Auto-évaluation

On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

9

Un vecteur normal au plan d’équation cartésienne $2x+3z+1=0$ est :
a. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$
b. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$
c. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$
d. Il n’en possède pas.

10

Dans un cube, combien d’arêtes sont orthogonales à une face donnée ?
a. 2
b. 6
c. 4
d. aucune

11

Le projeté orthogonal du point $\text{M}(2;3;2)$ sur le plan d’équation $3x+4y-2z+15=0$ est :
a. $\text{H}(5;7;0)$
b. $\text{H}(-1;-1;4)$
c. $\text{H}(4;-1;-1)$
d. $\text{H}(1;1;4)$

12

La distance entre $\text{K}(3;1;3)$ et le plan d’équation $x+2y-3z+18=0$ est :
a. $14$

b. $\frac{32}{\sqrt{14}}$

c. $\sqrt{14}$

d. $32$

13

Soit $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$. Un vecteur normal à $\overrightarrow{u}$ est :
a. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$
b. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)$
c. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$
d. $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

14

Déterminer les plans qui admettent le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ comme vecteur normal.

×

a. $2x=2z+3$

×

b. $-2x+\sqrt{4}z-12=0$

×

c. $x-z+4=0$

d. $2x+4y-2z+11=0$

15

La distance entre le point $\text{S}(1;1;1)$ et la droite $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3t+2\\ y=-4t\\ z=2t+12\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ est égale à :

a. la distance entre $\text{S}$ et $\text{A}(0;-8;12)$.

b. $\sqrt{33}$

×

c. $\sqrt{94}$

×

d. la distance entre $\text{S}$ et $\text{B}(-1;4;10)$.

16

Deux droites orthogonales à une même troisième droite sont :

a. parallèles.

b. orthogonales.

c. coplanaires.

×

d. on ne peut pas savoir.

17

Le plan $x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}z+4=0$ admet pour vecteur normal :

×

a. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}\end{array}\right)$

×

b. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

×

c. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)$

×

d. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

18

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne $\text{A}(4;5;2)$, $\text{B}(1;3;1)$ et $\text{C}(3;3;-1)$.

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$.


b. Montrer que $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.


c. Justifer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ est normal au plan $(\text{ABC})$ et en déduire une équation de ce plan.


2. Soit le point $\text{D}(1;1;1)$.

a. Justifer que $\text{D}\notin (\text{ABC})$.


b. Quelle est la distance entre le point $\text{D}$ et le plan $(\text{ABC})$ ?

A

Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\frac{5}{3};2;\frac{1}{5}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\frac{3}{5};\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)$. Alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ est égal à :

a. $\frac{4}{3}$.

b. $\frac{3}{5}$.

B

Vrai ou faux ? Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(13;12;-1\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(-1;1;-1\right)$ ne sont pas orthogonaux.

a. Vrai
b. Faux

C

Pour quelle valeur de $a$ les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(a+1;a+2;a+3\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(3-a;1;a-3\right)$ sont-ils orthogonaux ?

a. Aucune.

b. $0$

c. $\frac{4}{3}$

d. $-\frac{4}{3}$

D

Vrai ou faux ? Les plans $x+y+z-3=0$ et $2x-2y-2z+6$ sont parallèles.

a. Vrai
b. Faux

E

Les coordonnées du projeté orthogonal $\text{H}$ de $\text{A}(5;-11;2)$ sur le plan d’équation $x+y-2z+4=0$ sont :

a. $\text{H}(6;-10;0)$.
b. $\text{H}(-3;-1;3)$.
c. $\text{H}(0;0;5)$.
d. $\text{H}(3;-13;6)$.

F

La distance du point $\text{A}(1;0;4)$au plan d'équation $x+2y+2z+6=0$ est :

a. $15$.

b. $5$.

c. $\sqrt{5}$.

d. $\frac{5}{3}$.

G

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-12$, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{12}$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =4$. Alors :

×

a. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=150^{\circ }$.

b. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=60^{\circ }$.

c. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-\frac{\pi }{3}$.

×

d. $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{5\pi }{6}$.

H

Le plan d’équation $2x-2z+5=0$ admet pour vecteur normal :

a. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 5\end{array}\right)$.

×

b. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$.

c. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 5\end{array}\right)$.

×

d. $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$.