L'épreuve finale

1

[D’après bac S, Liban, mai 2019]
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan $\mathcal{P}$, on considère un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$. Soit $d$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et passant par le point $\text{B}$. On considère un point $\text{D}$ de cette droite distinct du point $\text{B}$.

1. Montrer que la droite $\text{(AC)}$ est orthogonale au plan $\text{(BAD)}$.



On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre $\text{ABCD}$ est un bicoin.

Aide

Il faut utiliser la définition de l’énoncé et démontrer qu’il y a quatre triangles rectangles. Pour le triangle $\text{ACD}$, on peut commencer par démontrer que $\text{(AC)}$ est orthogonale au plan $\text{(ABD)}$.

3. a. Justifier que l’arête $\text{[CD]}$ est la plus longue arête du bicoin $\text{ABCD}$.

Aide

Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est l’hypoténuse et le tétraèdre est constitué de quatre triangles rectangles.

b. On note I le milieu de l’arête $\text{[CD]}$. Montrer que le point $\text{I}$ est équidistant des quatre sommets du bicoin $\text{ABCD}$.

Aide

Quel lien peut-on faire entre le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle et le milieu de son hypoténuse ?

Partie B

Dans un repère orthonormé $(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ de l’espace, on considère le point $\text{A}(3 \:; 1 \:; - 5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-2 t+9, \\ z=t-3 \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point $\text{A}$.

Aide

Pour déterminer une équation cartésienne à un plan, on peut utiliser un vecteur normal à ce plan ainsi qu’un point appartenant au plan. Il faut ici faire le lien entre un vecteur directeur de d et un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

2. Montrer que le point d’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $d$ est le point $\text{B}(5 \:; 5 \:; - 1)$.

Aide

Il faut utiliser une représentation paramétrique de $d$ et une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.

3. Justifier que le point $\text{C}(7 \:; 3 \:; - 9)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ puis montrer que le triangle $\text{ABC}$ est un triangle rectangle isocèle en $\text{A}$.

Aide

On utilise encore une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ pour la première partie de la question. Ensuite, déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$ à l’aide des longueurs de ses côtés.

4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $\text{M}$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.

a. Justifier que le triangle $\text{ABM}$ est rectangle.

Aide

Quel lien existe-t-il entre la droite d et le plan $\mathcal{P}$ ? Que peut-on en déduire sur les droites $\text{(MB)}$ et $\text{(AB)}$ ?

b. Montrer que le triangle $\text{ABM}$ est isocèle en $\text{B}$ si, et seulement si, le réel $t$ vérifie l’équation $t^2 - 4t = 0$.

Aide

Calculer $\text{AB}$ puis $\text{BM}$ en fonction de $t$. Quelle égalité peut-on écrire si $\text{ABM}$ est isocèle en $\text{B}$ ?

c. En déduire les coordonnées des points $\text{M}_1$ et $\text{M}_2$ de la droite $d$ tels que le triangles rectangles $\text{ABM}_1$ et $\text{ABM}_2$ soient isocèles en $\text{B}$.

Aide

Il suffit de faire le lien avec la question précédente.

2

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
On relie les centres de chaque face d’un cube $\text{ABCDEFGH}$ pour former un solide $\text{IJKLMN}$ comme sur la figure représentée ci-dessous.

Plus précisément, les points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$, $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ sont les centres respectifs des faces carrées $\text{ABCD}$, $\text{BCGF}$, $\text{CDHG}$, $\text{ADHE}$, $\text{ABFE}$ et $\text{EFGH}$.

1. Sans utiliser de repère dans le raisonnement mené, justifier que les droites $\text{(IN)}$ et $\text{(ML)}$ sont orthogonales.


Dans la suite, on considère le repère orthonormé $(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})$ dans lequel, par exemple, le point $\text{N}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2} \:; \dfrac{1}{2} \: ; 1\right)$.

2. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{ML}}$.


b. En déduire que les droites $\text{(NC)}$ et $\text{(ML)}$ sont orthogonales.


c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan $\text{(NCI)}$.


3. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\text{(NJM)}$ est : $x - y + z = 1$.


b. La droite $\text{(DF)}$ est-elle perpendiculaire au plan $\text{(NJM)}$ ? Justifier.


c. Montrer que l’intersection des plans $\text{(NJM)}$ et $\text{(NCI)}$ est une droite, dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.

3

[D’après bac S, Asie, juin 2019]]
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. La retrouver en justifiant.
Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé $(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ de l’espace.

1. On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $3x + 2y + 9z - 5 = 0$ et la droite $d$, dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l} x=4 t+3 \\ y=-t+2,\text { où } t \in \mathbb{R}. \\ z=-t+9 \end{array}\right.$

Affirmation A : l’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(3 \:; 2 \:; 9)$.

Affirmation B : le plan $\mathcal{P}$ et la droite $d$ sont orthogonaux.

Affirmation C : le plan $\mathcal{P}$ et la droite $d$ sont parallèles.

Affirmation D : l’intersection du plan $\mathcal{P}$ et la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353 \:; 91 \:; 98)$.


2. On considère la droite $d$, dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l} x=t+2 \\ y=2 \quad,\text { où } t \in \mathbb{R}. \\ z=5 t-6 \end{array}\right.$
On considère également le point $\text{A}(-2 \:; 1 \:; 0)$ et un point $\text{M}$ quelconque de la droite $d$.

Affirmation A : la plus petite longueur $\text{AM}$ est égale à $\sqrt{53}$.

Affirmation B : la plus petite longueur $\text{AM}$ est égale à $\sqrt{27}$.

Affirmation C : la plus petite longueur $\text{AM}$ est atteinte lorsque le point $\text{M}$ a pour coordonnées $(-2 \:; 1 \:; 0).$

Affirmation D : la plus petite longueur $\text{AM}$ est atteinte lorsque le point $\text{M}$ a pour coordonnées $(2 \:; 2 \:; - 6).$



3. On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x + 2y - 3z + 1 = 0$ et le plan $\mathcal{P^\prime}$ d’équation cartésienne $2x - y + 2 = 0$.

Affirmation A : les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P^\prime}$ sont parallèles.

Affirmation B : l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P^\prime}$ est une droite passant par les points $\text{A}(5 \:; 12 \:; 10)$ et $\text{B}(3 \:; 1 \:; 2)$.

Affirmation C : l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P^\prime}$ est une droite passant par le point $\text{C}(2 \:; 6 \:; 5)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}(1 \:; 2 \:; 2)$.

Affirmation D : l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est une droite passant par le point $\text{D}(-1 \:; 0 \:; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{v}(3 \:; 6 \:; 5)$.

4

[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2008]
On dispose de deux urnes $\text{U}_1$ et $\text{U}_2$.
L’urne $\text{U}_1$ contient deux billes vertes et huit billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L’urne $U_2$ contient trois billes vertes et sept billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne $\text{U}_1$, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne $\text{U}_1$, puis de tirer au hasard une bille de l’urne $\text{U}_2$, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne $\text{U}_2$.
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gagne un vélo. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

Déterminer le nombre de tirages pour lesquels :

1. le joueur obtient deux fois une boule rouge ;


2. le joueur obtient deux boules de la même couleur ;


3. le joueur gagne un vélo ;


4. le joueur gagne un ours en peluche.

5

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point $\text{A}$. On considère les points $\text{B}(10 \:; - 8 \:; 2)$, $\text{C}(-1 \:; - 8 \:; 5)$ et $\text{D}(14 \:; 4 \:; 8)$.

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites$\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$.


b. Vérifier que les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$ ne sont pas coplanaires.


2. On considère le point $\text{I}$ de la droite $\text{(AB)}$ d’abscisse $5$ et le point $\text{J}$ de la droite $\text{(CD)}$ d’abscisse $4$.

a. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$ et $\text{J}$ et en déduire la distance $\text{IJ}$.


b. Démontrer que la droite $\text{(IJ)}$ est perpendiculaire aux droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$. La droite $\text{(IJ)}$ est appelée perpendiculaire commune aux droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$.


3. Cette question a pour but de vérifier que la distance $\text{IJ}$ est la distance minimale entre les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$. Sur la figure ci-dessous, on a représenté les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$, les points $\text{I}$ et $\text{J}$ et la droite $\Delta$ parallèle à la droite $\text{(CD)}$ passant par $\text{I}$. On considère un point $\text{M}$ de la droite $\text{(AB)}$ distinct du point $\text{I}$. On considère un point $\text{M}^\prime$ de la droite $\text{(CD)}$ distinct du point $\text{J}$.

a. Justifier que la parallèle à la droite $\text{(IJ)}$, passant par le point $\text{M}^\prime$, coupe la droite $\Delta$ en un point que l’on notera $\text{P}$.


b. Démontrer que le triangle $\text{MPM}^\prime$ est rectangle en $\text{P}$.


c. Justifier que $\text{MM}^\prime \gt \text{IJ}$ et conclure.

6

[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2018]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ dont la figure est donnée ci-dessous.
On considère le repère orthonormé $(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})$.

On rappelle les formules suivantes :

• aire d’un trapèze : $\dfrac{(\text { petite base }+\text { grande base }) \times \text { hauteur }}{2}$
• volume d’un prisme : $\text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.

On note $\mathcal{P}_1$ le plan d’équation $4x + 15z - 9 = 0$. La section $\text{IJKL}$ du cube par le plan $\mathcal{P}_1$ est représentée sur la figure.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$ et $\text{J}$.


2. Le plan $\mathcal{P}_1$ partage le cube en deux prismes. Calculer le volume de chacun de ces prismes.


3. Soit $\text{M}$ un point du segment $\text{[EI]}$. On cherche un plan $\mathcal{P}_2$ parallèle à $\mathcal{P}_1$ et passant par M qui partage le cube en deux prismes de même volume. Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$.

7

[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2017]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$.

1. a. Simplifier le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$.


b. En déduire que $\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$.


c. On admet que $\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$. Démontrer que la droite $\text{(AG)}$ est orthogonale au plan $\text{(BDE)}$.


2. On considère l’espace muni du repère orthonormé $(\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})$.

a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\text{(BDE)}$ est $x + y + z - 1 = 0$.


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $\text{K}$ de la droite $\text{(AG)}$ et du plan $\text{(BDE)}$.


c. Calculer, en unité d’aire, l’aire du triangle $\text{BDE}$. En déduire le volume de la pyramide $\text{BDEG}$.

8

[D’après bac S, Amérique du Sud, décembre 2001]
On considère l’ensemble $\text{E} = \{0 \:; 1 \:; 2 \:; 3 \:; 4 \:; 5 \:; 6 \:; 7\}$.
Avec deux nombres distincts $x$ et $y$ de $\text{E}$, on crée un unique domino simple, noté indifféremment $(x \:; y)$ ou $(y \:; x)$. Avec un nombre $z$ de $\text{E},$ on forme un unique domino double noté $(z \:; z).$

1. Combien de dominos peut-on créer au total ?


2. Déterminer le nombre de dominos constitué de nombres pairs.


3. Déterminer le nombre de dominos dont la somme des chiffres est paire.


4. On tire maintenant deux dominos simultanément. Déterminer le nombre de tirages pour lesquels on obtient un domino double et un domino simple, dont l’un des chiffres est celui du domino double.

9

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2016]
Dans un repère orthonormé $(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ de l’espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $\mathcal{P}_{m}$ d’équation :
$\dfrac{1}{4} m^{2} x+(m-1) y+\dfrac{1}{2} m z-3=0$

1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $\text{A}(1 \:; 1 \:; 1)$ appartient-il au plan $\mathcal{P}_{m}$ ?


2. Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{-4}$ sont sécants selon la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=12-2 t\\ y=9-2 t,\\ z=t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$.


3. a. Montrer que l’intersection entre $\mathcal{P}_{0}$ et $d$ est un point noté $\text{B}$, dont on déterminera les coordonnées.


b. Justifier que pour tout réel $m$, le point $\text{B}$ appartient au plan $\mathcal{P}_{m}$.


c. Montrer que le point $\text{B}$ est l’unique point appartenant à $\mathcal{P}_{m}$ pour tout réel $m$.


4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m^\prime$ tels que $-10 \leqslant m \leqslant 10$ et $-10 \leqslant m^\prime \leqslant 10$. On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et $m^\prime$ pour lesquelles $\mathcal{P}_{m}$ et $\mathcal{P}_{{m}^\prime}$ sont perpendiculaires.

a. Vérifier que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{-4}$ sont perpendiculaires.


b. Montrer que les plans $\mathcal{P}_{m}$ et $\mathcal{P}_{{m}^\prime}$ sont perpendiculaires si, et seulement si,
$\left(\dfrac{m \times m^{\prime}}{4}\right)^{2}+(m-1)\left(m^{\prime}-1\right)+\dfrac{m \times m^{\prime}}{4}=0$.


c. On considère l’algorithme suivant :

$\boxed{ \begin{array} { l } \text {Pour } m \text { allant de} -10 \text{ à } 10 :\\ \quad \text {Pour } m^\prime \text { allant de} -10 \text{ à } 10 :\\ \quad \quad \text {Si } \left(m m^{\prime}\right)^{2}+16(m-1)\left(m^{\prime}-1\right)+4 m m^{\prime}=0 : \\ \quad \quad \quad \text {Afficher } (m\: ; m^\prime) \\ \quad \quad \text {Fin Si } \\ \quad \text {Fin Pour } \\ \text {Fin Pour } \\ \end{array} }$

Quel est le rôle de cet algorithme ?

d. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont $(-4 \:; 1)$, $(0 \:; 1)$ et $(5 \:; - 4)$. Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.

10

[D’après bac C, La Réunion, juin 1995]
Un code antivol d’un autoradio est une combinaison de quatre chiffres, chaque chiffre étant une valeur entière comprise entre $0$ et $9$.

1. a. Quel est le nombre de codes possibles ?


b. Quel est le nombre de codes formés de quatre chiffres distincts deux à deux ?


2. Après une coupure d’alimentation électrique, le propriétaire doit ressaisir le code pour pouvoir utiliser son autoradio. Il sait que les quatre chiffres de son code sont $1$, $9$, $9$ et $5$, mais il a oublié l’ordre des chiffres.

a. Combien de codes différents peut-il composer avec ces quatre chiffres ?


b. Si le premier code saisit n’est pas le bon, le propriétaire doit attendre deux minutes avant de pouvoir tenter un deuxième essai ; le délai d’attente entre le deuxième et le troisième essai est de quatre minutes, entre le troisième et le quatrième essai, il est de huit minutes, etc. Le délai d’attente double entre deux essais successifs. Combien de codes le propriétaire peut-il composer au maximum en $24$ heures ?

11

[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2009]
On considère un questionnaire composé de cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles est exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot-réponse de cinq lettres.

1. Combien y a-t’il de mots-réponses possibles à ce questionnaire ?


2. Déterminer le nombre de mots-réponses où le candidat a exactement une réponse exacte.


3. Déterminer le nombre de mots-réponses où le candidat n’a aucune réponse exacte.


4. Un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par exemple, BACAB est un palindrome. Déterminer le nombre de palindromes possibles pour le mot-réponse du candidat.

12

[D’après bac S, Liban, mai 2003]
Une urne contient quatre boule noires et deux boules blanches.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On répète $n$ fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne.
On note $b_n$, le nombre de tirages pour lesquels on obtient exactement une seule boule blanche lors des $n - 1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième tirage.
Déterminer les valeurs de $b_2$, $b_3$ et $b_4$.

13

[D’après bac S, Polynésie, septembre 2008]
Une urne contient au départ $30$ boules blanches et $10$ boules noires indiscernables au toucher.
Soit $n$ un entier naturel.

On tire au hasard une boule de l’urne :

• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires ;
• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires.

On sait qu’il y a $2\:000$ tirages possibles où les deux boules tirées sont de la même couleur.
Déterminer le nombre $n$.