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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace
Ouverturep. 86-87
Activités
Activitép. 88-89
1. Orthogonalité et produit scalaire
Coursp. 90-93
2. Géométrie analytique dans l’espace
Coursp. 93-94
3. Projection orthogonale
Coursp. 95-96
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 98
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 99
Distance entre un point de l’espace et une droite
TP / TICEp. 100
Intersection d’un plan et d’un cube
TP / TICEp. 101
Travailler les automatismes
Exercicesp. 102-103
1. Orthogonalité et produit scalaire
Exercicesp. 104-105
2. Géométrie analytique dans l’espace
Exercicesp. 105-108
3. Projection orthogonale
Exercicesp. 108-109
Synthèse
Synthèsep. 110-113
Préparer le bac
Méthode Bacp. 114-115
Algèbre et géométrie
Entraînement bacp. 116-119
Sections de cube
Travailler autrementp. 120
Intersection d’une sphère et d’un plan
Travailler autrementp. 121
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
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Annexes
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Exercices

Travailler les automatismes

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Pour les exercices
19
à
21

On considère le parallélépipède rectangle \text{ABCDEFGH} représenté ci-dessous.
Applications directes

On donne \text{AB} = 6\text{ cm}, \text{AD} = 4 \text{ cm} et \text{AE} = 4 \text{ cm}.
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19
 En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan (\text{ABC}).
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20
 Calculer \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DG}}.
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21
 (\mathrm{H} \: ; \overrightarrow{\mathrm{HE}} \:, \overrightarrow{\mathrm{HG}} \: , \overrightarrow{\mathrm{HD}}) est-il un repère orthonormé de l'espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
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22
 Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteurs \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right). L'angle (\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v}) est-il droit ?
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23

Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on considère le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) et le point \text{S} (1 \: ; 3 \: ; 2).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \text{S} et de vecteur normal \overrightarrow{n}.


2. Ce plan passe-t-il par l'origine du repère ? Justifer.
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Orthogonalité
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Pour les exercices
24
à
26

\text{ABCDEFGH} est le cube ci-dessous. Les points \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L} sont les milieux respectifs des côtés [\text{AB}], [\text{EF}], [\text{GH}] et [\text{CD}].

Applications directes
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24
 Montrer que la droite (\text{FH}) est orthogonale au plan (\text{AEC}).
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25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite données sont orthogonaux. Justifer la réponse. 1. (\text{DCG}) et \text{(IL)}.

2. (\text{ABF}) et \text{(HJ)}.

3. (\text{EFC}) et \text{(KI)}.

4. (\text{ABC}) et \text{(DK)}.
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26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites données sont orthogonales. Justifer la réponse. 1. (\text{IK}) et \text{(JL)}.

2. (\text{JH}) et \text{(DH)}.

3. (\text{HG}) et \text{(IL)}.

4. (\text{JC}) et \text{(KB)}.
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Produit scalaire
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27
 Soient \text{ABCD} un tétraèdre régulier d'arête de longueur a et \text{I} le milieu du côté [\text{BD}]. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{3}{4} a^{2}.
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28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
 à  
26
 d'arête 4. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d'une mesure de l'angle formé par les deux vecteurs donnés.
1. \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AL}}

2. \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{JH}}

3. \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}

4. \overrightarrow{\mathrm{EK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EL}}

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29

Dans le cube \text{ABCDEFGH}, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer. 1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}

2. \overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FA}}

4. \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}

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31
 Dans un tétraèdre régulier \text{ABCD}, le repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) est-il orthonormé ?
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30

On se place dans le repère orthonormé (\text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \:, \vec{k}). Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux. 1. \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right).

2. \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 11 \\ 2 \\ \frac{3}{2} \end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -25 \\ 4 \end{array}\right).

3. \vec{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -\frac{1}{4} \end{array}\right).

4. \vec{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ -\sqrt{2} \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} \sqrt{3} \\ -1 \\ \sqrt{8} \end{array}\right).

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32

On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
 à  
26
 d'arête 1. 1. Justifer que (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}) est un repère orthonormé de l'espace.

2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.

3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Équation cartésienne de plan
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Pour les exercices suivants

On se place dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}).
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33
 Déterminer une équation du plan passant par \text{G} (\sqrt{2} \: ; \sqrt{3} \: ; 1) et parallèle au plan \mathcal{L} d'équation \sqrt{6} x+\sqrt{3} y-\sqrt{3} z+1=0.
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34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point \text{Z} (1 \: ; 3 \: ; 5) appartient au plan.
1. x-2 y+z+4=0

2. 5 x-z=0

3. x+y+z+9=0

4. 3 x+2 y-3 z+6=0
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35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point \text{R} ( \sqrt{2} \: ; 1 \: ; 0) appartient au plan dont on donne une équation. 1. \sqrt{8} x-2 y+\sqrt{3} z-2=0

2. x-y+z+1-\sqrt{2}=0

3. x-\sqrt{2} y+3 z=0

4. 2 x-y+3 z-2 \sqrt{2}+3=0
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36
Soient \mathcal{P} le plan d'équation cartésienne 2 x+3 y-6 z+12=0 et \mathcal{P}' le plan de vecteur normal \overrightarrow{n'}\left(\begin{array}{c} -\frac{2}{3} \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) contenant le point \mathrm{M}(3 \: ; 2 \: ; 3). 1. Donner une équation du plan \mathcal{P}'.

2. a. Donner un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

b. Le plan \mathcal{P} contient-il le point \text{M} ?

3. Calculer les coordonnées de -3\overrightarrow{n}'.
Qu'en déduire pour les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' ?
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37

Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.
1. 2 x-3 y+2 z-4=0

2. x^{2}+3 y-z+6=0

3. (x-2)^{2}+y^{2}+4=x^{2}+(y-2)^{2}+z

4. x=y
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Projection orthogonale et distance
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38
 Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \text{G} (3 \: ; 3 \: ; 3) et orthogonale au plan \mathcal{L} d'équation x+2 y-2 z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de \text{G} sur \text{L}.


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39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point \text{S} sur le plan \mathcal{R}. 1. \mathrm{S}(1 \: ;-1 \: ; 0) et \mathcal{R}: 2 x-y-16=0.

2. \mathrm{S}(2 \: ; 1\: ; 3) et \mathcal{R}: x+y+z=0.
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40
Soient d la droite de représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=t-3 \\ z=-2 t+4 \end{array}\right., t \in \R et le point \text{S} ( 1 \: ; 1 \: ; 1). 1. Déterminer une équation du plan orthogonal à d et passant par \text{S}.

2. Déterminer le point d'intersection du plan et de d.

3. Que représente ce point ?
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41
 Calculer la distance entre le point \text{A} (1 \: ; 0 \: ; -2) et la droite d dont on donne une représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=-3t \\ z=2 t \end{array}\right., t \in \mathrm{R}.
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42
 Déterminer la distance du point \text{A} (29 \: ; 4 \: ; -9) au plan d'équation cartésienne -3 y+z+1=0.
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43
 Déterminer la distance du point \text{A} (1 \: ; \sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3}) au plan d'équation cartésienne x-y+z-1=0.
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Équation de sphère
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44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre \Omega et de rayon \text{R}.
1. \Omega(1 \: ; 2 \: ; 1) et \text{R}=5

2. \Omega(1 \: ; 1 \: ; 3) et \text{R}=1

3. \Omega(0 \: ; 0 \: ; 0) et \text{R}= \sqrt{3}

4. \Omega(-1 \: ; 3 \: ; 2) et \text{R}= 2
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45

Déterminer l'ensemble des points \text{M} (x \: ;y \: ;z) qui vérifient l'équation donnée.
1. (x-4)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=16

2. x^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=3
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Exercice inversé
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46

On munit l'espace d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}). 1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right).


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right).

3. Soit \mathcal{P} un plan. Le point \text{A} (4 \: ; -1 \: ; 2) appartient à \mathcal{P}. Donner une équation possible de \mathcal{P}.
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