Dans un cube \text{ABCDEFGH}, on note \text{I}, \text{J}, \text{K}, \text{L}, \text{M} et \text{N} les centres respectifs des faces \text{EFGH}, \text{EFBA}, \text{FGCB}, \text{GHDC}, \text{HEAD} et \text{ABCD}.

Partie A
Dans cette partie, on cherche à démontrer que l'angle entre les centres de trois faces dont deux sont parallèles est droit.
Prenons par exemple les points \text{I}, \text{J} et \text{L}.

a) Montrer que \overrightarrow{\mathrm{IF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}).

b) Montrer que \overrightarrow{\mathrm{FJ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}).

c) En déduire que \overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{GB}}.

2

De même, montrer que \overrightarrow{\mathrm{IL}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{FC}}.

3

Conclure sur l'orthogonalité des vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{IL}.

Partie B
Dans cette partie, on cherche à démontrer que \text{KLMJ} et \text{IJNL} forment des carrés.

1

Justifer que toutes les arêtes de l'octaèdre \text{NLMJKI} ont la même longueur.

Prenons l'exemple des points \text{I}, \text{J}, \text{N} et \text{L}.
a) Justifier que \overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\overrightarrow{\mathrm{LN}}.

b) Conclure que \text{INJL} est un carré.

1

Montrer que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont linéairement indépendants.

2

\text{A}, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} définissent donc un plan que l'on notera \mathcal{P}.
Traduire le fait que \text{M} (x \: ; y \: ; z) appartienne à ce plan à l'aide d'une égalité vectorielle.

Aide

Si \text{M} appartient au plan, le vecteur \overrightarrow{\text{AM}} est une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs du plan.

3

Montrer qu'il existe deux réels \lambda et \mu tels que \left\{\begin{array}{c} \lambda+3 \mu=x-5 \\ -\lambda+5 \mu=y-4 \\ \lambda+2 \mu=z-7 \end{array}\right..

On cherche à simplifer le système.
a) En soustrayant la ligne 3 à la ligne 1, isoler \mu.

b) En remplaçant \mu par l'expression obtenue, prouver que \lambda=-2 x+3 z-11.

c) Substituer les expressions de \lambda et \mu dans la ligne 2.

5

Justifer que -7 x+y+8 z-25=0 est une équation du plan \mathcal{P} dans l'espace.

Partie A

a) Calculer les longueurs \Omega \text{R}, \Omega S et \Omega T.

b) Peut-on en déduire que \text{R}, \text{S} et \text{T} sont sur un même cercle ? Justifer.

Aide

Deux distances sont égales si, et seulement si, leurs carrés le sont aussi.

a) Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{RS}} et \overrightarrow{\mathrm{RT}}.

b) Justifer que \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -13 \\ 3 \end{array}\right) est un vecteur normal au plan \text{(RST)}. En déduire une équation de ce plan.

c) Le point \Omega appartient-il à ce plan ? Justifer.

Soit \text{M} (x \: ; y \: ; z) un point du repère.
a) Calculer \Omega \text{M}^{2}.

b) En déduire une équation de la sphère de centre \Omega et de rayon \text{R}.

Partie B

On considère la sphère \mathcal{S} d'équation (x-2)^{2}+(y+2)^{2}+(z+1)^{2}=9.

On s'intéresse à l'intersection de \mathcal{S} avec le plan \mathcal{P}_1 de repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j}).
a) Justifer qu'une équation de ce plan est z=0.

b) Prouver alors que l'intersection du plan \mathcal{P}_1 et de la sphère \mathcal{S} vérife l'équation (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=8.

Aide

Comme on se place dans le plan d'équation z = 0, on obtiendra une équation en fonction de x et y. On fera rapidement le lien avec les ensembles de points vus en première.

c) À quoi l'intersection du plan \mathcal{P}_1 et de la sphère \mathcal{S} correspond-elle ?

2

On s'intéresse maintenant à l'intersection de \mathcal{S} avec le plan \mathcal{P}_2 d'équation z = 4. Déterminer l'intersection de ce plan et de la sphère \mathcal{S}.

3

En considérant enfin le plan d'équation z = k (où k \in \R), discuter, en fonction des valeurs possibles de k, de l'intersection entre ce plan et la sphère \mathcal{S}.