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Travailler les automatismes
P.72-73




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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17
Soient , et , trois vecteurs dans une base . Exprimer en fonction de et .
Que peut-on en conclure ?
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18

On donne les vecteurs , et dans une base .

1. Déterminer .


2. Que peut-on en conclure ?
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19
Soit un tétraèdre. , , et sont les milieux des segments comme indiqué sur la figure.
Applications directes
Démontrer que et sont parallèles.
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20
Soit le cube ci-dessous
Applications directes

L’espace est rapporté au repère . est le milieu de et celui de .

Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.
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21
Soient un plan de l’espace et une droite contenue dans . Soit une droite parallèle à . Tout plan contenant est-il parallèle à ? Justifer.
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Translations


22
Soient un triangle quelconque et la translation de vecteur . Soit le point défini par la relation . On note l’image de par , l’image de par et l’image de par .

1. Construire une figure.

Dessinez ici


2. Démontrer que est un parallélogramme.


3. En déduire que est le milieu de .
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23
On considère un pavé droit . On note le milieu de et le milieu de . On définit la translation de vecteur .

1. Construire le pavé droit et placer sur la figure les points et .
2. Placer les points et , images respectives de et par .

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3. Démontrer que est un parallélogramme.
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24
Soit un tétraèdre régulier de côté . On considère la translation de vecteur .
1. Construire la figure et construire l’image du tétraèdre par . On notera , , , les images respectives de , , et .

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2. Montrer que est un tétraèdre régulier de côté .
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Combinaisons linéaires


25
Soit un pavé droit. On note le centre du rectangle .
Soient , et .

Montrer que les vecteurs , et sont coplanaires.
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26
Soit un cube. On définit les points , et par les relations vectorielles suivantes : , et .

1. Construire une figure.

Lancer le module Geogebra
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2. Démontrer que les points , , et sont coplanaires.
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27
Dans la base , on donne le vecteur .
Démontrer que les vecteurs , et sont linéairement indépendants.
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28
Dans la base , on donne les vecteur , et .
Démontrer que les vecteurs , et sont linéairement indépendants.
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29
Dans la base , on donne les vecteur , et .

1. Déterminer deux réels et tels que .


2. Que peut-on en déduire ?
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Intersections


30
On considère le cube , un point du segment , un point du segment et un point du segment .

Déterminer l’intersection des plans et .
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31
Dans le tétraèdre , les points , et sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement , et les intersections de et , de et et de et .

Applications directes
Démontrer que les points , et sont alignés.
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32
Soit une pyramide régulière de sommet et de base carrée de centre .

1. Déterminer l’intersection des plans et .


2. Déterminer l’intersection des plans et .
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33
Soit une pyramide régulière de sommet et dont la base est un carré.
On note le milieu de et le milieu de .

1. Démontrer que et sont parallèles.


2. Démontrer que et sont parallèles.
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Repère de l'espace


34
Soit un cube. L’espace est rapporté au repère . On note le milieu de . est le point défini par .

Démontrer que les points , et sont alignés
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Pour les exercices
35
à
39


L’espace est rapporté à un repère .

35
On donne les points , et . Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :







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    36
    On donne les points , et . Démontrer que les points , et sont alignés.
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    37
    On donne les points , et . Démontrer que les points , et définissent un plan.
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    38
    On donne les points , et . Démontrer que les points , , et sont coplanaires.
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    39
    On donne les points et .

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


    2. On donne la droite de représentation paramétrique :
    Étudier la position relative de et .
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    Exercices inversés


    40

    En réponse à un exercice, on écrit : «  donc , , et sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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    41

    En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite est donc .  » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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