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1. Vecteurs de l'espace
P.74-75

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Entraînement


1
Vecteurs de l’espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

42
FLASH

Soient un vecteur non nul et un réel. Montrer que la somme vectorielle ne peut être nulle.
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43
FLASH

Soient et deux points de l’espace.
On note la translation de vecteur et l’image de par .
Démontrer que, pour tout point de l’espace, .
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44
FLASH

Dans la base , on donne les vecteurs : et . Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
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45
FLASH

Dans la base , on considère les vecteurs suivants : , et . Justifier que les vecteurs , et ne forment pas une base de l'espace.
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46
[Représenter.]◉◉

Soit un cube. On note le centre du carré , le centre du carré et le milieu de .

1. Faire une figure.

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2. Exprimer le vecteur en fonction de , et .


3. Exprimer le vecteur en fonction de , et .


4. En déduire que est le milieu de .
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47
[Raisonner.]
Soient , , et quatre points de l’espace. On note le milieu de , le milieu de et le milieu de . Démontrer que, pour tout point de l’espace, .
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48
[Calculer.]
Soit une base de l'espace.

1. On donne les vecteurs et .
Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?


2. Même question pour et .
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49
[Chercher.]
Soit une base de l'espace.
On donne et , où et sont deux nombres réels. Déterminer et tels que et soient colinéaires.
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50
[Calculer.]◉◉

Soit une base de l'espace.

1. Les vecteurs , et sont-ils coplanaires ?


2. Même question pour les vecteurs , et .
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51
[Communiquer.]

Soit une base de l'espace.

1. Les vecteurs , et sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?


2. Même question pour les vecteurs , et .
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52
[Calculer.] ◉◉
Soit une base de l'espace.
On donne , et .
Les vecteurs , et forment-ils une base de l'espace ?
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53
[Raisonnner.]
Soit une base de l'espace.
Soient et .

1. Justifer que et sont linéairement indépendants.
Les vecteurs et forment-ils une base de l’espace ?


2. Exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs et .


3. On considère le vecteur , où et sont réels. Démontrer qu’il existe un couple de réels tels que .
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54
[Raisonnner.]
Changement de base
Soit une base de l'espace.
Soient , et .

1. Justifer que les vecteurs , et forment une base de l’espace.


2. Exprimer les vecteurs , et en fonction des vecteurs , et .


3. Soit . Exprimer dans la base .
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55
[Chercher.]
Soit une base de l'espace.
On donne et . Déterminer un vecteur tels que les vecteurs , et soient linéairement indépendants.
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56
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. Soient , et trois vecteurs coplanaires tels que et ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l’existence de réels et tels que .
On considère des points , , et tels que , et .

a. Justifer que les points , et ne sont pas alignés.


b.On considère les droites et . On note le projeté de sur parallèlement à . Justifer l’existence d’un réel tel que .


c.En déduire l’existence des réels et tels que .


2. Réciproquement : soient , et trois vecteurs tels que et tels que et ne sont pas colinéaires.
Démontrer que , et sont coplanaires. On pourra considérer les points , , et définies à la question 1. et un repère du plan .
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57
[Modéliser.] ◉◉◉
Soit l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de s’écrit sous la forme , où , et sont des réels.
À chaque fonction de , on associe le vecteur .
On considère :
  • et son vecteur associé ;
  • et son vecteur associé ;
  • et son vecteur associé .


1. Montrer que , et sont linéairement indépendants.
En déduire que est une base de l’espace.


2. Soient la fonction définie par et son vecteur associé.

a.Justifer que s’exprime de manière unique en fonction de , et .


b.Déterminer les réels , et tels que .
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