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3. Projection orthogonale

P.95-96

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COURS 1

3
Projection orthogonale

Dans toute cette partie, l’espace est muni d’un repère orthonormé

(O; i, j, k)

A
Projection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite

Définition

On considère un plan

P

de l’espace dont on connaît un vecteur normal

n

et un point

M

extérieur au plan

P

.
Le projeté orthogonal de

M

sur

P

est l’intersection du plan et de la droite de vecteur directeur

n

passant par

M

Définition

On considère une droite

d

de vecteur directeur

u

et un point

M

extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de

M

sur

d

est l’intersection du plan normal à

u

passant par

M

avec la droite

d

Exemple

Le point

M^{'}

est le projeté orthogonal du point

M

sur le plan

P

.
Le point

N^{'}

est le projeté orthogonal du point

N

sur la droite

d

Application et méthode - 6

Énoncé

On considère le plan

P

d’équation

3 x + y - z - 2 = 0

.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point

A (5; 1; 3)

sur le plan

P

Solution

Un vecteur normal au plan

P

est

n ⎝ ⎛ 31 - 1 ⎠ ⎞

. On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan

P

passant par

A

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 3 k + 5 y = k + 1 z = - k + 3

k \in R

.
On note

(x; y; z)

les coordonnées du point cherché. Trouver l’intersection revient à résoudre le système

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x = 3 k + 5 y = k + 1 z = - k + 3 3 x + y - z - 2 = 0

. On obtient

k = - 1

.
Ainsi,

H (2; 0; 4)

est le projeté orthogonal de

A

sur le plan

P

Pour s'entraîner : exercices 37 et 38 p. 103

Méthode

On détermine un vecteur normal au plan.
On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par $A$ .
On trouve le point d’intersection en remplaçant les expressions de $x$ , $y$ et $z$ dans l’équation donnée du plan.

B
Distance d’un point à un plan ou une droite

Définition

Soient

P

un plan de l’espace et

A

un point.
La distance du point $A$ au plan $P$ est la plus petite des longueurs

AM

où

M \in P

NOTATION

d (A, P)

est la distance du point

A

au plan

P

Propriété

Si on note

H

le projeté orthogonal de

A

sur le plan

P

, alors

d (A, P) = AH

DÉMONSTRATION

Soit

M

un point quelconque du plan

P

. Pour tout

M \neq = H

, le triangle

AHM

est rectangle en

H

, donc

AM > AH

. Ainsi,

AH

est bien la plus petite des longueurs et

d (A, P) = AH

Pour tout point

M \in P

, d’après la démonstration,

AM ⩾ AH

. On a bien

d (A, P) = AH

Propriété

Soient

P

le plan d’équation cartésienne

a x + b y + c z + d = 0

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

un point. Si on note

n

un vecteur normal de

P

M (x; y; z)

un point de

P

, alors :

d (A, P) = \frac{∣ A M \cdot n ∣}{∥ n ∥} = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 109.

Exemple

La distance entre

A (- 1; 3; 2)

P : x - 3 y + 2 z - 4 = 0

est

d (A, P) = \frac{∣ - 1 - 3 \times 3 + 2 \times 2 - 4 ∣}{1 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + 2 ^{2}}

donc

d (A, D) = \frac{1 0}{1 4} = \frac{1 0 1 4}{1 4} = \frac{5 1 4}{7} \approx 2, 67

Définition

Soient

D

une droite de l’espace et

A

un point. La distance du point $A$ à la droite $D$ est la plus petite des longueurs

AM

où

M \in D

NOTATION

d (A, D)

est la distance du point

A

à la droite

D

Propriété

Si on note

H

le projeté orthogonal de

A

sur la droite

D

, alors

d (A, D) = A H

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 108.

Pour tout point

M \in D

, d’après la démonstration,

AM ⩾ AH

donc

d (A, D) = AH

Application et méthode - 7

Énoncé

Calculer la distance entre le point

A (2; - 1; 2)

et la droite

D

dont on donne une représentation paramétrique :

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = 2 t + 1 y = - t z = t - 1

t \in R

Solution

Un vecteur directeur de la droite

D

est

u ⎝ ⎛ 2 - 1 1 ⎠ ⎞

.
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à

D

et passant par

A

est

2 x - y + z - (2 \times 2 + 1 + 2) = 0

donc

2 x - y + z - 7 = 0

.
Les coordonnées

(x; y; z)

du point d’intersection cherché vérifent donc

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x = 2 t + 1 y = - t z = t - 1 2 x - y + z - 7 = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x = 2 t + 1 y = - t z = t - 1 t = 1

. On trouve

H (3; - 1; 0)

. Et donc

d (A; D) = A H = 5

Pour s'entraîner : exercices 39 et 40 p. 103

Méthode

On cherche le projeté orthogonal de $A$ sur $D$ . On le note ici $H$ .
On calcule la longueur $AH$ .

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3Projection orthogonale

AProjection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite

Application et méthode - 6

Énoncé

Solution

Méthode

BDistance d’un point à un plan ou une droite

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 7

Énoncé

Solution

Méthode

3
Projection orthogonale

A
Projection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite

B
Distance d’un point à un plan ou une droite