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Synthèse
P.80-83




Synthèse





89
[Calculer, Représenter.]
Soient , , et quatre points de l’espace non coplanaires. On note , , et les milieux respectifs de , , et . On note le milieu de et le centre de gravité du triangle défini par .
Synthèse

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points , et sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle
1. Démontrer que .


2. En déduire que .


3. a. Démontrer que .


b. Démontrer que .


c. En déduire l'alignement des points , et .


Partie B: Méthode analytique
L'espace est rapporté au repère .

1. Lire les coordonnées des points , , et .


2. a. Calculer les coordonnées des points , , et .


b. En déduire les coordonnées de .


3. a. Déterminer les coordonnées du point .


b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


c. Démontrer que appartient à .
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90
[Calculer, Raisonner.]
Changement de repère
L'espace est rapporté à un repère .
On note le point de coordonnées et les coordonnées d’un point dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur dans la base en fonction de , et .


2. a. Justifer que est un repère de l’espace.


b. On note les coordonnées de dans le repère .
Exprimer , et en fonction de , et .


3. Application :
a. On considère le point dans le repère . Déterminer les coordonnées de dans le repère .


b. On considère le point dans le repère . Déterminer les coordonnées de dans le repère .

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91
[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube et les points suivants : est le milieu de ; est tel que et est le milieu de .
Synthèse

Partie A
1. Reproduire le cube et placer les points , et .

Dessinez ici

2. a. Justifer que les droites et sont sécantes en un point .


b. Construire le point .

3. Construire l’intersection des plans et .

4. Construire la trace de la section du cube par le plan .

Partie B
Dans cette partie, l’espace est rapporté au repère .
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points , , , , , , et .

1. Déterminer les coordonnées des points , et .


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


b. On considère le point . Montrer que .


3. a. Démontrer que , et sont coplanaires.


b. Que peut-on en déduire ?


4. Le plan est un plan diagonal du cube.
Déterminer l’intersection de et .
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92
[Représenter, Communiquer.]
Soient un point de l’espace et un vecteur de l’espace. On considère la translation de vecteur et la symétrie centrale de centre .
Reproduire la figure ci-dessous.

Synthèse

Dessinez ici

Partie A
1. Construire l’image du triangle par la translation de vecteur .

2. Construire l’image du triangle par la symétrie centrale de centre .

3. a. Démontrer que est un parallélogramme, dont on notera le centre.


b. Démontrer que est le milieu des segments , et .


Partie B
L’espace est rapporté au repère .
On donne le vecteur .
On considère le point et on note son image par la translation de vecteur et le point , image de par la symétrie centrale de centre . On note la transformation qui, à tout point , associe le point .

1. Exprimer , et en fonction de , et .


2. En déduire que .


3. Déterminer les coordonnées du point invariant par , c’est-à-dire vérifant .


4. Démontrer que est le milieu de .


5. En déduire la nature de .
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93
[Chercher, Raisonner.]
On considère un tétraèdre et les points suivants : défini par , défini par et défini par .
On note le point d’intersection des droites et .
L'espace est rapporté au repère .

1. Déterminer les coordonnées des points , et .


2. a. Déterminer une représentation paramétrique des droites et .


b. Démontrer que a pour coordonnées .


3. Démontrer que les droites et sont parallèles.


4. Soit le point de l’espace tel que est un parallélogramme. Démontrer que les plans et sont parallèles.
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94
VRAI/FAUX
[Raisonner, Communiquer.]
L'espace est rapporté au repère .
On considère les points , , et .
On donne des représentations paramétriques des droites et :
et .
Pour chacune des cinq affrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifant la réponse.

1. Les droites et sont parallèles.


2. La droite est parallèle au plan .


3. est l’image de par la translation de vecteur .


4. est un repère de l'espace.


5. Les droites et sont coplanaires.
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95
[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère .
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle comme indiqué sur la figure.

Synthèse

Les points et sont placés respectivement sur les segments et .

1. Donner les coordonnées du point .


2. Calculer les coordonnées des vecteurs et .


3. Soit un point de la droite . Déterminer les coordonnées de pour que les vecteurs , et soient coplanaires.


4. Soit un point de la droite . Déterminer les coordonnées de pour que les vecteurs , et soient coplanaires.


5. Que peut-on dire des plans et ?
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96
[Calculer, Raisonner.]
L'espace est rapporté à un repère .
On note un point mobile dont les coordonnées sont :

On note un point mobile dont les coordonnées sont :

Partie A
1. Déterminer les coordonnées de , , et .


2. Les points , , et sont-ils coplanaires ?


3. a. Caractériser l’ensemble des points mobiles lorsque décrit .
Cet ensemble s’appelle la trajectoire du point mobile.


b. Caractériser l’ensemble des points mobiles lorsque décrit .


4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.


Partie B: Méthode analytique
On considère le point .

1. Justifer que est un repère du plan .


2. Démontrer que appartient à si, et seulement si avec et .


3. a. En déduire que si appartient à l’intersection de la droite et du plan , alors il existe deux réels et tels que :


b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan .

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97
APPROFONDISSEMENT

Fonction vectorielle de Leibniz

Soient un entier naturel non nul et points de l’espace notés . On considère également réels .
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés la fonction qui, à tout point de l’espace, associe le vecteur .

Question préliminaire : Montrer que, pour tous points et distincts de l’espace, .


Partie A : Cas où
On suppose dans cette partie que .

1. Justifer que est alors une fonction constante.


2. Applications : Dans cette question, , et sont trois points de l’espace. Soit un nombre réel. On définit la fonction qui, à tout point de l’espace, associe .
Déterminer une condition suffisante sur pour que soit une fonction constante puis exprimer le vecteur .


Partie B : Cas où
1. a. Justifer que, dans ce cas, .


b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont deux images par distinctes.


2. Soient un point quelconque de l’espace et un vecteur de l’espace.
Montrer que .


3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur de l’espace, il existe un unique point de l’espace tel que . On dit que est bijective.


4. Justifer qu’il existe un unique point, noté , tel que . Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés .
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98
APPROFONDISSEMENT

Barycentre
Dans l’exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul et la donnée de réels vérifiants et de points de l’espace , il existe un unique point tel que . On dit que est le barycentre du système de points pondérés et on note .

1. a. Montrer que, pour tout point de l’espace, .


b. On considère les trois points , et ci-dessous.
Synthèse
Placer le point .

2. Soient , et trois points de l’espace. On souhaite déterminer l’ensemble des points de l’espace tels que .

a. Soient et . Justifer qu’on doit avoir .


b. Répondre à la question posée en raisonnant selon que ou .


3. Soient et deux points de l’espace. Montrer que est le milieu de si, et seulement si, pour tout nombre réel non nul , .


4. Soient , et trois points de l’espace et , et trois réels tels que et .

a. Démontrer que, si et que , alors (associativité du barycentre).


b. Application : Soit un triangle. On note respectivement , et les milieux de , et . Soit le centre de gravité de . On a donc .

i. En utilisant l’associativité du barycentre, exprimer comme un barycentre de et et en déduire que .
De même, on montre que et .


ii. Montrer que .
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices transversaux
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Le Grand Oral

Bien cadrer votre sujet

Exemple de sujet : Généraliser la notion de centre de gravité d’un triangle : les barycentres.


Méthode

Voici quelques éléments à prendre en compte pour bien cadrer votre sujet.

Les deux sujets que vous présentez au jury doivent porter sur les deux enseignements de spécialité, étudiés séparément ou de manière transversale. Préférez-vous travailler sur un sujet transversal, ou vous sentez-vous plus à l’aise avec un sujet centré sur une seule matière ?

Une fois votre sujet trouvé (p. 53), il est important de bien le circonscrire.

Découpez votre sujet en sous-thématiques, cela vous aidera à mieux l’appréhender. En effet, plusieurs sous-thématiques peuvent émerger à partir d’un même sujet.

Choisissez ensuite celle qui vous paraît la plus intéressante.

Cadrer un sujet en lien avec ce chapitre

Vous pouvez choisir de traiter ce sujet sur les barycentres d’un point vue purement mathématiques ou bien de faire le lien avec la physique en abordant le centre de masse.

Voici des exemples de thématiques sur ce sujet :
  • La définition vectorielle du centre de gravité d’un triangle.
  • La définition vectorielle du barycentre d’un système de points pondérés dans le plan et dans l’espace.
  • Le lien entre le centre de gravité d’un triangle et le barycentre d’un système de points pondérés par les mêmes coeffcients.


Exercices du manuel en lien avec ce sujet :
  • p. 80 utilisant le centre de gravité d’un triangle.
  • Exercice d’approfondissement p. 82.


Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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