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Travailler les automatismes
P.102-103

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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Pour les exercices
19
à
21


On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} représenté ci-dessous.
Applications directes

On donne AB=6 cm\text{AB} = 6\text{ cm}, AD=4 cm\text{AD} = 4 \text{ cm} et AE=4 cm\text{AE} = 4 \text{ cm}.

19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan (ABC)(\text{ABC}).
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20
Calculer DBDG\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DG}}.
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21
(H;HE,HG,HD)(\mathrm{H} \: ; \overrightarrow{\mathrm{HE}} \:, \overrightarrow{\mathrm{HG}} \: , \overrightarrow{\mathrm{HD}}) est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
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22
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteurs u(122)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) et v(210)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right). L'angle (u;v)(\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v}) est-il droit ?
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23
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on considère le vecteur n(111)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) et le point S(1;3;2)\text{S} (1 \: ; 3 \: ; 2).

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par S\text{S} et de vecteur normal n\overrightarrow{n}.


2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.
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Orthogonalité


Pour les exercices
24
à
26


ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est le cube ci-dessous. Les points I\text{I}, J\text{J}, K\text{K} et L\text{L} sont les milieux respectifs des côtés [AB][\text{AB}], [EF][\text{EF}], [GH][\text{GH}] et [CD][\text{CD}].

Applications directes

24

Montrer que la droite (FH)(\text{FH}) est orthogonale au plan (AEC)(\text{AEC}).
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25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. (DCG)(\text{DCG}) et (IL)\text{(IL)}.


2. (ABF)(\text{ABF}) et (HJ)\text{(HJ)}.


3. (EFC)(\text{EFC}) et (KI)\text{(KI)}.


4. (ABC)(\text{ABC}) et (DK)\text{(DK)}.
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26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. (IK)(\text{IK}) et (JL)\text{(JL)}.


2. (JH)(\text{JH}) et (DH)\text{(DH)}.


3. (HG)(\text{HG}) et (IL)\text{(IL)}.


4. (JC)(\text{JC}) et (KB)\text{(KB)}.
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Produit scalaire


27
Soient ABCD\text{ABCD} un tétraèdre régulier d’arête de longueur aa et I\text{I} le milieu du côté [BD][\text{BD}]. Montrer que ABAI=34a2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{3}{4} a^{2}.
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28
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête 44. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d’une mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.

1. ADAL\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AL}}


2. AIJH\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{JH}}


3. CACF\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}


4. EKEL\overrightarrow{\mathrm{EK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EL}}

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29
Dans le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1. ABAD\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}


2. EGFH\overrightarrow{\mathrm{EG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}}


3. AEFA\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FA}}


4. AGCE\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}

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30
On se place dans le repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}). Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont orthogonaux.

1. u(112)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) et v(042)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right).


2.u(11232) \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 11 \\ 2 \\ \dfrac{3}{2} \end{array}\right) et v(4254)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -25 \\ 4 \end{array}\right).


3. u(134)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) et v(2114)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -\dfrac{1}{4} \end{array}\right).


4. u(132)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ -\sqrt{2} \end{array}\right) et v(318)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} \sqrt{3} \\ -1 \\ \sqrt{8} \end{array}\right).

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31
Dans un tétraèdre régulier ABCD\text{ABCD}, le repère (A;AB,AC,AD)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) est-il orthonormé ?
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32
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête 11.

1. Justifer que (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}) est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.


3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Équation cartésienne de plan


33

Déterminer une équation du plan passant par G(2;3;1)\text{G} (\sqrt{2} \: ; \sqrt{3} \: ; 1) et parallèle au plan L\mathcal{L} d’équation 6x+3y3z+1=0\sqrt{6} x+\sqrt{3} y-\sqrt{3} z+1=0.
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34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point Z(1;3;5)\text{Z} (1 \: ; 3 \: ; 5) appartient au plan.

1. x2y+z+4=0x-2 y+z+4=0


2. 5xz=05 x-z=0


3. x+y+z+9=0x+y+z+9=0


4. 3x+2y3z+6=03 x+2 y-3 z+6=0
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35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point R(2;1;0)\text{R} ( \sqrt{2} \: ; 1 \: ; 0) appartient au plan dont on donne une équation.

1. 8x2y+3z2=0\sqrt{8} x-2 y+\sqrt{3} z-2=0


2. xy+z+12=0x-y+z+1-\sqrt{2}=0


3. x2y+3z=0x-\sqrt{2} y+3 z=0


4. 2xy+3z22+3=02 x-y+3 z-2 \sqrt{2}+3=0
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36
Soient P\mathcal{P} le plan d’équation cartésienne 2x+3y6z+12=02 x+3 y-6 z+12=0 et P\mathcal{P}' le plan de vecteur normal n(2312)\overrightarrow{n'}\left(\begin{array}{c} -\dfrac{2}{3} \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) contenant le point M(3;2;3)\mathrm{M}(3 \: ; 2 \: ; 3).

1. Donner une équation du plan P\mathcal{P}'.


2. a. Donner un vecteur normal au plan P\mathcal{P}.


b. Le plan P\mathcal{P} contient-il le point M\text{M} ?


3. Calculer les coordonnées de 3n-3\overrightarrow{n}'.
Qu’en déduire pour les plans P\mathcal{P} et P\mathcal{P}' ?
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Projection orthogonale et distance


Pour les exercices suivants, on se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

37
Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1. 2x3y+2z4=02 x-3 y+2 z-4=0


2. x2+3yz+6=0x^{2}+3 y-z+6=0


3. (x2)2+y2+4=x2+(y2)2+z(x-2)^{2}+y^{2}+4=x^{2}+(y-2)^{2}+z


4. x=yx=y
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38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par G(3;3;3)\text{G} (3 \: ; 3 \: ; 3) et orthogonale au plan L\mathcal{L} d’équation x+2y2z+15=0x+2 y-2 z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de G\text{G} sur L\text{L}.


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39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point S\text{S} sur le plan R\mathcal{R}.

1. S(1;1;0)\mathrm{S}(1 \: ;-1 \: ; 0) et R:2xy16=0\mathcal{R}: 2 x-y-16=0.


2. S(2;1;3)\mathrm{S}(2 \: ; 1\: ; 3) et R:x+y+z=0\mathcal{R}: x+y+z=0.
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40
Soient dd la droite de représentation paramétrique {x=2t+1y=t3z=2t+4\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=t-3 \\ z=-2 t+4 \end{array}\right., tRt \in \R et le point S(1;1;1)\text{S} ( 1 \: ; 1 \: ; 1).

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à dd et passant par S\text{S}.


2. Déterminer le point d’intersection du plan et de dd.


3. Que représente ce point ?
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41
Calculer la distance entre le point A(1;0;2)\text{A} (1 \: ; 0 \: ; -2) et la droite dd dont on donne une représentation paramétrique : {x=t1y=3tz=2t\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=-3t \\ z=2 t \end{array}\right., tRt \in \mathrm{R}.
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42
Déterminer la distance du point A(29;4;9)\text{A} (29 \: ; 4 \: ; -9) au plan d’équation cartésienne 3y+z+1=0-3 y+z+1=0.
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43
Déterminer la distance du point A(1;3;23)\text{A} (1 \: ; \sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3}) au plan d’équation cartésienne xy+z1=0x-y+z-1=0.
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Équation de sphère


44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre Ω\Omega et de rayon R\text{R}.

1. Ω(1;2;1)\Omega(1 \: ; 2 \: ; 1) et R=5\text{R}=5


2. Ω(1;1;3)\Omega(1 \: ; 1 \: ; 3) et R=1\text{R}=1


3. Ω(0;0;0)\Omega(0 \: ; 0 \: ; 0) et R=3\text{R}= \sqrt{3}


4. Ω(1;3;2)\Omega(-1 \: ; 3 \: ; 2) et R=2\text{R}= 2
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45
Déterminer l’ensemble des points M(x;y;z)\text{M} (x \: ;y \: ;z) qui vérifent l’équation donnée.

1. (x4)2+(y+2)2+z2=16(x-4)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=16


2. x2+(y1)2+(z+1)2=3x^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=3
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Exercice inversé


46
On munit l’espace d’un repère orthonormé (O;i,j,k)(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal n(421)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right).


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à u(312)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right).


3. Soit P\mathcal{P} un plan. Le point A(4;1;2)\text{A} (4 \: ; -1 \: ; 2) appartient à P\mathcal{P}. Donner une équation possible de P\mathcal{P}.
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