1. Justifer que (A;AB,AD,AE) est un repère orthonormé de l'espace.
2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.
3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
Équation cartésienne de plan
Pour les exercices suivants
On se place dans un
repère orthonormé (O;i,j,k).
33
Déterminer une équation du plan passant par G(2;3;1) et parallèle au plan L d'équation 6x+3y−3z+1=0.
34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un
vecteur normal et dire si le point Z(1;3;5) appartient au plan.
1.x−2y+z+4=0
2.5x−z=0
3.x+y+z+9=0
4.3x+2y−3z+6=0
35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point R(2;1;0) appartient au plan dont on donne une équation.
1.8x−2y+3z−2=0
2.x−y+z+1−2=0
3.x−2y+3z=0
4.2x−y+3z−22+3=0
36
Soient P le plan d'équation cartésienne 2x+3y−6z+12=0 et P′ le plan de vecteur normal n′⎝⎜⎜⎛−32−12⎠⎟⎟⎞ contenant le point M(3;2;3).
1. Donner une équation du plan P′.
2.a. Donner un vecteur normal au plan P.
b. Le plan P contient-il le point M ?
3. Calculer les coordonnées de −3n′.
Qu'en déduire pour les plans P et P′ ?
37
Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation
donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un
vecteur normal à ce plan.
1.2x−3y+2z−4=0
2.x2+3y−z+6=0
3.(x−2)2+y2+4=x2+(y−2)2+z
4.x=y
Projection orthogonale et distance
38
Déterminer une représentation paramétrique de la
droite passant par G(3;3;3) et orthogonale au plan L
d'équation x+2y−2z+15=0. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de G sur L.
39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point S sur le plan R.
1.S(1;−1;0) et R:2x−y−16=0.
2.S(2;1;3) et R:x+y+z=0.
40
Soient d la droite de représentation paramétrique ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=t−3z=−2t+4, t∈R et le point S(1;1;1).
1. Déterminer une équation du plan orthogonal à d et passant par S.
2. Déterminer le point d'intersection du plan et de d.
3. Que représente ce point ?
41
Calculer la distance entre le point A(1;0;−2) et la droite d dont on donne une représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=t−1y=−3tz=2t, t∈R.
42
Déterminer la distance du point A(29;4;−9) au
plan d'équation cartésienne −3y+z+1=0.
43
Déterminer la distance du point A(1;3;23) au plan d'équation cartésienne x−y+z−1=0.
Équation de sphère
44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la
sphère de centre