17

Soient \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{v}=\vec{i}+\vec{k} et \vec{w}=2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, trois vecteurs dans une base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}). Exprimer \vec{w} en fonction de \vec{u} et \vec{v}. Que peut-on en conclure ?

18

On donne les vecteurs \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}-\vec{j}-\vec{k} et \vec{w}=-3 \vec{i}-\vec{k} dans une base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}). 1. Déterminer \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}.

2. Que peut-on en conclure ?

19

Soit \text{ABCD} un tétraèdre. \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H} sont les milieux des segments comme indiqué sur la figure.

Démontrer que \text{(EF)} et \text{(GH)} sont parallèles.

20

Soit \text{ABCDEFGH} le cube ci-dessous
L'espace est rapporté au repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}). \text{I} est le milieu de \text{[EC]} et \text{J} celui de \text{[GC]}.

Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.

27

Dans la base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}), on donne le vecteur \vec{w}=\vec{j}+\vec{k}. Démontrer que les vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{w} sont linéairement indépendants.

28

Dans la base ( \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}), on donne les vecteur \vec{u}=\vec{i}+\vec{j} + 2 \vec{k}, \vec{v}=\vec{j} + 2 \vec{k} et \vec{w}=\vec{i} + \vec{k} . Démontrer que les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont linéairement indépendants.

31

Dans le tétraèdre \text{ABCD}, les points \text{I}, \text{J} et \text{K} sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement \text{L}, \text{M} et \text{N} les intersections de \text{(IJ)} et \text{(BD)}, de \text{(IK)} et \text{(BC)} et de \text{(KJ)} et \text{(CD)}.
Démontrer que les points \text{L}, \text{M} et \text{N} sont alignés.

32

Soit \text{ABCDS} une pyramide régulière de sommet \text{S} et de base carrée de centre \text{O}. 1. Déterminer l'intersection des plans \text{(SBO)} et \text{(SAC)}.

2. Déterminer l'intersection des plans \text{(SAB)} et \text{(SDC)}.

34

Soit \text{ABCDEFGH} un cube. L'espace est rapporté au repère (\text{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AE}}). On note \text{I} le milieu de \text{[AB]}. \text{J} est le point défini par \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.
Démontrer que les points \text{I}, \text{J} et \text{G} sont alignés

35

On donne les points \text{E} (1 \: ;-3 \: ; 4), \text{F} (2 \: ;-1 \: ; 1) et \text{G} (-1 \: ;0 \: ; 2). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

\overrightarrow{\text{EF}}

\overrightarrow{\text{EG}}

-3 \overrightarrow{\text{EG}} + 2 \overrightarrow{\text{EF}}

2 \overrightarrow{\text{FG}} + \overrightarrow{\text{EF}}

38

On donne les points \text{A} (1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B} (-1 \: ; -2 \: ; 3) et \text{C} (1 \: ; 2 \: ; 5). Démontrer que les points \text{O}, \text{A}, \text{B} et \text{C} sont coplanaires.

39

On donne les points \text{E} (4 \: ; 7 \: ; 2) et \text{F} (3 \: ; 1 \: ; -5). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(EF)}.

2. On donne la droite \delta de représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\ y=6 t-1, t \in \mathbb{R}.\\ z=7 t \end{array}\right.
Étudier la position relative de \delta et (\text{EF}).

40

En réponse à un exercice, on écrit : « \overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} donc \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.

41

En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite d est donc \left\{\begin{array}{l} x=-2 t+4 \\ y=3 t-1, t \in \mathrm{\R} \\ z=4 t+1 \end{array}\right..  » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.