1

[D'après bac S, Liban, mai 2019] Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A


Partie B

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace, on considère le point $\text{A}(3;1;-5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=-2t+9,\\ z=t-3\end{array}$où $t\in \mathbb{R}$.

2

[D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
1. Sans utiliser de repère dans le raisonnement mené, justifier que les droites $\text{(IN)}$ et $\text{(ML)}$ sont orthogonales.

Dans la suite, on considère le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$ dans lequel, par exemple, le point $\text{N}$ a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right)$.

3

[D'après bac S, Asie, juin 2019]]
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. La retrouver en justifiant.
Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace. 3. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ d'équation cartésienne $2x-y+2=0$.

Affirmation A : les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont parallèles.

Affirmation B : l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ est une droite passant par les points $\text{A}(5;12;10)$ et $\text{B}(3;1;2)$.

Affirmation C : l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ est une droite passant par le point $\text{C}(2;6;5)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}(1;2;2)$.

Affirmation D : l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ est une droite passant par le point $\text{D}(-1;0;0)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{v}(3;6;5)$.

4

[D'après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2008]
On dispose de deux urnes ${\text{U}}_1$ et ${\text{U}}_2$.
L'urne ${\text{U}}_1$ contient deux billes vertes et huit billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L'urne $U_2$ contient trois billes vertes et sept billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne ${\text{U}}_1$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne ${\text{U}}_1$, puis de tirer au hasard une bille de l'urne ${\text{U}}_2$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne ${\text{U}}_2$.
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gagne un vélo. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

Déterminer le nombre de tirages pour lesquels :

5

[D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point $\text{A}$. On considère les points $\text{B}(10;-8;2)$, $\text{C}(-1;-8;5)$ et $\text{D}(14;4;8)$. 2. On considère le point $\text{I}$ de la droite $\text{(AB)}$ d'abscisse $5$ et le point $\text{J}$ de la droite $\text{(CD)}$ d'abscisse $4$.

6

[D'après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2018]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ dont la figure est donnée ci-dessous.
On considère le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$.

7

[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2017]

8

[D'après bac S, Amérique du Sud, décembre 2001]

9

[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2016]
Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan ${\mathcal{P}}_m$ d'équation :
$\frac{1}{4}{m}^{2}x+(m-1)y+\frac{1}{2}mz-3=0$