Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Exercices

Travailler les automatismes

À l'oral

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Pour les exercices
19
à
21

On considère le parallélépipède rectangle

ABCDEFGH

représenté ci-dessous.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On donne

AB = 6 cm

AD = 4 cm

AE = 4 cm

19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan

(ABC)

20
Calculer

D B \cdot D G

(H; H E, H G, H D)

est-il un repère orthonormé de l'espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.

22
Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on donne les vecteurs

u ⎝ ⎛ 1 - 2 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 210 ⎠ ⎞

. L'angle

(u; v)

est-il droit ?

23

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le vecteur

n ⎝ ⎛ 1 - 1 1 ⎠ ⎞

et le point

S (1; 3; 2)

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par

S

et de vecteur normal

n

2. Ce plan passe-t-il par l'origine du repère ? Justifer.

Orthogonalité

Pour les exercices
24
à
26

ABCDEFGH

est le cube ci-dessous. Les points

I

J

K

L

sont les milieux respectifs des côtés

[AB]

[EF]

[GH]

[CD]

Le zoom est accessible dans la version Premium.

24
Montrer que la droite

(FH)

est orthogonale au plan

(AEC)

25

Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite données sont orthogonaux. Justifer la réponse.

(DCG)

(IL)

(ABF)

(HJ)

(EFC)

(KI)

(ABC)

(DK)

26

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites données sont orthogonales. Justifer la réponse.

(IK)

(JL)

(JH)

(DH)

(HG)

(IL)

(JC)

(KB)

Produit scalaire

27
Soient

ABCD

un tétraèdre régulier d'arête de longueur

a

I

le milieu du côté

[BD]

. Montrer que

A B \cdot A I = \frac{3}{4} a^{2}

28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices 24
à 26
d'arête

4

. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d'une mesure de l'angle formé par les deux vecteurs donnés.

A D \cdot A L

A I \cdot J H

C A \cdot C F

E K \cdot E L

29

Dans le cube

ABCDEFGH

, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

A B \cdot A D

E G \cdot F H

A E \cdot F A

A G \cdot C E

30

On se place dans le repère orthonormé

(O; i, j, k)

. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs

u

v

sont orthogonaux.

u ⎝ ⎛ 11 - 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 042 ⎠ ⎞

u ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 112 \frac{3}{2} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

v ⎝ ⎛ 4 - 25 4 ⎠ ⎞

u ⎝ ⎛ 13 - 4 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 2 - 1 - \frac{1}{4} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

u ⎝ ⎛ 13 - 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 3 - 1 8 ⎠ ⎞

31
Dans un tétraèdre régulier

ABCD

, le repère

(A; A B, A C, A D)

est-il orthonormé ?

On se place dans le cube utilisé dans les exercices

d'arête

1

1. Justifer que

(A; A B, A D, A E)

est un repère orthonormé de l'espace.

2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.

3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

Équation cartésienne de plan

Pour les exercices suivants

On se place dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

33
Déterminer une équation du plan passant par

G (2; 3; 1)

et parallèle au plan

L

d'équation

6 x + 3 y - 3 z + 1 = 0

34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point

Z (1; 3; 5)

appartient au plan.

x - 2 y + z + 4 = 0

5 x - z = 0

x + y + z + 9 = 0

3 x + 2 y - 3 z + 6 = 0

35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point

R (2; 1; 0)

appartient au plan dont on donne une équation.

8 x - 2 y + 3 z - 2 = 0

x - y + z + 1 - 2 = 0

x - 2 y + 3 z = 0

2 x - y + 3 z - 22 + 3 = 0

36

Soient

P

le plan d'équation cartésienne

2 x + 3 y - 6 z + 12 = 0

P^{'}

le plan de vecteur normal

n^{'} ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - \frac{2}{3} - 1 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

contenant le point

M (3; 2; 3)

1. Donner une équation du plan

P^{'}

2. a. Donner un vecteur normal au plan

P

b. Le plan

P

contient-il le point

M

3. Calculer les coordonnées de

- 3 n^{'}

.
Qu'en déduire pour les plans

P

P^{'}

37

Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

2 x - 3 y + 2 z - 4 = 0

x^{2} + 3 y - z + 6 = 0

(x - 2)^{2} + y^{2} + 4 = x^{2} + (y - 2)^{2} + z

x = y

Projection orthogonale et distance

38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par

G (3; 3; 3)

et orthogonale au plan

L

d'équation

x + 2 y - 2 z + 15 = 0

. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de

G

sur

L

39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point

S

sur le plan

R .

S (1; - 1; 0)

R : 2 x - y - 16 = 0

S (2; 1; 3)

R : x + y + z = 0

40
Soient

d

la droite de représentation paramétrique

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 t + 1 y = t - 3 z = - 2 t + 4

t \in R

et le point

S (1; 1; 1)

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à

d

et passant par

S

2. Déterminer le point d'intersection du plan et de

d

3. Que représente ce point ?

41
Calculer la distance entre le point

A (1; 0; - 2)

et la droite

d

dont on donne une représentation paramétrique :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = t - 1 y = - 3 t z = 2 t

t \in R

42
Déterminer la distance du point

A (29; 4; - 9)

au plan d'équation cartésienne

- 3 y + z + 1 = 0

43
Déterminer la distance du point

A (1; 3; 23)

au plan d'équation cartésienne

x - y + z - 1 = 0

Équation de sphère

44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre

Ω

et de rayon

R

Ω (1; 2; 1)

R = 5

Ω (1; 1; 3)

R = 1

Ω (0; 0; 0)

R = 3

Ω (- 1; 3; 2)

R = 2

45

Déterminer l'ensemble des points

M (x; y; z)

qui vérifient l'équation donnée.

(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 16

x^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3

Exercice inversé

On munit l'espace d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal

n ⎝ ⎛ 4 - 2 1 ⎠ ⎞

2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à

u ⎝ ⎛ 3 - 1 2 ⎠ ⎞

3. Soit

P

un plan. Le point

A (4; - 1; 2)

appartient à

P

. Donner une équation possible de

P

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