Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral

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Pour les exercices
19
à
21

On considère le parallélépipède rectangle

ABCDEFGH

représenté ci-dessous.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On donne

AB = 6 cm

AD = 4 cm

AE = 4 cm

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19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan

(ABC)

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20
Calculer

D B \cdot D G

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(H; H E, H G, H D)

est-il un repère orthonormé de l'espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.

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22
Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on donne les vecteurs

u ⎝ ⎛ 1 - 2 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 210 ⎠ ⎞

. L'angle

(u; v)

est-il droit ?

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23

Dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

, on considère le vecteur

n ⎝ ⎛ 1 - 1 1 ⎠ ⎞

et le point

S (1; 3; 2)

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par

S

et de vecteur normal

n

2. Ce plan passe-t-il par l'origine du repère ? Justifer.

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Orthogonalité

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Pour les exercices
24
à
26

ABCDEFGH

est le cube ci-dessous. Les points

I

J

K

L

sont les milieux respectifs des côtés

[AB]

[EF]

[GH]

[CD]

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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24
Montrer que la droite

(FH)

est orthogonale au plan

(AEC)

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25

Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite données sont orthogonaux. Justifer la réponse.

(DCG)

(IL)

(ABF)

(HJ)

(EFC)

(KI)

(ABC)

(DK)

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26

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites données sont orthogonales. Justifer la réponse.

(IK)

(JL)

(JH)

(DH)

(HG)

(IL)

(JC)

(KB)

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Produit scalaire

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27
Soient

ABCD

un tétraèdre régulier d'arête de longueur

a

I

le milieu du côté

[BD]

. Montrer que

A B \cdot A I = \frac{3}{4} a^{2}

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28

On se place dans le cube utilisé dans les exercices 24
à 26
d'arête

4

. Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d'une mesure de l'angle formé par les deux vecteurs donnés.

A D \cdot A L

A I \cdot J H

C A \cdot C F

E K \cdot E L

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29

Dans le cube

ABCDEFGH

, dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

A B \cdot A D

E G \cdot F H

A E \cdot F A

A G \cdot C E

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30

On se place dans le repère orthonormé

(O; i, j, k)

. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs

u

v

sont orthogonaux.

u ⎝ ⎛ 11 - 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 042 ⎠ ⎞

u ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 112 \frac{3}{2} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

v ⎝ ⎛ 4 - 25 4 ⎠ ⎞

u ⎝ ⎛ 13 - 4 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 2 - 1 - \frac{1}{4} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

u ⎝ ⎛ 13 - 2 ⎠ ⎞

v ⎝ ⎛ 3 - 1 8 ⎠ ⎞

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31
Dans un tétraèdre régulier

ABCD

, le repère

(A; A B, A C, A D)

est-il orthonormé ?

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On se place dans le cube utilisé dans les exercices

d'arête

1

1. Justifer que

(A; A B, A D, A E)

est un repère orthonormé de l'espace.

2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.

3. À l'aide d'un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Équation cartésienne de plan

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Pour les exercices suivants

On se place dans un repère orthonormé

(O; i, j, k)

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33
Déterminer une équation du plan passant par

G (2; 3; 1)

et parallèle au plan

L

d'équation

6 x + 3 y - 3 z + 1 = 0

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34

Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point

Z (1; 3; 5)

appartient au plan.

x - 2 y + z + 4 = 0

5 x - z = 0

x + y + z + 9 = 0

3 x + 2 y - 3 z + 6 = 0

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35

Pour chacun des plans suivants, dire si le point

R (2; 1; 0)

appartient au plan dont on donne une équation.

8 x - 2 y + 3 z - 2 = 0

x - y + z + 1 - 2 = 0

x - 2 y + 3 z = 0

2 x - y + 3 z - 22 + 3 = 0

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36

Soient

P

le plan d'équation cartésienne

2 x + 3 y - 6 z + 12 = 0

P^{'}

le plan de vecteur normal

n^{'} ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - \frac{2}{3} - 1 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

contenant le point

M (3; 2; 3)

1. Donner une équation du plan

P^{'}

2. a. Donner un vecteur normal au plan

P

b. Le plan

P

contient-il le point

M

3. Calculer les coordonnées de

- 3 n^{'}

.
Qu'en déduire pour les plans

P

P^{'}

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37

Dans chacun des cas suivants, dire si l'équation donnée est celle d'un plan et, si c'est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

2 x - 3 y + 2 z - 4 = 0

x^{2} + 3 y - z + 6 = 0

(x - 2)^{2} + y^{2} + 4 = x^{2} + (y - 2)^{2} + z

x = y

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Projection orthogonale et distance

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38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par

G (3; 3; 3)

et orthogonale au plan

L

d'équation

x + 2 y - 2 z + 15 = 0

. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de

G

sur

L

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39

Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point

S

sur le plan

R .

S (1; - 1; 0)

R : 2 x - y - 16 = 0

S (2; 1; 3)

R : x + y + z = 0

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40
Soient

d

la droite de représentation paramétrique

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 t + 1 y = t - 3 z = - 2 t + 4

t \in R

et le point

S (1; 1; 1)

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à

d

et passant par

S

2. Déterminer le point d'intersection du plan et de

d

3. Que représente ce point ?

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41
Calculer la distance entre le point

A (1; 0; - 2)

et la droite

d

dont on donne une représentation paramétrique :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = t - 1 y = - 3 t z = 2 t

t \in R

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42
Déterminer la distance du point

A (29; 4; - 9)

au plan d'équation cartésienne

- 3 y + z + 1 = 0

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43
Déterminer la distance du point

A (1; 3; 23)

au plan d'équation cartésienne

x - y + z - 1 = 0

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Équation de sphère

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44

Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre

Ω

et de rayon

R

Ω (1; 2; 1)

R = 5

Ω (1; 1; 3)

R = 1

Ω (0; 0; 0)

R = 3

Ω (- 1; 3; 2)

R = 2

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45

Déterminer l'ensemble des points

M (x; y; z)

qui vérifient l'équation donnée.

(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 16

x^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3

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Exercice inversé

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On munit l'espace d'un repère orthonormé

(O; i, j, k)

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal

n ⎝ ⎛ 4 - 2 1 ⎠ ⎞

2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à

u ⎝ ⎛ 3 - 1 2 ⎠ ⎞

3. Soit

P

un plan. Le point

A (4; - 1; 2)

appartient à

P

. Donner une équation possible de

P

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