Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Travailler ensemble

Intersection d'une sphère et d'un plan

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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace

(O; i, j, k)

, on considère le point

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

, le plan

P

d'équation

a x + b y + c z + d = 0

où

(a; b; c) \neq = (0; 0; 0)

et la sphère

S

de centre

I (x_{I}; y_{I}; z_{I})

et de rayon

r > 0 .

On note

d (A, P

) la distance de

A

P

.
On cherche à caractériser précisément l'intersection de

S

P

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Partie 1

Soit

n

un vecteur normal de

P

. On note

H

le projeté orthogonal de

A

sur

P

1. Montrer que

∣ A H \cdot n ∣ = A H \times ∥ n ∥

2. Montrer que

∣ A H \cdot n ∣ = ∣ a x_{A} + b y_{A} + c z_{A} + d ∣

3. En déduire que

d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

4. Soit

P_{1}

le plan d'équation

x - 4 y + 10 z + 19 = 0

et soient les points

D (2; 0; - 3)

E (- 1; 2; - 1)

. Calculer les distances

d (D, P_{1})

d (E, P_{1})

5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que

d (E, P_{1}) = 0

d (D, P_{1}) \neq = 0

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Partie 2

On admet que

d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

. Soient

P_{1}

le plan d'équation

x - 4 y + 10 z - 20 = 0

P_{2}

le plan d'équation

x - 4 y + 10 z - 11 = 0

.
Soit

E_{1}

l'ensemble des points

M

de coordonnées

(x; y; z)

telles que

(x - 2)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 13 .

1. Montrer que

E_{1}

est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre

I

ainsi que son rayon

r

2. Déterminer la distance de

I

P_{1}

et en déduire l'intersection recherchée.

3. Déterminer la distance de

I

P_{2}

et en déduire que l'intersection recherchée est le point

J (\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{1}{3})

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Partie 3

On admet que

d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

. Soit

E_{2}

l'ensemble des points

M

de coordonnées

(x; y; z)

telles que

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 z = 0

1. Montrer que

E_{2}

est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre

I

ainsi que son rayon

r

2. Déterminer la distance de

I

P_{3}

d'équation

x - 4 y + 10 z + 2 = 0

3. Montrer que l'intersection recherchée est le cercle de centre

J (\frac{2 0}{9}; - \frac{8}{9}; - \frac{7}{9})

et de rayon

\frac{6 5}{3}

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Mise en commun

1. Caractériser de manière générale l'intersection de la sphère

S

de centre

I

et de rayon le réel

r > 0

avec un plan

P,

en distinguant trois cas de figure.

2. On donne les plans

P_{k}

d'équation

x - 4 y + 10 z + k = 0

, où

k

est un réel. À quelle condition portant sur le réel

k

l'intersection du plan

P_{k}

et de la sphère

S

d'équation

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 z = 0

est-elle :

a. vide ?

b. un point ?

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Intersection d'une sphère et d'un plan

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