Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Pour les exercices

19

à

21

On considère le parallélépipède rectangle $\text{ABCDEFGH}$ représenté ci-dessous.

On donne $\text{AB} = 6\text{ cm}$, $\text{AD} = 4 \text{ cm}$ et $\text{AE} = 4 \text{ cm}$.

19

En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan $(\text{ABC})$.

20

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DG}}$.

21

$(\mathrm{H} \: ; \overrightarrow{\mathrm{HE}} \:, \overrightarrow{\mathrm{HG}} \: , \overrightarrow{\mathrm{HD}})$ est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.

22

Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, on donne les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$. L'angle $(\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v})$ est-il droit ?

23

Dans un repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, on considère le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$ et le point $\text{S} (1 \: ; 3 \: ; 2)$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $\text{S}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.

2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.

Pour les exercices

24

à

26

$\text{ABCDEFGH}$ est le cube ci-dessous. Les points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$ sont les milieux respectifs des côtés $[\text{AB}]$, $[\text{EF}]$, $[\text{GH}]$ et $[\text{CD}]$.

24

Montrer que la droite $(\text{FH})$ est orthogonale au plan $(\text{AEC})$.

25

Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. $(\text{DCG})$ et $\text{(IL)}$.

2. $(\text{ABF})$ et $\text{(HJ)}$.

3. $(\text{EFC})$ et $\text{(KI)}$.

4. $(\text{ABC})$ et $\text{(DK)}$.

26

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. $(\text{IK})$ et $\text{(JL)}$.

2. $(\text{JH})$ et $\text{(DH)}$.

3. $(\text{HG})$ et $\text{(IL)}$.

4. $(\text{JC})$ et $\text{(KB)}$.

27

Soient $\text{ABCD}$ un tétraèdre régulier d’arête de longueur $a$ et $\text{I}$ le milieu du côté $[\text{BD}]$. Montrer que $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{3}{4} a^{2}$.

28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices

24

à  

26

d’arête $4$. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d’une mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AL}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{JH}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{EK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EL}}$

29

Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FA}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$

30

On se place dans le repère orthonormé $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k})$. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)$.

2.$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 11 \\ 2 \\ \dfrac{3}{2} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -25 \\ 4 \end{array}\right)$.

3. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -\dfrac{1}{4} \end{array}\right)$.

4. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ -\sqrt{2} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} \sqrt{3} \\ -1 \\ \sqrt{8} \end{array}\right)$.

31

Dans un tétraèdre régulier $\text{ABCD}$, le repère $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}})$ est-il orthonormé ?

32

On se place dans le cube utilisé dans les exercices

24

à  

26

d’arête $1$.

1. Justifer que $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}})$ est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.


3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

33

Déterminer une équation du plan passant par $\text{G} (\sqrt{2} \: ; \sqrt{3} \: ; 1)$ et parallèle au plan $\mathcal{L}$ d’équation $\sqrt{6} x+\sqrt{3} y-\sqrt{3} z+1=0$.

34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point $\text{Z} (1 \: ; 3 \: ; 5)$ appartient au plan.

1. $x-2 y+z+4=0$


2. $5 x-z=0$


3. $x+y+z+9=0$


4. $3 x+2 y-3 z+6=0$

35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point $\text{R} ( \sqrt{2} \: ; 1 \: ; 0)$ appartient au plan dont on donne une équation.

1. $\sqrt{8} x-2 y+\sqrt{3} z-2=0$


2. $x-y+z+1-\sqrt{2}=0$


3. $x-\sqrt{2} y+3 z=0$


4. $2 x-y+3 z-2 \sqrt{2}+3=0$

36

Soient $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne $2 x+3 y-6 z+12=0$ et $\mathcal{P}'$ le plan de vecteur normal $\overrightarrow{n'}\left(\begin{array}{c} -\dfrac{2}{3} \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$ contenant le point $\mathrm{M}(3 \: ; 2 \: ; 3)$.

1. Donner une équation du plan $\mathcal{P}'$.

2. a. Donner un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.


b. Le plan $\mathcal{P}$ contient-il le point $\text{M}$ ?

3. Calculer les coordonnées de $-3\overrightarrow{n}'$.
Qu’en déduire pour les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?

Pour les exercices suivants, on se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.

37

Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1. $2 x-3 y+2 z-4=0$


2. $x^{2}+3 y-z+6=0$


3. $(x-2)^{2}+y^{2}+4=x^{2}+(y-2)^{2}+z$


4. $x=y$

38

Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $\text{G} (3 \: ; 3 \: ; 3)$ et orthogonale au plan $\mathcal{L}$ d’équation $x+2 y-2 z+15=0$. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de $\text{G}$ sur $\text{L}$.

39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point $\text{S}$ sur le plan $\mathcal{R}$.

1. $\mathrm{S}(1 \: ;-1 \: ; 0)$ et $\mathcal{R}: 2 x-y-16=0$.


2. $\mathrm{S}(2 \: ; 1\: ; 3)$ et $\mathcal{R}: x+y+z=0$.

40

Soient $d$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=t-3 \\ z=-2 t+4 \end{array}\right.$, $t \in \R$ et le point $\text{S} ( 1 \: ; 1 \: ; 1)$.

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à $d$ et passant par $\text{S}$.


2. Déterminer le point d’intersection du plan et de $d$.


3. Que représente ce point ?

41

Calculer la distance entre le point $\text{A} (1 \: ; 0 \: ; -2)$ et la droite $d$ dont on donne une représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=-3t \\ z=2 t \end{array}\right.$, $t \in \mathrm{R}$.

42

Déterminer la distance du point $\text{A} (29 \: ; 4 \: ; -9)$ au plan d’équation cartésienne $-3 y+z+1=0$.

43

Déterminer la distance du point $\text{A} (1 \: ; \sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3})$ au plan d’équation cartésienne $x-y+z-1=0$.

44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\text{R}$.

1. $\Omega(1 \: ; 2 \: ; 1)$ et $\text{R}=5$


2. $\Omega(1 \: ; 1 \: ; 3)$ et $\text{R}=1$


3. $\Omega(0 \: ; 0 \: ; 0)$ et $\text{R}= \sqrt{3}$


4. $\Omega(-1 \: ; 3 \: ; 2)$ et $\text{R}= 2$

45

Déterminer l’ensemble des points $\text{M} (x \: ;y \: ;z)$ qui vérifent l’équation donnée.

1. $(x-4)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=16$


2. $x^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=3$

46

On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$.


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$.


3. Soit $\mathcal{P}$ un plan. Le point $\text{A} (4 \: ; -1 \: ; 2)$ appartient à $\mathcal{P}$. Donner une équation possible de $\mathcal{P}$.