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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Travailler ensemble
Intersection d'une sphère et d'un plan
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace (O;i,j,k), on considère le point A(xA;yA;zA), le plan P d'équation ax+by+cz+d=0 où (a;b;c)=(0;0;0) et la sphère S de centre I(xI;yI;zI) et de rayon r>0.
On note d(A,P) la distance de A à P.
On cherche à caractériser précisément l'intersection de S et P.
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Partie 1
Soit n un vecteur normal de P. On note H le projeté orthogonal de A sur P.
1. Montrer que ∣AH⋅n∣=AH×∥n∥.
2. Montrer que ∣AH⋅n∣=∣axA+byA+czA+d∣.
3. En déduire que d(A,P)=a2+b2+c2∣axA+byA+czA+d∣.
4. Soit P1 le plan d'équation x−4y+10z+19=0
et soient les points D(2;0;−3) et E(−1;2;−1).
Calculer les distances d(D,P1) et d(E,P1).
5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que d(E,P1)=0 et d(D,P1)=0 ?
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Partie 2
On admet que d(A,P)=a2+b2+c2∣axA+byA+czA+d∣.
Soient P1 le plan d'équation x−4y+10z−20=0 et P2 le plan d'équation x−4y+10z−11=0.
Soit E1 l'ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) telles que (x−2)2+y2+(z+3)2=13.
1. Montrer que E1 est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre I ainsi que son rayon r.
2. Déterminer la distance de I à P1 et en déduire
l'intersection recherchée.
3. Déterminer la distance de I à P2 et en déduire que l'intersection recherchée est le point
J(37;−34;31).
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Partie 3
On admet que d(A,P)=a2+b2+c2∣axA+byA+czA+d∣.
Soit E2 l'ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) telles que x2+y2+z2−4x+6z=0.
1. Montrer que E2 est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre I ainsi que son rayon r.
2. Déterminer la distance de I à P3 d'équation x−4y+10z+2=0.
3. Montrer que l'intersection recherchée est le cercle de centre
J(920;−98;−97)et de rayon 365.
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Mise en commun
1. Caractériser de manière générale l'intersection de la sphère S de centre I et de rayon le réel r>0
avec un plan P, en distinguant trois cas de figure.
2. On donne les plans Pk d'équation x−4y+10z+k=0, où k est un réel. À quelle condition portant sur le réel k l'intersection
du plan Pk et de la sphère S d'équation x2+y2+z2−4x+6z=0 est-elle :
a. vide ?
b. un point ?
c. un cercle ?
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