Travailler les automatismes

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Pour les exercices

19

à

21

On considère le parallélépipède rectangle $\text{ABCDEFGH}$ représenté ci-dessous.

On donne $\text{AB}=6\text{ cm}$, $\text{AD}=4\text{ cm}$ et $\text{AE}=4\text{ cm}$.

19

En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan $(\text{ABC})$.

20

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{G}}$.

21

$(\mathrm{H};\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{E}},\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{G}},\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{D}})$ est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.

22

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. L'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ est-il droit ?

23

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ et le point $\text{S}(1;3;2)$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $\text{S}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.

2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.

Pour les exercices

24

à

26

$\text{ABCDEFGH}$ est le cube ci-dessous. Les points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$ sont les milieux respectifs des côtés $[\text{AB}]$, $[\text{EF}]$, $[\text{GH}]$ et $[\text{CD}]$.

24

Montrer que la droite $(\text{FH})$ est orthogonale au plan $(\text{AEC})$.

25

Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. $(\text{DCG})$ et $\text{(IL)}$.

2. $(\text{ABF})$ et $\text{(HJ)}$.

3. $(\text{EFC})$ et $\text{(KI)}$.

4. $(\text{ABC})$ et $\text{(DK)}$.

26

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. $(\text{IK})$ et $\text{(JL)}$.

2. $(\text{JH})$ et $\text{(DH)}$.

3. $(\text{HG})$ et $\text{(IL)}$.

4. $(\text{JC})$ et $\text{(KB)}$.

27

Soient $\text{ABCD}$ un tétraèdre régulier d’arête de longueur $a$ et $\text{I}$ le milieu du côté $[\text{BD}]$. Montrer que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}=\frac{3}{4}{a}^2$.

28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices

24

à  

26

d’arête $4$. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d’une mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.

1. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{L}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{J}\mathrm{H}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{F}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{K}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{L}}$

29

Dans le cube $\text{ABCDEFGH}$, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{G}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{H}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{A}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{E}}$

30

On se place dans le repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)$.

2.$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}11\\ 2\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4\\ -25\\ 4\end{array}\right)$.

3. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -\frac{1}{4}\end{array}\right)$.

4. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}\sqrt{3}\\ -1\\ \sqrt{8}\end{array}\right)$.

31

Dans un tétraèdre régulier $\text{ABCD}$, le repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}})$ est-il orthonormé ?

32

On se place dans le cube utilisé dans les exercices

24

à  

26

d’arête $1$.

1. Justifer que $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$ est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.


3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

33

Déterminer une équation du plan passant par $\text{G}(\sqrt{2};\sqrt{3};1)$ et parallèle au plan $\mathcal{L}$ d’équation $\sqrt{6}x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z+1=0$.

34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point $\text{Z}(1;3;5)$ appartient au plan.

1. $x-2y+z+4=0$


2. $5x-z=0$


3. $x+y+z+9=0$


4. $3x+2y-3z+6=0$

35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point $\text{R}(\sqrt{2};1;0)$ appartient au plan dont on donne une équation.

1. $\sqrt{8}x-2y+\sqrt{3}z-2=0$


2. $x-y+z+1-\sqrt{2}=0$


3. $x-\sqrt{2}y+3z=0$


4. $2x-y+3z-2\sqrt{2}+3=0$

36

Soient $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne $2x+3y-6z+12=0$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ le plan de vecteur normal $\overrightarrow{n^{\prime }}\left(\begin{array}{c}-\frac{2}{3}\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ contenant le point $\mathrm{M}(3;2;3)$.

1. Donner une équation du plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$.

2. a. Donner un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.


b. Le plan $\mathcal{P}$ contient-il le point $\text{M}$ ?

3. Calculer les coordonnées de $-3{\overrightarrow{n}}^{\prime }$.
Qu’en déduire pour les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ ?

Pour les exercices suivants, on se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

37

Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1. $2x-3y+2z-4=0$


2. $x^2+3y-z+6=0$


3. $(x-2{)}^2+y^2+4=x^2+(y-2{)}^2+z$


4. $x=y$

38

Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $\text{G}(3;3;3)$ et orthogonale au plan $\mathcal{L}$ d’équation $x+2y-2z+15=0$. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de $\text{G}$ sur $\text{L}$.

39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point $\text{S}$ sur le plan $\mathcal{R}$.

1. $\mathrm{S}(1;-1;0)$ et $\mathcal{R}:2x-y-16=0$.


2. $\mathrm{S}(2;1;3)$ et $\mathcal{R}:x+y+z=0$.

40

Soient $d$ la droite de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=t-3\\ z=-2t+4\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ et le point $\text{S}(1;1;1)$.

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à $d$ et passant par $\text{S}$.


2. Déterminer le point d’intersection du plan et de $d$.


3. Que représente ce point ?

41

Calculer la distance entre le point $\text{A}(1;0;-2)$ et la droite $d$ dont on donne une représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=-3t\\ z=2t\end{array}$, $t\in \mathrm{R}$.

42

Déterminer la distance du point $\text{A}(29;4;-9)$ au plan d’équation cartésienne $-3y+z+1=0$.

43

Déterminer la distance du point $\text{A}(1;\sqrt{3};2\sqrt{3})$ au plan d’équation cartésienne $x-y+z-1=0$.

44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\text{R}$.

1. $\Omega (1;2;1)$ et $\text{R}=5$


2. $\Omega (1;1;3)$ et $\text{R}=1$


3. $\Omega (0;0;0)$ et $\text{R}=\sqrt{3}$


4. $\Omega (-1;3;2)$ et $\text{R}=2$

45

Déterminer l’ensemble des points $\text{M}(x;y;z)$ qui vérifent l’équation donnée.

1. $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=16$


2. $x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=3$

46

On munit l’espace d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.


3. Soit $\mathcal{P}$ un plan. Le point $\text{A}(4;-1;2)$ appartient à $\mathcal{P}$. Donner une équation possible de $\mathcal{P}$.