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1. Vecteurs de l'espace
P.74-75

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Entraînement


1
Vecteurs de l’espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

42
FLASH

Soient u\overrightarrow{u} un vecteur non nul et mm un réel. Montrer que la somme vectorielle (m+2)2u4mu(m+2)^{2} \overrightarrow{u}-4 m \overrightarrow{u} ne peut être nulle.
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43
FLASH

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points de l’espace.
On note tt la translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} et B\text{B}' l’image de B\text{B} par tt.
Démontrer que, pour tout point M\text{M} de l’espace, MA+MB=2MB\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}.
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44
FLASH

Dans la base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteurs : u=22i+jk\overrightarrow{u}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} et v=i+2j2k\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\sqrt{2} \overrightarrow{j}-\sqrt{2} \overrightarrow{k}. Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont-ils colinéaires ?
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45
FLASH

Dans la base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on considère les vecteurs suivants : u=2i+k\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}, v=3j2k\overrightarrow{v}=3 \overrightarrow{j}-2 \overrightarrow{k} et w=4i+3j\overrightarrow{w}=4 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}. Justifier que les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} ne forment pas une base de l'espace.
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46
[Représenter.]◉◉

Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} un cube. On note I\text{I} le centre du carré ABCD\text{ABCD}, J\text{J} le centre du carré EFGH\text{EFGH} et K\text{K} le milieu de [IJ]\text{[IJ]}.

1. Faire une figure.

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2. Exprimer le vecteur AG\overrightarrow{\text{AG}} en fonction de AE\overrightarrow{\text{AE}}, AB\overrightarrow{\text{AB}} et AD\overrightarrow{\text{AD}}.


3. Exprimer le vecteur AK\overrightarrow{\text{AK}} en fonction de AE\overrightarrow{\text{AE}}, AB\overrightarrow{\text{AB}} et AD\overrightarrow{\text{AD}}.


4. En déduire que K\text{K} est le milieu de [AG]\text{[AG]}.
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47
[Raisonner.]
Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points de l’espace. On note I\text{I} le milieu de [AB]\text{[AB]}, J\text{J} le milieu de [CD]\text{[CD]} et K\text{K} le milieu de [IJ]\text{[IJ]}. Démontrer que, pour tout point M\text{M} de l’espace, MA+MB+MC+MD=4MK\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
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48
[Calculer.]
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.

1. On donne les vecteurs u=2i+4jk\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} et v=i2j+12k\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}-2 \overrightarrow{j}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{k}.
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont-ils colinéaires ?


2. Même question pour u=2i+4j5k\overrightarrow{u}=2 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-5 \overrightarrow{k} et v=3i+6j152k\overrightarrow{v}=3 \overrightarrow{i}+6 \overrightarrow{j}-\dfrac{15}{2} \overrightarrow{k}.
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49
[Chercher.]
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.
On donne u=3i+4jk\overrightarrow{u}=-3 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} et v=i+aj+bk\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}, où aa et bb sont deux nombres réels. Déterminer aa et bb tels que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} soient colinéaires.
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50
[Calculer.]◉◉

Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs e1=i3j+2k\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}, e2=i+k\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} et e3=2ij+2k\overrightarrow{e_{3}}=2 \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k} sont-ils coplanaires ?


2. Même question pour les vecteurs e1=i6jk\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-6 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}, e2=6i3j+16k\overrightarrow{e_{2}}=6 \overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}+16 \overrightarrow{k} et e3=i+3j+5k\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}+5 \overrightarrow{k}.
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51
[Communiquer.]

Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs e1=i+2j+3k\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}, e2=i+4j+3k\overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k} et e3=i+2jk\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?


2. Même question pour les vecteurs e1=ij\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}, e2=i5j+3k\overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{5 j}+3 \overrightarrow{k} et e3=i+jk\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}.
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52
[Calculer.] ◉◉
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.
On donne u=i+j+3k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}, v=i+2k\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{k} et w=2i+j\overrightarrow{w}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}.
Les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment-ils une base de l'espace ?
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53
[Raisonnner.]
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.
Soient u=i\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} et v=i2j\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j}.

1. Justifer que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont linéairement indépendants.
Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} forment-ils une base de l’espace ?


2. Exprimer les vecteurs i\overrightarrow{i} et j\overrightarrow{j} en fonction des vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}.


3. On considère le vecteur s=xi+yj\overrightarrow{s}=x \overrightarrow{i}+y \overrightarrow{j}, où xx et yy sont réels. Démontrer qu’il existe un couple (λ;μ)( \lambda \: ; \mu ) de réels tels que s=λu+μv\overrightarrow{s}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}.
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54
[Raisonnner.]
Changement de base
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.
Soient u=2i+3j\overrightarrow{u} = 2 \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}, v=i+j\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} et w=k\overrightarrow{w} = \overrightarrow{k}.

1. Justifer que les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base de l’espace.


2. Exprimer les vecteurs i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k} en fonction des vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w}.


3. Soit s=4i+j+k\overrightarrow{s}=4 \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}. Exprimer s\overrightarrow{s} dans la base (u,v,w)( \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v} \: , \overrightarrow{w} ).
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55
[Chercher.]
Soit (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k} ) une base de l'espace.
On donne u=2i3j+k\overrightarrow{u}= 2 \overrightarrow{i} -3 \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} et v=i+5j3k\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+ 5 \overrightarrow{j} - 3 \overrightarrow{k}. Déterminer un vecteur w\overrightarrow{w} tels que les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} soient linéairement indépendants.
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56
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} trois vecteurs coplanaires tels que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l’existence de réels λ\lambda et μ\mu tels que w=λu+μv\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}.
On considère des points O\text{O}, A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} tels que OA=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{u}, OB=v\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{v} et OC=w\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{w}.

a. Justifer que les points O\text{O}, A\text{A} et B\text{B} ne sont pas alignés.


b.On considère les droites (OA)\text{(OA)} et (OB)\text{(OB)}. On note R\text{R} le projeté de C\text{C} sur (OA)\text{(OA)} parallèlement à (OB)\text{(OB)}. Justifer l’existence d’un réel λ\lambda tel que OR=λu\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\lambda \overrightarrow{u}.


c.En déduire l’existence des réels λ\lambda et μ\mu tels que w=λu+μv\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}.


2. Réciproquement : soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} trois vecteurs tels que w=λu+μv\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v} et tels que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Démontrer que u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires. On pourra considérer les points O\text{O}, A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} définies à la question 1. et un repère du plan (OAB)\text{(OAB)}.
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57
[Modéliser.] ◉◉◉
Soit F\mathcal{F} l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de F\mathcal{F} s’écrit sous la forme ax2+bx+cax^2 + bx + c, où aa, bb et cc sont des réels.
À chaque fonction ff de F\mathcal{F}, on associe le vecteur v(abc)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right).
On considère :
  • f1(x)=x2+x+1f_{1}(x)=x^{2}+x+1 et son vecteur associé v1(111)\overrightarrow{v}_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right);
  • f2(x)=x2x+1f_{2}(x)=x^{2}-x+1 et son vecteur associé v2(111)\overrightarrow{v}_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) ;
  • f3(x)=x2f_{3}(x)=x^{2} et son vecteur associé v3(100)\overrightarrow{v}_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).


1. Montrer que v1\overrightarrow{v}_{1}, v2\overrightarrow{v}_{2} et v3\overrightarrow{v}_{3} sont linéairement indépendants.
En déduire que (v1,v2,v3)( \overrightarrow{v}_{1} \: , \overrightarrow{v}_{2} \: , \overrightarrow{v}_{3}) est une base de l’espace.


2. Soient ff la fonction définie par f(x)=2x2+x1f(x) = 2x^2 +x - 1 et v\overrightarrow{v} son vecteur associé.

a.Justifer que v\overrightarrow{v} s’exprime de manière unique en fonction de v1\overrightarrow{v}_{1}, v2\overrightarrow{v}_{2} et v3\overrightarrow{v}_{3}.


b.Déterminer les réels rr, ss et tt tels que f(x)=rf1(x)+sf2(x)+tf3(x)f(x)=r f_{1}(x)+s f_{2}(x)+t f_{3}(x).
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