Chapitre 3
Cours 3
Projection orthogonale
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Dans toute cette partie, l'espace est muni d'un repère orthonormé (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
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AProjection orthogonale d'un point sur un plan ou sur une droite
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Définition
On considère un plan \mathcal{P} de l'espace dont on connaît un vecteur normal \vec{n} et un point \text{M} extérieur au plan \mathcal{P}.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur \mathcal{P} est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur \vec{n} passant par \text{M}.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur \mathcal{P} est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur \vec{n} passant par \text{M}.
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Définition
On considère une droite d de vecteur directeur \vec{u} et un point \text{M} extérieur à cette droite.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur d est l'intersection du plan normal à \vec{u} passant par \text{M} avec la droite d.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur d est l'intersection du plan normal à \vec{u} passant par \text{M} avec la droite d.
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Exemple
Le point \text{M}' est le projeté orthogonal du point \text{M} sur le plan \mathcal{P}.
Le point \text{N}' est le projeté orthogonal du point \text{N} sur la droite d.
Le point \text{N}' est le projeté orthogonal du point \text{N} sur la droite d.
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Application et méthode - 6
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Énoncé
On considère le plan \mathcal{P} d'équation 3 x+y-z-2=0.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point \text{A} (5 \: ; 1 \: ; 3) sur le plan \mathcal{P}.
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- On détermine un vecteur normal au plan.
- On trouve une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan passant par \text{A}.
- On trouve le point d'intersection en remplaçant les expressions de x, y et z dans l'équation donnée du plan.
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Solution
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
-1
\end{array}\right). On en déduit alors une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan \mathcal{P} passant par \text{A} :
\left\{\begin{array}{l}
x=3 k+5 \\
y=k+1 \\
z=-k+3
\end{array}\right., k \in \mathbb{R}.
On note (x \: ;y \: ;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système \left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \\ 3 x+y-z-2=0 \end{array}\right.. On obtient k = -1.
Ainsi, \text{H} (2 \: ; 0 \: ; 4) est le projeté orthogonal de \text{A} sur le plan \mathcal{P}.
On note (x \: ;y \: ;z) les coordonnées du point cherché. Trouver l'intersection revient à résoudre le système \left\{\begin{array}{l} x=3 k+5 \\ y=k+1 \\ z=-k+3 \\ 3 x+y-z-2=0 \end{array}\right.. On obtient k = -1.
Ainsi, \text{H} (2 \: ; 0 \: ; 4) est le projeté orthogonal de \text{A} sur le plan \mathcal{P}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 103
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BDistance d'un point à un plan ou une droite
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Définition
Soient \mathcal{P} un plan de l'espace et \text{A} un point.
La distance du point \text{A} au plan \mathcal{P} est la plus petite des longueurs \text{AM} où \text{M} \in \mathcal{P}.
La distance du point \text{A} au plan \mathcal{P} est la plus petite des longueurs \text{AM} où \text{M} \in \mathcal{P}.
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d( \text{A} , \mathcal{P} ) est la distance du point \text{A} au plan \mathcal{P}.
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Propriété
Si on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur le plan \mathcal{P}, alors d( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.
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Démonstration
Soit \text{M} un point quelconque du plan \mathcal{P}. Pour tout \text{M} \ne \text{H}, le triangle \text{AHM} est rectangle en \text{H}, donc \text{AM} > \text{AH}. Ainsi, \text{AH} est bien la plus petite des longueurs et d( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.
Pour tout point \text{M} \in \mathcal{P}, d'après la démonstration, \text{AM} \geqslant \text{AH}. On a bien d( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.
Pour tout point \text{M} \in \mathcal{P}, d'après la démonstration, \text{AM} \geqslant \text{AH}. On a bien d( \text{A} , \mathcal{P} ) = \text{AH}.
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Propriété
Soient \mathcal{P} le plan d'équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et \text{A} (x_{\text{A}} \: ; y_{\text{A}} \: ; z_{\text{A}}) un point. Si on note \overrightarrow{n} un vecteur normal de \mathcal{P} et \text{M} (x \: ; y \: ; z) un point de \mathcal{P}, alors :
d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\vec{n}\|}=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\vec{n}\|}=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
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Démonstration
Voir exercice p. 109.
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Exemple
La distance entre \text{A}(-1 \: ; 3 \: ; 2) et \mathcal{P}: x-3 y+2 z-4=0 est d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{|-1-3 \times 3+2 \times 2-4|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}} donc d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\frac{10}{\sqrt{14}}=\frac{10 \sqrt{14}}{14}=\frac{5 \sqrt{14}}{7} \approx 2{,}67.
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Définition
Soient \mathcal{D} une droite de l'espace et \text{A} un point. La distance du point \text{A} à la droite \mathcal{D} est la plus petite des longueurs \text{AM} où \text{M} \in \mathcal{D}.
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d( \text{A} , \mathcal{D} ) est la distance du point \text{A} à la droite \mathcal{D}.
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Propriété
Si on note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur la droite \mathcal{D}, alors d(\mathrm{A}, \mathcal{D})=\mathrm{AH}.
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Démonstration
Voir exercice p. 108.
Pour tout point \text{M} \in \mathcal{D}, d'après la démonstration, \text{AM} \geqslant \text{AH} donc d( \text{A} , \mathcal{D} ) = \text{AH}.
Pour tout point \text{M} \in \mathcal{D}, d'après la démonstration, \text{AM} \geqslant \text{AH} donc d( \text{A} , \mathcal{D} ) = \text{AH}.
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Application et méthode - 7
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Énoncé
Calculer la distance entre le point \text{A} (2 \: ; -1 \: ; 2) et la droite \mathcal{D} dont on donne une représentation paramétrique :
\left\{\begin{array}{l}
x=2 t+1 \\
y=-t \\
z=t-1
\end{array}\right., t \in \mathbb{R}.
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- On cherche le projeté orthogonal de \text{A} sur \mathcal{D}. On le note ici \text{H}.
- On calcule la longueur \text{AH}.
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Solution
Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} est \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
1
\end{array}\right).
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à \mathcal{D} et passant par \text{A} est 2 x-y+z-(2 \times 2+1+2)=0 donc 2 x-y+z-7=0.
Les coordonnées (x \: ; y \: ; z) du point d'intersection cherché vérifent donc \left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ 2 x-y+z-7=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ t=1 \end{array}\right.\right..
On trouve \text{H}(3 \: ; -1 \: ; 0). Et donc d(\mathrm{A} ; \mathcal{D})=\mathrm{AH}=\sqrt{5}.
Alors, une équation cartésienne du plan orthogonal à \mathcal{D} et passant par \text{A} est 2 x-y+z-(2 \times 2+1+2)=0 donc 2 x-y+z-7=0.
Les coordonnées (x \: ; y \: ; z) du point d'intersection cherché vérifent donc \left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ 2 x-y+z-7=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=-t \\ z=t-1 \\ t=1 \end{array}\right.\right..
On trouve \text{H}(3 \: ; -1 \: ; 0). Et donc d(\mathrm{A} ; \mathcal{D})=\mathrm{AH}=\sqrt{5}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 103
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