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17
Soient u=i+j, v=i+k et w=2i+j+k, trois vecteurs dans une base (i,j,k). Exprimer w en fonction de u et v.
Que peut-on en conclure ?
18
On donne les vecteurs u=i+j+2k, v=2i−j−k et w=−3i−k dans une base (i,j,k).
1. Déterminer u+v+w.
2. Que peut-on en conclure ?
19
Soit ABCD un tétraèdre. E, F, G et H sont les
milieux des segments comme indiqué sur la figure.
Démontrer que (EF) et (GH) sont parallèles.
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Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous
L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE). I est le milieu de [EC] et J celui de [GC].
Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.
21
Soient P un plan de l’espace et d une droite contenue dans P. Soit Δ une droite parallèle à d. Tout plan contenant Δ est-il parallèle à P ?
Justifer.
Translations
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Soient ABC un triangle quelconque et t la translation de vecteur AB.
Soit D le point défini par la relation BD=CB. On note E l’image de C par t, F l’image de E par t et G
l’image de B par t.
1. Construire une figure.
Dessinez ici
2. Démontrer que AGFC est un parallélogramme.
3. En déduire que G est le milieu de [FD].
23
On considère un pavé droit ABCDEFGH. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BE].
On définit la translation t de vecteur IJ.
1. Construire le pavé droit ABCDEFGH et placer sur la figure les points I et J. 2. Placer les points A′ et D′, images respectives de A et D par t.
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3. Démontrer que A′D′HE est un parallélogramme.
24
Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a. On considère la translation t de vecteur AB. 1. Construire la figure et construire l’image du tétraèdre par t. On notera A′, B′, C′, D′ les images respectives de A, B, C et D.
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2. Montrer que A′B′C′D′ est un tétraèdre régulier de côté a.
Combinaisons linéaires
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Soit ABCDEFGH un pavé droit.
On note I le centre du rectangle ABCD.
Soient u=3AB, v=BD+BE et w=3AI+IE.
Montrer que les vecteurs u, v et w sont coplanaires.
26
Soit ABCDEFGH un cube.
On définit les points P, Q et R par les relations vectorielles suivantes : AP=AB−AD+AE, AQ=−AD+2AE et AR=AB−2AD+3AE.
1. Construire une figure.
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2. Démontrer que les points A, P, Q et R sont coplanaires.
27
Dans la base (i,j,k), on donne le vecteur w=j+k.
Démontrer que les vecteurs i, j et w sont linéairement indépendants.
28
Dans la base (i,j,k), on donne les vecteur u=i+j+2k, v=j+2k et w=i+k .
Démontrer que les vecteurs u, v et w sont linéairement indépendants.
29
Dans la base (i,j,k), on donne les vecteur u=i+j+2k, v=i−j−2k et w=3i−j−2k.
1. Déterminer deux réels λ et μ tels que w=λu+μv.
2. Que peut-on en déduire ?
Intersections
30
On considère le cube ABCDEFGH, I un point du segment [AE], J un point du segment [EH] et K un point du segment [GC].
Déterminer l’intersection des plans (IJK) et (DCG) .
31
Dans le tétraèdre ABCD, les points I, J et K sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement L, M et N les intersections de (IJ) et (BD), de (IK) et (BC) et de (KJ) et (CD).
Démontrer que les points L, M et N sont alignés.
32
Soit ABCDS une pyramide régulière de sommet S et de base carrée de centre O.
1. Déterminer l’intersection des plans (SBO) et (SAC).
2. Déterminer l’intersection des plans (SAB) et (SDC).
33
Soit ABCDS une pyramide régulière de sommet S et dont la base ABCD est un carré.
On note I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].
1. Démontrer que (DC) et (IJ) sont parallèles.
2. Démontrer que (IJ) et (SDC) sont parallèles.
Repère de l'espace
34
Soit ABCDEFGH un cube.
L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE). On note I le milieu de [AB]. J est le point défini par AJ=43AB+21AD+21AE.
Démontrer que les points I, J et G sont alignés
Pour les exercices
35
à
39
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
35
On donne les points E(1;−3;4), F(2;−1;1) et G(−1;0;2). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
EF
EG
−3EG+2EF
2FG+EF
36
On donne les points A(1;2;1), B(2;−1;3) et C(3;−4;5). Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
37
On donne les points A(2;3;−2), B(1;3;1) et C(−1;1;0). Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
38
On donne les points A(1;2;1), B(−1;−2;3) et C(1;2;5). Démontrer que les points O, A, B et C sont coplanaires.
39
On donne les points E(4;7;2) et F(3;1;−5).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EF).
2. On donne la droite δ de représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=t+1y=6t−1,t∈R.z=7t
Étudier la position relative de δ et (EF).
Exercices inversés
40
En réponse à un exercice, on écrit : « AD=3AB−2AC donc A, B, C et D sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
41
En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite d est donc ⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+4y=3t−1,t∈Rz=4t+1. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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