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Pour les exercices
19
à
21
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH représenté ci-dessous.
On donne AB=6 cm, AD=4 cm et AE=4 cm.
19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan (ABC).
20
Calculer DB⋅DG.
21
(H;HE,HG,HD) est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
22
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on donne les vecteurs u⎝⎛1−22⎠⎞ et v⎝⎛210⎠⎞. L'angle (u;v) est-il droit ?
23
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère le vecteur n⎝⎛1−11⎠⎞ et le point S(1;3;2).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par S et de vecteur normal n.
2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.
Orthogonalité
Pour les exercices
24
à
26
ABCDEFGH est le cube ci-dessous. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [EF], [GH] et [CD].
24
Montrer que la droite (FH) est orthogonale au
plan (AEC).
25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite
donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.
1.(DCG) et (IL).
2.(ABF) et (HJ).
3.(EFC) et (KI).
4.(ABC) et (DK).
26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites
donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.
1.(IK) et (JL).
2.(JH) et (DH).
3.(HG) et (IL).
4.(JC) et (KB).
Produit scalaire
27
Soient ABCD un tétraèdre régulier d’arête de longueur a et I le milieu du côté [BD]. Montrer que AB⋅AI=43a2.
28
On se place dans le cube utilisé dans les
exercices
24
à
26
d’arête 4. Calculer chaque
produit scalaire puis une valeur approchée d’une
mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.
1.AD⋅AL
2.AI⋅JH
3.CA⋅CF
4.EK⋅EL
29
Dans le cube ABCDEFGH, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.
1.AB⋅AD
2.EG⋅FH
3.AE⋅FA
4.AG⋅CE
30
On se place dans le repère orthonormé (O;i,j,k). Dans chacun des cas suivants, déterminer
si les vecteurs u et v sont orthogonaux.
1.u⎝⎛11−2⎠⎞ et v⎝⎛042⎠⎞.
2.u⎝⎜⎜⎛11223⎠⎟⎟⎞ et v⎝⎛4−254⎠⎞.
3.u⎝⎛13−4⎠⎞ et v⎝⎜⎜⎛2−1−41⎠⎟⎟⎞.
4.u⎝⎛13−2⎠⎞ et v⎝⎛3−18⎠⎞.
31
Dans un tétraèdre régulier ABCD, le repère
(A;AB,AC,AD) est-il orthonormé ?
32
On se place dans le cube utilisé dans les
exercices
24
à
26
d’arête 1.
1. Justifer que (A;AB,AD,AE) est un repère orthonormé de l’espace.
2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.
3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
Équation cartésienne de plan
33
Déterminer une équation du plan passant par G(2;3;1) et parallèle au plan L d’équation 6x+3y−3z+1=0.
34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un
vecteur normal et dire si le point Z(1;3;5) appartient au plan.
1.x−2y+z+4=0
2.5x−z=0
3.x+y+z+9=0
4.3x+2y−3z+6=0
35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point R(2;1;0) appartient au plan dont on donne une équation.
1.8x−2y+3z−2=0
2.x−y+z+1−2=0
3.x−2y+3z=0
4.2x−y+3z−22+3=0
36
Soient P le plan d’équation cartésienne 2x+3y−6z+12=0 et P′ le plan de vecteur normal n′⎝⎜⎜⎛−32−12⎠⎟⎟⎞ contenant le point M(3;2;3).
1. Donner une équation du plan P′.
2.a. Donner un vecteur normal au plan P.
b. Le plan P contient-il le point M ?
3. Calculer les coordonnées de −3n′.
Qu’en déduire pour les plans P et P′ ?
Projection orthogonale et distance
Pour les exercices suivants, on se place dans un
repère orthonormé (O;i,j,k).
37
Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation
donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un
vecteur normal à ce plan.
1.2x−3y+2z−4=0
2.x2+3y−z+6=0
3.(x−2)2+y2+4=x2+(y−2)2+z
4.x=y
38
Déterminer une représentation paramétrique de la
droite passant par G(3;3;3) et orthogonale au plan L
d’équation x+2y−2z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de G sur L.
39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point S sur le plan R.
1.S(1;−1;0) et R:2x−y−16=0.
2.S(2;1;3) et R:x+y+z=0.
40
Soient d la droite de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=t−3z=−2t+4, t∈R et le point S(1;1;1).
1. Déterminer une équation du plan orthogonal à d et passant par S.
2. Déterminer le point d’intersection du plan et de d.
3. Que représente ce point ?
41
Calculer la distance entre le point A(1;0;−2) et la droite d dont on donne une représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=t−1y=−3tz=2t, t∈R.
42
Déterminer la distance du point A(29;4;−9) au
plan d’équation cartésienne −3y+z+1=0.
43
Déterminer la distance du point A(1;3;23) au plan d’équation cartésienne x−y+z−1=0.
Équation de sphère
44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la
sphère de centre Ω et de rayon R.
1.Ω(1;2;1) et R=5
2.Ω(1;1;3) et R=1
3.Ω(0;0;0) et R=3
4.Ω(−1;3;2) et R=2
45
Déterminer l’ensemble des points M(x;y;z) qui vérifent l’équation donnée.
1.(x−4)2+(y+2)2+z2=16
2.x2+(y−1)2+(z+1)2=3
Exercice inversé
46
On munit l’espace d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal n⎝⎛4−21⎠⎞.
2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à u⎝⎛3−12⎠⎞.
3. Soit P un plan. Le point A(4;−1;2) appartient à P.
Donner une équation possible de P.
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