Vecteurs de l'espace

Parcours 1 : exercices

46

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50

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61

;

71

;

79

et

85

Parcours 2 : exercices

52

;

62

;

75

et

84

Parcours 3 : exercices

57

;

63

et

87

42

Soient \vec{u} un vecteur non nul et m un réel. Montrer que la somme vectorielle (m+2)^{2} \vec{u}-4 m \vec{u} ne peut être nulle.

43

Soient \text{A} et \text{B} deux points de l'espace.
On note t la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} et \text{B}' l'image de \text{B} par t.
Démontrer que, pour tout point \text{M} de l'espace, \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}^{\prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MB}}.

47

[Raisonner.]
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points de l'espace. On note \text{I} le milieu de \text{[AB]}, \text{J} le milieu de \text{[CD]} et \text{K} le milieu de \text{[IJ]}. Démontrer que, pour tout point \text{M} de l'espace, \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{MK}}.

49

[Chercher.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
On donne \vec{u}=-3 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} et \vec{v}=\vec{i}+a \vec{j}+b \vec{k}, où a et b sont deux nombres réels. Déterminer a et b tels que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires.

48

[Calculer.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. On donne les vecteurs \vec{u}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} et \vec{v}=-\vec{i}-2 \vec{j}+\frac{1}{2} \vec{k}.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?

2. Même question pour \vec{u}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k} et \vec{v}=3 \vec{i}+6 \vec{j}-\frac{15}{2} \vec{k}.

50

[Calculer.]

Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=\vec{i}+\vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=2 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k} sont-ils coplanaires ?

2. Même question pour les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-6 \vec{j}-\vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=6 \vec{i}-3 \vec{j}+16 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+3 \vec{j}+5 \vec{k}.

51

[Communiquer.]

Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.

1. Les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}+2 \vec{j}+3 \vec{k}, \overrightarrow{e_{2}}=-\vec{i}+4 \vec{j}+3 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k} sont-ils linéairement indépendants ?
Que peut-on en déduire ?

2. Même question pour les vecteurs \overrightarrow{e_{1}}=\vec{i}-\vec{j}, \overrightarrow{e_{2}}=-\vec{i}-\overrightarrow{5 j}+3 \vec{k} et \overrightarrow{e_{3}}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.

53

[Raisonner.]
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
Soient \vec{u} = \vec{i} et \vec{v} = - \vec{i} - 2 \vec{j}.

1. Justifer que \vec{u} et \vec{v} sont linéairement indépendants.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment-ils une base de l'espace ?

2. Exprimer les vecteurs \vec{i} et \vec{j} en fonction des vecteurs \vec{u} et \vec{v}.

3. On considère le vecteur \vec{s}=x \vec{i}+y \vec{j}, où x et y sont réels. Démontrer qu'il existe un couple ( \lambda \: ; \mu ) de réels tels que \vec{s}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.

54

[Raisonner.]
Changement de base
Soit ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k} ) une base de l'espace.
Soient \vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}, \vec{v} = - \vec{i} + \vec{j} et \vec{w} = \vec{k}.

1. Justifer que les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} forment une base de l'espace.

2. Exprimer les vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{k} en fonction des vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w}.

3. Soit \vec{s}=4 \vec{i}+ \vec{j} + \vec{k}. Exprimer \vec{s} dans la base ( \vec{u} \: , \vec{v} \: , \vec{w} ).

56

[Raisonner.]
1. Soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs coplanaires tels que \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colinéaires.
On veut prouver l'existence de réels \lambda et \mu tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.
On considère des points \text{O}, \text{A}, \text{B} et \text{C} tels que \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{u}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{v} et \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{w}.

a. Justifer que les points \text{O}, \text{A} et \text{B} ne sont pas alignés.

b.On considère les droites \text{(OA)} et \text{(OB)}. On note \text{R} le projeté de \text{C} sur \text{(OA)} parallèlement à \text{(OB)}. Justifer l'existence d'un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\lambda \vec{u}.

c.En déduire l'existence des réels \lambda et \mu tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}.

2. Réciproquement : soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs tels que \vec{w}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v} et tels que \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colinéaires.
Démontrer que \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires. On pourra considérer les points \text{O}, \text{A}, \text{B} et \text{C} définies à la question 1. et un repère du plan \text{(OAB)}.

57

[Modéliser.]
Soit \mathcal{F} l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Toute fonction de \mathcal{F} s'écrit sous la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des réels.
À chaque fonction f de \mathcal{F}, on associe le vecteur \vec{v}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right).
On considère :

• f_{1}(x)=x^{2}+x+1 et son vecteur associé \vec{v}_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right);
• f_{2}(x)=x^{2}-x+1 et son vecteur associé \vec{v}_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) ;
• f_{3}(x)=x^{2} et son vecteur associé \vec{v}_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).

1. Montrer que \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} et \vec{v}_{3} sont linéairement indépendants.
En déduire que ( \vec{v}_{1} \: , \vec{v}_{2} \: , \vec{v}_{3}) est une base de l'espace.

2. Soient f la fonction définie par f(x) = 2x^2 +x - 1 et \vec{v} son vecteur associé.

a.Justifer que \vec{v} s'exprime de manière unique en fonction de \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} et \vec{v}_{3}.

b.Déterminer les réels r, s et t tels que f(x)=r f_{1}(x)+s f_{2}(x)+t f_{3}(x).