Auto-évaluation

On se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.

9

Un vecteur normal au plan d’équation cartésienne $2x + 3 z + 1 = 0$ est :
a. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$
b. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)$
c. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$
d. Il n’en possède pas.

10

Dans un cube, combien d’arêtes sont orthogonales à une face donnée ?
a. 2
b. 6
c. 4
d. aucune

11

Le projeté orthogonal du point $\text{M} (2 \:; 3 \:; 2)$ sur le plan d’équation $3x+4y-2z+15=0$ est :
a. $\text{H} ( 5 \: ; 7 \: ; 0)$
b. $\text{H} ( -1 \: ; -1 \: ; 4)$
c. $\text{H} ( 4 \: ; -1 \: ; -1)$
d. $\text{H} ( 1 \: ; 1 \: ; 4)$

12

La distance entre $\text{K} ( 3 \: ; 1 \: ; 3)$ et le plan d’équation $x+2y-3z+18=0$ est :
a. $14$

b. $\dfrac{32}{\sqrt{14}}$

c. $\sqrt{14}$

d. $32$

13

Soit $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)$. Un vecteur normal à $\overrightarrow{u}$ est :
a. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} -3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$
b. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)$
c. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right)$
d. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$

14

Déterminer les plans qui admettent le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)$ comme vecteur normal.

×

a. $2 x=2 z+3$

×

b. $-2 x+\sqrt{4} z-12=0$

×

c. $x-z+4=0$

d. $2 x+4 y-2 z+11=0$

15

La distance entre le point $\text{S} ( 1 \: ; 1 \: ; 1)$ et la droite $\Delta:\left\{\begin{array}{l} x=3 t+2 \\ y=-4 t \\ z=2 t+12 \end{array}\right.$ $(t \in \R)$ est égale à :

a. la distance entre $\text{S}$ et $\text{A} ( 0 \: ; -8 \: ; 12)$.

b. $\sqrt{33}$

×

c. $\sqrt{94}$

×

d. la distance entre $\text{S}$ et $\text{B} ( -1 \: ; 4 \: ; 10)$.

16

Deux droites orthogonales à une même troisième droite sont :

a. parallèles.

b. orthogonales.

c. coplanaires.

×

d. on ne peut pas savoir.

17

Le plan $x+\sqrt{2} y-\sqrt{2} z+4=0$ admet pour vecteur normal :

×

a. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \sqrt{2} \\ -2 \sqrt{2} \end{array}\right)$

×

b. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -\sqrt{2} \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$

×

c. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{array}\right)$

×

d. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$

18

Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, on donne $\text{A}(4 \: ; 5 \: ; 2)$, $\text{B} (1 \: ; 3 \: ; 1)$ et $\text{C}(3 \: ; 3 \: ;-1)$.

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$.


b. Montrer que $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.


c. Justifer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)$ est normal au plan $(\text{ABC})$ et en déduire une équation de ce plan.


2. Soit le point $\text{D} (1 \: ; 1 \: ; 1)$.

a. Justifer que $\text{D} \notin (\text{ABC})$.


b. Quelle est la distance entre le point $\text{D}$ et le plan $(\text{ABC})$ ?

A

Soient les vecteurs $\overrightarrow{u} \left( \dfrac{5}{3} \: ; 2 \: ; \dfrac{1}{5}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left( \dfrac{3}{5} \: ; \dfrac{1}{3} \: ; - \dfrac{5}{3}\right)$. Alors $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ est égal à :

a. $\dfrac{4}{3}$.

b. $\dfrac{3}{5}$.

B

Vrai ou faux ? Les vecteurs $\overrightarrow{u} \left( 13\: ; 12 \: ; -1 \right)$ et $\overrightarrow{u} \left( -1 \: ; 1 \: ; -1 \right)$ ne sont pas orthogonaux.

a. Vrai
b. Faux

C

Pour quelle valeur de $a$ les vecteurs $\overrightarrow{u} \left( a+1\: ; a+2 \: ; a+3\ \right)$ et $\overrightarrow{v}\left( 3-a\: ; 1\: ; a-3 \right)$ sont-ils orthogonaux ?

a. Aucune.

b. $0$

c. $\dfrac {4}{3}$

d. $-\dfrac{4}{3}$

D

Vrai ou faux ? Les plans $x+y+z-3=0$ et $2x-2y-2z+6$ sont parallèles.

a. Vrai
b. Faux

E

Les coordonnées du projeté orthogonal $\text H$ de $\text A(5 \: ;-11 \: ; 2)$ sur le plan d’équation $x+y-2z+4=0$ sont :

a. $\text H(6 \: ;-10 \:;0)$.
b. $\text H(-3 \: ;-1 \:;3)$.
c. $\text H(0 \: ; 0 \:;5)$.
d. $\text H(3 \: ;-13 \:;6)$.

F

La distance du point $\text A(1 \: ;0 \: ;4)$au plan d'équation $x+2y+2z+6=0$ est :

a. $15$.

b. $5$.

c. $\sqrt{5}$.

d. $\dfrac{5}{3}$.

G

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-12$, $\lVert \overrightarrow{u} \rVert=\sqrt{12}$ et $\lVert \overrightarrow{v} \rVert=4$. Alors :

×

a. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=150^\circ$.

b. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=60^\circ$.

c. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)= - \dfrac{ \pi}{3}$.

×

d. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)= \dfrac{ 5 \pi}{6}$.

H

Le plan d’équation $2x-2z+5=0$ admet pour vecteur normal :

a. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}$.

×

b. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$.

c. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\5\end{pmatrix}$.

×

d. $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}$.