ et $\text{AC}$, calculer une mesure au dixième de degré près de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$.

81

[Communiquer.] ◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on considère les points $\text{A}(1 \: ; 3 \: ; 5)$, $\text{B} (4 \: ; 1 \: ; 5)$, $\text{C} (2 ; 0 ; 3)$ et $\text{D} (-1 \: ; 2 \: ; 3)$.

1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Qu’en déduire pour le quadrilatère $\text{ABCD}$ ?


2. Calculer $\text{AC}^2 + \text{BD}^2$ et $2 \mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{AD}^{2}$. Que remarque-t-on ?


3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.

82

[Raisonner.] 

[DÉMO]

Partie A
Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)$ trois vecteurs dans un repère orthonormé de l’espace.

1. À l’aide de la formule du cosinus, montrer que $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$.


2. Démontrer que, pour tout $\lambda \in \R$ :
$(\lambda \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}=\lambda \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$

Partie B
Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
Le but de l’exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »

1. Supposons que $d \bot \mathcal{P}$.
a. Rappeler la définition d’une droite orthogonale à un plan.


b. Que peut-on dire de $\overrightarrow{u}$ et des vecteurs du plan ?


c. Conclure pour les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.


2. Supposons maintenant que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
a. Justifer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\overrightarrow{u} \perp(\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$.


b. Conclure.

83

[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on définit les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ par les équations cartésiennes respectives $4 x+y-3 z+1=0$ et $2 x-3 y+2 z+4=0$.

1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ que l’on notera respectivement $\overrightarrow{n}_1$ et $\overrightarrow{n}_2$.


2. En déduire que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.


3. En posant $x=t$, déterminer en fonction de $t$ les coordonnées $y$ et $z$ d’un point à l’intersection des deux plans.


4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

84

[[Raisonner.]
Plan médiateur
Dans un repère orthonormé de l’espace $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$, on définit les points $\text{H}(2 \: ;2 \: ;-4)$ et $\text{K} (3 \: ; 1 \: ; -3)$.

1. Quelles sont les coordonnées de $\text{L}$, milieu du segment $[\text{HK}]$ ?

2. Déterminer une équation du plan contenant $\text{L}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\text{HK}}$.


3. Justifer que le point $\mathrm{M}\left(x \: ; y \: ;-x+y-\dfrac{5}{2}\right)$ est un point de ce plan.


4. Calculer les distances $\text{MH}$ et $\text{MK}$. Que peut-on remarquer ?