Mathématiques Terminale Spécialité

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Chapitre 2
TP INFO

Surface représentant une fonction à deux variables

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Énoncé
Soit f une fonction réelle à deux variables x et yx \in \R et y \in \R. On note f : (x \: , y) \mapsto f (x \: , y).

Exemple : f : (x \: , y) \mapsto \text{cos}(x) + \text{sin}(y) alors f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=\cos (0)+\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=2 et f\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. L'ensemble des points M( x \: ; y \: ; z) de l'espace tels que z = f(x \: , y) est une surface représentant la fonction f. z = f(x \: , y) est une équation de la surface.
On obtient par exemple :

\boldsymbol{f : (x \: , y) \mapsto \text{cos}(x) + \text{sin}(y)}
Placeholder pour Surface représentant une fonction à deux variablesSurface représentant une fonction à deux variables
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\boldsymbol{g: (x \: , y) \mapsto \text{sin}(x \times y)}
Placeholder pour Surface représentant une fonction à deux variablesSurface représentant une fonction à deux variables
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Objectif
Représenter une surface et rechercher une intersection. Dans chaque question, on souhaite représenter la surface d'équation z = f( x \: , y) et déterminer son intersection avec la surface d'équation z = 4 en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1
GeoGebra

1. On définit la fonction f par f (x \: , y) = x + y - 1.
a. Ouvrir le logiciel . Dans la barre de saisie, entrer l'expression algébrique de la fonction.
Quelle est la nature de la surface représentant f ?

b. Indiquer la nature de l'ensemble des points \text{M} ( x \: ; y \: ; z) tels que z = 4.

c. Déterminer et caractériser l'intersection de la surface représentant f et de l'ensemble des points \text{M} vérifant z = 4.

2. On définit la fonction g par g(x \: , y) = 0,5x^2 + 0,5y^2.
a. Représenter la fonction g.
b. Établir une conjecture concernant les extremums de la fonction g s'ils existent.

c. Émettre une conjecture sur la nature de l'intersection de la surface représentant g avec la surface d'équation z = 4.

3. On définit la fonction h par h( x \: , y) = xy.
a. Représenter la fonction h.
b. Déterminer l'intersection de la surface représentant h avec la surface d'équation z = 4.
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Méthode 2
Python

1. a. Écrire le script d'une fonction Python qui détermine, pour deux valeurs de x et de y, le réel f (x \: , y) = x + y - 1.
b. Ajouter le script de cette fonction au programme donné ci-dessous puis exécuter le.
Quelle est la nature de la surface représentant f ?

2. On définit la fonction g par g(x \: , y) = 0,5x^2 + 0,5y^2.
a. Représenter la fonction g.
b. Établir une conjecture concernant les extremums de la fonction g s'ils existent.

c. En vous aidant des projections indiquées sur le graphe, caractériser l'intersection de la surface représentant g et de l'ensemble des points \text{M} vérifiant z = 4.

3. On définit la fonction h par h( x \: , y) = xy.
a. Représenter la fonction h.
b. Déterminer l'intersection de la surface représentant h avec la surface d'équation z = 4.
from numpy import*
from matplotlib.pyplot import*
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def f(x,y):
  ...
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
x=np.arange(-4,4,0.25)
y=np.arange(-4,4,0.25)
x,y=np.meshgrid(x,y)
z=f(x,y)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=1,cstride=1,cmap=cm.hot)
ax.contour(x,y,z,zdire='z',offset=-2,cmap=cm.hot)
ax.set_zlim(-2,2)
show()
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