Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Exercices

Travailler les automatismes

À l'oral
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Pour les exercices
19
à
21

On considère le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous.
Applications directes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On donne , et .
19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan .
20
Calculer .
21
est-il un repère orthonormé de l'espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
22
Dans un repère orthonormé , on donne les vecteurs et . L'angle est-il droit ?
23

Dans un repère orthonormé , on considère le vecteur et le point .

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par et de vecteur normal .


2. Ce plan passe-t-il par l'origine du repère ? Justifer.
Orthogonalité

Pour les exercices
24
à
26

est le cube ci-dessous. Les points , , et sont les milieux respectifs des côtés , , et .

Applications directes
Le zoom est accessible dans la version Premium.
24
Montrer que la droite est orthogonale au plan .
25

Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite données sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. et .

2. et .

3. et .

4. et .
26

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites données sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. et .

2. et .

3. et .

4. et .
Produit scalaire
27
Soient un tétraèdre régulier d'arête de longueur et le milieu du côté . Montrer que .
28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices à   d'arête . Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d'une mesure de l'angle formé par les deux vecteurs donnés.

1.

2.

3.

4.

29

Dans le cube , dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1.

2.

3.

4.

30

On se place dans le repère orthonormé . Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs et sont orthogonaux.

1. et .

2. et .

3. et .

4. et .

31
Dans un tétraèdre régulier , le repère est-il orthonormé ?
32

On se place dans le cube utilisé dans les exercices à   d'arête .

1. Justifer que est un repère orthonormé de l'espace.

2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.

3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

Équation cartésienne de plan

Pour les exercices suivants

On se place dans un repère orthonormé .
33
Déterminer une équation du plan passant par et parallèle au plan d'équation .
34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point appartient au plan.

1.

2.

3.

4.
35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point appartient au plan dont on donne une équation.

1.

2.

3.

4.
36

Soient le plan d'équation cartésienne et le plan de vecteur normal contenant le point .

1. Donner une équation du plan .

2. a. Donner un vecteur normal au plan .

b. Le plan contient-il le point ?

3. Calculer les coordonnées de .
Qu'en déduire pour les plans et ?
37

Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1.

2.

3.

4.
Projection orthogonale et distance
38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale au plan d'équation . En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de sur .


39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan

1. et .

2. et .
40
Soient la droite de représentation paramétrique , et le point .

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à et passant par .

2. Déterminer le point d'intersection du plan et de .

3. Que représente ce point ?
41
Calculer la distance entre le point et la droite dont on donne une représentation paramétrique : , .
42
Déterminer la distance du point au plan d'équation cartésienne .
43
Déterminer la distance du point au plan d'équation cartésienne .
Équation de sphère
44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre et de rayon .

1. et

2. et

3. et

4. et
45

Déterminer l'ensemble des points qui vérifient l'équation donnée.

1.

2.
Exercice inversé
46

On munit l'espace d'un repère orthonormé .

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal .


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à .

3. Soit un plan. Le point appartient à . Donner une équation possible de .

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