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21
(\mathrm{H} \: ; \overrightarrow{\mathrm{HE}} \:, \overrightarrow{\mathrm{HG}} \: , \overrightarrow{\mathrm{HD}}) est-il un repère orthonormé de l'espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
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22
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteurs \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
2
\end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right). L'angle (\overrightarrow{u} \,; \overrightarrow{v}) est-il droit ?
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23
Dans un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on considère le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) et le point \text{S} (1 \: ; 3 \: ; 2).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \text{S} et de vecteur normal \overrightarrow{n}.
2. Ce plan passe-t-il par l'origine du repère ? Justifer.
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Orthogonalité
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Pour les exercices
24
à
26
\text{ABCDEFGH} est le cube ci-dessous. Les points \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L} sont les milieux respectifs des côtés [\text{AB}], [\text{EF}], [\text{GH}] et [\text{CD}].
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24
Montrer que la droite (\text{FH}) est orthogonale au
plan (\text{AEC}).
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25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite
données sont orthogonaux. Justifer la réponse.
1.(\text{DCG}) et \text{(IL)}.
2.(\text{ABF}) et \text{(HJ)}.
3.(\text{EFC}) et \text{(KI)}.
4.(\text{ABC}) et \text{(DK)}.
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26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites
données sont orthogonales. Justifer la réponse.
1.(\text{IK}) et \text{(JL)}.
2.(\text{JH}) et \text{(DH)}.
3.(\text{HG}) et \text{(IL)}.
4.(\text{JC}) et \text{(KB)}.
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Produit scalaire
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27
Soient \text{ABCD} un tétraèdre régulier d'arête de longueur a et \text{I} le milieu du côté [\text{BD}]. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{3}{4} a^{2}.
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28
On se place dans le cube utilisé dans les
exercices
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29
Dans le cube \text{ABCDEFGH}, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.
1.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}
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30
On se place dans le repère orthonormé (\text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \:, \vec{k}). Dans chacun des cas suivants, déterminer
si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
1.\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}
0 \\
4 \\
2
\end{array}\right).
d'arête 1.
1. Justifer que (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}) est un repère orthonormé de l'espace.
2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.
3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
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Équation cartésienne de plan
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Pour les exercices suivants
On se place dans un
repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}).
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33
Déterminer une équation du plan passant par \text{G} (\sqrt{2} \: ; \sqrt{3} \: ; 1) et parallèle au plan \mathcal{L} d'équation \sqrt{6} x+\sqrt{3} y-\sqrt{3} z+1=0.
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34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un
vecteur normal et dire si le point \text{Z} (1 \: ; 3 \: ; 5) appartient au plan.
1.x-2 y+z+4=0
2.5 x-z=0
3.x+y+z+9=0
4.3 x+2 y-3 z+6=0
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35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point \text{R} ( \sqrt{2} \: ; 1 \: ; 0) appartient au plan dont on donne une équation.
1.\sqrt{8} x-2 y+\sqrt{3} z-2=0
2.x-y+z+1-\sqrt{2}=0
3.x-\sqrt{2} y+3 z=0
4.2 x-y+3 z-2 \sqrt{2}+3=0
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36
Soient \mathcal{P} le plan d'équation cartésienne 2 x+3 y-6 z+12=0 et \mathcal{P}' le plan de vecteur normal \overrightarrow{n'}\left(\begin{array}{c}
-\frac{2}{3} \\
-1 \\
2
\end{array}\right) contenant le point \mathrm{M}(3 \: ; 2 \: ; 3).
1. Donner une équation du plan \mathcal{P}'.
2.a. Donner un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
b. Le plan \mathcal{P} contient-il le point \text{M} ?
3. Calculer les coordonnées de -3\overrightarrow{n}'.
Qu'en déduire pour les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' ?
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37
Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation
donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un
vecteur normal à ce plan.
1.2 x-3 y+2 z-4=0
2.x^{2}+3 y-z+6=0
3.(x-2)^{2}+y^{2}+4=x^{2}+(y-2)^{2}+z
4.x=y
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Projection orthogonale et distance
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38
Déterminer une représentation paramétrique de la
droite passant par \text{G} (3 \: ; 3 \: ; 3) et orthogonale au plan \mathcal{L}
d'équation x+2 y-2 z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de \text{G} sur \text{L}.
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39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point \text{S} sur le plan \mathcal{R}.1.\mathrm{S}(1 \: ;-1 \: ; 0) et \mathcal{R}: 2 x-y-16=0.
2.\mathrm{S}(2 \: ; 1\: ; 3) et \mathcal{R}: x+y+z=0.
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40
Soient d la droite de représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l}
x=2 t+1 \\
y=t-3 \\
z=-2 t+4
\end{array}\right., t \in \R et le point \text{S} ( 1 \: ; 1 \: ; 1).
1. Déterminer une équation du plan orthogonal à d et passant par \text{S}.
2. Déterminer le point d'intersection du plan et de d.
3. Que représente ce point ?
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41
Calculer la distance entre le point \text{A} (1 \: ; 0 \: ; -2) et la droite d dont on donne une représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l}
x=t-1 \\
y=-3t \\
z=2 t
\end{array}\right., t \in \mathrm{R}.
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42
Déterminer la distance du point \text{A} (29 \: ; 4 \: ; -9) au
plan d'équation cartésienne -3 y+z+1=0.
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43
Déterminer la distance du point \text{A} (1 \: ; \sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3}) au plan d'équation cartésienne x-y+z-1=0.
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Équation de sphère
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44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la
sphère de centre \Omega et de rayon \text{R}.
1.\Omega(1 \: ; 2 \: ; 1) et \text{R}=5
2.\Omega(1 \: ; 1 \: ; 3) et \text{R}=1
3.\Omega(0 \: ; 0 \: ; 0) et \text{R}= \sqrt{3}
4.\Omega(-1 \: ; 3 \: ; 2) et \text{R}= 2
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45
Déterminer l'ensemble des points \text{M} (x \: ;y \: ;z) qui vérifient l'équation donnée.
1.(x-4)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=16
2.x^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=3
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Exercice inversé
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46
On munit l'espace d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}
4 \\
-2 \\
1
\end{array}\right).
2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
2
\end{array}\right).
3. Soit \mathcal{P} un plan. Le point \text{A} (4 \: ; -1 \: ; 2) appartient à \mathcal{P}.
Donner une équation possible de \mathcal{P}.
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