Synthèse

89

[Calculer, Représenter.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points de l’espace non coplanaires. On note $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$ les milieux respectifs de $[\text{AB}]$, $[\text{BC}]$, $[\text{CD}]$ et $[\text{AD}]$. On note $\text{G}$ le milieu de $[\text{IK}]$ et $\Omega$ le centre de gravité du triangle $\text{BCD}$ défini par $\overrightarrow{\Omega \text{B}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{KB}}$.

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points $\Omega$, $\text{G}$ et $\text{A}$ sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle
1. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AK}}$.


2. En déduire que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AG}}$.


3. a. Démontrer que $\overrightarrow{\Omega \text{A}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.


b. Démontrer que $\overrightarrow{\Omega \text{A}}=-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$.


c. En déduire l'alignement des points $\Omega$, $\text{G}$ et $\text{A}$.


Partie B: Méthode analytique
L'espace est rapporté au repère $(\text{B} \: ; \overrightarrow{\text{BC}} \: , \overrightarrow{\text{BD}} \: , \overrightarrow{\text{BA}} )$.

1. Lire les coordonnées des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$.


2. a. Calculer les coordonnées des points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$.


b. En déduire les coordonnées de $\text{G}$.


3. a. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$.


b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{AG})$.


c. Démontrer que $\Omega$ appartient à $(\text{AG})$.

90

[Calculer, Raisonner.]
Changement de repère
L'espace est rapporté à un repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
On note $\text{A}$ le point de coordonnées $(1 \: ; -1 \: ; 2)$ et $(x \: ; y \: ; z)$ les coordonnées d’un point $\text{M}$ dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$ dans la base $(\overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.


2. a. Justifer que $(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ est un repère de l’espace.


b. On note $(\text{X} \: ; \text{Y} \: ; \text{Z} )$ les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
Exprimer $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

3. Application :
a. On considère le point $\text{B} (-1 \: ; 2 \: ; 3)$ dans le repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$. Déterminer les coordonnées de $\text{B}$ dans le repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.

b. On considère le point $\text{C} (-2 \: ; 7 \: ; 10)$ dans le repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$. Déterminer les coordonnées de $\text{C}$ dans le repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.

91

[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ et les points suivants : $\text{I}$ est le milieu de $[\text{GH}]$ ; $\text{J}$ est tel que $\overrightarrow{\mathrm{HJ}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{HD}}$ et $\text{K}$ est le milieu de $[\text{FB}]$.

Partie A
1. Reproduire le cube et placer les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$.

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Couleurs

Formes

Dessinez ici

2. a. Justifer que les droites $(\text{IJ})$ et $(\text{CG})$ sont sécantes en un point $\text{L}$.


b. Construire le point $\text{L}$.

3. Construire l’intersection des plans $(\text{IJK})$ et $(\text{BCG})$.

4. Construire la trace de la section du cube $\text{ABCDEFGH}$ par le plan $(\text{IJK})$.

Partie B
Dans cette partie, l’espace est rapporté au repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} )$.
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$,$\text{J}$ et $\text{K}$.


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{AG})$.


b. On considère le point $\text{P} \left(\dfrac{4}{7} \: ; \dfrac{4}{7}\: ; \dfrac{4}{7}\right)$. Montrer que $\text{P} \in (\text{AG})$.


3. a. Démontrer que $\overrightarrow{\text{IP}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$ sont coplanaires.


b. Que peut-on en déduire ?


4. Le plan $(\text{ABG})$ est un plan diagonal du cube.
Déterminer l’intersection de $(\text{ABG})$ et $(\text{IJK})$.

92

[Représenter, Communiquer.]
Soient $\text{O}$ un point de l’espace et $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l’espace. On considère la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ et la symétrie centrale de centre $\text{O}$.
Reproduire la figure ci-dessous.

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Formes

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Partie A
1. Construire l’image $\text{A}'\text{B}'\text{C}'$ du triangle $\text{ABC}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.

2. Construire l’image $\text{A}''\text{B}''\text{C}''$ du triangle $\text{ABC}$ par la symétrie centrale de centre $\text{O}$.

3. a. Démontrer que $\text{ACA}''\text{C}''$ est un parallélogramme, dont on notera $\Omega$ le centre.


b. Démontrer que $\Omega$ est le milieu des segments $[\text{AA}'']$, $[\text{BB}'']$ et $[\text{CC}'']$.


Partie B
L’espace est rapporté au repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
On donne le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$.
On considère le point $\text{M} \left(x \: ; y \: ; z \right)$ et on note $\text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right)$ son image par la translation $t_{\overrightarrow{u}}$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $\text{M''} \left(x'' \: ; y'' \: ; z'' \right)$, image de $\text{M'} \left(x' \: ; y' \: ; z' \right)$ par la symétrie centrale de centre $\text{O}$. On note $f$ la transformation qui, à tout point $\text{M}$, associe le point $\text{M}''$.

1. Exprimer $x'$, $y'$ et $z'$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.


2. En déduire que $\left\{\begin{array}{l} x^{\prime \prime}=-x-1 \\ y^{\prime \prime}=-y+2 \\ z^{\prime \prime}=-z-3 \end{array}\right.$.


3. Déterminer les coordonnées du point $\text{I}$ invariant par $f$, c’est-à-dire vérifant $f(\text{I}) = \text{I}$.


4. Démontrer que $\text{I}$ est le milieu de $[\text{MM''}]$.


5. En déduire la nature de $f$.

93

[Chercher, Raisonner.]
On considère un tétraèdre $\text{ABCD}$ et les points suivants : $\text{R}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$, $\text{S}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BD}}$ et $\text{T}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{BT}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{CB}}$.
On note $\text{I}$ le point d’intersection des droites $(\text{RS})$ et $(\text{AB})$.
L'espace est rapporté au repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AC}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} )$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{R}$, $\text{S}$ et $\text{T}$.


2. a. Déterminer une représentation paramétrique des droites $(\text{RS})$ et $(\text{AB})$.


b. Démontrer que $\text{I}$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{4}{3} \: ; 0 \: ; 0 \right)$.

3. Démontrer que les droites $(\text{TI})$ et $(\text{AC})$ sont parallèles.


4. Soit $\text{P}$ le point de l’espace tel que $\text{DATP}$ est un parallélogramme. Démontrer que les plans $(\text{ADC})$ et $(\text{PIT})$ sont parallèles.

94

[Raisonner, Communiquer.]
L'espace est rapporté au repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
On considère les points $\text{A} (1 \: ; 2 \: ; -1 )$, $\text{B} (2 \: ; -1 \: ; 3 )$, $\text{C} (2 \: ; -1 \: ; 1 )$ et $\text{D} (3 \: ; -1 \: ; 1 )$.
On donne des représentations paramétriques des droites $d$ et $d'$ :
$d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+2 \\ y=-6 t-1(t \in \mathbb{R}) \\ z=8 t+3 \end{array}\right.$ et $d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-3 t^{\prime}+2\left(t^{\prime} \in \R\right) \\ z=6 t^{\prime}-3 \end{array}\right.$.
Pour chacune des cinq affrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifant la réponse.

1. Les droites $d$ et $(\text{AB})$ sont parallèles.


2. La droite $d'$ est parallèle au plan $(\text{ABC})$.


3. $\text{D}$ est l’image de $\text{C}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.


4. $(\text{A} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AC}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} )$ est un repère de l'espace.


5. Les droites $d$ et $(\text{AB})$ sont coplanaires.

95

[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère $(\text{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle $\text{ABCDEFGH}$ comme indiqué sur la figure.

Les points $\text{I} (8 \: ; 8 \: ; 3 )$ et $\text{J} (7 \: ; 15 \: ; 3 )$ sont placés respectivement sur les segments $[\text{FG}]$ et $[\text{GH}]$.

1. Donner les coordonnées du point $\text{C}$.


2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$.


3. Soit $\text{K}$ un point de la droite $(\text{EF})$. Déterminer les coordonnées de $\text{K}$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$ soient coplanaires.


4. Soit $\text{M}$ un point de la droite $(\text{EH})$. Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AM}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$ soient coplanaires.


5. Que peut-on dire des plans $(\text{IJC})$ et $(\text{AMK})$ ?

96

[Calculer, Raisonner.]
L'espace est rapporté à un repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$.
On note $\text{L}_t$ un point mobile dont les coordonnées sont :
$\left\{\begin{array}{l} x=2 t+1 \\ y=t-3 \text { avec } t \in \R. \\ z=t+4 \end{array}\right.$
On note $\text{N}_{t'}$ un point mobile dont les coordonnées sont :
$\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime}+1 \text { avec } t^{\prime} \in \mathbb{R}. \\ z=t^{\prime}-3 \end{array}\right.$
Partie A
1. Déterminer les coordonnées de $\text{L}_0$, $\text{L}_1$, $\text{N}_0$ et $\text{N}_1$.


2. Les points $\text{L}_0$, $\text{L}_1$, $\text{N}_0$ et $\text{N}_1$ sont-ils coplanaires ?


3. a. Caractériser l’ensemble des points mobiles $\text{L}_t$ lorsque $t$ décrit $\R$.
Cet ensemble s’appelle la trajectoire du point mobile.


b. Caractériser l’ensemble des points mobiles $\text{N}_{t'}$ lorsque $t'$ décrit $\R$.


4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.


Partie B: Méthode analytique
On considère le point $\text{P} ( -3 \: ; -1 \: ; 2 )$.

1. Justifer que $(\text{P} \: ; \overrightarrow{\text{PL}_0} \: , \overrightarrow{\text{PL}_1} )$ est un repère du plan $(\text{PL}_0\text{L}_1)$.


2. Démontrer que $\text{M} ( x \: ; y \: ; z )$ appartient à $(\text{PL}_0\text{L}_1)$ si, et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ y=-k-2 k^{\prime}-1 \\ z=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{array}\right.$ avec $k \in \R$ et $k' \in \R$.


3. a. En déduire que si $\text{N}_{t'}$ appartient à l’intersection de la droite $(\text{N}_0\text{N}_1)$ et du plan $(\text{PL}_0\text{L}_1)$, alors il existe deux réels $k$ et $k'$ tels que :
$\left\{\begin{aligned} t^{\prime} &=6 k+4 k^{\prime}-3 \\ t^{\prime}+1 &=-k-2 k^{\prime}-1 \\ t^{\prime}-3 &=3 k+2 k^{\prime}+2 \end{aligned}\right.$

b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la droite $(\text{N}_0\text{N}_1)$ et du plan $(\text{PL}_0\text{L}_1)$.

97

Fonction vectorielle de Leibniz

Soient $n$ un entier naturel non nul et $n$ points de l’espace notés $\text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n$. On considère également $n$ réels $\alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n$.
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés $\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}$ la fonction $f$ qui, à tout point $\text{M}$ de l’espace, associe le vecteur $f(\mathrm{M})=\alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{1}}+\ldots+\alpha_{n} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{n}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{MA}_{k}}$.

Question préliminaire : Montrer que, pour tous points $\text{M}$ et $\text{N}$ distincts de l’espace, $f(\text{M})-f(\text{N})=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\right) \overrightarrow{\mathrm{MN}}$.


Partie A : Cas où $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0$
On suppose dans cette partie que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}=0$.

1. Justifer que $f$ est alors une fonction constante.


2. Applications : Dans cette question, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont trois points de l’espace. Soit $k$ un nombre réel. On définit la fonction $f_1$ qui, à tout point $\text{M}$ de l’espace, associe $f_{1}(\mathrm{M})=k^{2} \overrightarrow{\mathrm{MA}}+7 k \overrightarrow{\mathrm{MB}}+10 \overrightarrow{\mathrm{MC}}$.
Déterminer une condition suffisante sur $k$ pour que $f_1$ soit une fonction constante puis exprimer le vecteur $f_1(\text{M})$.


Partie B : Cas où $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne0$
1. a. Justifer que, dans ce cas, $f(\mathrm{M})-f(\mathrm{N}) \neq \overrightarrow{0}$.


b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont deux images par $f$ distinctes.


2. Soient $\Omega$ un point quelconque de l’espace et $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l’espace.
Montrer que $f(\mathrm{M})=\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}}(f(\Omega)-\overrightarrow{u})$.


3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de l’espace, il existe un unique point $\text{M}$ de l’espace tel que $f(\text{M}) = \overrightarrow{u}$. On dit que $f$ est bijective.


4. Justifer qu’il existe un unique point, noté $\text{G}$, tel que $f( \text{G} ) = \overrightarrow{0}$. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés $\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}$.

98

Barycentre
Dans l’exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul $n$ et la donnée de $n$ réels $\alpha_1 ; \ldots ; \alpha_n$ vérifiants $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \ne 0$ et de $n$ points de l’espace $\text{A}_1 ; \ldots ; \text{A}_n$, il existe un unique point $\text{G}$ tel que $\alpha_{1} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{1}}+\ldots+a_{n} \overrightarrow{\mathrm{GA}_{n}}=\overrightarrow{0}$. On dit que $\text{G}$ est le barycentre du système de points pondérés $\left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\}$ et on note $\text{G} = \text{bar} \left( \left\{\left(\mathrm{A}_{1} ; \alpha_{1}\right), \ldots,\left(\mathrm{A}_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} \right)$.

1. a. Montrer que, pour tout point $\text{O}$ de l’espace, $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \overrightarrow{\mathrm{OA}_{k}}\right)$.


b. On considère les trois points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ ci-dessous.

Placer le point $\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-1),(\mathrm{C} ; 1)\})$.

2. Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points de l’espace. On souhaite déterminer l’ensemble des points $\text{M}$ de l’espace tels que $\|2 \overrightarrow{\mathrm{MA}}-2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{MC}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\|$.

a. Soient $\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 2),(\mathrm{B} ;-2),(\mathrm{C} ; 3)\})$ et $\mathrm{K}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\})$. Justifer qu’on doit avoir $\text{MG} = \text{MK}$.


b. Répondre à la question posée en raisonnant selon que $\text{G} = \text{K}$ ou $\text{G} \ne \text{K}$.


3. Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points de l’espace. Montrer que $\text{G}$ est le milieu de $[\text{AB}]$ si, et seulement si, pour tout nombre réel non nul $\alpha$, $\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; \alpha),(\mathrm{B} ; \alpha)\})$.


4. Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points de l’espace et $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ trois réels tels que $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0$ et $\alpha_{2}+\alpha_{3} \neq 0$.

a. Démontrer que, si $\mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right)$ et que $\mathrm{H}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{B} ; \alpha_{2}\right) ;\left(\mathrm{C} ; \alpha_{3}\right)\right\}\right)$, alors $\mathrm{G}=\operatorname{bar}\left(\left\{\left(\mathrm{A} ; \alpha_{1}\right) ;\left(\mathrm{H} ; \alpha_{2}+\alpha_{3}\right)\right\}\right)$ (associativité du barycentre).


b. Application : Soit $\text{ABC}$ un triangle. On note respectivement $\text{A}'$, $\text{B}'$ et $\text{C}'$ les milieux de $[\text{BC}]$, $[\text{AC}]$ et $[\text{AB}]$. Soit $\text{G}$ le centre de gravité de $\text{ABC}$. On a donc $\mathrm{G}=\operatorname{bar}(\{(\mathrm{A} ; 1),(\mathrm{B} ; 1),(\mathrm{C} ; 1)\})$.

i. En utilisant l’associativité du barycentre, exprimer $\text{A}'$ comme un barycentre de $\text{B}$ et $\text{C}$ et en déduire que $\text{G} \in ( \text{AA}')$.
De même, on montre que $\text{G} \in ( \text{BB}')$ et $\text{G} \in ( \text{CC}')$.


ii. Montrer que $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}$.