Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Distance entre un point de l’espace et une droite
P.100

TP INFO


1
Distance entre un point de l’espace et une droite




Énoncé

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k)( \text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On considère le point L(5;2;1)\text{L} (5 \: ; -2 \: ; -1) et la droite Δ\Delta de représentation paramétrique {x=4t3y=2tz=4t1\left\{\begin{array}{l} x=4 t-3 \\ y=2 t \\ z=4 t-1 \end{array}\right., tRt \in \mathbb{R}.
Questions préliminaires :
1. Déterminer un vecteur directeur u\overrightarrow{u} de la droite Δ\Delta.


2. Déterminer les coordonnées du point KΔ\text{K} \in \Delta tel que t=0t = 0.

Objectif

Déterminer empiriquement la distance entre le point L\text{L} et la droite Δ\Delta à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Dans GeoGebra, ouvrir une fenêtre 3D et n’afficher ni le plan, ni les axes.

1. En utilisant la barre de saisie, placer les points K\text{K} et L\text{L} à l’aide de leurs coordonnées.

Distance entre un point de l’espace et une droite

2. Créer un vecteur directeur u\overrightarrow{u} de la droite Δ\Delta dans la barre de saisie.

Distance entre un point de l’espace et une droite

3. Créer un représentant du vecteur u\overrightarrow{u} ayant pour origine K\text{K} pour ensuite tracer la droite Δ\Delta.

4. Placer un point M\text{M} sur cette droite et faire afficher la longueur LM\text{LM}.

5. Déplacer le point M\text{M} jusqu’à obtenir la longueur minimale de LM\text{LM}.
Quelles sont alors les coordonnées de M\text{M}?


6. Affcher la mesure de l’angle LMK^\widehat{\text{LMK}}.
Que constate-t-on ?

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère le code Python ci-dessous.

1. Que renvoie la fonction droite ? Faire un essai avec t=2t = 2.

2. Que renvoie la fonction distance ? Faire un essai en prenant comme argument droite(2).

3. Créer une fonction test qui prend en entrée t1t_1 et t2t_2 correspondant à deux points A\text{A} et B\text{B} de la droite Δ\Delta et un pas pp et qui renvoie la distance minimale entre le point L\text{L} et les points du segment [AB][\text{AB}].

Aide
On pourra créer une variable min qui gardera en mémoire la distance minimale à chaque passage de la boucle.


4. Utiliser cette fonction pour déterminer le point de Δ\Delta le plus proche de L\text{L} lorsque t[5;5]t \in[-5 \: ; 5] avec un pas de 11, puis un pas de 0,10{,}1.

from math import sqrt
def droite(t) :
	x = 4*t - 3
	y = 2*t
	z = 4*t - 1
	return([x, y, z])

def distance(l) :
	d = sqrt((l[0]-5)**2+(l[1]+2)**2+(l[2]+1)**2)
	return(d)
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR

Ouvrir une feuille de calcul.

1. Dans la colonne A, placer les valeurs de tt de 5-5 à 55 avec un incrément de 11.
2. Dans les colonnes B, C et D, calculer les coordonnées xx, yy et zz des points de la droite Δ\Delta correspondant aux valeurs de tt de la colonne A.
3. Dans la colonne E, calculer la distance de chaque point à L\text{L} en utilisant la formule adéquate.

4. Quelles semblent être les coordonnées du point le plus proche de L\text{L} ?


5. Refaire les mêmes manipulations avec un pas de 0,10{,}1 pour les valeurs de tt, puis avec un pas de 0,010{,}01.
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.