On considère un plan $\mathcal{P}$ de l'espace dont on connaît un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et un point $\text{M}$ extérieur au plan $\mathcal{P}$.
Le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $\mathcal{P}$ est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ passant par $\text{M}$.

On considère une droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et un point $\text{M}$ extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $d$ est l'intersection du plan normal à $\overrightarrow{u}$ passant par $\text{M}$ avec la droite $d$.

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$. On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ passant par $\text{A}$ : $\{\begin{array}{l}x=3k+5\\ y=k+1\\ z=-k+3\end{array}$, $k\in \mathbb{R}$.
On note $(x;y;z)$ les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système $\{\begin{array}{l}x=3k+5\\ y=k+1\\ z=-k+3\\ 3x+y-z-2=0\end{array}$. On obtient $k=-1$.

Ainsi, $\text{H}(2;0;4)$ est le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur le plan $\mathcal{P}$.

Exercices

37

et

38

p. 103

Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur le plan $\mathcal{P}$, alors $d(\text{A},\mathcal{P})=\text{AH}$.

Soient $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ un point. Si on note $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal de $\mathcal{P}$ et $\text{M}(x;y;z)$ un point de $\mathcal{P}$, alors :
$d(\mathrm{A},\mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }=\frac{\left|a{x}_{\mathrm{A}}+b{y}_{\mathrm{A}}+c{z}_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Voir exercice

96

p. 109.

La distance entre $\text{A}(-1;3;2)$ et $\mathcal{P}:x-3y+2z-4=0$ est $d(\mathrm{A},\mathcal{P})=\frac{|-1-3\times 3+2\times 2-4|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2+2^2}}$ donc $d(\mathrm{A},\mathcal{D})=\frac{10}{\sqrt{14}}=\frac{10\sqrt{14}}{14}=\frac{5\sqrt{14}}{7}\approx 2,67$.

Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur la droite $\mathcal{D}$, alors $d(\mathrm{A},\mathcal{D})=\mathrm{A}\mathrm{H}$.

Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à $\mathcal{D}$ et passant par $\text{A}$ est $2x-y+z-(2\times 2+1+2)=0$ donc $2x-y+z-7=0$.
Les coordonnées $(x;y;z)$ du point d'intersection cherché vérifent donc $\{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=-t\\ z=t-1\\ 2x-y+z-7=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=-t\\ z=t-1\\ t=1\end{array}$.

On trouve $\text{H}(3;-1;0)$. Et donc $d(\mathrm{A};\mathcal{D})=\mathrm{A}\mathrm{H}=\sqrt{5}$.

Exercices

39

et

40

p. 103