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3. Projection orthogonale
P.95-96

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COURS 1


3
Projection orthogonale





Dans toute cette partie, l’espace est muni d’un repère orthonormé .

A
Projection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite


Définition

On considère un plan de l’espace dont on connaît un vecteur normal et un point extérieur au plan .
Le projeté orthogonal de sur est l’intersection du plan et de la droite de vecteur directeur passant par .

Définition

On considère une droite de vecteur directeur et un point extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de sur est l’intersection du plan normal à passant par avec la droite .

Exemple

Le point est le projeté orthogonal du point sur le plan .
Le point est le projeté orthogonal du point sur la droite .

Projection orthogonale

Application et méthode - 6

Énoncé

On considère le plan d’équation .
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan .

B
Distance d’un point à un plan ou une droite


Définition

Soient un plan de l’espace et un point.
La distance du point au plan est la plus petite des longueurs .

NOTATION

est la distance du point au plan .

Propriété

Si on note le projeté orthogonal de sur le plan , alors .

DÉMONSTRATION

Soit un point quelconque du plan . Pour tout , le triangle est rectangle en , donc . Ainsi, est bien la plus petite des longueurs et .

Pour tout point , d’après la démonstration, . On a bien .

Projection orthogonale

Propriété

Soient le plan d’équation cartésienne et un point. Si on note un vecteur normal de et un point de , alors :
.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 109.

Exemple

La distance entre et est donc .


Définition

Soient une droite de l’espace et un point. La distance du point à la droite est la plus petite des longueurs .

NOTATION

est la distance du point à la droite .

Propriété

Si on note le projeté orthogonal de sur la droite , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
91
p. 108.

Pour tout point , d’après la démonstration, donc .

Projection orthogonal

Application et méthode - 7

Énoncé

Calculer la distance entre le point et la droite dont on donne une représentation paramétrique : , .