Exercices d'auto‑évaluation

8

Soit d la droite dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=-6 t+2 \\ y=3 t-1 \\ z=-2 t+3 \end{array}\right., t \in \R. Alors :

a. \text{A} (-4 \: ; 2 \: ; -1) \in d

b. \text{B} (-4 \: ; -2 \: ; -1) \in d

c. \text{C} (4 \: ; 2 \: ; -1) \in d

d. \text{D} (-4 \: ; 2 \: ; 1) \in d

9

Les points \text{A} ( 2 \: ; -5 \: ; 1), \text{B} ( 1 \: ; 1 \: ; 2) et \text{C} sont alignés lorsque les coordonnées de \text{C} sont :

a. ( 0 \: ; 7 \: ; 3)

b. ( 3 \: ; 1 \: ; 2)

c. ( 1 \: ; 2 \: ; -1)

d. ( 2 \: ; 1 \: ; 1)

10

On donne les points \text{A} ( 1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B} ( 0 \: ; -1 \: ; 3) et \text{C} ( -4 \: ; 2 \: ; 1). Soit \text{M} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}. Les coordonnées de \text{M} sont :

a. ( -7 \: ; -6 \: ; 4)

b. ( 8 \: ; 8 \: ; -1)

c. ( -8 \: ; -8 \: ; 1)

d. ( -6 \: ; -4 \: ; 5)

11

Les vecteurs \vec{u} ( 3 \: ; 4 \: ; 2), \vec{v} ( 1 \: ; 2 \: ; -2) et \vec{w} sont coplanaires lorsque les coordonnées de \vec{w} sont :

a. ( 5 \: ; 3 \: ; 2)

b. ( 1 \: ; -5 \: ; 4)

c. ( 4 \: ; 5 \: ; 4)

d. ( 1 \: ; -2 \: ; 5)

12

Les vecteurs \vec{u} ( 1 \: ; 0 \: ; 1), \vec{v} ( 1 \: ; 1 \: ; 0) et \vec{w} forment une base de l'espace lorsque les coordonnées de \vec{w} sont :

a. ( 1 \: ; 1 \: ; 1)

b. ( 1 \: ; -1 \: ; 2)

c. ( 1 \: ; -1 \: ; 0)

d. ( -1 \: ; -2 \: ; 1)

13

Soient \text{A} ( -1 \: ; -2 \: ; 3) et \text{B} ( 2 \: ; -3 \: ; 4). Une représentation paramétrique de (\text{AB}) est :

a. \left\{\begin{array}{l} x=3 t-1 \\ y=-t-2 \\ z=t+3 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

b. \left\{\begin{array}{l} x=3 t+1 \\ y=-t+1 \\ z=t+1 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

c. \left\{\begin{array}{l} x=-3 t+2 \\ y=-t-3 \\ z=t+4 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

d. \left\{\begin{array}{l} x=3 t+11 \\ y=-t-6 \\ z=t+7 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}

14

Soient \text{A} ( 1 \: ; 2 \: ; 3), \text{B} ( 2 \: ; -1 \: ; 3), \text{C} ( 0 \: ; 1 \: ; 0) et \vec{u} ( 1 \: ; 1 \: ; 3). Si ( \text{A} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) est un repère de (\text{ABC}), alors les coordonnées de \vec{v} peuvent être :

a. ( 1 \: ; 1 \: ; 0)

b. ( 1 \: ; -3 \: ; 0)

c. ( -2 \: ; 2 \: ; -3)

d. ( 1 \: ; 2 \: ; -1)

15

Soit \text{ABCDEFGH} un cube de centre \text{O}.
\text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{L} sont les milieux respectifs de [\text{EH}], [\text{FG}], [\text{BC}] et [\text{AD}]. Alors :

a. les plans (\text{AIJ}) et (\text{GKL}) sont parallèles.

b. les droites (\text{IK}) et (\text{JA}) sont sécantes.

c. les points \text{I}, \text{J}, \text{K} et \text{O} sont coplanaires

d. les droites (\text{LI}) et (\text{GK}) sont sécantes.

A

Soit \text{ABCD} un tétraèdre. \text{I} est le point défini par \overrightarrow{ \text{AI}}=\overrightarrow{ \text{AC}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{ \text{CD}}. Alors :

a. \text I est le milieu de [\text{BC}].

b. \text I est le milieu de [\text{DC}].

B

Vrai ou faux ? Si deux droites de l'espace ne sont pas sécantes alors elles sont parallèles.

a. Vrai

b. Faux

C

Soit \text{ABCDEFGH} un cube. On note \text I le milieu de [\text{AE}] et \text J le milieu de [\text {BC}]. Les droites (\text{IJ}) et (\text{EC}) sont :

a. strictement parallèles.

b. non coplanaires.

c. sécantes.

d. confondues.

D

Vrai ou faux ? L'espace est rapporté à un repère (\text O \, ; \overrightarrow{i}\, , \overrightarrow{j}\, , \overrightarrow{k}). Les points \text A(-1\,;2\,;1), \text B(2\,;0\,;1) et \text C( 3\,;2\,;-1) définissent un plan.

a. Vrai

b. Faux

E

Soient \text{ABCDEFGH} le cube ci-dessous et \text P le point défini par \overrightarrow{ \text{HP}}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{ \text{HG}}.


Dans le repère (\text A \:;\overrightarrow{ \text{AB}} \: ,\overrightarrow{ \text{AD}} \: ,\overrightarrow{ \text{AE}}), les coordonnées de \text P sont :

a. \text P\left(\dfrac{1}{4}\,;1\,;1\right).

b. \text P\left (1\,;\dfrac{1}{4}\,;1\right ).

c. \text P\left (1\,;1\,;\dfrac{1}{4}\right ).

d. \text P\left (\dfrac{1}{4}\,; \dfrac{1}{4}\,;\dfrac{1}{4} \right ).

F

Soit \text{ABCDEFGH} le pavé droit ci-dessous.


\text I est le milieu de [\text{AF}] et \text J celui de [\text{DG}]. Dans ce cas :

a. Le point \text I appartient au plan (\text{AFG}).

b. La droite (\text{IJ}) est parallèle à la droite (\text{FG}).

c. La droite (\text{IJ}) est parallèle à la droite (\text{EG}).

d. Le point \text D appartient au plan (\text{AFC}).

G

L'espace est rapporté à un repère (\text O \, ; \overrightarrow{i}\, , \overrightarrow{j}\, , \overrightarrow{k}). Soit d la droite dont une représentation paramétrique est \begin{cases} x=t-1 \\y=t+1 \\ z= t\end{cases} avec t \in \mathbb{R}. Alors :

a. le point \text{A}(-1\,;1\,;0) appartient à d.

b. le point \text B(0\,;2\,;-1) appartient à d.

c. le point \text C(5\,;4\,;3) appartient à d.

d. le point \text D(3\,;5\,;4) appartient à d.

H

Soit t une translation de vecteur \overrightarrow{u} non nul.
Soit \text{ABCD} un carré de centre \text O. On note \text A', \text B', \text C', \text D' et \text O' les images respectives de \text A, \text B, \text C, \text D et \text O par t. Alors :

a. \text{OO}'\text{DD}' est un parallélogramme.

b. \overrightarrow{\text{AA}'}=\overrightarrow{\text{BB}'}.

c. \text{A}'\text{B}'\text{C}'\text{D}' est un carré.

d. \text{AD}=\text{A}'\text{D}'.