Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.102-103




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio

Pour les exercices
19
à
21


On considère le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous.
Applications directes

On donne , et .

19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan .

20
Calculer .

21
est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.

22
Dans un repère orthonormé , on donne les vecteurs et . L'angle est-il droit ?

23
Dans un repère orthonormé , on considère le vecteur et le point .

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par et de vecteur normal .


2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.

Orthogonalité


Pour les exercices
24
à
26


est le cube ci-dessous. Les points , , et sont les milieux respectifs des côtés , , et .

Applications directes

24

Montrer que la droite est orthogonale au plan .

25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

Produit scalaire


27
Soient un tétraèdre régulier d’arête de longueur et le milieu du côté . Montrer que .

28
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête . Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d’une mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.

1.


2.


3.


4.


29
Dans le cube , dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1.


2.


3.


4.


30
On se place dans le repère orthonormé . Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs et sont orthogonaux.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .


31
Dans un tétraèdre régulier , le repère est-il orthonormé ?

32
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête .

1. Justifer que est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.


3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

Équation cartésienne de plan


33

Déterminer une équation du plan passant par et parallèle au plan d’équation .

34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point appartient au plan.

1.


2.


3.


4.

35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point appartient au plan dont on donne une équation.

1.


2.


3.


4.

36
Soient le plan d’équation cartésienne et le plan de vecteur normal contenant le point .

1. Donner une équation du plan .


2. a. Donner un vecteur normal au plan .


b. Le plan contient-il le point ?


3. Calculer les coordonnées de .
Qu’en déduire pour les plans et ?

Projection orthogonale et distance


Pour les exercices suivants, on se place dans un repère orthonormé .

37
Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1.


2.


3.


4.

38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale au plan d’équation . En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de sur .



39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan .

1. et .


2. et .

40
Soient la droite de représentation paramétrique , et le point .

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à et passant par .


2. Déterminer le point d’intersection du plan et de .


3. Que représente ce point ?

41
Calculer la distance entre le point et la droite dont on donne une représentation paramétrique : , .

42
Déterminer la distance du point au plan d’équation cartésienne .

43
Déterminer la distance du point au plan d’équation cartésienne .

Équation de sphère


44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre et de rayon .

1. et


2. et


3. et


4. et

45
Déterminer l’ensemble des points qui vérifent l’équation donnée.

1.


2.

Exercice inversé


46
On munit l’espace d’un repère orthonormé .

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal .


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à .


3. Soit un plan. Le point appartient à . Donner une équation possible de .
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.