17

Soient $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, trois vecteurs dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Exprimer $\overrightarrow{w}$ en fonction de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Que peut-on en conclure ?

18

On donne les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$ dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. 1. Déterminer $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

2. Que peut-on en conclure ?

19

Soit $\text{ABCD}$ un tétraèdre. $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ sont les milieux des segments comme indiqué sur la figure.

Démontrer que $\text{(EF)}$ et $\text{(GH)}$ sont parallèles.

20

Soit $\text{ABCDEFGH}$ le cube ci-dessous
L'espace est rapporté au repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$. $\text{I}$ est le milieu de $\text{[EC]}$ et $\text{J}$ celui de $\text{[GC]}$.

Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.

27

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants.

28

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ . Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants.

31

Dans le tétraèdre $\text{ABCD}$, les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ les intersections de $\text{(IJ)}$ et $\text{(BD)}$, de $\text{(IK)}$ et $\text{(BC)}$ et de $\text{(KJ)}$ et $\text{(CD)}$.
Démontrer que les points $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ sont alignés.

32

Soit $\text{ABCDS}$ une pyramide régulière de sommet $\text{S}$ et de base carrée de centre $\text{O}$. 1. Déterminer l'intersection des plans $\text{(SBO)}$ et $\text{(SAC)}$.

2. Déterminer l'intersection des plans $\text{(SAB)}$ et $\text{(SDC)}$.

34

Soit $\text{ABCDEFGH}$ un cube. L'espace est rapporté au repère $(\text{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$. $\text{J}$ est le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{J}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$.
Démontrer que les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{G}$ sont alignés

35

On donne les points $\text{E}(1;-3;4)$, $\text{F}(2;-1;1)$ et $\text{G}(-1;0;2)$. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

$\overrightarrow{\text{EF}}$

$\overrightarrow{\text{EG}}$

$-3\overrightarrow{\text{EG}}+2\overrightarrow{\text{EF}}$

$2\overrightarrow{\text{FG}}+\overrightarrow{\text{EF}}$

38

On donne les points $\text{A}(1;2;1)$, $\text{B}(-1;-2;3)$ et $\text{C}(1;2;5)$. Démontrer que les points $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont coplanaires.

39

On donne les points $\text{E}(4;7;2)$ et $\text{F}(3;1;-5)$. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(EF)}$.

2. On donne la droite $\delta$ de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=6t-1,t\in \mathbb{R}.\\ z=7t\end{array}$
Étudier la position relative de $\delta$ et $(\text{EF})$.

40

En réponse à un exercice, on écrit : « $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ donc $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.

41

En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite $d$ est donc $\{\begin{array}{l}x=-2t+4\\ y=3t-1,t\in \mathbb{R}\\ z=4t+1\end{array}$.  » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.