Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 3

Projection orthogonale

Dans toute cette partie, l'espace est muni d'un repère orthonormé .

A
Projection orthogonale d'un point sur un plan ou sur une droite

Définition
On considère un plan de l'espace dont on connaît un vecteur normal et un point extérieur au plan .
Le projeté orthogonal de sur est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur passant par .
Définition
On considère une droite de vecteur directeur et un point extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de sur est l'intersection du plan normal à passant par avec la droite .
Exemple
Le point est le projeté orthogonal du point sur le plan .
Le point est le projeté orthogonal du point sur la droite .

Projection orthogonale
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Application et méthode - 6
Énoncé
On considère le plan d'équation . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan .

Méthode

  • On détermine un vecteur normal au plan.
  • On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par .
  • On trouve le point d'intersection en remplaçant les expressions de , et dans l'équation donnée du plan.
Solution
Un vecteur normal au plan est . On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par : , .
On note les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système . On obtient .

Ainsi, est le projeté orthogonal de sur le plan .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 103

B
Distance d'un point à un plan ou une droite

Définition
Soient un plan de l'espace et un point.
La distance du point au plan est la plus petite des longueurs .

Notation

est la distance du point au plan .
Propriété
Si on note le projeté orthogonal de sur le plan , alors .
Démonstration
Soit un point quelconque du plan . Pour tout , le triangle est rectangle en , donc . Ainsi, est bien la plus petite des longueurs et .

Pour tout point , d'après la démonstration, . On a bien .

Projection orthogonale
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Propriété
Soient le plan d'équation cartésienne et un point. Si on note un vecteur normal de et un point de , alors :
.
Démonstration
Voir exercice p. 109.
Exemple
La distance entre et est donc .
Définition
Soient une droite de l'espace et un point. La distance du point à la droite est la plus petite des longueurs .

Notation

est la distance du point à la droite .
Propriété
Si on note le projeté orthogonal de sur la droite , alors .
Démonstration
Voir exercice p. 108.

Pour tout point , d'après la démonstration, donc .

Projection orthogonal
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Application et méthode - 7
Énoncé
Calculer la distance entre le point et la droite dont on donne une représentation paramétrique : , .

Méthode

  • On cherche le projeté orthogonal de sur . On le note ici .
  • On calcule la longueur .
Solution
Un vecteur directeur de la droite est .
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à et passant par est donc .
Les coordonnées du point d'intersection cherché vérifent donc .

On trouve . Et donc .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 103

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