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3. Projection orthogonale
P.95-96
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COURS 1


3
Projection orthogonale





Dans toute cette partie, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O ;i→ ,j→ ,k→)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

A
Projection orthogonale d’un point sur un plan ou sur une droite


Définition
On considère un plan P\mathcal{P} de l’espace dont on connaît un vecteur normal n→\overrightarrow{n} et un point M\text{M} extérieur au plan P\mathcal{P}.
Le projeté orthogonal de M\text{M} sur P\mathcal{P} est l’intersection du plan et de la droite de vecteur directeur n→\overrightarrow{n} passant par M\text{M}.

Définition
On considère une droite dd de vecteur directeur u→\overrightarrow{u} et un point M\text{M} extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de M\text{M} sur dd est l’intersection du plan normal à u→\overrightarrow{u} passant par M\text{M} avec la droite dd.

Exemple

Le point M′\text{M}' est le projeté orthogonal du point M\text{M} sur le plan P\mathcal{P}.
Le point N′\text{N}' est le projeté orthogonal du point N\text{N} sur la droite dd.

Projection orthogonale

Application et méthode - 6

Énoncé

On considère le plan P\mathcal{P} d’équation 3x+y−z−2=03 x+y-z-2=0.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(5 ;1 ;3)\text{A} (5 \: ; 1 \: ; 3) sur le plan P\mathcal{P}.

Solution


Un vecteur normal au plan P\mathcal{P} est n→(31−1)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right). On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan P\mathcal{P} passant par A\text{A} :
{x=3k+5y=k+1z=−k+3\left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \end{array}\right., k∈Rk \in \mathbb{R}.

On note (x ;y ;z)(x \: ;y \: ;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l’intersection revient à résoudre le système {x=3k+5y=k+1z=−k+33x+y−z−2=0\left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \\ 3 x+y-z-2=0 \end{array}\right.. On obtient k=−1k = -1.
Ainsi, H(2 ;0 ;4)\text{H} (2 \: ; 0 \: ; 4) est le projeté orthogonal de A\text{A} sur le plan P\mathcal{P}.

Pour s'entraîner : exercices 37 et 38 p. 103

Méthode

  • On détermine un vecteur normal au plan.
  • On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par A\text{A}.
  • On trouve le point d’intersection en remplaçant les expressions de xx, yy et zz dans l’équation donnée du plan.


B
Distance d’un point à un plan ou une droite


Définition

Soient P\mathcal{P} un plan de l’espace et A\text{A} un point.
La distance du point A\text{A} au plan P\mathcal{P} est la plus petite des longueurs AM\text{AM} où M∈P\text{M} \in \mathcal{P}.

NOTATION
d(A,P)d( \text{A} , \mathcal{P} ) est la distance du point A\text{A} au plan P\mathcal{P}.

Propriété

Si on note H\text{H} le projeté orthogonal de A\text{A} sur le plan P\mathcal{P}, alors d(A,P)=AHd( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.

DÉMONSTRATION

Soit M\text{M} un point quelconque du plan P\mathcal{P}. Pour tout M≠H\text{M} \ne \text{H}, le triangle AHM\text{AHM} est rectangle en H\text{H}, donc AM>AH\text{AM} > \text{AH}. Ainsi, AH\text{AH} est bien la plus petite des longueurs et d(A,P)=AHd( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.

Pour tout point M∈P\text{M} \in \mathcal{P}, d’après la démonstration, AM⩾AH\text{AM} \geqslant \text{AH}. On a bien d(A,P)=AHd( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.

Projection orthogonale

Propriété

Soient P\mathcal{P} le plan d’équation cartésienne ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0 et A(xA ;yA ;zA)\text{A} (x_{\text{A}} \: ; y_{\text{A}} \: ; z_{\text{A}}) un point. Si on note n→\overrightarrow{n} un vecteur normal de P\mathcal{P} et M(x ;y ;z)\text{M} (x \: ; y \: ; z) un point de P\mathcal{P}, alors :
d(A,P)=∣AM→⋅n→∣∥n→∥=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\dfrac{|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{n}\|}=\dfrac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 109.

Exemple

La distance entre A(−1 ;3 ;2)\text{A}(-1 \: ; 3 \: ; 2) et P:x−3y+2z−4=0\mathcal{P}: x-3 y+2 z-4=0 est d(A,P)=∣−1−3×3+2×2−4∣12+(−3)2+22d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\dfrac{|-1-3 \times 3+2 \times 2-4|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}} donc d(A,D)=1014=101414=5147≈2,67d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\dfrac{10}{\sqrt{14}}=\dfrac{10 \sqrt{14}}{14}=\dfrac{5 \sqrt{14}}{7} \approx 2{,}67.

Définition

Soient D\mathcal{D} une droite de l’espace et A\text{A} un point. La distance du point A\text{A} à la droite D\mathcal{D} est la plus petite des longueurs AM\text{AM} où M∈D\text{M} \in \mathcal{D}.

NOTATION
d(A,D)d( \text{A} , \mathcal{D} ) est la distance du point A\text{A} à la droite D\mathcal{D}.

Propriété

Si on note H\text{H} le projeté orthogonal de A\text{A} sur la droite D\mathcal{D}, alors d(A,D)=AHd(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
91
p. 108.

Pour tout point M∈D\text{M} \in \mathcal{D}, d’après la démonstration, AM⩾AH\text{AM} \geqslant \text{AH} donc d(A,D)=AHd( \text{A} , \mathcal{D} ) = \text{AH}.

Projection orthogonal

Application et méthode - 7

Énoncé

Calculer la distance entre le point A(2 ;−1 ;2)\text{A} (2 \: ; -1 \: ; 2) et la droite D\mathcal{D} dont on donne une représentation paramétrique : {x=2t+1y=−tz=t−1\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \end{array}\right., t∈Rt \in \mathbb{R}.

Solution


Un vecteur directeur de la droite D\mathcal{D} est u→(2−11)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à D\mathcal{D} et passant par A\text{A} est 2x−y+z−(2×2+1+2)=02 x-y+z-(2 \times 2+1+2)=0 donc 2x−y+z−7=02 x-y+z-7=0.
Les coordonnées (x ;y ;z)(x \: ; y \: ; z) du point d’intersection cherché vérifent donc {x=2t+1y=−tz=t−12x−y+z−7=0⇔{x=2t+1y=−tz=t−1t=1\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ 2 x-y+z-7=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ t=1 \end{array}\right.\right.. On trouve H(3 ;−1 ;0)\text{H}(3 \: ; -1 \: ; 0). Et donc d(A;D)=AH=5d(\mathrm{A} ; \mathcal{D})=\mathrm{AH}=\sqrt{5}.

Pour s'entraîner : exercices 39 et 40 p. 103

Méthode

  • On cherche le projeté orthogonal de A\text{A} sur D\mathcal{D}. On le note ici H\text{H}.
  • On calcule la longueur AH\text{AH}.


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