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Travailler les automatismes
P.102-103




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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Pour les exercices
19
à
21


On considère le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous.
Applications directes

On donne , et .

19
En utilisant les points de la figure, donner quatre droites orthogonales au plan .
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20
Calculer .
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21
est-il un repère orthonormé de l’espace ? Justifer. Sinon, proposer un repère qui convient.
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22
Dans un repère orthonormé , on donne les vecteurs et . L'angle est-il droit ?
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23
Dans un repère orthonormé , on considère le vecteur et le point .

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par et de vecteur normal .


2. Ce plan passe-t-il par l’origine du repère ? Justifer.
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Orthogonalité


Pour les exercices
24
à
26


est le cube ci-dessous. Les points , , et sont les milieux respectifs des côtés , , et .

Applications directes

24

Montrer que la droite est orthogonale au plan .
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25
Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux. Justifer la réponse.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
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26
Dans chaque cas, déterminer si les deux droites donnés sont orthogonales. Justifer la réponse.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
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Produit scalaire


27
Soient un tétraèdre régulier d’arête de longueur et le milieu du côté . Montrer que .
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28
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête . Calculer chaque produit scalaire puis une valeur approchée d’une mesure de l’angle formé par les deux vecteurs donnés.

1.


2.


3.


4.

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29
Dans le cube , dire si les produits scalaires suivants sont nuls ou pas. Justifer.

1.


2.


3.


4.

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30
On se place dans le repère orthonormé . Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs et sont orthogonaux.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

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31
Dans un tétraèdre régulier , le repère est-il orthonormé ?
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32
On se place dans le cube utilisé dans les exercices
24
à  
26
d’arête .

1. Justifer que est un repère orthonormé de l’espace.


2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.


3. À l’aide d’un calcul de produit scalaire, prouver que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.

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Équation cartésienne de plan


33

Déterminer une équation du plan passant par et parallèle au plan d’équation .
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34
Pour chacun des plans suivants, déterminer un vecteur normal et dire si le point appartient au plan.

1.


2.


3.


4.
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35
Pour chacun des plans suivants, dire si le point appartient au plan dont on donne une équation.

1.


2.


3.


4.
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36
Soient le plan d’équation cartésienne et le plan de vecteur normal contenant le point .

1. Donner une équation du plan .


2. a. Donner un vecteur normal au plan .


b. Le plan contient-il le point ?


3. Calculer les coordonnées de .
Qu’en déduire pour les plans et ?
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Projection orthogonale et distance


Pour les exercices suivants, on se place dans un repère orthonormé .

37
Dans chacun des cas suivants, dire si l’équation donnée est celle d’un plan et, si c’est le cas, donner un vecteur normal à ce plan.

1.


2.


3.


4.
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38
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale au plan d’équation . En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de sur .


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39
Dans chacun des cas suivants, déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan .

1. et .


2. et .
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40
Soient la droite de représentation paramétrique , et le point .

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à et passant par .


2. Déterminer le point d’intersection du plan et de .


3. Que représente ce point ?
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41
Calculer la distance entre le point et la droite dont on donne une représentation paramétrique : , .
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42
Déterminer la distance du point au plan d’équation cartésienne .
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43
Déterminer la distance du point au plan d’équation cartésienne .
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Équation de sphère


44
Dans chaque cas, déterminer une équation de la sphère de centre et de rayon .

1. et


2. et


3. et


4. et
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45
Déterminer l’ensemble des points qui vérifent l’équation donnée.

1.


2.
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Exercice inversé


46
On munit l’espace d’un repère orthonormé .

1. Déterminer trois plans admettant comme vecteur normal .


2. Déterminer deux vecteurs orthogonaux à .


3. Soit un plan. Le point appartient à . Donner une équation possible de .
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