Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Travailler ensemble
Intersection d'une sphère et d'un plan
9 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O}\: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère le point \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}} \:; z_{\mathrm{A}}\right), le plan \mathcal{P} d'équation ax + by + cz + d = 0 où (a \: ; b \: ; c) \neq(0\: ; 0 \:; 0) et la sphère \mathcal{S} de centre \mathrm{I}\left(x_{\mathrm{I}} \:; y_{\mathrm{I}} \:; z_{\mathrm{I}}\right) et de rayon r \gt 0.
On note d(\text{A},\mathcal{P}) la distance de \text{A} à \mathcal{P}.
On cherche à caractériser précisément l'intersection de \mathcal{S} et \mathcal{P}.
On cherche à caractériser précisément l'intersection de \mathcal{S} et \mathcal{P}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Partie 1
1. Montrer que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}|=\mathrm{AH} \times\|\vec{n}\|.
2. Montrer que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}|=\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|.
3. En déduire que d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
2. Montrer que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}|=\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|.
3. En déduire que d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
4. Soit \mathcal{P}_{1} le plan d'équation x-4 y+10 z+19=0
et soient les points \mathrm{D}(2 \:; 0 \:;-3) et \mathrm{E}(-1 \:; 2 \:; - 1).
Calculer les distances d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) et d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right).
5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right)=0 et d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) \neq 0 ?
5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right)=0 et d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) \neq 0 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Partie 2
Soit \mathcal{E}_{1} l'ensemble des points \text{M} de coordonnées (x \:; y \:; z) telles que (x-2)^{2}+y^{2}+(z+3)^{2}=13.
1. Montrer que \mathcal{E}_{1} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre \text{I} ainsi que son rayon r.
2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_1 et en déduire l'intersection recherchée.
2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_1 et en déduire l'intersection recherchée.
3. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_2 et en déduire que l'intersection recherchée est le point
\mathrm{J}\left(\frac{7}{3} \: ;-\frac{4}{3} \:; \frac{1}{3}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Partie 3
1. Montrer que \mathcal{E}_{2} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre \text{I} ainsi que son rayon r.
2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_3 d'équation x - 4y + 10z + 2 = 0.
2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_3 d'équation x - 4y + 10z + 2 = 0.
3. Montrer que l'intersection recherchée est le cercle de centre
\mathrm{J}\left(\frac{20}{9} \: ;-\frac{8}{9} \:; -\frac{7}{9}\right)et de rayon \frac{\sqrt{65}}{3}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Mise en commun
1. Caractériser de manière générale l'intersection de la sphère \mathcal{S} de centre \text{I} et de rayon le réel r \gt 0
avec un plan \mathcal{P}, en distinguant trois cas de figure.
2. On donne les plans \mathcal{P}_{k} d'équation x - 4y + 10z + k = 0, où k est un réel. À quelle condition portant sur le réel k l'intersection du plan \mathcal{P}_{k} et de la sphère \mathcal{S} d'équation x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6z = 0 est-elle :
2. On donne les plans \mathcal{P}_{k} d'équation x - 4y + 10z + k = 0, où k est un réel. À quelle condition portant sur le réel k l'intersection du plan \mathcal{P}_{k} et de la sphère \mathcal{S} d'équation x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6z = 0 est-elle :
a. vide ?
b. un point ?
c. un cercle ?
b. un point ?
c. un cercle ?
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah