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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Exercices
Travailler les automatismes
À l'oral
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Enregistreur audio
17
Soient u=i+j, v=i+k et w=2i+j+k, trois vecteurs dans une base (i,j,k). Exprimer w en fonction de u et v.
Que peut-on en conclure ?
18
On donne les vecteurs u=i+j+2k, v=2i−j−k et w=−3i−k dans une base (i,j,k).
1. Déterminer u+v+w.
2. Que peut-on en conclure ?
19
Soit ABCD un tétraèdre. E, F, G et H sont les
milieux des segments comme indiqué sur la figure.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Démontrer que (EF) et (GH) sont parallèles.
20
Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous
Le zoom est accessible dans la version Premium.
L'espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE). I est le milieu de [EC] et J celui de [GC].
Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.
21
Soient P un plan de l'espace et d une droite contenue dans P. Soit Δ une droite parallèle à d. Tout plan contenant Δ est-il parallèle à P ?
Justifer.
Translations
22
Soient ABC un triangle quelconque et t la translation de vecteur AB.
Soit D le point défini par la relation BD=CB. On note E l'image de C par t, F l'image de E par t et G
l'image de B par t.
1. Construire une figure.
Dessinez ici
2. Démontrer que AGFC est un parallélogramme.
3. En déduire que G est le milieu de [FD].
23
On considère un pavé droit ABCDEFGH. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BE].
On définit la translation t de vecteur IJ.
1. Construire le pavé droit ABCDEFGH et placer sur la figure les points I et J. 2. Placer les points A′ et D′, images respectives de A et D par t.
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3. Démontrer que A′D′HE est un parallélogramme.
24
Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a. On considère la translation t de vecteur AB.
1. Construire la figure et construire l'image du tétraèdre par t. On notera A′, B′, C′, D′ les images respectives de A, B, C et D.
GeoGebra
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2. Montrer que A′B′C′D′ est un tétraèdre régulier de côté a.
Combinaisons linéaires
25
Soit ABCDEFGH un pavé droit.
On note I le centre du rectangle ABCD.
Soient u=3AB, v=BD+BE et w=3AI+IE.
Montrer que les vecteurs u, v et w sont coplanaires.
26
Soit ABCDEFGH un cube.
On définit les points P, Q et R par les relations vectorielles suivantes : AP=AB−AD+AE, AQ=−AD+2AE et AR=AB−2AD+3AE.
1. Construire une figure.
GeoGebra
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2. Démontrer que les points A, P, Q et R sont coplanaires.
27
Dans la base (i,j,k), on donne le vecteur w=j+k.
Démontrer que les vecteurs i, j et w sont linéairement indépendants.
28
Dans la base (i,j,k), on donne les vecteur u=i+j+2k, v=j+2k et w=i+k .
Démontrer que les vecteurs u, v et w sont linéairement indépendants.
29
Dans la base (i,j,k), on donne les vecteur u=i+j+2k, v=i−j−2k et w=3i−j−2k.
1. Déterminer deux réels λ et μ tels que w=λu+μv.
2. Que peut-on en déduire ?
Intersections
30
On considère le cube ABCDEFGH, I un point du segment [AE], J un point du segment [EH] et K un point du segment [GC].
Déterminer l'intersection des plans (IJK) et (DCG) .
31
Dans le tétraèdre ABCD, les points I, J et K sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement L, M et N les intersections de (IJ) et (BD), de (IK) et (BC) et de (KJ) et (CD).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Démontrer que les points L, M et N sont alignés.
32
Soit ABCDS une pyramide régulière de sommet S et de base carrée de centre O.
1. Déterminer l'intersection des plans (SBO) et (SAC).
2. Déterminer l'intersection des plans (SAB) et (SDC).
33
Soit ABCDS une pyramide régulière de sommet S et dont la base ABCD est un carré.
On note I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].
1. Démontrer que (DC) et (IJ) sont parallèles.
2. Démontrer que (IJ) et (SDC) sont parallèles.
Repère de l'espace
Pour les exercices
35
à
39
L'espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
34
Soit ABCDEFGH un cube.
L'espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE). On note I le milieu de [AB]. J est le point défini par AJ=43AB+21AD+21AE.
Démontrer que les points I, J et G sont alignés
35
On donne les points E(1;−3;4), F(2;−1;1) et G(−1;0;2). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
EF
EG
−3EG+2EF
2FG+EF
36
On donne les points A(1;2;1), B(2;−1;3) et C(3;−4;5). Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
37
On donne les points A(2;3;−2), B(1;3;1) et C(−1;1;0). Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
38
On donne les points A(1;2;1), B(−1;−2;3) et C(1;2;5). Démontrer que les points O, A, B et C sont coplanaires.
39
On donne les points E(4;7;2) et F(3;1;−5).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EF).
2. On donne la droite δ de représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=t+1y=6t−1,t∈R.z=7t
Étudier la position relative de δ et (EF).
Exercices inversés
40
En réponse à un exercice, on écrit : « AD=3AB−2AC donc A, B, C et D sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
41
En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite d est donc ⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+4y=3t−1,t∈Rz=4t+1. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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