Projection orthogonale

On considère un plan \mathcal{P} de l'espace dont on connaît un vecteur normal \vec{n} et un point \text{M} extérieur au plan \mathcal{P}.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur \mathcal{P} est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur \vec{n} passant par \text{M}.

On considère une droite d de vecteur directeur \vec{u} et un point \text{M} extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur d est l'intersection du plan normal à \vec{u} passant par \text{M} avec la droite d.

Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right). On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan \mathcal{P} passant par \text{A} : \left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \end{array}\right., k \in \mathbb{R}.
On note (x \: ;y \: ;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système \left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \\ 3 x+y-z-2=0 \end{array}\right.. On obtient k = -1.

Ainsi, \text{H} (2 \: ; 0 \: ; 4) est le projeté orthogonal de \text{A} sur le plan \mathcal{P}.

Exercices

37

et

38

p. 103

Si on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur le plan \mathcal{P}, alors d( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.

Soient \mathcal{P} le plan d'équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et \text{A} (x_{\text{A}} \: ; y_{\text{A}} \: ; z_{\text{A}}) un point. Si on note \overrightarrow{n} un vecteur normal de \mathcal{P} et \text{M} (x \: ; y \: ; z) un point de \mathcal{P}, alors :
d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\vec{n}\|}=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Voir exercice

96

p. 109.

La distance entre \text{A}(-1 \: ; 3 \: ; 2) et \mathcal{P}: x-3 y+2 z-4=0 est d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{|-1-3 \times 3+2 \times 2-4|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}} donc d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\frac{10}{\sqrt{14}}=\frac{10 \sqrt{14}}{14}=\frac{5 \sqrt{14}}{7} \approx 2{,}67.

Si on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur la droite \mathcal{D}, alors d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}.

Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} est \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à \mathcal{D} et passant par \text{A} est 2 x-y+z-(2 \times 2+1+2)=0 donc 2 x-y+z-7=0.
Les coordonnées (x \: ; y \: ; z) du point d'intersection cherché vérifent donc \left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ 2 x-y+z-7=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ t=1 \end{array}\right.\right..

On trouve \text{H}(3 \: ; -1 \: ; 0). Et donc d(\mathrm{A} ; \mathcal{D})=\mathrm{AH}=\sqrt{5}.

Exercices

39

et

40

p. 103