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Algèbre et géométrie
P.116-119

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L'épreuve finale
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Algèbre et géométrie




Exercice guidé

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1
[D’après bac S, Liban, mai 2019]
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P\mathcal{P}, on considère un triangle ABC\text{ABC} rectangle en A\text{A}. Soit dd la droite orthogonale au plan P\mathcal{P} et passant par le point B\text{B}. On considère un point D\text{D} de cette droite distinct du point B\text{B}.

L'épreuve finale - Algèbre et géométrie -exercice guidé


1. Montrer que la droite (AC)\text{(AC)} est orthogonale au plan (BAD)\text{(BAD)}.


Aide
Il faut trouver deux droites du plan (BAD)\text{(BAD)} qui sont orthogonales à (AC)\text{(AC)} en utilisant les hypothèses de l’énoncé.

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD\text{ABCD} est un bicoin.


Aide
Il faut utiliser la définition de l’énoncé et démontrer qu’il y a quatre triangles rectangles. Pour le triangle ACD\text{ACD}, on peut commencer par démontrer que (AC)\text{(AC)} est orthogonale au plan (ABD)\text{(ABD)}.

3. a. Justifier que l’arête [CD]\text{[CD]} est la plus longue arête du bicoin ABCD\text{ABCD}.


Aide
Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est l’hypoténuse et le tétraèdre est constitué de quatre triangles rectangles.

b. On note I le milieu de l’arête [CD]\text{[CD]}. Montrer que le point I\text{I} est équidistant des quatre sommets du bicoin ABCD\text{ABCD}.


Aide
Quel lien peut-on faire entre le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle et le milieu de son hypoténuse ?

Partie B

Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) de l’espace, on considère le point A(3;1;5)\text{A}(3 \:; 1 \:; - 5) et la droite dd de représentation paramétrique {x=2t+1y=2t+9,z=t3\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-2 t+9, \\ z=t-3 \end{array}\right.tRt \in \mathbb{R}.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P\mathcal{P} orthogonal à la droite dd et passant par le point A\text{A}.


Aide
Pour déterminer une équation cartésienne à un plan, on peut utiliser un vecteur normal à ce plan ainsi qu’un point appartenant au plan. Il faut ici faire le lien entre un vecteur directeur de d et un vecteur normal à P\mathcal{P}.

2. Montrer que le point d’intersection du plan P\mathcal{P} et de la droite dd est le point B(5;5;1)\text{B}(5 \:; 5 \:; - 1).


Aide
Il faut utiliser une représentation paramétrique de dd et une équation cartésienne de P\mathcal{P}.

3. Justifier que le point C(7;3;9)\text{C}(7 \:; 3 \:; - 9) appartient au plan P\mathcal{P} puis montrer que le triangle ABC\text{ABC} est un triangle rectangle isocèle en A\text{A}.


Aide
On utilise encore une équation cartésienne de P\mathcal{P} pour la première partie de la question. Ensuite, déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC} à l’aide des longueurs de ses côtés.

4. Soit tt un réel différent de 22 et M\text{M} le point de paramètre tt appartenant à la droite dd.

a. Justifier que le triangle ABM\text{ABM} est rectangle.


Aide
Quel lien existe-t-il entre la droite d et le plan P\mathcal{P} ? Que peut-on en déduire sur les droites (MB)\text{(MB)} et (AB)\text{(AB)} ?

b. Montrer que le triangle ABM\text{ABM} est isocèle en B\text{B} si, et seulement si, le réel tt vérifie l’équation t24t=0t^2 - 4t = 0.


Aide
Calculer AB\text{AB} puis BM\text{BM} en fonction de tt. Quelle égalité peut-on écrire si ABM\text{ABM} est isocèle en B\text{B} ?

c. En déduire les coordonnées des points M1\text{M}_1 et M2\text{M}_2 de la droite dd tels que le triangles rectangles ABM1\text{ABM}_1 et ABM2\text{ABM}_2 soient isocèles en B\text{B}.


Aide
Il suffit de faire le lien avec la question précédente.
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2
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
On relie les centres de chaque face d’un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} pour former un solide IJKLMN\text{IJKLMN} comme sur la figure représentée ci-dessous.

L’épreuve finale - Algèbre et géométrie

Plus précisément, les points I\text{I}, J\text{J}, K\text{K}, L\text{L}, M\text{M} et N\text{N} sont les centres respectifs des faces carrées ABCD\text{ABCD}, BCGF\text{BCGF}, CDHG\text{CDHG}, ADHE\text{ADHE}, ABFE\text{ABFE} et EFGH\text{EFGH}.

1. Sans utiliser de repère dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN)\text{(IN)} et (ML)\text{(ML)} sont orthogonales.


Dans la suite, on considère le repère orthonormé (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}) dans lequel, par exemple, le point N\text{N} a pour coordonnées (12;12;1)\left(\dfrac{1}{2} \:; \dfrac{1}{2} \: ; 1\right).

2. a. Donner les coordonnées des vecteurs NC\overrightarrow{\mathrm{NC}} et ML\overrightarrow{\mathrm{ML}}.


b. En déduire que les droites (NC)\text{(NC)} et (ML)\text{(ML)} sont orthogonales.


c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI)\text{(NCI)}.


3. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (NJM)\text{(NJM)} est : xy+z=1x - y + z = 1.


b. La droite (DF)\text{(DF)} est-elle perpendiculaire au plan (NJM)\text{(NJM)} ? Justifier.


c. Montrer que l’intersection des plans (NJM)\text{(NJM)} et (NCI)\text{(NCI)} est une droite, dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
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3
[D’après bac S, Asie, juin 2019]]
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. La retrouver en justifiant.
Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) de l’espace.

1. On considère le plan P\mathcal{P} d’équation cartésienne 3x+2y+9z5=03x + 2y + 9z - 5 = 0 et la droite dd, dont une représentation paramétrique est {x=4t+3y=t+2, ouˋ tR.z=t+9\left\{\begin{array}{l} x=4 t+3 \\ y=-t+2,\text { où } t \in \mathbb{R}. \\ z=-t+9 \end{array}\right.


Affirmation A : l’intersection du plan P\mathcal{P} et de la droite dd est réduite au point de coordonnées (3;2;9)(3 \:; 2 \:; 9).
Affirmation B : le plan P\mathcal{P} et la droite dd sont orthogonaux.
Affirmation C : le plan P\mathcal{P} et la droite dd sont parallèles.
Affirmation D : l’intersection du plan P\mathcal{P} et la droite dd est réduite au point de coordonnées (353;91;98)(-353 \:; 91 \:; 98).


2. On considère la droite dd, dont une représentation paramétrique est {x=t+2y=2, ouˋ tR.z=5t6\left\{\begin{array}{l} x=t+2 \\ y=2 \quad,\text { où } t \in \mathbb{R}. \\ z=5 t-6 \end{array}\right.
On considère également le point A(2;1;0)\text{A}(-2 \:; 1 \:; 0) et un point M\text{M} quelconque de la droite dd.

Affirmation A : la plus petite longueur AM\text{AM} est égale à 53\sqrt{53}.
Affirmation B : la plus petite longueur AM\text{AM} est égale à 27\sqrt{27}.
Affirmation C : la plus petite longueur AM\text{AM} est atteinte lorsque le point M\text{M} a pour coordonnées (2;1;0).(-2 \:; 1 \:; 0).
Affirmation D : la plus petite longueur AM\text{AM} est atteinte lorsque le point M\text{M} a pour coordonnées (2;2;6).(2 \:; 2 \:; - 6).



3. On considère le plan P\mathcal{P} d’équation cartésienne x+2y3z+1=0x + 2y - 3z + 1 = 0 et le plan P\mathcal{P^\prime} d’équation cartésienne 2xy+2=02x - y + 2 = 0.

Affirmation A : les plans P\mathcal{P} et P\mathcal{P^\prime} sont parallèles.
Affirmation B : l’intersection des plans P\mathcal{P} et P\mathcal{P^\prime} est une droite passant par les points A(5;12;10)\text{A}(5 \:; 12 \:; 10) et B(3;1;2)\text{B}(3 \:; 1 \:; 2).
Affirmation C : l’intersection des plans P\mathcal{P} et P\mathcal{P^\prime} est une droite passant par le point C(2;6;5)\text{C}(2 \:; 6 \:; 5) et dont un vecteur directeur est u(1;2;2)\overrightarrow{u}(1 \:; 2 \:; 2).
Affirmation D : l’intersection des plans P\mathcal{P} et P\mathcal{P}' est une droite passant par le point D(1;0;0)\text{D}(-1 \:; 0 \:; 0) et dont un vecteur directeur est v(3;6;5)\overrightarrow{v}(3 \:; 6 \:; 5).



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4
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2008]
On dispose de deux urnes U1\text{U}_1 et U2\text{U}_2.
L’urne U1\text{U}_1 contient deux billes vertes et huit billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L’urne U2U_2 contient trois billes vertes et sept billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne U1\text{U}_1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U1\text{U}_1, puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2\text{U}_2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U2\text{U}_2.
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gagne un vélo. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

Déterminer le nombre de tirages pour lesquels :

1. le joueur obtient deux fois une boule rouge ;


2. le joueur obtient deux boules de la même couleur ;


3. le joueur gagne un vélo ;


4. le joueur gagne un ours en peluche.
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5
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point A\text{A}. On considère les points B(10;8;2)\text{B}(10 \:; - 8 \:; 2), C(1;8;5)\text{C}(-1 \:; - 8 \:; 5) et D(14;4;8)\text{D}(14 \:; 4 \:; 8).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites(AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)}.


b. Vérifier que les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)} ne sont pas coplanaires.


2. On considère le point I\text{I} de la droite (AB)\text{(AB)} d’abscisse 55 et le point J\text{J} de la droite (CD)\text{(CD)} d’abscisse 44.

a. Déterminer les coordonnées des points I\text{I} et J\text{J} et en déduire la distance IJ\text{IJ}.


b. Démontrer que la droite (IJ)\text{(IJ)} est perpendiculaire aux droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)}. La droite (IJ)\text{(IJ)} est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)}.


3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ\text{IJ} est la distance minimale entre les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)}. Sur la figure ci-dessous, on a représenté les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)}, les points I\text{I} et J\text{J} et la droite Δ\Delta parallèle à la droite (CD)\text{(CD)} passant par I\text{I}. On considère un point M\text{M} de la droite (AB)\text{(AB)} distinct du point I\text{I}. On considère un point M\text{M}^\prime de la droite (CD)\text{(CD)} distinct du point J\text{J}.

L’épreuve finale - Algèbre et géométrie

a. Justifier que la parallèle à la droite (IJ)\text{(IJ)}, passant par le point M\text{M}^\prime, coupe la droite Δ\Delta en un point que l’on notera P\text{P}.


b. Démontrer que le triangle MPM\text{MPM}^\prime est rectangle en P\text{P}.


c. Justifier que MM>IJ\text{MM}^\prime \gt \text{IJ} et conclure.
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6
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2018]
On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} dont la figure est donnée ci-dessous.
On considère le repère orthonormé (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}).

L’épreuve finale - Algèbre et géométrie


On rappelle les formules suivantes :
  • aire d’un trapèze : ( petite base + grande base )× hauteur 2\dfrac{(\text { petite base }+\text { grande base }) \times \text { hauteur }}{2}
  • volume d’un prisme : aire de la base×hauteur\text{aire de la base} \times \text{hauteur}.

On note P1\mathcal{P}_1 le plan d’équation 4x+15z9=04x + 15z - 9 = 0. La section IJKL\text{IJKL} du cube par le plan P1\mathcal{P}_1 est représentée sur la figure.

1. Déterminer les coordonnées des points I\text{I} et J\text{J}.


2. Le plan P1\mathcal{P}_1 partage le cube en deux prismes. Calculer le volume de chacun de ces prismes.


3. Soit M\text{M} un point du segment [EI]\text{[EI]}. On cherche un plan P2\mathcal{P}_2 parallèle à P1\mathcal{P}_1 et passant par M qui partage le cube en deux prismes de même volume. Déterminer une équation cartésienne de P2\mathcal{P}_2.
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7
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2017]
On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}.

1. a. Simplifier le vecteur AC+AE\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.


b. En déduire que AGBD=0\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0.


c. On admet que AGBE=0\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0. Démontrer que la droite (AG)\text{(AG)} est orthogonale au plan (BDE)\text{(BDE)}.


2. On considère l’espace muni du repère orthonormé (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}).

a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (BDE)\text{(BDE)} est x+y+z1=0x + y + z - 1 = 0.


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection K\text{K} de la droite (AG)\text{(AG)} et du plan (BDE)\text{(BDE)}.


c. Calculer, en unité d’aire, l’aire du triangle BDE\text{BDE}. En déduire le volume de la pyramide BDEG\text{BDEG}.
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8
[D’après bac S, Amérique du Sud, décembre 2001]
On considère l’ensemble E={0;1;2;3;4;5;6;7}\text{E} = \{0 \:; 1 \:; 2 \:; 3 \:; 4 \:; 5 \:; 6 \:; 7\}.
Avec deux nombres distincts xx et yy de E\text{E}, on crée un unique domino simple, noté indifféremment (x;y)(x \:; y) ou (y;x)(y \:; x). Avec un nombre zz de E,\text{E}, on forme un unique domino double noté (z;z).(z \:; z).

1. Combien de dominos peut-on créer au total ?


2. Déterminer le nombre de dominos constitué de nombres pairs.


3. Déterminer le nombre de dominos dont la somme des chiffres est paire.


4. On tire maintenant deux dominos simultanément. Déterminer le nombre de tirages pour lesquels on obtient un domino double et un domino simple, dont l’un des chiffres est celui du domino double.
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9
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2016]
Dans un repère orthonormé (O;i,j,k)(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) de l’espace, on considère pour tout réel mm, le plan Pm\mathcal{P}_{m} d’équation :
14m2x+(m1)y+12mz3=0\dfrac{1}{4} m^{2} x+(m-1) y+\dfrac{1}{2} m z-3=0

1. Pour quelle(s) valeur(s) de mm le point A(1;1;1)\text{A}(1 \:; 1 \:; 1) appartient-il au plan Pm\mathcal{P}_{m} ?


2. Montrer que les plans P1\mathcal{P}_{1} et P4\mathcal{P}_{-4} sont sécants selon la droite dd de représentation paramétrique {x=122ty=92t,z=t\left\{\begin{array}{l} x=12-2 t\\ y=9-2 t,\\ z=t \end{array}\right. avec tRt \in \mathbb{R}.


3. a. Montrer que l’intersection entre P0\mathcal{P}_{0} et dd est un point noté B\text{B}, dont on déterminera les coordonnées.


b. Justifier que pour tout réel mm, le point B\text{B} appartient au plan Pm\mathcal{P}_{m}.


c. Montrer que le point B\text{B} est l’unique point appartenant à Pm\mathcal{P}_{m} pour tout réel mm.


4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs mm et mm^\prime tels que 10m10-10 \leqslant m \leqslant 10 et 10m10-10 \leqslant m^\prime \leqslant 10. On souhaite déterminer les valeurs de mm et mm^\prime pour lesquelles Pm\mathcal{P}_{m} et Pm\mathcal{P}_{{m}^\prime} sont perpendiculaires.

a. Vérifier que P1\mathcal{P}_{1} et P4\mathcal{P}_{-4} sont perpendiculaires.


b. Montrer que les plans Pm\mathcal{P}_{m} et Pm\mathcal{P}_{{m}^\prime} sont perpendiculaires si, et seulement si,
(m×m4)2+(m1)(m1)+m×m4=0\left(\dfrac{m \times m^{\prime}}{4}\right)^{2}+(m-1)\left(m^{\prime}-1\right)+\dfrac{m \times m^{\prime}}{4}=0.


c. On considère l’algorithme suivant :

Pour m allant de10 aˋ 10:Pour m allant de10 aˋ 10:Si (mm)2+16(m1)(m1)+4mm=0:Afficher (m;m)Fin Si Fin Pour Fin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } \text {Pour } m \text { allant de} -10 \text{ à } 10 :\\ \quad \text {Pour } m^\prime \text { allant de} -10 \text{ à } 10 :\\ \quad \quad \text {Si } \left(m m^{\prime}\right)^{2}+16(m-1)\left(m^{\prime}-1\right)+4 m m^{\prime}=0 : \\ \quad \quad \quad \text {Afficher } (m\: ; m^\prime) \\ \quad \quad \text {Fin Si } \\ \quad \text {Fin Pour } \\ \text {Fin Pour } \\ \end{array} }

Quel est le rôle de cet algorithme ?


d. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont (4;1)(-4 \:; 1), (0;1)(0 \:; 1) et (5;4)(5 \:; - 4). Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.
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10
[D’après bac C, La Réunion, juin 1995]
Un code antivol d’un autoradio est une combinaison de quatre chiffres, chaque chiffre étant une valeur entière comprise entre 00 et 99.

1. a. Quel est le nombre de codes possibles ?


b. Quel est le nombre de codes formés de quatre chiffres distincts deux à deux ?


2. Après une coupure d’alimentation électrique, le propriétaire doit ressaisir le code pour pouvoir utiliser son autoradio. Il sait que les quatre chiffres de son code sont 11, 99, 99 et 55, mais il a oublié l’ordre des chiffres.

a. Combien de codes différents peut-il composer avec ces quatre chiffres ?


b. Si le premier code saisit n’est pas le bon, le propriétaire doit attendre deux minutes avant de pouvoir tenter un deuxième essai ; le délai d’attente entre le deuxième et le troisième essai est de quatre minutes, entre le troisième et le quatrième essai, il est de huit minutes, etc. Le délai d’attente double entre deux essais successifs. Combien de codes le propriétaire peut-il composer au maximum en 2424 heures ?
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11
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2009]
On considère un questionnaire composé de cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles est exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot-réponse de cinq lettres.

1. Combien y a-t’il de mots-réponses possibles à ce questionnaire ?


2. Déterminer le nombre de mots-réponses où le candidat a exactement une réponse exacte.


3. Déterminer le nombre de mots-réponses où le candidat n’a aucune réponse exacte.


4. Un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par exemple, BACAB est un palindrome. Déterminer le nombre de palindromes possibles pour le mot-réponse du candidat.
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12
[D’après bac S, Liban, mai 2003]
Une urne contient quatre boule noires et deux boules blanches.
Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.
On répète nn fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne.
On note bnb_n, le nombre de tirages pour lesquels on obtient exactement une seule boule blanche lors des n1n - 1 premiers tirages et une boule blanche lors du nn-ième tirage.
Déterminer les valeurs de b2b_2, b3b_3 et b4b_4.
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13
[D’après bac S, Polynésie, septembre 2008]
Une urne contient au départ 3030 boules blanches et 1010 boules noires indiscernables au toucher.
Soit nn un entier naturel.

On tire au hasard une boule de l’urne :
  • si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute nn boules blanches supplémentaires ;
  • si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute nn boules noires supplémentaires.

On sait qu’il y a 20002\:000 tirages possibles où les deux boules tirées sont de la même couleur.
Déterminer le nombre nn.
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