1

Vecteurs de l’espace

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

42

Soient $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $m$ un réel. Montrer que la somme vectorielle $(m+2)^{2} \overrightarrow{u}-4 m \overrightarrow{u}$ ne peut être nulle.

43

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points de l’espace.
On note $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\text{B}'$ l’image de $\text{B}$ par $t$.
Démontrer que, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}$.

44

Dans la base $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, on donne les vecteurs : $\overrightarrow{u}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\sqrt{2} \overrightarrow{j}-\sqrt{2} \overrightarrow{k}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils colinéaires ?

45

Dans la base $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$, on considère les vecteurs suivants : $\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=3 \overrightarrow{j}-2 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=4 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}$. Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne forment pas une base de l'espace.

46

[Représenter.]◉◉◉

Soit $\text{ABCDEFGH}$ un cube. On note $\text{I}$ le centre du carré $\text{ABCD}$, $\text{J}$ le centre du carré $\text{EFGH}$ et $\text{K}$ le milieu de $\text{[IJ]}$.

1. Faire une figure.


2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{AG}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{AE}}$, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AD}}$.

3. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{AK}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{AE}}$, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AD}}$.

4. En déduire que $\text{K}$ est le milieu de $\text{[AG]}$.

47

[Raisonner.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points de l’espace. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$, $\text{J}$ le milieu de $\text{[CD]}$ et $\text{K}$ le milieu de $\text{[IJ]}$. Démontrer que, pour tout point $\text{M}$ de l’espace, $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{MK}}$.

48

[Calculer.]
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.

1. On donne les vecteurs $\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}-2 \overrightarrow{j}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{k}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils colinéaires ?

2. Même question pour $\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-5 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=3 \overrightarrow{i}+6 \overrightarrow{j}-\dfrac{15}{2} \overrightarrow{k}$.

49

[Chercher.]
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.
On donne $\overrightarrow{u}=-3 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. Déterminer $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires.

50

[Calculer.]◉◉◉

Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.

1. Les vecteurs $\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{e_{3}}=2 \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}$ sont-ils coplanaires ?

2. Même question pour les vecteurs $\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-6 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{e_{2}}=6 \overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}+16 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}+5 \overrightarrow{k}$.

51

[Communiquer.]

Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.

1. Les vecteurs $\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?

2. Même question pour les vecteurs $\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{5 j}+3 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

52

[Calculer.] ◉◉ ◉
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.
On donne $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment-ils une base de l'espace ?

53

[Raisonnner.]
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.
Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j}$.

1. Justifer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont linéairement indépendants.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment-ils une base de l’espace ?

2. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

3. On considère le vecteur $\overrightarrow{s}=x \overrightarrow{i}+y \overrightarrow{j}$, où $x$ et $y$ sont réels. Démontrer qu’il existe un couple $( \lambda \: ; \mu )$ de réels tels que $\overrightarrow{s}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$.

54

[Raisonnner.]
Changement de base
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.
Soient $\overrightarrow{u} = 2 \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{k}$.

1. Justifer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment une base de l’espace.

2. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

3. Soit $\overrightarrow{s}=4 \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$. Exprimer $\overrightarrow{s}$ dans la base $( \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v} \: , \overrightarrow{w} )$.

55

[Chercher.]
Soit $( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} )$ une base de l'espace.
On donne $\overrightarrow{u}= 2 \overrightarrow{i} -3 \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+ 5 \overrightarrow{j} - 3 \overrightarrow{k}$. Déterminer un vecteur $\overrightarrow{w}$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ soient linéairement indépendants.

56

[Raisonner.]

[DÉMO]

1. Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs coplanaires tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l’existence de réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$.
On considère des points $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{w}$.

a. Justifer que les points $\text{O}$, $\text{A}$ et $\text{B}$ ne sont pas alignés.

b.On considère les droites $\text{(OA)}$ et $\text{(OB)}$. On note $\text{R}$ le projeté de $\text{C}$ sur $\text{(OA)}$ parallèlement à $\text{(OB)}$. Justifer l’existence d’un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\lambda \overrightarrow{u}$.

c.En déduire l’existence des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$.

2. Réciproquement : soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$ et tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.
Démontrer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires. On pourra considérer les points $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définies à la question 1. et un repère du plan $\text{(OAB)}$.

57

[Modéliser.] ◉◉◉
Soit $\mathcal{F}$ l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de $\mathcal{F}$ s’écrit sous la forme $ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.
À chaque fonction $f$ de $\mathcal{F}$, on associe le vecteur $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)$.
On considère :

• $f_{1}(x)=x^{2}+x+1$ et son vecteur associé $\overrightarrow{v}_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$;
• $f_{2}(x)=x^{2}-x+1$ et son vecteur associé $\overrightarrow{v}_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$ ;
• $f_{3}(x)=x^{2}$ et son vecteur associé $\overrightarrow{v}_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{v}_{1}$, $\overrightarrow{v}_{2}$ et $\overrightarrow{v}_{3}$ sont linéairement indépendants.
En déduire que $( \overrightarrow{v}_{1} \: , \overrightarrow{v}_{2} \: , \overrightarrow{v}_{3})$ est une base de l’espace.


2. Soient $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2 +x - 1$ et $\overrightarrow{v}$ son vecteur associé.

a.Justifer que $\overrightarrow{v}$ s’exprime de manière unique en fonction de $\overrightarrow{v}_{1}$, $\overrightarrow{v}_{2}$ et $\overrightarrow{v}_{3}$.

b.Déterminer les réels $r$, $s$ et $t$ tels que $f(x)=r f_{1}(x)+s f_{2}(x)+t f_{3}(x)$.