Soient u un vecteur non nul et m un réel.
Montrer que la somme vectorielle (m+2)2u−4mu ne peut être nulle.
43
Flash
Soient A et B deux points de l'espace.
On note t la translation de vecteur AB et B′ l'image de B par t.
Démontrer que, pour tout point M de l'espace, MA+MB′=2MB.
44
Flash
Dans la base (i,j,k), on donne les vecteurs : u=22i+j−k et v=i+2j−2k. Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?
45
Flash
Dans la base (i,j,k), on considère les vecteurs suivants : u=2i+k, v=3j−2k et w=4i+3j. Justifier que les vecteurs u, v et w ne forment pas une base de l'espace.
46
[Représenter.]
Soit ABCDEFGH un cube. On note I le centre du carré
ABCD, J le centre du carré EFGH et K le milieu de [IJ].
1. Faire une figure.
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2. Exprimer le vecteur AG en fonction de AE, AB et AD.
3. Exprimer le vecteur AK en fonction de AE, AB et AD.
4. En déduire que K est le milieu de [AG].
47
[Raisonner.] Soient A, B, C et D quatre points de l'espace.
On note I le milieu de [AB], J le milieu de [CD] et K le milieu de [IJ].
Démontrer que, pour tout point M de l'espace, MA+MB+MC+MD=4MK.
48
[Calculer.]
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
1. On donne les vecteurs u=2i+4j−k et v=−i−2j+21k.
Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?
2. Même question pour u=2i+4j−5k et v=3i+6j−215k.
49
[Chercher.] Soit (i,j,k) une base de l'espace.
On donne u=−3i+4j−k et v=i+aj+bk, où a et b sont deux nombres réels.
Déterminer a et b tels que u et v soient colinéaires.
50
[Calculer.]
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
1. Les vecteurs e1=i−3j+2k, e2=i+k et e3=2i−j+2k sont-ils coplanaires ?
2. Même question pour les vecteurs e1=i−6j−k, e2=6i−3j+16k et e3=i+3j+5k.
51
[Communiquer.]
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
1. Les vecteurs e1=i+2j+3k, e2=−i+4j+3k et e3=i+2j−k sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?
2. Même question pour les vecteurs e1=i−j, e2=−i−5j+3k et e3=i+j−k.
52
[Calculer.]
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
On donne u=i+j+3k, v=−i+2k et w=2i+j.
Les vecteurs u, v et w forment-ils une base de l'espace ?
53
[Raisonner.]
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
Soient u=i et v=−i−2j.
1. Justifer que u et v sont linéairement indépendants.
Les vecteurs u et v forment-ils une base de l'espace ?
2. Exprimer les vecteurs i et j en fonction des vecteurs u et v.
3. On considère le vecteur s=xi+yj, où x et y sont réels. Démontrer qu'il existe un couple (λ;μ) de réels tels que s=λu+μv.
54
[Raisonner.] Changement de base
Soit (i,j,k) une base de l'espace.
Soient u=2i+3j, v=−i+j et w=k.
1. Justifer que les vecteurs u, v et w forment une base de l'espace.
2. Exprimer les vecteurs i, j et k en fonction des vecteurs u, v et w.
3. Soit s=4i+j+k. Exprimer s dans la base (u,v,w).
55
[Chercher.] Soit (i,j,k) une base de l'espace.
On donne u=2i−3j+k et v=i+5j−3k. Déterminer un vecteur w tels que les vecteurs u, v et w soient linéairement indépendants.
56
[Raisonner.]
Démo
1. Soient u, v et w trois vecteurs coplanaires tels que u et v ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l'existence de réels λ et μ tels que w=λu+μv.
On considère des points O, A, B et C tels que OA=u, OB=v et OC=w.
a. Justifer que les points O, A et B ne sont pas alignés.
b.On considère les droites (OA) et (OB). On note R le projeté de C sur (OA) parallèlement à (OB).
Justifer l'existence d'un réel λ tel que OR=λu.
c.En déduire l'existence des réels λ et μ tels que w=λu+μv.
2. Réciproquement : soient u, v et w trois vecteurs
tels que w=λu+μv et tels que u et v ne sont pas colinéaires.
Démontrer que u, v et w sont coplanaires. On pourra considérer les points O, A, B et C définies à la question 1. et un repère du plan (OAB).
57
[Modéliser.]
Soit F l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de F s'écrit sous la forme ax2+bx+c, où a, b et c sont des réels.
À chaque fonction f de F, on associe le vecteur v⎝⎛abc⎠⎞.
On considère :
f1(x)=x2+x+1 et son vecteur associé v1⎝⎛111⎠⎞;
f2(x)=x2−x+1 et son vecteur associé v2⎝⎛1−11⎠⎞ ;