Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 1

Vecteurs de l'espace

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Différenciation
Parcours 1 : exercices ; ; ; ; et
Parcours 2 : exercices ; ; et
Parcours 3 : exercices ; et
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42
Flash

Soient \vec{u} un vecteur non nul et m un réel. Montrer que la somme vectorielle (m+2)^{2} \vec{u}-4 m \vec{u} ne peut être nulle.
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43
Flash

Soient \text{A} et \text{B} deux points de l'espace.
On note t la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} et \text{B}' l'image de \text{B} par t.
Démontrer que, pour tout point \text{M} de l'espace, \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}.
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44
Flash

Dans la base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}), on donne les vecteurs : \vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} et \vec{v}=\vec{i}+\sqrt{2} \vec{j}-\sqrt{2} \vec{k}. Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?
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45
Flash

Dans la base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}), on considère les vecteurs suivants : \vec{u}=2 \vec{i}+\vec{k}, \vec{v}=3 \vec{j}-2 \vec{k} et \vec{w}=4 \vec{i}+3 \vec{j}. Justifier que les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} ne forment pas une base de l'espace.
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46
[Représenter.]


Soit \text{ABCDEFGH} un cube. On note \text{I} le centre du carré \text{ABCD}, \text{J} le centre du carré \text{EFGH} et \text{K} le milieu de \text{[IJ]}.

1. Faire une figure.

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2. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{AG}} en fonction de \overrightarrow{\text{AE}}, \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AD}}.


3. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{AK}} en fonction de \overrightarrow{\text{AE}}, \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AD}}.


4. En déduire que \text{K} est le milieu de \text{[AG]}.
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47
[Raisonner.]
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points de l'espace. On note \text{I} le milieu de \text{[AB]}, \text{J} le milieu de \text{[CD]} et \text{K} le milieu de \text{[IJ]}. Démontrer que, pour tout point \text{M} de l'espace, \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
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48
[Calculer.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. On donne les vecteurs \vec{u}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} et \vec{v}=-\vec{i}-2 \vec{j}+\frac{1}{2} \vec{k}.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?


2. Même question pour \vec{u}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k} et \vec{v}=3 \vec{i}+6 \vec{j}-\frac{15}{2} \vec{k}.
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49
[Chercher.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
On donne \vec{u}=-3 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} et \vec{v}=\vec{i}+a \vec{j}+b \vec{k}, où a et b sont deux nombres réels. Déterminer a et b tels que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires.
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50
[Calculer.]


Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=\vec{i}+\vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=2 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k} sont-ils coplanaires ?


2. Même question pour les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-6 \vec{j}-\vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=6 \vec{i}-3 \vec{j}+16 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+3 \vec{j}+5 \vec{k}.
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51
[Communiquer.]

Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}+2 \vec{j}+3 \vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=-\vec{i}+4 \vec{j}+3 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k} sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?


2. Même question pour les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-\vec{j}, \overrightarrow{e_{2}}=-\vec{i}-\overrightarrow{5 j}+3 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
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52
[Calculer.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
On donne \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+3 \vec{k}, \vec{v}=-\vec{i}+2 \vec{k} et \vec{w}=2 \vec{i}+\vec{j}.
Les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} forment-ils une base de l'espace ?
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53
[Raisonner.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
Soient \vec{u} = \vec{i} et \vec{v} = - \vec{i} - 2 \vec{j}.

1. Justifer que \vec{u} et \vec{v} sont linéairement indépendants.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment-ils une base de l'espace ?


2. Exprimer les vecteurs \vec{i} et \vec{j} en fonction des vecteurs \vec{u} et \vec{v}.


3. On considère le vecteur \vec{s}=x \vec{i}+y \vec{j}, où x et y sont réels. Démontrer qu'il existe un couple ( \lambda \: ; \mu ) de réels tels que \vec{s}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.
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54
[Raisonner.]
Changement de base
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
Soient \vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}, \vec{v} = - \vec{i} + \vec{j} et \vec{w} = \vec{k}.

1. Justifer que les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} forment une base de l'espace.


2. Exprimer les vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{k} en fonction des vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w}.


3. Soit \vec{s}=4 \vec{i}+ \vec{j} + \vec{k}. Exprimer \vec{s} dans la base ( \vec{u} \: , \vec{v} \: , \vec{w} ).
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55
[Chercher.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
On donne \vec{u}= 2 \vec{i} -3 \vec{j} + \vec{k} et \vec{v}=\vec{i}+ 5 \vec{j} - 3 \vec{k}. Déterminer un vecteur \vec{w} tels que les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} soient linéairement indépendants.
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56
[Raisonner.]
Démo

1. Soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs coplanaires tels que \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l'existence de réels \lambda et \mu tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.
On considère des points \text{O}, \text{A}, \text{B} et \text{C} tels que \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{u}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{v} et \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{w}.

a. Justifer que les points \text{O}, \text{A} et \text{B} ne sont pas alignés.


b.On considère les droites \text{(OA)} et \text{(OB)}. On note \text{R} le projeté de \text{C} sur \text{(OA)} parallèlement à \text{(OB)}. Justifer l'existence d'un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\lambda \vec{u}.


c.En déduire l'existence des réels \lambda et \mu tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.


2. Réciproquement : soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v} et tels que \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colinéaires.
Démontrer que \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires. On pourra considérer les points \text{O}, \text{A}, \text{B} et \text{C} définies à la question 1. et un repère du plan \text{(OAB)}.
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57
[Modéliser.]

Soit \mathcal{F} l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de \mathcal{F} s'écrit sous la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des réels.
À chaque fonction f de \mathcal{F}, on associe le vecteur \vec{v}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right).
On considère :
  • f_{1}(x)=x^{2}+x+1 et son vecteur associé \vec{v}_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right);
  • f_{2}(x)=x^{2}-x+1 et son vecteur associé \vec{v}_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) ;
  • f_{3}(x)=x^{2} et son vecteur associé \vec{v}_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).


1. Montrer que \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} et \vec{v}_{3} sont linéairement indépendants.
En déduire que ( \vec{v}_{1} \: , \vec{v}_{2} \: , \vec{v}_{3}) est une base de l'espace.


2. Soient f la fonction définie par f(x) = 2x^2 +x - 1 et \vec{v} son vecteur associé.

a.Justifer que \vec{v} s'exprime de manière unique en fonction de \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} et \vec{v}_{3}.


b.Déterminer les réels r, s et t tels que f(x)=r f_{1}(x)+s f_{2}(x)+t f_{3}(x).
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