Vecteurs, droites et plans de l'espace

1. Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs. 2. Décrire la position relative de droites et de plans.
3. Déterminer une base d'un plan ou de l'espace.
4. Lire sur une figure la décomposition de vecteurs dans une base.
5. Étudier des problèmes de configurations dans l'espace (alignement, parallélisme, coplanarité).
6. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite.
7. Reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique.

1. Connaître les solides usuels.
2. Construire l'image d'un point par une translation.
3. Savoir utiliser les vecteurs du plan.
4. Démontrer que deux droites sont parallèles.
5. Déterminer les coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle.
6. Démontrer que des points sont alignés.
7. Résoudre un système linéaire.

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Utiliser les coordonnées

Le plan est rapporté à un repère (\text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j}).
On donne les points \text{A}(1\ ; \ 3), \text{B}(-3\ ; \ 1) et \text{C}(0 \ ; \ -2). Déterminer les coordonnées de \text{D} telles que \text{ABCD} soit un parallélogramme.

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Démontrer à l'aide de vecteurs

Soit \text{ABC} un triangle quelconque.
On définit les points \text{R} et \text{S} par \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{BS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CB}}. Démontrer que (\mathrm{AC}) / /(\mathrm{SR}).

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Résoudre un système

Résoudre dans \R ^3 les systèmes d'équations suivants d'inconnue (x \ ; \ y \ ; \ z). 1. \left\{\begin{aligned} x+y+z &=0 \\ x+y &=0 \\ 2 x+y &=0 \end{aligned}\right.

2. \left\{\begin{aligned} x+y+z &=1 \\ 2 x-y &=2 \\ x-y+z &=3 \end{aligned}\right.

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Démontrer un alignement

Le plan est rapporté à un repère (\text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j}).
On donne les points \text{A}(1\ ; \ \dfrac{1}{2}) et \text{B}(-2\ ; \ -1). Les points \text{O}, \text{A} et \text{B} sont-ils alignés ?