L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
On considère le point L(5;−2;−1) et la droite Δ de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=4t−3y=2tz=4t−1, t∈R. Questions préliminaires : 1. Déterminer un vecteur directeur u de la droite Δ.
2. Déterminer les coordonnées du point K∈Δ tel que t=0.
Objectif
Déterminer empiriquement la distance entre le point L et la droite Δ à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
Dans GeoGebra, ouvrir une fenêtre 3D et n’afficher ni le plan, ni les axes.
1. En utilisant la barre de saisie, placer les points K et L à l’aide de leurs coordonnées.
2. Créer un vecteur directeur u de la droite Δ dans
la barre de saisie.
3. Créer un représentant du vecteur u ayant pour
origine K pour ensuite tracer la droite Δ.
4. Placer un point M sur cette droite et faire afficher la longueur LM.
5. Déplacer le point M jusqu’à obtenir la longueur minimale de LM.
Quelles sont alors les coordonnées de M?
6. Affcher la mesure de l’angle LMK.
Que constate-t-on ?
Lancer le module Geogebra
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère le code Python ci-dessous.
1. Que renvoie la fonction droite ? Faire un essai
avec t=2. 2. Que renvoie la fonction distance ? Faire un essai en prenant comme argument droite(2). 3. Créer une fonction test qui prend en entrée t1 et t2 correspondant à deux points A et B de la droite Δ et un pas p et qui renvoie la distance minimale
entre le point L et les points du segment [AB].
Aide
On pourra créer une variableminqui gardera en mémoire la distance minimale à chaque passage de la boucle.
4. Utiliser cette fonction pour déterminer le point
de Δ le plus proche de L lorsque t∈[−5;5] avec
un pas de 1, puis un pas de 0,1.
from math import sqrt
def droite(t) :
x = 4*t - 3
y = 2*t
z = 4*t - 1
return([x, y, z])
def distance(l) :
d = sqrt((l[0]-5)**2+(l[1]+2)**2+(l[2]+1)**2)
return(d)
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR
Ouvrir une feuille de calcul.
1. Dans la colonne A, placer les valeurs de t de −5 à 5 avec un incrément de 1. 2. Dans les colonnes B, C et D, calculer les coordonnées x, y et z des points de la droite Δ correspondant aux valeurs de t de la colonne A. 3. Dans la colonne E, calculer la distance de chaque point à L en utilisant la formule adéquate.
4. Quelles semblent être les coordonnées du point le
plus proche de L ?
5. Refaire les mêmes manipulations avec un pas de 0,1 pour les valeurs de t, puis avec un pas de 0,01.
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