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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 3
Projection orthogonale
Dans toute cette partie, l'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k).
A
Projection orthogonale d'un point sur un plan ou sur une droite
Définition
On considère un plan P de l'espace dont on connaît un vecteur normal n et un point M extérieur au plan P.
Le projeté orthogonal de M sur P est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur n passant par M.
Définition
On considère une droite d de vecteur directeur u et un point M extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de M sur d est l'intersection du plan normal à u passant par M avec la droite d.
Exemple
Le point M′ est le projeté orthogonal du point M sur le plan P.
Le point N′ est le projeté orthogonal du point N sur la droite d.
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Application et méthode - 6
Énoncé
On considère le plan P d'équation 3x+y−z−2=0.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(5;1;3) sur le plan P.
Méthode
On détermine un vecteur normal au plan.
On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par A.
On trouve le point d'intersection en remplaçant les expressions de x, y et z dans l'équation donnée du plan.
Solution
Un vecteur normal au plan P est n⎝⎛31−1⎠⎞. On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan P passant par A :
⎩⎪⎨⎪⎧x=3k+5y=k+1z=−k+3, k∈R.
On note (x;y;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=3k+5y=k+1z=−k+33x+y−z−2=0. On obtient k=−1.
Ainsi, H(2;0;4) est le projeté orthogonal de A sur le plan P.
Soient P un plan de l'espace et A un point.
La distance du point A au plan P est la plus petite des longueurs AM où M∈P.
Notation
d(A,P) est la distance du point A au plan P.
Propriété
Si on note H le projeté orthogonal de A sur le plan P, alors d(A,P)=AH.
Démonstration
Soit M un point quelconque du plan P. Pour tout M=H, le triangle AHM est rectangle en H, donc AM>AH. Ainsi, AH est bien la plus petite des longueurs et d(A,P)=AH.
Pour tout point M∈P, d'après la démonstration, AM⩾AH. On a bien d(A,P)=AH.
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Propriété
Soient P le plan d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0 et A(xA;yA;zA) un point. Si on note n un vecteur normal de P et M(x;y;z) un point de P, alors : d(A,P)=∥n∥∣AM⋅n∣=a2+b2+c2∣axA+byA+czA+d∣.
Pour tout point M∈D, d'après la démonstration, AM⩾AH donc d(A,D)=AH.
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Application et méthode - 7
Énoncé
Calculer la distance entre le point A(2;−1;2) et la droite D dont on donne une représentation paramétrique :
⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−1, t∈R.
Méthode
On cherche le projeté orthogonal de A sur D. On le note ici H.
On calcule la longueur AH.
Solution
Un vecteur directeur de la droite D est u⎝⎛2−11⎠⎞.
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à D et passant par A est 2x−y+z−(2×2+1+2)=0 donc 2x−y+z−7=0.
Les coordonnées (x;y;z) du point d'intersection cherché vérifent donc ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−12x−y+z−7=0⇔⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−1t=1.