Mathématiques Spécialité Terminale

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Synthèse
P.80-83




Synthèse





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[Calculer, Représenter.]
Soient , , et quatre points de l’espace non coplanaires. On note , , et les milieux respectifs de , , et . On note le milieu de et le centre de gravité du triangle défini par .
Synthèse

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points , et sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle
1. Démontrer que .


2. En déduire que .


3. a. Démontrer que .


b. Démontrer que .


c. En déduire l'alignement des points , et .


Partie B: Méthode analytique
L'espace est rapporté au repère .

1. Lire les coordonnées des points , , et .


2. a. Calculer les coordonnées des points , , et .


b. En déduire les coordonnées de .


3. a. Déterminer les coordonnées du point .


b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


c. Démontrer que appartient à .

90
[Calculer, Raisonner.]
Changement de repère
L'espace est rapporté à un repère .
On note le point de coordonnées et les coordonnées d’un point dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur dans la base en fonction de , et .


2. a. Justifer que est un repère de l’espace.


b. On note les coordonnées de dans le repère .
Exprimer , et en fonction de , et .


3. Application :
a. On considère le point dans le repère . Déterminer les coordonnées de dans le repère .


b. On considère le point dans le repère . Déterminer les coordonnées de dans le repère .


91
[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube et les points suivants : est le milieu de ; est tel que et est le milieu de .
Synthèse

Partie A
1. Reproduire le cube et placer les points , et .

Dessinez ici

2. a. Justifer que les droites et sont sécantes en un point .


b. Construire le point .

3. Construire l’intersection des plans et .

4. Construire la trace de la section du cube par le plan .

Partie B
Dans cette partie, l’espace est rapporté au repère .
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points , , , , , , et .

1. Déterminer les coordonnées des points , et .


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


b. On considère le point . Montrer que .


3. a. Démontrer que , et sont coplanaires.


b. Que peut-on en déduire ?


4. Le plan est un plan diagonal du cube.
Déterminer l’intersection de et .

92
[Représenter, Communiquer.]
Soient un point de l’espace et un vecteur de l’espace. On considère la translation de vecteur et la symétrie centrale de centre .
Reproduire la figure ci-dessous.

Synthèse

Dessinez ici

Partie A
1. Construire l’image du triangle par la translation de vecteur .

2. Construire l’image du triangle par la symétrie centrale de centre .

3. a. Démontrer que est un parallélogramme, dont on notera le centre.


b. Démontrer que est le milieu des segments , et .


Partie B
L’espace est rapporté au repère .
On donne le vecteur .
On considère le point et on note son image par la translation de vecteur et le point , image de par la symétrie centrale de centre . On note la transformation qui, à tout point , associe le point .

1. Exprimer , et en fonction de , et .


2. En déduire que .


3. Déterminer les coordonnées du point invariant par , c’est-à-dire vérifant .


4. Démontrer que est le milieu de .


5. En déduire la nature de .

93
[Chercher, Raisonner.]
On considère un tétraèdre et les points suivants : défini par , défini par et défini par .
On note le point d’intersection des droites et .
L'espace est rapporté au repère .

1. Déterminer les coordonnées des points , et .


2. a. Déterminer une représentation paramétrique des droites et .


b. Démontrer que a pour coordonnées .


3. Démontrer que les droites et sont parallèles.


4. Soit le point de l’espace tel que est un parallélogramme. Démontrer que les plans et sont parallèles.

94
VRAI/FAUX
[Raisonner, Communiquer.]
L'espace est rapporté au repère .
On considère les points , , et .
On donne des représentations paramétriques des droites et :
et .
Pour chacune des cinq affrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifant la réponse.

1. Les droites et sont parallèles.


2. La droite est parallèle au plan .


3. est l’image de par la translation de vecteur .


4. est un repère de l'espace.


5. Les droites et sont coplanaires.

95
[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère .
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle comme indiqué sur la figure.

Synthèse

Les points et sont placés respectivement sur les segments et .

1. Donner les coordonnées du point .


2. Calculer les coordonnées des vecteurs et .


3. Soit un point de la droite . Déterminer les coordonnées de pour que les vecteurs , et soient coplanaires.


4. Soit un point de la droite . Déterminer les coordonnées de pour que les vecteurs , et soient coplanaires.


5. Que peut-on dire des plans et ?

96
[Calculer, Raisonner.]
L'espace est rapporté à un repère .
On note un point mobile dont les coordonnées sont :

On note un point mobile dont les coordonnées sont :

Partie A
1. Déterminer les coordonnées de , , et .


2. Les points , , et sont-ils coplanaires ?


3. a. Caractériser l’ensemble des points mobiles lorsque décrit .
Cet ensemble s’appelle la trajectoire du point mobile.


b. Caractériser l’ensemble des points mobiles lorsque décrit .


4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.


Partie B: Méthode analytique
On considère le point .

1. Justifer que est un repère du plan .


2. Démontrer que appartient à si, et seulement si avec et .


3. a. En déduire que si appartient à l’intersection de la droite et du plan , alors il existe deux réels et tels que :


b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan