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P.80-83

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89
[Calculer, Représenter.]
Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points de l’espace non coplanaires. On note I\text{I}, J\text{J}, K\text{K} et L\text{L} les milieux respectifs de [AB][\text{AB}], [BC][\text{BC}], [CD][\text{CD}] et [AD][\text{AD}]. On note G\text{G} le milieu de [IK][\text{IK}] et Ω\Omega le centre de gravité du triangle BCD\text{BCD} défini par ΩB=23KB\overrightarrow{\Omega \text{B}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{KB}}.
Synthèse

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points Ω\Omega, G\text{G} et A\text{A} sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle
1. Démontrer que AC+AD=2AK\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AK}}.


2. En déduire que AB+AC+AD=4AG\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AG}}.


3. a. Démontrer que ΩA=13DC+23CB+BA\overrightarrow{\Omega \text{A}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}.


b. Démontrer que ΩA=13AB13AC13AD\overrightarrow{\Omega \text{A}}=-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.


c. En déduire l'alignement des points Ω\Omega, G\text{G} et A\text{A}.


Partie B: Méthode analytique
L'espace est rapporté au repère (B;BC,BD,BA)(\text{B} \: ; \overrightarrow{\text{BC}} \: , \overrightarrow{\text{BD}} \: , \overrightarrow{\text{BA}} ).

1. Lire les coordonnées des points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D}.


2. a. Calculer les coordonnées des points I\text{I}, J\text{J}, K\text{K} et L\text{L}.


b. En déduire les coordonnées de G\text{G}.


3. a. Déterminer les coordonnées du point Ω\Omega.


b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG)(\text{AG}).


c. Démontrer que Ω\Omega appartient à (AG)(\text{AG}).
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90
[Calculer, Raisonner.]
Changement de repère
L'espace est rapporté à un repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On note A\text{A} le point de coordonnées (1;1;2)(1 \: ; -1 \: ; 2) et (x;y;z)(x \: ; y \: ; z) les coordonnées d’un point M\text{M} dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur AM\overrightarrow{\text{AM}} dans la base (i,j,k)(\overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) en fonction de xx, yy et zz.


2. a. Justifer que (A;i,j,k)(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) est un repère de l’espace.


b. On note (X;Y;Z)(\text{X} \: ; \text{Y} \: ; \text{Z} ) les coordonnées de M\text{M} dans le repère (A;i,j,k)(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
Exprimer X\text{X}, Y\text{Y} et Z\text{Z} en fonction de xx, yy et zz.


3. Application :
a. On considère le point B(1;2;3)\text{B} (-1 \: ; 2 \: ; 3) dans le repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ). Déterminer les coordonnées de B\text{B} dans le repère (A;i,j,k)(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).


b. On considère le point C(2;7;10)\text{C} (-2 \: ; 7 \: ; 10) dans le repère (A;i,j,k)(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ). Déterminer les coordonnées de C\text{C} dans le repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).

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91
[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} et les points suivants : I\text{I} est le milieu de [GH][\text{GH}] ; J\text{J} est tel que HJ=34HD\overrightarrow{\mathrm{HJ}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{HD}} et K\text{K} est le milieu de [FB][\text{FB}].
Synthèse

Partie A
1. Reproduire le cube et placer les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. a. Justifer que les droites (IJ)(\text{IJ}) et (CG)(\text{CG}) sont sécantes en un point L\text{L}.


b. Construire le point L\text{L}.

3. Construire l’intersection des plans (IJK)(\text{IJK}) et (BCG)(\text{BCG}).

4. Construire la trace de la section du cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} par le plan (IJK)(\text{IJK}).

Partie B
Dans cette partie, l’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE)(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ).
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C}, D\text{D}, E\text{E}, F\text{F}, G\text{G} et H\text{H}.

1. Déterminer les coordonnées des points I\text{I},J \text{J} et K\text{K}.


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG)(\text{AG}).


b. On considère le point P(47;47;47)\text{P} \left(\dfrac{4}{7} \: ; \dfrac{4}{7}\: ; \dfrac{4}{7}\right). Montrer que P(AG)\text{P} \in (\text{AG}).


3. a. Démontrer que IP\overrightarrow{\text{IP}}, IJ\overrightarrow{\text{IJ}} et IK\overrightarrow{\text{IK}} sont coplanaires.


b. Que peut-on en déduire ?


4. Le plan (ABG)(\text{ABG}) est un plan diagonal du cube.
Déterminer l’intersection de (ABG)(\text{ABG}) et (IJK)(\text{IJK}).
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92
[Représenter, Communiquer.]
Soient O\text{O} un point de l’espace et u\overrightarrow{u} un vecteur de l’espace. On considère la translation de vecteur u\overrightarrow{u} et la symétrie centrale de centre O\text{O}.
Reproduire la figure ci-dessous.

Synthèse

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Partie A
1. Construire l’image ABC\text{A}'\text{B}'\text{C}' du triangle ABC\text{ABC} par la translation de vecteur u\overrightarrow{u}.

2. Construire l’image ABC\text{A}''\text{B}''\text{C}'' du triangle ABC\text{ABC} par la symétrie centrale de centre O\text{O}.

3. a. Démontrer que ACAC\text{ACA}''\text{C}'' est un parallélogramme, dont on notera Ω\Omega le centre.


b. Démontrer que Ω\Omega est le milieu des segments [AA][\text{AA}''], [BB][\text{BB}''] et [CC][\text{CC}''].


Partie B
L’espace est rapporté au repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On donne le vecteur u(123) \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right).
On considère le point M(x;y;z)\text{M} \left(x \: ; y \: ; z \right) et on note M’(x;y;z)\text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right) son image par la translation tut_{\overrightarrow{u}} de vecteur u\overrightarrow{u} et le point M”(x;y;z)\text{M''} \left(x'' \: ; y'' \: ; z'' \right), image de M’(x;y;z)\text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right) par la symétrie centrale de centre O\text{O}. On note ff la transformation qui, à tout point M\text{M}, associe le point M\text{M}''.

1. Exprimer xx', yy' et zz' en fonction de xx, yy et zz.


2. En déduire que {x=x1y=y+2z=z3\left\{\begin{array}{l} x^{\prime \prime}=-x-1 \\ y^{\prime \prime}=-y+2 \\ z^{\prime \prime}=-z-3 \end{array}\right..


3. Déterminer les coordonnées du point I\text{I} invariant par ff, c’est-à-dire vérifant f(I)=If(\text{I}) = \text{I}.


4. Démontrer que I\text{I} est le milieu de [MM”][\text{MM''}].


5. En déduire la nature de ff.
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93
[Chercher, Raisonner.]
On considère un tétraèdre ABCD\text{ABCD} et les points suivants : R\text{R} défini par AR=23AD\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}, S\text{S} défini par BS=13BD\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BD}} et T\text{T} défini par BT=13CB\overrightarrow{\mathrm{BT}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
On note I\text{I} le point d’intersection des droites (RS)(\text{RS}) et (AB)(\text{AB}).
L'espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD)(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AC}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} ).

1. Déterminer les coordonnées des points R\text{R}, S\text{S} et T\text{T}.


2. a. Déterminer une représentation paramétrique des droites (RS)(\text{RS}) et (AB)(\text{AB}).


b. Démontrer que I\text{I} a pour coordonnées (43;0;0)\left( \dfrac{4}{3} \: ; 0 \: ; 0 \right).


3. Démontrer que les droites (TI)(\text{TI}) et (AC)(\text{AC}) sont parallèles.


4. Soit P\text{P} le point de l’espace tel que DATP\text{DATP} est un parallélogramme. Démontrer que les plans (ADC)(\text{ADC}) et (PIT)(\text{PIT}) sont parallèles.
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94
VRAI/FAUX
[Raisonner, Communiquer.]
L'espace est rapporté au repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On considère les points A(1;2;1)\text{A} (1 \: ; 2 \: ; -1 ), B(2;1;3)\text{B} (2 \: ; -1 \: ; 3 ), C(2;1;1)\text{C} (2 \: ; -1 \: ; 1 ) et D(3;1;1)\text{D} (3 \: ; -1 \: ; 1 ).
On donne des représentations paramétriques des droites dd et dd' :
d:{x=2t+2y=6t1(tR)z=8t+3d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+2 \\ y=-6 t-1(t \in \mathbb{R}) \\ z=8 t+3 \end{array}\right. et d:{x=t+1y=3t+2(tR)z=6t3d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-3 t^{\prime}+2\left(t^{\prime} \in \R\right) \\ z=6 t^{\prime}-3 \end{array}\right..
Pour chacune des cinq affrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifant la réponse.

1. Les droites dd et (AB)(\text{AB}) sont parallèles.


2. La droite dd' est parallèle au plan (ABC)(\text{ABC}).


3. D\text{D} est l’image de C\text{C} par la translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}}.


4. (A;AB,AC,AD)(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AC}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} ) est un repère de l'espace.


5. Les droites dd et (AB)(\text{AB}) sont coplanaires.
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95
[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère (A;i,j,k)(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} comme indiqué sur la figure.

Synthèse

Les points I(8;8;3)\text{I} (8 \: ; 8 \: ; 3 ) et J(7;15;3)\text{J} (7 \: ; 15 \: ; 3 ) sont placés respectivement sur les segments [FG][\text{FG}] et [GH][\text{GH}].

1. Donner les coordonnées du point C\text{C}.


2. Calculer les coordonnées des vecteurs IJ\overrightarrow{\text{IJ}} et IC\overrightarrow{\text{IC}}.


3. Soit K\text{K} un point de la droite (EF)(\text{EF}). Déterminer les coordonnées de K\text{K} pour que les vecteurs AK\overrightarrow{\text{AK}}, IJ\overrightarrow{\text{IJ}} et IC\overrightarrow{\text{IC}} soient coplanaires.


4. Soit M\text{M} un point de la droite (EH)(\text{EH}). Déterminer les coordonnées de M\text{M} pour que les vecteurs AM\overrightarrow{\text{AM}}, IJ\overrightarrow{\text{IJ}} et IC\overrightarrow{\text{IC}} soient coplanaires.


5. Que peut-on dire des plans (IJC)(\text{IJC}) et (AMK)(\text{AMK}) ?
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96
[Calculer, Raisonner.]
L'espace est rapporté à un repère (O;i,j,k)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ).
On note Lt\text{L}_t un point mobile dont les coordonnées sont :
{x=2t+1y=t3 avec tR.z=t+4\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=t-3 \text { avec } t \in \R. \\ z=t+4 \end{array}\right.

On note Nt\text{N}_{t'} un point mobile dont les coordonnées sont :
{x=ty=t+1 avec tR.z=t3\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime}+1 \text { avec } t^{\prime} \in \mathbb{R}. \\ z=t^{\prime}-3 \end{array}\right.

Partie A
1. Déterminer les coordonnées de L0\text{L}_0, L1\text{L}_1, N0\text{N}_0 et N1\text{N}_1.


2. Les points L0\text{L}_0, L1\text{L}_1, N0\text{N}_0 et N1\text{N}_1 sont-ils coplanaires ?


3. a. Caractériser l’ensemble des points mobiles Lt\text{L}_t lorsque tt décrit R\R.
Cet ensemble s’appelle la trajectoire du point mobile.


b. Caractériser l’ensemble des points mobiles Nt\text{N}_{t'} lorsque tt' décrit R\R.


4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.


Partie B: Méthode analytique
On considère le point P(3;1;2)\text{P} ( -3 \: ; -1 \: ; 2 ).

1. Justifer que (P;PL0,PL1)(\text{P} \: ; \overrightarrow{\text{PL}_0} \: , \overrightarrow{\text{PL}_1} ) est un repère du plan (PL0L1)(\text{PL}_0\text{L}_1).


2. Démontrer que M(x;y;z)\text{M} ( x \: ; y \: ; z ) appartient à (PL0L1)(\text{PL}_0\text{L}_1) si, et seulement si {x=6k+4k3y=k2k1z=3k+2k+2\left\{\begin{array}{l} x=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ y=-k-2 k^{\prime}-1 \\ z=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{array}\right. avec kRk \in \R et kRk' \in \R.


3. a. En déduire que si Nt\text{N}_{t'} appartient à l’intersection de la droite (N0N1)(\text{N}_0\text{N}_1) et du plan (PL0L1)(\text{PL}_0\text{L}_1), alors il existe deux réels kk et kk' tels que :
{t=6k+4k3t+1=k2k1t3=3k+2k+2\left\{\begin{aligned} t^{\prime} &=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ t^{\prime}+1 &=-k-2 k^{\prime}-1 \\ t^{\prime}-3 &=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{aligned}\right.


b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la droite (N0N1)(\text{N}_0\text{N}_1) et du plan (PL0L1)(\text{PL}_0\text{L}_1).

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97
APPROFONDISSEMENT

Fonction vectorielle de Leibniz

Soient nn un entier naturel non nul et nn points de l’espace notés A1;;An\text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n. On considère également nn réels α1;;αn\alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n.
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés {(A1;α1),,(An;αn)}\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} la fonction ff qui, à tout point M\text{M} de l’espace, associe le vecteur f(M)=α1MA1++αnMAn=k=1nαkMAkf(\mathrm{M})=\alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{1}}+\ldots+\alpha_{n} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{n}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{k}}.

Question préliminaire : Montrer que, pour tous points M\text{M} et N\text{N} distincts de l’espace, f(M)f(N)=(k=1nαk)MNf(\text{M})-f(\text{N})=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\right) \overrightarrow{\mathrm{MN}}.


Partie A : Cas où k=1nαk=0\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0
On suppose dans cette partie que k=1nαk=0\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0.

1. Justifer que ff est alors une fonction constante.


2. Applications : Dans cette question, A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont trois points de l’espace. Soit kk un nombre réel. On définit la fonction f1f_1 qui, à tout point M\text{M} de l’espace, associe f1(M)=k2MA+7kMB+10MC f_{1}(\mathrm{M})=k^{2} \overrightarrow{\mathrm{MA}}+7 k \overrightarrow{\mathrm{MB}}+10 \overrightarrow{\mathrm{MC}}.
Déterminer une condition suffisante sur kk pour que f1f_1 soit une fonction constante puis exprimer le vecteur f1(M)f_1(\text{M}).


Partie B : Cas où k=1nαk0\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne0
1. a. Justifer que, dans ce cas, f(M)f(N)0f(\mathrm{M})-f(\mathrm{N}) \neq \overrightarrow{0}.


b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont deux images par ff distinctes.


2. Soient Ω\Omega un point quelconque de l’espace et u\overrightarrow{u} un vecteur de l’espace.
Montrer que f(M)=uΩM=1k=1nαk(f(Ω)u)f(\mathrm{M})=\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}}(f(\Omega)-\overrightarrow{u}).


3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur u\overrightarrow{u} de l’espace, il existe un unique point M\text{M} de l’espace tel que f(M)=uf(\text{M}) = \overrightarrow{u}. On dit que ff est bijective.


4. Justifer qu’il existe un unique point, noté G\text{G}, tel que f(G)=0f( \text{G} ) = \overrightarrow{0}. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés {(A1;α1),,(An;αn)}\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}.
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98
APPROFONDISSEMENT

Barycentre
Dans l’exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul nn et la donnée de nn réels α1;;αn\alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n vérifiants k=1nαk0\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne 0 et de nn points de l’espace A1;;An\text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n, il existe un unique point G\text{G} tel que α1GA1++anGAn=0\alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{1}}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{n}}=\overrightarrow{0}. On dit que G\text{G} est le barycentre du système de points pondérés {(A1;α1),,(An;αn)}\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} et on note G=bar({(A1;α1),,(An;αn)})\text{G} = \text{bar} \left( \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} \right).

1. a. Montrer que, pour tout point O\text{O} de l’espace, OG=1k=1nak(k=1nαkOAk)\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{OA}_{k}}\right).


b. On considère les trois points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} ci-dessous.
Synthèse
Placer le point G=bar({(A;2),(B;1),(C;1)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-1),(\mathrm{C} ; 1)\}).

2. Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points de l’espace. On souhaite déterminer l’ensemble des points M\text{M} de l’espace tels que 2MA2MB+3MC=MA+MB+MC\|2 \overrightarrow{\mathrm{MA}}-2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{MC}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\|.

a. Soient G=bar({(A;2),(B;2),(C;3)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-2),(\mathrm{C} ; 3)\}) et K=bar({(A;1),(B;1),(C;1)})\mathrm{K}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\}). Justifer qu’on doit avoir MG=MK\text{MG} = \text{MK}.


b. Répondre à la question posée en raisonnant selon que G=K\text{G} = \text{K} ou GK\text{G} \ne \text{K}.


3. Soient A\text{A} et B\text{B} deux points de l’espace. Montrer que G\text{G} est le milieu de [AB][\text{AB}] si, et seulement si, pour tout nombre réel non nul α\alpha, G=bar({(A;α),(B;α)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; \alpha),(\mathrm{B} ; \alpha)\}).


4. Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points de l’espace et α1\alpha_1, α2\alpha_2 et α3\alpha_3 trois réels tels que α1+α2+α30 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0 et α2+α30\alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0.

a. Démontrer que, si G=bar({(A;α1);(B;α2);(C;α3)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right) et que H=bar({(B;α2);(C;α3)})\mathrm{H}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right), alors G=bar({(A;α1);(H;α2+α3)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{H} ; \alpha_{2}+\alpha_{3}\right)\right\}\right) (associativité du barycentre).


b. Application : Soit ABC\text{ABC} un triangle. On note respectivement A\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les milieux de [BC][\text{BC}], [AC][\text{AC}] et [AB][\text{AB}]. Soit G\text{G} le centre de gravité de ABC\text{ABC}. On a donc G=bar({(A;1),(B;1),(C;1)})\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\}).

i. En utilisant l’associativité du barycentre, exprimer A\text{A}' comme un barycentre de B\text{B} et C\text{C} et en déduire que G(AA)\text{G} \in ( \text{AA}').
De même, on montre que G(BB)\text{G} \in ( \text{BB}') et G(CC)\text{G} \in ( \text{CC}').


ii. Montrer que AG=23AA\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices transversaux
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Le Grand Oral

Bien cadrer votre sujet

Exemple de sujet : Généraliser la notion de centre de gravité d’un triangle : les barycentres.


Méthode

Voici quelques éléments à prendre en compte pour bien cadrer votre sujet.

Les deux sujets que vous présentez au jury doivent porter sur les deux enseignements de spécialité, étudiés séparément ou de manière transversale. Préférez-vous travailler sur un sujet transversal, ou vous sentez-vous plus à l’aise avec un sujet centré sur une seule matière ?

Une fois votre sujet trouvé (p. 53), il est important de bien le circonscrire.

Découpez votre sujet en sous-thématiques, cela vous aidera à mieux l’appréhender. En effet, plusieurs sous-thématiques peuvent émerger à partir d’un même sujet.

Choisissez ensuite celle qui vous paraît la plus intéressante.

Cadrer un sujet en lien avec ce chapitre

Vous pouvez choisir de traiter ce sujet sur les barycentres d’un point vue purement mathématiques ou bien de faire le lien avec la physique en abordant le centre de masse.

Voici des exemples de thématiques sur ce sujet :
  • La définition vectorielle du centre de gravité d’un triangle.
  • La définition vectorielle du barycentre d’un système de nn points pondérés dans le plan et dans l’espace.
  • Le lien entre le centre de gravité d’un triangle et le barycentre d’un système de nn points pondérés par les mêmes coeffcients.


Exercices du manuel en lien avec ce sujet :
  • p. 80 utilisant le centre de gravité d’un triangle.
  • Exercice d’approfondissement p. 82.


Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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