Orthogonalité et distances dans l'espace

Dans un cube $\text{ABCDEFGH}$, on note $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$, $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ les centres respectifs des faces $\text{EFGH}$, $\text{EFBA}$, $\text{FGCB}$, $\text{GHDC}$, $\text{HEAD}$ et $\text{ABCD}$.

Partie A
Dans cette partie, on cherche à démontrer que l'angle entre les centres de trois faces dont deux sont parallèles est droit.
Prenons par exemple les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{L}$.

a) Montrer que $\overrightarrow{\mathrm{IF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}})$.

b) Montrer que $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}})$.

c) En déduire que $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{GB}}$.

2

De même, montrer que $\overrightarrow{\mathrm{IL}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{FC}}$.

3

Conclure sur l'orthogonalité des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IL}$.

Partie B
Dans cette partie, on cherche à démontrer que $\text{KLMJ}$ et $\text{IJNL}$ forment des carrés.

1

Justifer que toutes les arêtes de l'octaèdre $\text{NLMJKI}$ ont la même longueur.

Prenons l'exemple des points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{N}$ et $\text{L}$.
a) Justifier que $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\overrightarrow{\mathrm{LN}}$.

b) Conclure que $\text{INJL}$ est un carré.

1

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont linéairement indépendants.

2

$\text{A}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ définissent donc un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
Traduire le fait que $\text{M}(x;y;z)$ appartienne à ce plan à l'aide d'une égalité vectorielle.

Aide

Si $\text{M}$ appartient au plan, le vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$ est une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs du plan.

3

Montrer qu'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\{\begin{array}{c}\lambda +3\mu =x-5\\ -\lambda +5\mu =y-4\\ \lambda +2\mu =z-7\end{array}$.

On cherche à simplifer le système.
a) En soustrayant la ligne 3 à la ligne 1, isoler $\mu$.

b) En remplaçant $\mu$ par l'expression obtenue, prouver que $\lambda =-2x+3z-11$.

c) Substituer les expressions de $\lambda$ et $\mu$ dans la ligne 2.

5

Justifer que $-7x+y+8z-25=0$ est une équation du plan $\mathcal{P}$ dans l'espace.

Partie A

a) Calculer les longueurs $\Omega \text{R}$, $\Omega S$ et $\Omega T$.

b) Peut-on en déduire que $\text{R}$, $\text{S}$ et $\text{T}$ sont sur un même cercle ? Justifer.

Aide

Deux distances sont égales si, et seulement si, leurs carrés le sont aussi.

a) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{RS}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{RT}}$.

b) Justifer que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}3\\ -13\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $\text{(RST)}$. En déduire une équation de ce plan.

c) Le point $\Omega$ appartient-il à ce plan ? Justifer.

Soit $\text{M}(x;y;z)$ un point du repère.
a) Calculer $\Omega {\text{M}}^2$.

b) En déduire une équation de la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\text{R}$.

Partie B

On considère la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=9$.

On s'intéresse à l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan ${\mathcal{P}}_1$ de repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
a) Justifer qu'une équation de ce plan est $z=0$.

b) Prouver alors que l'intersection du plan ${\mathcal{P}}_1$ et de la sphère $\mathcal{S}$ vérife l'équation $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=8$.

Aide

Comme on se place dans le plan d'équation $z=0$, on obtiendra une équation en fonction de $x$ et $y$. On fera rapidement le lien avec les ensembles de points vus en première.

c) À quoi l'intersection du plan ${\mathcal{P}}_1$ et de la sphère $\mathcal{S}$ correspond-elle ?

2

On s'intéresse maintenant à l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan ${\mathcal{P}}_2$ d'équation $z=4$. Déterminer l'intersection de ce plan et de la sphère $\mathcal{S}$.

3

En considérant enfin le plan d'équation $z=k$ (où $k\in \mathbb{R}$), discuter, en fonction des valeurs possibles de $k$, de l'intersection entre ce plan et la sphère $\mathcal{S}$.