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Distance entre un point de l’espace et une droite
P.100

TP INFO


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Distance entre un point de l’espace et une droite




Énoncé

L’espace est muni d’un repère orthonormé .
On considère le point et la droite de représentation paramétrique , .
Questions préliminaires :
1. Déterminer un vecteur directeur de la droite .


2. Déterminer les coordonnées du point tel que .
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Objectif

Déterminer empiriquement la distance entre le point et la droite à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Dans GeoGebra, ouvrir une fenêtre 3D et n’afficher ni le plan, ni les axes.

1. En utilisant la barre de saisie, placer les points et à l’aide de leurs coordonnées.

Distance entre un point de l’espace et une droite

2. Créer un vecteur directeur de la droite dans la barre de saisie.

Distance entre un point de l’espace et une droite

3. Créer un représentant du vecteur ayant pour origine pour ensuite tracer la droite .

4. Placer un point sur cette droite et faire afficher la longueur .

5. Déplacer le point jusqu’à obtenir la longueur minimale de .
Quelles sont alors les coordonnées de ?


6. Affcher la mesure de l’angle .
Que constate-t-on ?
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Lancer le module Geogebra
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère le code Python ci-dessous.

1. Que renvoie la fonction droite ? Faire un essai avec .

2. Que renvoie la fonction distance ? Faire un essai en prenant comme argument droite(2).

3. Créer une fonction test qui prend en entrée et correspondant à deux points et de la droite et un pas et qui renvoie la distance minimale entre le point et les points du segment .

Aide
On pourra créer une variable min qui gardera en mémoire la distance minimale à chaque passage de la boucle.


4. Utiliser cette fonction pour déterminer le point de le plus proche de lorsque avec un pas de , puis un pas de .
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from math import sqrt
def droite(t) :
	x = 4*t - 3
	y = 2*t
	z = 4*t - 1
	return([x, y, z])

def distance(l) :
	d = sqrt((l[0]-5)**2+(l[1]+2)**2+(l[2]+1)**2)
	return(d)
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR

Ouvrir une feuille de calcul.

1. Dans la colonne A, placer les valeurs de de à avec un incrément de .
2. Dans les colonnes B, C et D, calculer les coordonnées , et des points de la droite correspondant aux valeurs de de la colonne A.
3. Dans la colonne E, calculer la distance de chaque point à en utilisant la formule adéquate.

4. Quelles semblent être les coordonnées du point le plus proche de ?


5. Refaire les mêmes manipulations avec un pas de pour les valeurs de , puis avec un pas de .
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