Dans toute cette partie, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).
A
Projection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite
Définition
On considère un plan P de l’espace dont on connaît un vecteur normal n et un point M extérieur au plan P.
Le projeté orthogonal de M sur P est l’intersection du plan et de la droite de vecteur directeur n passant par M.
Définition
On considère une droite d de vecteur directeur u et un point M extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de M sur d est l’intersection du plan normal à u passant par M avec la droite d.
Exemple
Le point M′ est le projeté orthogonal du point M sur le plan P.
Le point N′ est le projeté orthogonal du point N sur la droite d.
Application et méthode - 6
Énoncé
On considère le plan P d’équation 3x+y−z−2=0.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(5;1;3) sur le plan P.
Solution
Un vecteur normal au plan P est n⎝⎛31−1⎠⎞. On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan P passant par A :
⎩⎪⎨⎪⎧x=3k+5y=k+1z=−k+3, k∈R.
On note (x;y;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l’intersection revient à résoudre le système ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=3k+5y=k+1z=−k+33x+y−z−2=0. On obtient k=−1.
Ainsi, H(2;0;4) est le projeté orthogonal de A sur le plan P.
On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par A.
On trouve le point d’intersection en remplaçant les expressions de x, y et z dans l’équation donnée du plan.
B
Distance d’un point à un plan ou une droite
Définition
Soient P un plan de l’espace et A un point.
La distance du point A au plan P est la plus petite des longueurs AM où M∈P.
NOTATION
d(A,P) est la distance du point A au plan P.
Propriété
Si on note H le projeté orthogonal de A sur le plan P, alors d(A,P)=AH.
DÉMONSTRATION
Soit M un point quelconque du plan P. Pour tout M=H, le triangle AHM est rectangle en H, donc AM>AH. Ainsi, AH est bien la plus petite des longueurs et d(A,P)=AH.
Pour tout point M∈P, d’après la démonstration, AM⩾AH. On a bien d(A,P)=AH.
Propriété
Soient P le plan d’équation cartésienne ax+by+cz+d=0 et A(xA;yA;zA) un point. Si on note n un vecteur normal de P et M(x;y;z) un point de P, alors :
Pour tout point M∈D, d’après la démonstration, AM⩾AH donc d(A,D)=AH.
Application et méthode - 7
Énoncé
Calculer la distance entre le point A(2;−1;2) et la droite D dont on donne une représentation paramétrique :
⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−1, t∈R.
Solution
Un vecteur directeur de la droite D est u⎝⎛2−11⎠⎞.
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à D et passant par A est 2x−y+z−(2×2+1+2)=0 donc 2x−y+z−7=0.
Les coordonnées (x;y;z) du point d’intersection cherché vérifent donc ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−12x−y+z−7=0⇔⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=2t+1y=−tz=t−1t=1. On trouve H(3;−1;0). Et donc d(A;D)=AH=5.
On cherche le projeté orthogonal de A sur D. On le note ici H.
On calcule la longueur AH.
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