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2. Géométrie analytique dans l’espace
P.105-108

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Entraînement


2
Géométrie analytique dans l’espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 61 ; 73 ; 89 et 93
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 56 ; 59 ; 69 ; 81 ; 94 et 100
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 51 ; 78 ; 96 et 99

Pour les exercices
64
à
66


On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

64
FLASH

Donner la norme du vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} dans chacun des cas suivants.

1. AB(132) \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right).


2. AB(4146)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -\sqrt{14} \\ 6 \end{array}\right).


3. A(1;14;7)\text{A}(1 \: ; 14 \: ; 7) et B(1;6;1)\text{B} (1 \: ; 6 \: ; 1).


4. A(1;5;3)\text{A}(1 \: ; -5 \: ; 3) et B(4;7;3)\text{B} (-4 \: ; 7 \: ; 3).
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65
FLASH

Calculer les produits scalaires uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} dans chacun des cas suivants.

1. u(132)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) et v(417)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right).


2. u(121)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) et v(211)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right).


3. u(13611)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 13 \\ -6 \\ -11 \end{array}\right) et v(243)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right).


4. u(3213)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} \sqrt{3} \\ \sqrt{2} \\ -13 \end{array}\right) et v(2721)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{27} \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}\right).
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66
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation du plan passant par A\text{A} et de vecteur normal n\overrightarrow{n}.

1. A(1;2;1)\text{A} (1 \: ; 2 \: ; 1) et n(101)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).


2. A(2;5;1)\text{A} (2 \: ;-5 \: ; 1) et n(322)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right).


3. A(2;22;3)\text{A} (\sqrt{2}\: ; 2 \sqrt{2} \: ; 3) et n(212)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right).


4. A(1;1;1)\text{A}(-1 \: ; 1 \: ;-1) et n(135614)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{5}{6} \\ \dfrac{1}{4} \end{array}\right).
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67
[Communiquer.]
Dans l’octaèdre régulier ABCDEF\text{ABCDEF}, on admet que ABCD\text{ABCD}, EBFD\text{EBFD} et EAFC\text{EAFC} sont des carrés.

Orthogonalité et produit scalaire

1. Soit O\text{O} le milieu de [EF][\text{EF}]. Justifer que O\text{O} est aussi le milieu de [AC][\text{AC}] et de [BD][\text{BD}].


2. Justifer que OA\overrightarrow{\text{OA}}, OB\overrightarrow{\text{OB}} et OE\overrightarrow{\text{OE}} sont deux à deux orthogonaux puis en déduire une base orthonormée de l’espace.
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68
PYTHON
[Modéliser.]
On donne la fonction suivante écrite avec Python.

from math import sqrt
def norme(x, y, z):
l = sqrt(x,y,z):
return l

1. Après avoir interprété le script, appeler la fonction norme(4,3,0) dans la console.


2. Que renvoie cette fonction ?


3. Proposer une fonction qui renvoie la distance entre deux points en utilisant la fonction norme.
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69
[Calculer.] ◉◉ 
[DÉMO]

Le but de cet exercice est de prouver la propriété suivante : « Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), pour tout vecteur u(xyz)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right), on a u=x2+y2+z2\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. »

1. On considère le point M\text{M} tel que OM=u\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}. Déterminer les coordonnées du point M\text{M}.


2. On donne A(x;0;0)\text{A}(x \: ; 0 \: ; 0), C(0;y;0)\text{C}(0 \: ; y \: ; 0) et D(0;0;z)\text{D}(0 \: ; 0 \: ; z)xx, yy et zz sont trois réels. Déterminer les coordonnées des points B\text{B}, E\text{E} et G\text{G} tels que OABCDEMG\text{OABCDEMG} soit un pavé droit.


3. En utilisant le triangle OAB\text{OAB}, déterminer OB\text{OB}.


4. Justifier que le triangle OBM\text{OBM} est rectangle en B\text{B}.


5. Déterminer alors la longueur OM\text{OM}.


6. Conclure.
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70
[Chercher.]
Quelle est la distance entre deux sommets opposés d’un cube de côté aa ?
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71
[Raisonner.]
On appelle tétraèdre trirectangle en A\text{A} un tétraèdre dont trois des faces sont des triangles rectangles isocèles en A\text{A}. Soit RECT\text{RECT} un tétraèdre trirectangle en R\text{R}.

1. Peut-on définir un repère orthonormé de l’espace à partir de ce tétraèdre ? Justifer la réponse.


2. Montrer que la face ECT\text{ECT} est un triangle équilatéral.
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72
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on a P(1;0;4)\text{P}(1 \: ; 0 \: ; 4), R(3;2;4)\text{R}(3 \: ; 2 \: ; 4),U(23;14;2)\text{U}( \dfrac{2}{3} \: ; \dfrac{1}{4} \: ; 2) et D(0;1112;4)\text{D}(0 \: ; \dfrac{11}{12} \: ; 4). Les droites (PR)(\text{PR}) et (UD)(\text{UD}) sont-elles orthogonales ? Justifier.
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73
[Communiquer.] ◉◉
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chacun des cas suivants, préciser si l’équation donnée correspond à une équation de plan. Si c’est le cas, donner un vecteur normal au plan.

1. x2+y2+z23=0x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0


2. y=2x+4y=2 x+4


3. (x1)2+(y+4)2+3z=x2+y2(x-1)^{2}+(y+4)^{2}+3 z=x^{2}+y^{2}


4. x=4x=4
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74
[Communiquer.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Donner un vecteur normal pour chacun des plans suivants.

1. P:x2y+3z4=0\mathcal{P}: x-2 y+3 z-4=0


2. J:13x2y+54z12=0\mathcal{J}: \dfrac{1}{3} x-2 y+\dfrac{5}{4} z-12=0


3. L:2x3zy+11=0\mathcal{L}: \sqrt{2} x-\sqrt{3} z-y+11=0
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75
VRAI/FAUX
[Raisonner.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer, en justifant, si la droite dont on donne une représentation paramétrique est orthogonale au plan d’équation 2x+yz4=02 x+y-z-4=0.

1. {x=t+1y=t+1z=3t1\left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\ y=t+1\\ z=3 t-1 \end{array}\right., tRt \in \mathbb{R}


2. {x=2t3y=t+4z=t\left\{\begin{array}{l} x=2 t-3 \\ y=t+4\\ z=-t \end{array}\right., tRt \in \mathbb{R}


3. {x=ty=12t4z=12t3\left\{\begin{array}{l} x=-t \\ y=-\dfrac{1}{2} t-4\\ z=\dfrac{1}{2} t-3 \end{array}\right., tRt \in \mathbb{R}
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76
[Calculer.]
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un pavé droit tel que AB=2 cm\text{AB} = 2\text{ cm}, AD=3 cm\text{AD} = 3\text{ cm} et AE=2 cm\text{AE} = 2\text{ cm}.

1. Définir des vecteurs i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k} tels que (A;i,j,k)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) soit un repère orthonormé de l’espace.


2. Donner, dans ce repère, les coordonnées des sommets du pavé droit.


3. Calculer les produits scalaires suivants.
a. ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}


b. EGHF\overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}


c. AFBE\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}


d. DHEF\overrightarrow{\mathrm{DH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}
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77
[Communiquer.]
Thérébentine cherche à résoudre le problème suivant : « ABCD\text{ABCD} est un tétraèdre régulier. Montrer que les droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}) sont orthogonales. »
Elle a rédigé la solution suivante.

Dans le repère (A;AB,AC,AD)(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AC}} \:, \overrightarrow{\text{AD}}), on a A(0;0;0)\text{A}(0 \: ; 0 \: ; 0), B(1;0;0)\text{B}(1 \: ; 0 \: ; 0), C(0;1;0)\text{C} (0 \: ; 1 \: ; 0) et D(0;0;1)\text{D} (0 \: ; 0 \: ; 1). Alors AB(100)\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) et CD(011)\overrightarrow{\text{CD}}\left(\begin{array}{l} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) donc ABCD=1+0×(1)+0×1=0\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{CD}}=1+0 \times(-1)+0 \times 1=0. Les côtés sont bien orthogonaux.


1. Expliquer pourquoi le raisonnement de Thérébentine n’est pas valable.


2. Proposer une démonstration valable.
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78
[Calculer.] ◉◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les vecteurs u(134)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) et v(211)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).

1. Justifer que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.


2. On considère le vecteur n(abc)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) orthogonal aux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. Justifer que les coordonnées de n\overrightarrow{n} vérifent le système {a+3b+4c=02ab+c=0\left\{\begin{array}{c} a+3 b+4 c=0 \\ 2 a-b+c=0 \end{array}\right..


3. En posant c=3c = -3, résoudre le système.


4. Montrer alors qu’une équation du plan passant par A(1;1;1)\text{A} (1 \: ; 1 \: ; 1) et de vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} est 3x+3y3z3=03 x+3 y-3 z-3=0.
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79
[Calculer.]
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}).
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d’un vecteur n\overrightarrow{n} orthogonal aux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} donnés.

1. u(111)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) et v(312)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)


2. u(301)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) et v(110)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)
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80
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on donne les points A(3;2;1)\text{A}(3 \: ;-2 \: ;-1), B(1;2;1)\text{B}(1 \: ; 2 \: ; 1) et C(1;2;1)\text{C} (-1 \: ; 2 \: ; 1).

1. Calculer ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.


2. Après avoir calculé les longueurs AB\text{AB} et AC\text{AC}, calculer une mesure au dixième de degré près de l’angle BAC^\widehat{\text{BAC}}.
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81
[Communiquer.] ◉◉
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on considère les points A(1;3;5)\text{A}(1 \: ; 3 \: ; 5), B(4;1;5)\text{B} (4 \: ; 1 \: ; 5), C(2;0;3)\text{C} (2 ; 0 ; 3) et D(1;2;3)\text{D} (-1 \: ; 2 \: ; 3).

1. Calculer les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} et DC\overrightarrow{DC}. Qu’en déduire pour le quadrilatère ABCD\text{ABCD} ?


2. Calculer AC2+BD2\text{AC}^2 + \text{BD}^2 et 2AB2+2AD22 \mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{AD}^{2}. Que remarque-t-on ?


3. Généraliser ce résultat à tous les parallélogrammes.
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82
[Raisonner.] 
[DÉMO]

Partie A
Soient u(xyz)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right), v(xyz)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right) et w(abc)\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) trois vecteurs dans un repère orthonormé de l’espace.

1. À l’aide de la formule du cosinus, montrer que uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.


2. Démontrer que, pour tout λR\lambda \in \R :
(λu+v)w=λ×uw+vw(\lambda \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}=\lambda \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}


Partie B
Soient dd une droite de vecteur directeur u\overrightarrow{u} et P\mathcal{P} un plan dirigé par deux vecteurs v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w}.
Le but de l’exercice est de démontrer la propriété suivante : « Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à une base de ce plan. »

1. Supposons que dPd \bot \mathcal{P}.
a. Rappeler la définition d’une droite orthogonale à un plan.


b. Que peut-on dire de u\overrightarrow{u} et des vecteurs du plan ?


c. Conclure pour les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w}.


2. Supposons maintenant que le vecteur u\overrightarrow{u} est orthogonal aux vecteurs v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w}.
a. Justifer que, pour tout λR\lambda \in \mathbb{R}, u(λv+w)\overrightarrow{u} \perp(\lambda \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}).


b. Conclure.
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83
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on définit les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 par les équations cartésiennes respectives 4x+y3z+1=04 x+y-3 z+1=0 et 2x3y+2z+4=02 x-3 y+2 z+4=0.

1. Déterminer deux vecteurs normaux aux plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 que l’on notera respectivement n1\overrightarrow{n}_1 et n2\overrightarrow{n}_2.


2. En déduire que les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 sont sécants.


3. En posant x=tx=t, déterminer en fonction de tt les coordonnées yy et zz d’un point à l’intersection des deux plans.


4. En déduire une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2.
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84
[[Raisonner.]
Plan médiateur
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}), on définit les points H(2;2;4)\text{H}(2 \: ;2 \: ;-4) et K(3;1;3)\text{K} (3 \: ; 1 \: ; -3).

1. Quelles sont les coordonnées de L\text{L}, milieu du segment [HK][\text{HK}] ?


2. Déterminer une équation du plan contenant L\text{L} et de vecteur normal HK\overrightarrow{\text{HK}}.


3. Justifer que le point M(x;y;x+y52)\mathrm{M}\left(x \: ; y \: ;-x+y-\dfrac{5}{2}\right) est un point de ce plan.


4. Calculer les distances MH\text{MH} et MK\text{MK}. Que peut-on remarquer ?


Remarque

Ce plan est appelé plan médiateur des points H\text{H} et K\text{K}.
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