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Projection orthogonale

Définition

On considère un plan $\mathcal{P}$ de l’espace dont on connaît un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et un point $\text{M}$ extérieur au plan $\mathcal{P}$.
Le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $\mathcal{P}$ est l’intersection du plan et de la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ passant par $\text{M}$.

Définition

On considère une droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et un point $\text{M}$ extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $d$ est l’intersection du plan normal à $\overrightarrow{u}$ passant par $\text{M}$ avec la droite $d$.

Définition

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $\text{A}$ un point.
La distance du point $\text{A}$ au plan $\mathcal{P}$ est la plus petite des longueurs $\text{AM}$ où $\text{M}\in \mathcal{P}$.

Propriété

Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur le plan $\mathcal{P}$, alors $d(\text{A},\mathcal{P})=\text{AH}$.

Propriété

Soient $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ un point. Si on note $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal de $\mathcal{P}$ et $\text{M}(x;y;z)$ un point de $\mathcal{P}$, alors :

Définition

Soient $\mathcal{D}$ une droite de l’espace et $\text{A}$ un point. La distance du point $\text{A}$ à la droite $\mathcal{D}$ est la plus petite des longueurs $\text{AM}$ où $\text{M}\in \mathcal{D}$.

Propriété

Si on note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur la droite $\mathcal{D}$, alors $d(\mathrm{A},\mathcal{D})=\mathrm{A}\mathrm{H}$.