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Intersection d’une sphère et d’un plan
P.121

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Intersection d’une sphère et d’un plan





Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i,j,k)(\text{O}\: ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), on considère le point A(xA;yA;zA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}} \:; z_{\mathrm{A}}\right), le plan P\mathcal{P} d’équation ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0(a;b;c)(0;0;0)(a \: ; b \: ; c) \neq(0\: ; 0 \:; 0) et la sphère S\mathcal{S} de centre I(xI;yI;zI)\mathrm{I}\left(x_{\mathrm{I}} \:; y_{\mathrm{I}} \:; z_{\mathrm{I}}\right) et de rayon r>0r \gt 0.
On note d(A,Pd(\text{A},\mathcal{P}) la distance de A\text{A} à P\mathcal{P}.
On cherche à caractériser précisément l’intersection de S\mathcal{S} et P\mathcal{P}.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

Soit n\overrightarrow{n} un vecteur normal de P\mathcal{P}. On note H\text{H} le projeté orthogonal de A\text{A} sur P\mathcal{P}.

1. Montrer que AHn=AH×n|\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}|=\mathrm{AH} \times\|\overrightarrow{n}\|.


2. Montrer que AHn=axA+byA+czA+d|\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{n}|=\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|.


3. En déduire que d(A,P)=axA+byA+czA+da2+b2+c2d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\dfrac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.


4. Soit P1\mathcal{P}_{1} le plan d’équation x4y+10z+19=0x-4 y+10 z+19=0 et soient les points D(2;0;3)\mathrm{D}(2 \:; 0 \:;-3) et E(1;2;1)\mathrm{E}(-1 \:; 2 \:; - 1). Calculer les distances d(D,P1)d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) et d(E,P1)d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right).


5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que d(E,P1)=0d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right)=0 et d(D,P1)0d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) \neq 0 ?
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PARTIE 2 ★★

On admet que d(A,P)=axA+byA+czA+da2+b2+c2d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\dfrac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Soient P1\mathcal{P}_1 le plan d’équation x4y+10z20=0x - 4y + 10z - 20 = 0 et P2\mathcal{P}_2 le plan d’équation x4y+10z11=0 x - 4y + 10z - 11 = 0.
Soit E1\mathcal{E}_{1} l’ensemble des points M\text{M} de coordonnées (x;y;z)(x \:; y \:; z) telles que (x2)2+y2+(z+3)2=13(x-2)^{2}+y^{2}+(z+3)^{2}=13.

1. Montrer que E1\mathcal{E}_{1} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre I\text{I} ainsi que son rayon rr.


2. Déterminer la distance de I\text{I} à P1\mathcal{P}_1 et en déduire l’intersection recherchée.


3. Déterminer la distance de I\text{I} à P2\mathcal{P}_2 et en déduire que l’intersection recherchée est le point J(73;43;13)\mathrm{J}\left(\dfrac{7}{3} \: ;-\dfrac{4}{3} \:; \dfrac{1}{3}\right).
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PARTIE 3 ★★★

On admet que d(A,P)=axA+byA+czA+da2+b2+c2d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\dfrac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Soit E2\mathcal{E}_{2} l’ensemble des points M\text{M} de coordonnées (x;y;z)(x \:; y \:; z) telles que x2+y2+z24x+6z=0x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 z=0.

1. Montrer que E2\mathcal{E}_{2} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre I\text{I} ainsi que son rayon rr.


2. Déterminer la distance de I\text{I} à P3\mathcal{P}_3 d’équation x4y+10z+2=0x - 4y + 10z + 2 = 0.


3. Montrer que l’intersection recherchée est le cercle de centre J(209;89;79)\mathrm{J}\left(\dfrac{20}{9} \: ;-\dfrac{8}{9} \:; -\dfrac{7}{9}\right)et de rayon 653\dfrac{\sqrt{65}}{3}.
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Mise en commun

1. Caractériser de manière générale l’intersection de la sphère S\mathcal{S} de centre I\text{I} et de rayon le réel r>0r \gt 0 avec un plan P,\mathcal{P}, en distinguant trois cas de figure.


2. On donne les plans Pk\mathcal{P}_{k} d’équation x4y+10z+k=0x - 4y + 10z + k = 0, où kk est un réel. À quelle condition portant sur le réel kk l’intersection du plan Pk\mathcal{P}_{k} et de la sphère S\mathcal{S} d’équation x2+y2+z24x+6z=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6z = 0 est-elle :

a. vide ?


b. un point ?


c. un cercle ?
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