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Intersection d’une sphère et d’un plan
P.121

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Intersection d’une sphère et d’un plan





Dans un repère orthonormé de l’espace , on considère le point , le plan d’équation et la sphère de centre et de rayon .
On note ) la distance de à .
On cherche à caractériser précisément l’intersection de et .

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

Soit un vecteur normal de . On note le projeté orthogonal de sur .

1. Montrer que .


2. Montrer que .


3. En déduire que .


4. Soit le plan d’équation et soient les points et . Calculer les distances et .


5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que et ?
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PARTIE 2 ★★

On admet que .
Soient le plan d’équation et le plan d’équation .
Soit l’ensemble des points de coordonnées telles que .

1. Montrer que est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre ainsi que son rayon .


2. Déterminer la distance de à et en déduire l’intersection recherchée.


3. Déterminer la distance de à et en déduire que l’intersection recherchée est le point .
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PARTIE 3 ★★★

On admet que .
Soit l’ensemble des points de coordonnées telles que .

1. Montrer que est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre ainsi que son rayon .


2. Déterminer la distance de à d’équation .


3. Montrer que l’intersection recherchée est le cercle de centre et de rayon .
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Mise en commun

1. Caractériser de manière générale l’intersection de la sphère de centre et de rayon le réel avec un plan en distinguant trois cas de figure.


2. On donne les plans d’équation , où est un réel. À quelle condition portant sur le réel l’intersection du plan et de la sphère d’équation est-elle :

a. vide ?


b. un point ?


c. un cercle ?
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