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17

Soient $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, trois vecteurs dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Exprimer $\overrightarrow{w}$ en fonction de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Que peut-on en conclure ?

18

On donne les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$ dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

1. Déterminer $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

2. Que peut-on en conclure ?

19

Soit $\text{ABCD}$ un tétraèdre. $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ sont les milieux des segments comme indiqué sur la figure.
Démontrer que $\text{(EF)}$ et $\text{(GH)}$ sont parallèles.

20

Soit $\text{ABCDEFGH}$ le cube ci-dessous

L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$. $\text{I}$ est le milieu de $\text{[EC]}$ et $\text{J}$ celui de $\text{[GC]}$.

Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.

21

Soient $\mathcal{P}$ un plan de l’espace et $d$ une droite contenue dans $\mathcal{P}$. Soit $\Delta$ une droite parallèle à $d$. Tout plan contenant $\Delta$ est-il parallèle à $\mathcal{P}$ ? Justifer.

22

Soient $\text{ABC}$ un triangle quelconque et $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$. Soit $\text{D}$ le point défini par la relation $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}$. On note $\text{E}$ l’image de $\text{C}$ par $t$, $\text{F}$ l’image de $\text{E}$ par $t$ et $\text{G}$ l’image de $\text{B}$ par $t$.

1. Construire une figure.



2. Démontrer que $\text{AGFC}$ est un parallélogramme.

3. En déduire que $\text{G}$ est le milieu de $\text{[FD]}$.

23

On considère un pavé droit $\text{ABCDEFGH}$. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[BE]}$. On définit la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{IJ}}$.

1. Construire le pavé droit $\text{ABCDEFGH}$ et placer sur la figure les points $\text{I}$ et $\text{J}$.
2. Placer les points ${\text{A}}^{\prime }$ et ${\text{D}}^{\prime }$, images respectives de $\text{A}$ et $\text{D}$ par $t$.



3. Démontrer que ${\text{A}}^{\prime }{\text{D}}^{\prime }\text{HE}$ est un parallélogramme.

24

Soit $\text{ABCD}$ un tétraèdre régulier de côté $a$. On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.
1. Construire la figure et construire l’image du tétraèdre par $t$. On notera ${\text{A}}^{\prime }$, ${\text{B}}^{\prime }$, ${\text{C}}^{\prime }$, ${\text{D}}^{\prime }$ les images respectives de $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$.



2. Montrer que ${\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }{\text{D}}^{\prime }$ est un tétraèdre régulier de côté $a$.

25

Soit $\text{ABCDEFGH}$ un pavé droit. On note $\text{I}$ le centre du rectangle $\text{ABCD}$.
Soient $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}}$ et $\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}+\overrightarrow{\mathrm{I}\mathrm{E}}$.

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

26

Soit $\text{ABCDEFGH}$ un cube. On définit les points $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ par les relations vectorielles suivantes : $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{P}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{Q}}=-\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}+2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}+3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$.

1. Construire une figure.


2. Démontrer que les points $\text{A}$, $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ sont coplanaires.

27

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants.

28

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ .
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants.

29

Dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on donne les vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$.

1. Déterminer deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$.

2. Que peut-on en déduire ?

30

On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$, $\text{I}$ un point du segment $\text{[AE]}$, $\text{J}$ un point du segment $\text{[EH]}$ et $\text{K}$ un point du segment $\text{[GC]}$.

Déterminer l’intersection des plans $\text{(IJK)}$ et $\text{(DCG)}$ .

31

Dans le tétraèdre $\text{ABCD}$, les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ les intersections de $\text{(IJ)}$ et $\text{(BD)}$, de $\text{(IK)}$ et $\text{(BC)}$ et de $\text{(KJ)}$ et $\text{(CD)}$.

Démontrer que les points $\text{L}$, $\text{M}$ et $\text{N}$ sont alignés.

32

Soit $\text{ABCDS}$ une pyramide régulière de sommet $\text{S}$ et de base carrée de centre $\text{O}$.

1. Déterminer l’intersection des plans $\text{(SBO)}$ et $\text{(SAC)}$.


2. Déterminer l’intersection des plans $\text{(SAB)}$ et $\text{(SDC)}$.

33

Soit $\text{ABCDS}$ une pyramide régulière de sommet $\text{S}$ et dont la base $\text{ABCD}$ est un carré.
On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[SA]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[SB]}$.

1. Démontrer que $\text{(DC)}$ et $\text{(IJ)}$ sont parallèles.

2. Démontrer que $\text{(IJ)}$ et $\text{(SDC)}$ sont parallèles.

34

Soit $\text{ABCDEFGH}$ un cube. L’espace est rapporté au repère $(\text{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})$. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$. $\text{J}$ est le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{J}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}$.

Démontrer que les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{G}$ sont alignés

Pour les exercices

35

à

39

L’espace est rapporté à un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

35

On donne les points $\text{E}(1;-3;4)$, $\text{F}(2;-1;1)$ et $\text{G}(-1;0;2)$. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

$\overrightarrow{\text{EF}}$

$\overrightarrow{\text{EG}}$

$-3\overrightarrow{\text{EG}}+2\overrightarrow{\text{EF}}$

$2\overrightarrow{\text{FG}}+\overrightarrow{\text{EF}}$

36

On donne les points $\text{A}(1;2;1)$, $\text{B}(2;-1;3)$ et $\text{C}(3;-4;5)$. Démontrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés.

37

On donne les points $\text{A}(2;3;-2)$, $\text{B}(1;3;1)$ et $\text{C}(-1;1;0)$. Démontrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.

38

On donne les points $\text{A}(1;2;1)$, $\text{B}(-1;-2;3)$ et $\text{C}(1;2;5)$. Démontrer que les points $\text{O}$, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont coplanaires.

39

On donne les points $\text{E}(4;7;2)$ et $\text{F}(3;1;-5)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(EF)}$.

2. On donne la droite $\delta$ de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=6t-1,t\in \mathbb{R}.\\ z=7t\end{array}$
Étudier la position relative de $\delta$ et $(\text{EF})$.

40

En réponse à un exercice, on écrit : « $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ donc $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.

41

En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite $d$ est donc $\{\begin{array}{l}x=-2t+4\\ y=3t-1,t\in \mathbb{R}\\ z=4t+1\end{array}$.  » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.