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Surface représentant une fonction à deux variables
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Surface représentant une fonction à deux variables




Énoncé

Soit ff une fonction réelle à deux variables xx et yyxRx \in \R et yRy \in \R.
On note f:(x,y)f(x,y)f : (x \: , y) \mapsto f (x \: , y).

Exemple : f:(x,y)cos(x)+sin(y)f : (x \: , y) \mapsto \text{cos}(x) + \text{sin}(y) alors f(0,π2)=cos(0)+sin(π2)=2f\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)=\cos (0)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2 et f(π4,π4)=22+22=2f\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. L'ensemble des points M(x;y;z)M( x \: ; y \: ; z) de l'espace tels que z=f(x,y)z = f(x \: , y) est une surface représentant la fonction ff. z=f(x,y)z = f(x \: , y) est une équation de la surface.
On obtient par exemple :

f:(x,y)cos(x)+sin(y)\boldsymbol{f : (x \: , y) \mapsto \text{cos}(x) + \text{sin}(y)}

Surface représentant une fonction à deux variables


g:(x,y)sin(x×y)\boldsymbol{g: (x \: , y) \mapsto \text{sin}(x \times y)}

Surface représentant une fonction à deux variables

Objectif

Représenter une surface et rechercher une intersection. Dans chaque question, on souhaite représenter la surface d’équation z=f(x,y)z = f( x \: , y) et déterminer son intersection avec la surface d’équation z=4z = 4 en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. On définit la fonction ff par f(x,y)=x+y1f (x \: , y) = x + y - 1.
a. Ouvrir le logiciel GeoGebra 3D. Dans la barre de saisie, entrer l’expression algébrique de la fonction.
Quelle est la nature de la surface représentant ff ?


b. Indiquer la nature de l’ensemble des points M(x;y;z)\text{M} ( x \: ; y \: ; z) tels que z=4z = 4.


c. Déterminer et caractériser l’intersection de la surface représentant ff et de l’ensemble des points M\text{M} vérifant z=4z = 4.


2. On définit la fonction gg par g(x,y)=0,5x2+0,5y2g(x \: , y) = 0,5x^2 + 0,5y^2.
a. Représenter la fonction gg.
b. Établir une conjecture concernant les extremums de la fonction gg s’ils existent.


c. Émettre une conjecture sur la nature de l’intersection de la surface représentant gg avec la surface d’équation z=4z = 4.


3. On définit la fonction hh par h(x,y)=xyh( x \: , y) = xy.
a. Représenter la fonction hh.
b. Déterminer l’intersection de la surface représentant hh avec la surface d’équation z=4z = 4.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. a. Écrire le script d’une fonction Python qui détermine, pour deux valeurs de xx et de yy, le réel f(x,y)=x+y1f (x \: , y) = x + y - 1.
b. Ajouter le script de cette fonction au programme donné ci-dessous puis exécuter le.
Quelle est la nature de la surface représentant ff ?


2. On définit la fonction gg par g(x,y)=0,5x2+0,5y2g(x \: , y) = 0,5x^2 + 0,5y^2.
a. Représenter la fonction gg.
b. Établir une conjecture concernant les extremums de la fonction gg s’ils existent.


c. En vous aidant des projections indiquées sur le graphe, caractériser l’intersection de la surface représentant gg et de l’ensemble des points M\text{M} vérifiant z=4z = 4.


3. On définit la fonction hh par h(x,y)=xyh( x \: , y) = xy.
a. Représenter la fonction hh.
b. Déterminer l’intersection de la surface représentant hh avec la surface d’équation z=4z = 4.
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from numpy import*
from matplotlib.pyplot import*
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def f(x,y):
  ...
fig=figure()
ax=Axes3D(fig)
x=np.arange(-4,4,0.25)
y=np.arange(-4,4,0.25)
x,y=np.meshgrid(x,y)
z=f(x,y)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=1,cstride=1,cmap=cm.hot)
ax.contour(x,y,z,zdire='z',offset=-2,cmap=cm.hot)
ax.set_zlim(-2,2)
show()
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