Exercices de synthèse

89

[Calculer, Représenter.]
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points de l'espace non coplanaires. On note \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L} les milieux respectifs de [\text{AB}], [\text{BC}], [\text{CD}] et [\text{AD}]. On note \text{G} le milieu de [\text{IK}] et \Omega le centre de gravité du triangle \text{BCD} défini par \overrightarrow{\Omega \text{B}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{KB}}.

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points \Omega, \text{G} et \text{A} sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle

1. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AK}}.

2. En déduire que \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AG}}.

3. a. Démontrer que \overrightarrow{\Omega \text{A}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}.

b. Démontrer que \overrightarrow{\Omega \text{A}}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

c. En déduire l'alignement des points \Omega, \text{G} et \text{A}.

Partie B: Méthode analytique

L'espace est rapporté au repère (\text{B} \: ; \overrightarrow{\text{BC}} \: , \overrightarrow{\text{BD}} \: , \overrightarrow{\text{BA}} ).

1. Lire les coordonnées des points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D}.

2. a. Calculer les coordonnées des points \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L}.

b. En déduire les coordonnées de \text{G}.

3. a. Déterminer les coordonnées du point \Omega.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{AG}).

c. Démontrer que \Omega appartient à (\text{AG}).

90

[Calculer, Raisonner.]

Changement de repère

L'espace est rapporté à un repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On note \text{A} le point de coordonnées (1 \: ; -1 \: ; 2) et (x \: ; y \: ; z) les coordonnées d'un point \text{M} dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{AM}} dans la base (\overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) en fonction de x, y et z.

2. a. Justifer que (\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) est un repère de l'espace.

b. On note (\text{X} \: ; \text{Y} \: ; \text{Z} ) les coordonnées de \text{M} dans le repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
Exprimer \text{X}, \text{Y} et \text{Z} en fonction de x, y et z.

3. Application :
a. On considère le point \text{B} (-1 \: ; 2 \: ; 3) dans le repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ). Déterminer les coordonnées de \text{B} dans le repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).

b. On considère le point \text{C} (-2 \: ; 7 \: ; 10) dans le repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ). Déterminer les coordonnées de \text{C} dans le repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).

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[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube \text{ABCDEFGH} et les points suivants : \text{I} est le milieu de [\text{GH}] ; \text{J} est tel que \overrightarrow{\mathrm{HJ}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{HD}} et \text{K} est le milieu de [\text{FB}].

Partie A

1. Reproduire le cube et placer les points \text{I}, \text{J} et \text{K}.

2. a. Justifer que les droites (\text{IJ}) et (\text{CG}) sont sécantes en un point \text{L}.

b. Construire le point \text{L}.

3. Construire l'intersection des plans (\text{IJK}) et (\text{BCG}).

4. Construire la trace de la section du cube \text{ABCDEFGH} par le plan (\text{IJK}).

Partie B

Dans cette partie, l'espace est rapporté au repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ).
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H}.

1. Déterminer les coordonnées des points \text{I}, \text{J} et \text{K}.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{AG}).

b. On considère le point \text{P} \left(\frac{4}{7} \: ; \frac{4}{7}\: ; \frac{4}{7}\right). Montrer que \text{P} \in (\text{AG}).

3. a. Démontrer que \overrightarrow{\text{IP}}, \overrightarrow{\text{IJ}} et \overrightarrow{\text{IK}} sont coplanaires.

b. Que peut-on en déduire ?

4. Le plan (\text{ABG}) est un plan diagonal du cube.
Déterminer l'intersection de (\text{ABG}) et (\text{IJK}).

92

[Représenter, Communiquer.]
Soient \text{O} un point de l'espace et \vec{u} un vecteur de l'espace. On considère la translation de vecteur \vec{u} et la symétrie centrale de centre \text{O}.

Partie A

1. Construire l'image \text{A}'\text{B}'\text{C}' du triangle \text{ABC} par la translation de vecteur \vec{u}.

2. Construire l'image \text{A}''\text{B}''\text{C}'' du triangle \text{ABC} par la symétrie centrale de centre \text{O}.

3. a. Démontrer que \text{ACA}''\text{C}'' est un parallélogramme, dont on notera \Omega le centre.

b. Démontrer que \Omega est le milieu des segments [\text{AA}''], [\text{BB}''] et [\text{CC}''].

Partie B

L'espace est rapporté au repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On donne le vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right).
On considère le point \text{M} \left(x \: ; y \: ; z \right) et on note \text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right) son image par la translation t_{\vec{u}} de vecteur \vec{u} et le point \text{M''} \left(x'' \: ; y'' \: ; z'' \right), image de \text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right) par la symétrie centrale de centre \text{O}. On note f la transformation qui, à tout point \text{M}, associe le point \text{M}''.

1. Exprimer x', y' et z' en fonction de x, y et z.

2. En déduire que \left\{\begin{array}{l} x^{\prime \prime}=-x-1 \\ y^{\prime \prime}=-y+2 \\ z^{\prime \prime}=-z-3 \end{array}\right..

3. Déterminer les coordonnées du point \text{I} invariant par f, c'est-à-dire vérifant f(\text{I}) = \text{I}.

4. Démontrer que \text{I} est le milieu de [\text{MM''}].

5. En déduire la nature de f.

95

[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle \text{ABCDEFGH} comme indiqué sur la figure.

Les points \text{I} (8 \: ; 8 \: ; 3 ) et \text{J} (7 \: ; 15 \: ; 3 ) sont placés respectivement sur les segments [\text{FG}] et [\text{GH}].

1. Donner les coordonnées du point \text{C}.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{IJ}} et \overrightarrow{\text{IC}}.

3. Soit \text{K} un point de la droite (\text{EF}). Déterminer les coordonnées de \text{K} pour que les vecteurs \overrightarrow{\text{AK}}, \overrightarrow{\text{IJ}} et \overrightarrow{\text{IC}} soient coplanaires.

4. Soit \text{M} un point de la droite (\text{EH}). Déterminer les coordonnées de \text{M} pour que les vecteurs \overrightarrow{\text{AM}}, \overrightarrow{\text{IJ}} et \overrightarrow{\text{IC}} soient coplanaires.

5. Que peut-on dire des plans (\text{IJC}) et (\text{AMK}) ?

96

[Calculer, Raisonner.]

L'espace est rapporté à un repère (\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On note \text{L}_t un point mobile dont les coordonnées sont :

On note \text{N}_{t'} un point mobile dont les coordonnées sont :

Partie A

1. Déterminer les coordonnées de \text{L}_0, \text{L}_1, \text{N}_0 et \text{N}_1.

2. Les points \text{L}_0, \text{L}_1, \text{N}_0 et \text{N}_1 sont-ils coplanaires ?

3. a. Caractériser l'ensemble des points mobiles \text{L}_t lorsque t décrit \R.
Cet ensemble s'appelle la trajectoire du point mobile.

b. Caractériser l'ensemble des points mobiles \text{N}_{t'} lorsque t' décrit \R.

4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.

Partie B: Méthode analytique

On considère le point \text{P} ( -3 \: ; -1 \: ; 2 ).

1. Justifer que (\text{P} \: ; \overrightarrow{\text{PL}_0} \: , \overrightarrow{\text{PL}_1} ) est un repère du plan (\text{PL}_0\text{L}_1).

2. Démontrer que \text{M} ( x \: ; y \: ; z ) appartient à (\text{PL}_0\text{L}_1) si, et seulement si \left\{\begin{array}{l} x=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ y=-k-2 k^{\prime}-1 \\ z=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{array}\right. avec k \in \R et k' \in \R.

3. a. En déduire que si \text{N}_{t'} appartient à l'intersection de la droite (\text{N}_0\text{N}_1) et du plan (\text{PL}_0\text{L}_1), alors il existe deux réels k et k' tels que :

\left\{\begin{aligned} t^{\prime} &=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ t^{\prime}+1 &=-k-2 k^{\prime}-1 \\ t^{\prime}-3 &=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{aligned}\right.

b. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la droite (\text{N}_0\text{N}_1) et du plan (\text{PL}_0\text{L}_1).

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Fonction vectorielle de Leibniz

Soient n un entier naturel non nul et n points de l'espace notés \text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n. On considère également n réels \alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n.
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} la fonction f qui, à tout point \text{M} de l'espace, associe le vecteur f(\mathrm{M})=\alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{1}}+\ldots+\alpha_{n} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{n}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{k}}.

Question préliminaire : Montrer que, pour tous points \text{M} et \text{N} distincts de l'espace, f(\text{M})-f(\text{N})=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\right) \overrightarrow{\mathrm{MN}}.

Partie A : Cas où \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0

On suppose dans cette partie que \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0.

1. Justifer que f est alors une fonction constante.

2. Applications : Dans cette question, \text{A}, \text{B} et \text{C} sont trois points de l'espace. Soit k un nombre réel. On définit la fonction f_1 qui, à tout point \text{M} de l'espace, associe f_{1}(\mathrm{M})=k^{2} \overrightarrow{\mathrm{MA}}+7 k \overrightarrow{\mathrm{MB}}+10 \overrightarrow{\mathrm{MC}}.
Déterminer une condition suffisante sur k pour que f_1 soit une fonction constante puis exprimer le vecteur f_1(\text{M}).

Partie B : Cas où \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne0

1. a. Justifer que, dans ce cas, f(\mathrm{M})-f(\mathrm{N}) \neq \overrightarrow{0}.

b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont deux images par f distinctes.

2. Soient \Omega un point quelconque de l'espace et \vec{u} un vecteur de l'espace.
Montrer que f(\mathrm{M})=\vec{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}}(f(\Omega)-\vec{u}).

3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur \vec{u} de l'espace, il existe un unique point \text{M} de l'espace tel que f(\text{M}) = \vec{u}. On dit que f est bijective.

4. Justifer qu'il existe un unique point, noté \text{G}, tel que f( \text{G} ) = \overrightarrow{0}. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}.

98

Barycentre

Dans l'exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul n et la donnée de n réels \alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n vérifiants \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne 0 et de n points de l'espace \text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n, il existe un unique point \text{G} tel que \alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{1}}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{n}}=\overrightarrow{0}. On dit que \text{G} est le barycentre du système de points pondérés \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} et on note \text{G} = \text{bar} \left( \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} \right).

1. a. Montrer que, pour tout point \text{O} de l'espace, \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{OA}_{k}}\right).

b. On considère les trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} ci-dessous.


Placer le point \mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-1),(\mathrm{C} ; 1)\}).

2. Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points de l'espace. On souhaite déterminer l'ensemble des points \text{M} de l'espace tels que \|2 \overrightarrow{\mathrm{MA}}-2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{MC}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\|.

a. Soient \mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-2),(\mathrm{C} ; 3)\}) et \mathrm{K}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\}). Justifer qu'on doit avoir \text{MG} = \text{MK}.

b. Répondre à la question posée en raisonnant selon que \text{G} = \text{K} ou \text{G} \ne \text{K}.

3. Soient \text{A} et \text{B} deux points de l'espace. Montrer que \text{G} est le milieu de [\text{AB}] si, et seulement si, pour tout nombre réel non nul \alpha, \mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; \alpha),(\mathrm{B} ; \alpha)\}).

4. Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points de l'espace et \alpha_1, \alpha_2 et \alpha_3 trois réels tels que \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0 et \alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0.

a. Démontrer que, si \mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right) et que \mathrm{H}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right), alors \mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{H} ; \alpha_{2}+\alpha_{3}\right)\right\}\right) (associativité du barycentre).

b. Application : Soit \text{ABC} un triangle. On note respectivement \text{A}', \text{B}' et \text{C}' les milieux de [\text{BC}], [\text{AC}] et [\text{AB}]. Soit \text{G} le centre de gravité de \text{ABC}. On a donc \mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\}).

i. En utilisant l'associativité du barycentre, exprimer \text{A}' comme un barycentre de \text{B} et \text{C} et en déduire que \text{G} \in ( \text{AA}').
De même, on montre que \text{G} \in ( \text{BB}') et \text{G} \in ( \text{CC}').

ii. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.

Méthode

Voici quelques éléments à prendre en compte pour bien cadrer votre sujet.

❯ Les deux sujets que vous présentez au jury doivent porter sur les deux enseignements de spécialité, étudiés séparément ou de manière transversale. Préférez-vous travailler sur un sujet transversal, ou vous sentez-vous plus à l'aise avec un sujet centré sur une seule matière ?

❯ Une fois votre sujet trouvé (

p. 53

), il est important de bien le circonscrire.

❯ Découpez votre sujet en sous-thématiques, cela vous aidera à mieux l'appréhender. En effet, plusieurs sous-thématiques peuvent émerger à partir d'un même sujet.

❯ Choisissez ensuite celle qui vous paraît la plus intéressante.

Cadrer un sujet en lien avec ce chapitre

❯ Vous pouvez choisir de traiter ce sujet sur les barycentres d'un point vue purement mathématiques ou bien de faire le lien avec la physique en abordant le centre de masse.

❯ Voici des exemples de thématiques sur ce sujet :

• La définition vectorielle du centre de gravité d'un triangle.
• La définition vectorielle du barycentre d'un système de n points pondérés dans le plan et dans l'espace.
• Le lien entre le centre de gravité d'un triangle et le barycentre d'un système de n points pondérés par les mêmes coeffcients.

❯ Exercices du manuel en lien avec ce sujet :

• 89
  p. 80 utilisant le centre de gravité d'un triangle.
• Exercice d'approfondissement
  98
  p. 82.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14