Exercices de synthèse

89

[Calculer, Représenter.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points de l'espace non coplanaires. On note $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$ les milieux respectifs de $[\text{AB}]$, $[\text{BC}]$, $[\text{CD}]$ et $[\text{AD}]$. On note $\text{G}$ le milieu de $[\text{IK}]$ et $\Omega$ le centre de gravité du triangle $\text{BCD}$ défini par $\overrightarrow{\Omega \text{B}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{B}}$.

On souhaite démontrer par deux méthodes différentes que les points $\Omega$, $\text{G}$ et $\text{A}$ sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle

1. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{K}}$.

2. En déduire que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=4\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}$.

3. a. Démontrer que $\overrightarrow{\Omega \text{A}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}$.

b. Démontrer que $\overrightarrow{\Omega \text{A}}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$.

c. En déduire l'alignement des points $\Omega$, $\text{G}$ et $\text{A}$.

Partie B: Méthode analytique

L'espace est rapporté au repère $(\text{B};\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{BD}},\overrightarrow{\text{BA}})$.

1. Lire les coordonnées des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$.

2. a. Calculer les coordonnées des points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{K}$ et $\text{L}$.

b. En déduire les coordonnées de $\text{G}$.

3. a. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{AG})$.

c. Démontrer que $\Omega$ appartient à $(\text{AG})$.

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[Calculer, Raisonner.]

Changement de repère

L'espace est rapporté à un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On note $\text{A}$ le point de coordonnées $(1;-1;2)$ et $(x;y;z)$ les coordonnées d'un point $\text{M}$ dans ce repère.

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$ dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

2. a. Justifer que $(\text{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est un repère de l'espace.

b. On note $(\text{X};\text{Y};\text{Z})$ les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $(\text{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Exprimer $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

3. Application :
a. On considère le point $\text{B}(-1;2;3)$ dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Déterminer les coordonnées de $\text{B}$ dans le repère $(\text{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

b. On considère le point $\text{C}(-2;7;10)$ dans le repère $(\text{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Déterminer les coordonnées de $\text{C}$ dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

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[Raisonner, Représenter.]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ et les points suivants : $\text{I}$ est le milieu de $[\text{GH}]$ ; $\text{J}$ est tel que $\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{J}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{D}}$ et $\text{K}$ est le milieu de $[\text{FB}]$.

Partie A

1. Reproduire le cube et placer les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$.

2. a. Justifer que les droites $(\text{IJ})$ et $(\text{CG})$ sont sécantes en un point $\text{L}$.

b. Construire le point $\text{L}$.

3. Construire l'intersection des plans $(\text{IJK})$ et $(\text{BCG})$.

4. Construire la trace de la section du cube $\text{ABCDEFGH}$ par le plan $(\text{IJK})$.

Partie B

Dans cette partie, l'espace est rapporté au repère $(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})$.
On pourra utiliser, sans justifcation, les coordonnées des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$,$\text{J}$ et $\text{K}$.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\text{AG})$.

b. On considère le point $\text{P}\left(\frac{4}{7};\frac{4}{7};\frac{4}{7}\right)$. Montrer que $\text{P}\in (\text{AG})$.

3. a. Démontrer que $\overrightarrow{\text{IP}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$ sont coplanaires.

b. Que peut-on en déduire ?

4. Le plan $(\text{ABG})$ est un plan diagonal du cube.
Déterminer l'intersection de $(\text{ABG})$ et $(\text{IJK})$.

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[Représenter, Communiquer.]
Soient $\text{O}$ un point de l'espace et $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace. On considère la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ et la symétrie centrale de centre $\text{O}$.

Partie A

1. Construire l'image ${\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }$ du triangle $\text{ABC}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.

2. Construire l'image ${\text{A}}^{\prime \prime }{\text{B}}^{\prime \prime }{\text{C}}^{\prime \prime }$ du triangle $\text{ABC}$ par la symétrie centrale de centre $\text{O}$.

3. a. Démontrer que ${\text{ACA}}^{\prime \prime }{\text{C}}^{\prime \prime }$ est un parallélogramme, dont on notera $\Omega$ le centre.

b. Démontrer que $\Omega$ est le milieu des segments $[{\text{AA}}^{\prime \prime }]$, $[{\text{BB}}^{\prime \prime }]$ et $[{\text{CC}}^{\prime \prime }]$.

Partie B

L'espace est rapporté au repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On donne le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$.
On considère le point $\text{M}\left(x;y;z\right)$ et on note $\text{M’}\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$ son image par la translation $t_{\overrightarrow{u}}$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $\text{M”}\left(x^{\prime \prime };y^{\prime \prime };z^{\prime \prime }\right)$, image de $\text{M’}\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$ par la symétrie centrale de centre $\text{O}$. On note $f$ la transformation qui, à tout point $\text{M}$, associe le point ${\text{M}}^{\prime \prime }$.

1. Exprimer $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ et $z^{\prime }$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

2. En déduire que $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }=-x-1\\ y^{\prime \prime }=-y+2\\ z^{\prime \prime }=-z-3\end{array}$.

3. Déterminer les coordonnées du point $\text{I}$ invariant par $f$, c'est-à-dire vérifant $f(\text{I})=\text{I}$.

4. Démontrer que $\text{I}$ est le milieu de $[\text{MM”}]$.

5. En déduire la nature de $f$.

95

[Calculer, Représenter.]
L'espace est rapporté au repère $(\text{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
Dans ce repère, on a tracé le parallélépipède rectangle $\text{ABCDEFGH}$ comme indiqué sur la figure.

Les points $\text{I}(8;8;3)$ et $\text{J}(7;15;3)$ sont placés respectivement sur les segments $[\text{FG}]$ et $[\text{GH}]$.

1. Donner les coordonnées du point $\text{C}$.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$.

3. Soit $\text{K}$ un point de la droite $(\text{EF})$. Déterminer les coordonnées de $\text{K}$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$ soient coplanaires.

4. Soit $\text{M}$ un point de la droite $(\text{EH})$. Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AM}}$, $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IC}}$ soient coplanaires.

5. Que peut-on dire des plans $(\text{IJC})$ et $(\text{AMK})$ ?

96

[Calculer, Raisonner.]

L'espace est rapporté à un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On note ${\text{L}}_t$ un point mobile dont les coordonnées sont :

On note ${\text{N}}_{t^{\prime }}$ un point mobile dont les coordonnées sont :

Partie A

1. Déterminer les coordonnées de ${\text{L}}_0$, ${\text{L}}_1$, ${\text{N}}_0$ et ${\text{N}}_1$.

2. Les points ${\text{L}}_0$, ${\text{L}}_1$, ${\text{N}}_0$ et ${\text{N}}_1$ sont-ils coplanaires ?

3. a. Caractériser l'ensemble des points mobiles ${\text{L}}_t$ lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$.
Cet ensemble s'appelle la trajectoire du point mobile.

b. Caractériser l'ensemble des points mobiles ${\text{N}}_{t^{\prime }}$ lorsque $t^{\prime }$ décrit $\mathbb{R}$.

4. Montrer que ces trajectoires ne sont pas coplanaires.

Partie B: Méthode analytique

On considère le point $\text{P}(-3;-1;2)$.

1. Justifer que $(\text{P};\overrightarrow{{\text{PL}}_0},\overrightarrow{{\text{PL}}_1})$ est un repère du plan $({\text{PL}}_0{\text{L}}_1)$.

2. Démontrer que $\text{M}(x;y;z)$ appartient à $({\text{PL}}_0{\text{L}}_1)$ si, et seulement si $\{\begin{array}{l}x=6k+4k^{\prime }-3\\ y=-k-2k^{\prime }-1\\ z=3k+2k^{\prime }+2\end{array}$ avec $k\in \mathbb{R}$ et $k^{\prime }\in \mathbb{R}$.

3. a. En déduire que si ${\text{N}}_{t^{\prime }}$ appartient à l'intersection de la droite $({\text{N}}_0{\text{N}}_1)$ et du plan $({\text{PL}}_0{\text{L}}_1)$, alors il existe deux réels $k$ et $k^{\prime }$ tels que :

$\{\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =6k+4k^{\prime }-3\\ t^{\prime }+1& =-k-2k^{\prime }-1\\ t^{\prime }-3& =3k+2k^{\prime }+2\end{array}$

b. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la droite $({\text{N}}_0{\text{N}}_1)$ et du plan $({\text{PL}}_0{\text{L}}_1)$.

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Fonction vectorielle de Leibniz

Soient $n$ un entier naturel non nul et $n$ points de l'espace notés ${\text{A}}_1;\dots ;{\text{A}}_n$. On considère également $n$ réels ${\alpha }_1;\dots ;{\alpha }_n$.
On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés $\left\{\left({\mathrm{A}}_1;{\alpha }_1\right),\dots ,\left({\mathrm{A}}_n;{\alpha }_n\right)\right\}$ la fonction $f$ qui, à tout point $\text{M}$ de l'espace, associe le vecteur $f(\mathrm{M})={\alpha }_1\overrightarrow{{\mathrm{M}\mathrm{A}}_1}+\dots +{\alpha }_n\overrightarrow{{\mathrm{M}\mathrm{A}}_n}=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overrightarrow{{\mathrm{M}\mathrm{A}}_k}$.

Question préliminaire : Montrer que, pour tous points $\text{M}$ et $\text{N}$ distincts de l'espace, $f(\text{M})-f(\text{N})=\left(\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\right)\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}$.

Partie A : Cas où $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k=0$

On suppose dans cette partie que $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k=0$.

1. Justifer que $f$ est alors une fonction constante.

2. Applications : Dans cette question, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont trois points de l'espace. Soit $k$ un nombre réel. On définit la fonction $f_1$ qui, à tout point $\text{M}$ de l'espace, associe $f_1(\mathrm{M})=k^2\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}+7k\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}+10\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{C}}$.
Déterminer une condition suffisante sur $k$ pour que $f_1$ soit une fonction constante puis exprimer le vecteur $f_1(\text{M})$.

Partie B : Cas où $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\ne 0$

1. a. Justifer que, dans ce cas, $f(\mathrm{M})-f(\mathrm{N})\ne \overrightarrow{0}$.

b. En déduire que, dans ce cas, deux points distincts ont deux images par $f$ distinctes.

2. Soient $\Omega$ un point quelconque de l'espace et $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace.
Montrer que $f(\mathrm{M})=\overrightarrow{u}\iff \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}=\frac{1}{\sum _{k=1}^n{\alpha }_k}(f(\Omega )-\overrightarrow{u})$.

3. Déduire des questions précédentes que, pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de l'espace, il existe un unique point $\text{M}$ de l'espace tel que $f(\text{M})=\overrightarrow{u}$. On dit que $f$ est bijective.

4. Justifer qu'il existe un unique point, noté $\text{G}$, tel que $f(\text{G})=\overrightarrow{0}$. Ce point est appelé barycentre du système de points pondérés $\left\{\left({\mathrm{A}}_1;{\alpha }_1\right),\dots ,\left({\mathrm{A}}_n;{\alpha }_n\right)\right\}$.

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Barycentre

Dans l'exercice précédent, on a vu que, pour un entier naturel non nul $n$ et la donnée de $n$ réels ${\alpha }_1;\dots ;{\alpha }_n$ vérifiants $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\ne 0$ et de $n$ points de l'espace