[Calculer, Représenter.]
Soient A, B, C et D quatre points de l’espace non coplanaires.
On note I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [AD]. On note G le milieu de [IK] et Ω le centre de gravité du triangle BCD défini par ΩB=32KB.
On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points Ω, G et A sont alignés.
Partie A : Méthode vectorielle 1. Démontrer que AC+AD=2AK.
2. En déduire que AB+AC+AD=4AG.
3. a. Démontrer que ΩA=31DC+32CB+BA.
b. Démontrer que ΩA=−31AB−31AC−31AD.
c. En déduire l'alignement des points Ω, G et A.
Partie B: Méthode analytique
L'espace est rapporté au repère (B;BC,BD,BA).
1. Lire les coordonnées des points A, B, C et D.
2. a. Calculer les coordonnées des points I, J, K et L.
b. En déduire les coordonnées de G.
3. a. Déterminer les coordonnées du point Ω.
b. Déterminer une représentation paramétrique de la
droite (AG).
c. Démontrer que Ω appartient à (AG).
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90
[Calculer, Raisonner.] Changement de repère
L'espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
On note A le point de coordonnées (1;−1;2) et (x;y;z) les coordonnées d’un point M dans ce repère.
1. Exprimer le vecteur AM dans la base (i,j,k) en fonction de x, y et z.
2.a. Justifer que (A;i,j,k) est un repère de l’espace.
b. On note (X;Y;Z) les coordonnées de M dans le repère (A;i,j,k).
Exprimer X, Y et Z en fonction de x, y et z.
3. Application : a. On considère le point B(−1;2;3) dans le repère (O;i,j,k). Déterminer les coordonnées de B dans le repère (A;i,j,k).
b. On considère le point C(−2;7;10) dans le repère (A;i,j,k). Déterminer les coordonnées de C dans le repère (O;i,j,k).
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91
[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube ABCDEFGH et les points suivants : I est le milieu de [GH] ; J est tel que HJ=43HD et K est le milieu de [FB].
Partie A 1. Reproduire le cube et placer les points I, J et K.
Dessinez ici
2. a. Justifer que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
b. Construire le point L.
3. Construire l’intersection des plans (IJK) et (BCG).
4. Construire la trace de la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
Partie B
Dans cette partie, l’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE).
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H.
1. Déterminer les coordonnées des points I,J et K.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
b. On considère le point P(74;74;74). Montrer que P∈(AG).
3. a. Démontrer que IP, IJ et IK sont coplanaires.
b. Que peut-on en déduire ?
4. Le plan (ABG) est un plan diagonal du cube.
Déterminer l’intersection de (ABG) et (IJK).
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92
[Représenter, Communiquer.]
Soient O un point de l’espace et u un vecteur de l’espace. On considère la translation de vecteur u et la symétrie centrale de centre O.
Reproduire la figure ci-dessous.
Dessinez ici
Partie A 1. Construire l’image A′B′C′ du triangle ABC par la translation de vecteur u.
2. Construire l’image A′′B′′C′′ du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O.
3. a. Démontrer que ACA′′C′′ est un parallélogramme, dont on notera Ω le centre.
b. Démontrer que Ω est le milieu des segments [AA′′], [BB′′] et [CC′′].
Partie B
L’espace est rapporté au repère (O;i,j,k).
On donne le vecteur u⎝⎛1−23⎠⎞.
On considère le point M(x;y;z) et on note M’(x′;y′;z′) son image par la translation tu de vecteur u et le point M”(x′′;y′′;z′′), image de M’(x′;y′;z′) par la symétrie centrale de centre O.
On note f la transformation qui, à tout point M, associe le point M′′.
1. Exprimer x′, y′ et z′ en fonction de x, y et z.
2. En déduire que ⎩⎪⎨⎪⎧x′′=−x−1y′′=−y+2z′′=−z−3.
3. Déterminer les coordonnées du point I invariant par f, c’est-à-dire vérifant f(I)=I.
4. Démontrer que I est le milieu de [MM”].
5. En déduire la nature de f.
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93
[Chercher, Raisonner.]
On considère un tétraèdre ABCD et les points suivants : R défini par AR=32AD, S défini par BS=31BD et T défini par BT=31CB.
On note I le point d’intersection des droites (RS) et (AB).
L'espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD).
1. Déterminer les coordonnées des points R, S et T.
2.a. Déterminer une représentation paramétrique des droites (RS) et (AB).
b. Démontrer que I a pour coordonnées (34;0;0).
3. Démontrer que les droites (TI) et (AC) sont parallèles.
4. Soit P le point de l’espace tel que DATP est un parallélogramme. Démontrer que les plans (ADC) et (PIT) sont parallèles.
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94
VRAI/FAUX
[Raisonner, Communiquer.]
L'espace est rapporté au repère (O;i,j,k).
On considère les points A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(2;−1;1) et D(3;−1;1).
On donne des représentations paramétriques des droites d et d′ : d:⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+2y=−6t−1(t∈R)z=8t+3 et d′:⎩⎪⎨⎪⎧x=t′+1y=−3t′+2(t′∈R)z=6t′−3.
Pour chacune des cinq affrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifant la réponse.
1. Les droites d et (AB) sont parallèles.
2. La droite d′ est parallèle au plan (ABC).
3.D est l’image de C par la translation de vecteur AB.
4.(A;AB,AC,AD) est un repère de l'espace.
5. Les droites d et (AB) sont coplanaires.
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95
[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère (A;i,j,k).
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle ABCDEFGH comme indiqué sur la figure.
Les points I(8;8;3) et J(7;15;3) sont placés respectivement sur les segments [FG] et [GH].
1. Donner les coordonnées du point C.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs IJ et IC.
3. Soit K un point de la droite (EF). Déterminer les coordonnées de K pour que les vecteurs AK, IJ et IC soient coplanaires.
4. Soit M un point de la droite (EH). Déterminer les coordonnées de M pour que les vecteurs AM, IJ et IC soient coplanaires.
5. Que peut-on dire des plans (IJC) et (AMK) ?
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96
[Calculer, Raisonner.] L'espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
On note Lt un point mobile dont les coordonnées sont :
⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+1y=t−3 avec t∈R.z=t+4
On note Nt′ un point mobile dont les coordonnées sont :
⎩⎪⎨⎪⎧x=t′y=t′+1 avec t′∈R.z=t′−3
Partie A 1. Déterminer les coordonnées de L0, L1, N0 et N1.
2. Les points L0, L1, N0 et N1 sont-ils coplanaires ?
3. a. Caractériser l’ensemble des points mobiles Lt lorsque t décrit R.
Cet ensemble s’appelle la trajectoire du point mobile.
b. Caractériser l’ensemble des points mobiles Nt′ lorsque t′ décrit R.
4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.
Partie B: Méthode analytique
On considère le point P(−3;−1;2).
1. Justifer que (P;PL0,PL1) est un repère du plan (PL0L1).
2. Démontrer que M(x;y;z) appartient à (PL0L1) si, et
seulement si ⎩⎪⎨⎪⎧x=6k+4k′−3y=−k−2k′−1z=3k+2k′+2 avec k∈R et k′∈R.
3. a. En déduire que si Nt′ appartient à l’intersection de la droite (N0N1) et du plan (PL0L1), alors il existe deux
réels k et k′ tels que :
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t′t′+1t′−3=6k+4k′−3=−k−2k′−1=3k+2k′+2
b. En déduire les coordonnées du point d’intersection
de la droite (N0N1) et du plan (PL0L1).
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97
APPROFONDISSEMENT
Fonction vectorielle de Leibniz
Soient n un entier naturel non nul et n points de l’espace notés A1;…;An. On considère également n réels α1;…;αn.
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés{(A1;α1),…,(An;αn)} la fonction f qui, à tout point M de l’espace, associe le vecteur f(M)=α1MA1+…+αnMAn=k=1∑nαkMAk.
Question préliminaire : Montrer que, pour tous points M et N distincts de l’espace, f(M)−f(N)=(k=1∑nαk)MN.
Partie A : Cas où k=1∑nαk=0
On suppose dans cette partie que k=1∑nαk=0.
1. Justifer que f est alors une fonction constante.
2.Applications : Dans cette question, A, B et C sont trois points de l’espace. Soit k un nombre réel. On définit la fonction f1 qui, à tout point M de l’espace, associe f1(M)=k2MA+7kMB+10MC.
Déterminer une condition suffisante sur k pour que f1
soit une fonction constante puis exprimer le vecteur f1(M).
Partie B : Cas où k=1∑nαk=0 1.a. Justifer que, dans ce cas, f(M)−f(N)=0.
b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont
deux images par f distinctes.
2. Soient Ω un point quelconque de l’espace et u un vecteur de l’espace.
Montrer que f(M)=u⇔ΩM=k=1∑nαk1(f(Ω)−u).
3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur u de l’espace, il existe un unique point M de l’espace tel que f(M)=u. On dit que f est bijective.
4. Justifer qu’il existe un unique point, noté G, tel que f(G)=0. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés {(A1;α1),…,(An;αn)}.
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98
APPROFONDISSEMENT
Barycentre
Dans l’exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul n et la donnée de n réels α1;…;αn vérifiants k=1∑nαk=0 et de n points de l’espace A1;…;An, il existe un unique point G tel que α1GA1+…+anGAn=0. On dit que G est le barycentre du système de points pondérés {(A1;α1),…,(An;αn)} et on note G=bar({(A1;α1),…,(An;αn)}).
1. a. Montrer que, pour tout point O de l’espace, OG=k=1∑nak1(k=1∑nαkOAk).
b. On considère les trois points A, B et C ci-dessous.
Placer le point G=bar({(A;2),(B;−1),(C;1)}).
2. Soient A, B et C trois points de l’espace. On souhaite déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que ∥2MA−2MB+3MC∥=∥MA+MB+MC∥.
a. Soient G=bar({(A;2),(B;−2),(C;3)}) et K=bar({(A;1),(B;1),(C;1)}). Justifer qu’on doit avoir MG=MK.
b. Répondre à la question posée en raisonnant selon
que G=K ou G=K.
3. Soient A et B deux points de l’espace. Montrer que G est le milieu de [AB] si, et seulement si, pour tout nombre réel non nul α, G=bar({(A;α),(B;α)}).
4. Soient A, B et C trois points de l’espace et α1, α2 et
α3 trois réels tels que α1+α2+α3=0 et α2+α3=0.
a. Démontrer que, si G=bar({(A;α1);(B;α2);(C;α3)}) et que H=bar({(B;α2);(C;α3)}), alors G=bar({(A;α1);(H;α2+α3)}) (associativité du barycentre).
b. Application : Soit ABC un triangle. On note respectivement A′, B′ et C′ les milieux de [BC], [AC] et [AB]. Soit G le centre de gravité de ABC. On a donc G=bar({(A;1),(B;1),(C;1)}).
i. En utilisant l’associativité du barycentre, exprimer A′ comme un barycentre de B et C et en déduire que G∈(AA′).
De même, on montre que G∈(BB′) et G∈(CC′).
Exemple de sujet : Généraliser la notion de
centre de gravité d’un triangle : les barycentres.
Méthode
Voici quelques éléments à prendre en compte pour bien cadrer votre sujet.
❯ Les deux sujets que vous présentez au jury doivent
porter sur les deux enseignements de spécialité,
étudiés séparément ou de manière transversale.
Préférez-vous travailler sur un sujet transversal, ou
vous sentez-vous plus à l’aise avec un sujet centré sur
une seule matière ?
❯ Une fois votre sujet trouvé (p. 53), il est important de
bien le circonscrire.
❯ Découpez votre sujet en sous-thématiques, cela vous aidera à mieux l’appréhender. En effet, plusieurs sous-thématiques peuvent émerger à partir d’un même sujet.
❯ Choisissez ensuite celle qui vous paraît la plus
intéressante.
Cadrer un sujet en lien avec ce chapitre
❯ Vous pouvez choisir de traiter ce sujet sur les
barycentres d’un point vue purement mathématiques
ou bien de faire le lien avec la physique en abordant
le centre de masse.
❯ Voici des exemples de thématiques sur ce sujet :
La définition vectorielle du centre de gravité d’un
triangle.
La définition vectorielle du barycentre d’un système
de n points pondérés dans le plan et dans l’espace.
Le lien entre le centre de gravité d’un triangle et le
barycentre d’un système de n points pondérés par
les mêmes coeffcients.