Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !
Enregistreur audio
Pour les exercices
19
à
21
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH représenté ci-dessous.
On donne AB=6 cm, AD=4 cm et AE=4 cm.
19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan (ABC).
Voir les réponses
20
Calculer DB⋅DG.
Voir les réponses
21
(H;HE,HG,HD) est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
Voir les réponses
22
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on donne les vecteurs u⎝⎛1−22⎠⎞ et v⎝⎛210⎠⎞. L'angle (u;v) est-il droit ?
Voir les réponses
23
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère le vecteur n⎝⎛1−11⎠⎞ et le point S(1;3;2).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par S et de vecteur normal n.
2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.
Voir les réponses
Orthogonalité
Pour les exercices
24
à
26
ABCDEFGH est le cube ci-dessous. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [EF], [GH] et [CD].
24
Montrer que la droite (FH) est orthogonale au
plan (AEC).
Voir les réponses
25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite
donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.
1.(DCG) et (IL).
2.(ABF) et (HJ).
3.(EFC) et (KI).
4.(ABC) et (DK).
Voir les réponses
26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites
donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.
1.(IK) et (JL).
2.(JH) et (DH).
3.(HG) et (IL).
4.(JC) et (KB).
Voir les réponses
Produit scalaire
27
Soient ABCD un tétraèdre régulier d’arête de longueur a et I le milieu du côté [BD]. Montrer que AB⋅AI=43a2.
Voir les réponses
28
On se place dans le cube utilisé dans les
exercices
24
à
26
d’arête 4. Calculer chaque
produit scalaire puis une valeur approchée d’une
mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.
1.AD⋅AL
2.AI⋅JH
3.CA⋅CF
4.EK⋅EL
Voir les réponses
29
Dans le cube ABCDEFGH, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.
1.AB⋅AD
2.EG⋅FH
3.AE⋅FA
4.AG⋅CE
Voir les réponses
30
On se place dans le repère orthonormé (O;i,j,k). Dans chacun des cas suivants, déterminer
si les vecteurs u et v sont orthogonaux.
1.u⎝⎛11−2⎠⎞ et v⎝⎛042⎠⎞.
2.u⎝⎜⎜⎛11223⎠⎟⎟⎞ et v⎝⎛4−254⎠⎞.
3.u⎝⎛13−4⎠⎞ et v⎝⎜⎜⎛2−1−41⎠⎟⎟⎞.
4.u⎝⎛13−2⎠⎞ et v⎝⎛3−18⎠⎞.
Voir les réponses
31
Dans un tétraèdre régulier ABCD, le repère
(A;AB,AC,AD) est-il orthonormé ?
Voir les réponses
32
On se place dans le cube utilisé dans les
exercices
24
à
26
d’arête 1.
1. Justifer que (A;AB,AD,AE) est un repère orthonormé de l’espace.
2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.
3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
Voir les réponses
Équation cartésienne de plan
33
Déterminer une équation du plan passant par G(2;3;1) et parallèle au plan L d’équation 6x+3y−3z+1=0.
Voir les réponses
34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un
vecteur normal et dire si le point Z(1;3;5) appartient au plan.
1.x−2y+z+4=0
2.5x−z=0
3.x+y+z+9=0
4.3x+2y−3z+6=0
Voir les réponses
35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point R(2;1;0) appartient au plan dont on donne une équation.
1.8x−2y+3z−2=0
2.x−y+z+1−2=0
3.x−2y+3z=0
4.2x−y+3z−22+3=0
Voir les réponses
36
Soient P le plan d’équation cartésienne 2x+3y−6z+12=0 et P′ le plan de vecteur normal n′⎝⎜⎜⎛−32−12⎠⎟⎟⎞ contenant le point M(3;2;3).
1. Donner une équation du plan P′.
2.a. Donner un vecteur normal au plan P.
b. Le plan P contient-il le point M ?
3. Calculer les coordonnées de −3n′.
Qu’en déduire pour les plans P et P′ ?
Voir les réponses
Projection orthogonale et distance
Pour les exercices suivants, on se place dans un
repère orthonormé (O;i,j,k).
37
Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation
donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un
vecteur normal à ce plan.
1.2x−3y+2z−4=0
2.x2+3y−z+6=0
3.(x−2)2+y2+4=x2+(y−2)2+z
4.x=y
Voir les réponses
38
Déterminer une représentation paramétrique de la
droite passant par G(3;3;3) et orthogonale au plan L
d’équation x+2y−2z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de G sur L.
Voir les réponses
39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point S sur le plan R.
1.S(1;−1;0) et R:2x−y−16=0.
2.S(2;1;3) et R:x+y+z=0.
Voir les réponses
40
Soient d la droite de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=t−3z=−2t+4, t∈R et le point S(1;1;1).
1. Déterminer une équation du plan orthogonal à d et passant par S.
2. Déterminer le point d’intersection du plan et de d.
3. Que représente ce point ?
Voir les réponses
41
Calculer la distance entre le point A(1;0;−2) et la droite d dont on donne une représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=t−1y=−3tz=2t, t∈R.
Voir les réponses
42
Déterminer la distance du point A(29;4;−9) au
plan d’équation cartésienne −3y+z+1=0.
Voir les réponses
43
Déterminer la distance du point A(1;3;23) au plan d’équation cartésienne x−y+z−1=0.
Voir les réponses
Équation de sphère
44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la
sphère de centre Ω et de rayon R.
1.Ω(1;2;1) et R=5
2.Ω(1;1;3) et R=1
3.Ω(0;0;0) et R=3
4.Ω(−1;3;2) et R=2
Voir les réponses
45
Déterminer l’ensemble des points M(x;y;z) qui vérifent l’équation donnée.
1.(x−4)2+(y+2)2+z2=16
2.x2+(y−1)2+(z+1)2=3
Voir les réponses
Exercice inversé
46
On munit l’espace d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal n⎝⎛4−21⎠⎞.
2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à u⎝⎛3−12⎠⎞.
3. Soit P un plan. Le point A(4;−1;2) appartient à P.
Donner une équation possible de P.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.