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Travailler les automatismes
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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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17
Soient u=i+j\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}, v=i+k\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} et w=2i+j+k\overrightarrow{w}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}, trois vecteurs dans une base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}). Exprimer w\overrightarrow{w} en fonction de u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}.
Que peut-on en conclure ?
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18

On donne les vecteurs u=i+j+2k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}, v=2ijk\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} et w=3ik\overrightarrow{w}=-3 \overrightarrow{i}-\overrightarrow{k} dans une base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

1. Déterminer u+v+w\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}.


2. Que peut-on en conclure ?
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19
Soit ABCD\text{ABCD} un tétraèdre. E\text{E}, F\text{F}, G\text{G} et H\text{H} sont les milieux des segments comme indiqué sur la figure.
Applications directes
Démontrer que (EF)\text{(EF)} et (GH)\text{(GH)} sont parallèles.
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20
Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} le cube ci-dessous
Applications directes

L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}). I\text{I} est le milieu de [EC]\text{[EC]} et J\text{J} celui de [GC]\text{[GC]}.

Donner, en utilisant des décompositions de vecteurs, les coordonnées de tous les points de la figure.
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21
Soient P\mathcal{P} un plan de l’espace et dd une droite contenue dans P\mathcal{P}. Soit Δ\Delta une droite parallèle à dd. Tout plan contenant Δ\Delta est-il parallèle à P\mathcal{P} ? Justifer.
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Translations


22
Soient ABC\text{ABC} un triangle quelconque et tt la translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}}. Soit D\text{D} le point défini par la relation BD=CB\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}. On note E\text{E} l’image de C\text{C} par tt, F\text{F} l’image de E\text{E} par tt et G\text{G} l’image de B\text{B} par tt.

1. Construire une figure.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Démontrer que AGFC \text{AGFC} est un parallélogramme.


3. En déduire que G\text{G} est le milieu de [FD]\text{[FD]}.
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23
On considère un pavé droit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}. On note I\text{I} le milieu de [AB]\text{[AB]} et J\text{J} le milieu de [BE]\text{[BE]}. On définit la translation tt de vecteur IJ\overrightarrow{\text{IJ}}.

1. Construire le pavé droit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} et placer sur la figure les points I\text{I} et J\text{J}.
2. Placer les points A\text{A}' et D\text{D}', images respectives de A\text{A} et D\text{D} par tt.

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3. Démontrer que ADHE\text{A}'\text{D}'\text{HE} est un parallélogramme.
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24
Soit ABCD\text{ABCD} un tétraèdre régulier de côté aa. On considère la translation tt de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}}.
1. Construire la figure et construire l’image du tétraèdre par tt. On notera A\text{A}', B\text{B}', C\text{C}', D\text{D}' les images respectives de A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D}.

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2. Montrer que ABCD \text{A}'\text{B}'\text{C}'\text{D}' est un tétraèdre régulier de côté aa.
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Combinaisons linéaires


25
Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} un pavé droit. On note I\text{I} le centre du rectangle ABCD\text{ABCD}.
Soient u=3AB\overrightarrow{u}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}, v=BD+BE\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}} et w=3AI+IE\overrightarrow{w}=3 \overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IE}}.

Montrer que les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires.
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26
Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} un cube. On définit les points P\text{P}, Q\text{Q} et R\text{R} par les relations vectorielles suivantes : AP=ABAD+AE\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}, AQ=AD+2AE\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AE}} et AR=AB2AD+3AE\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AE}}.

1. Construire une figure.

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2. Démontrer que les points A\text{A}, P\text{P}, Q\text{Q} et R\text{R} sont coplanaires.
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27
Dans la base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne le vecteur w=j+k\overrightarrow{w}=\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}.
Démontrer que les vecteurs i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et w\overrightarrow{w} sont linéairement indépendants.
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28
Dans la base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteur u=i+j+2k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}, v=j+2k\overrightarrow{v}=\overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k} et w=i+k\overrightarrow{w}=\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} .
Démontrer que les vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont linéairement indépendants.
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29
Dans la base (i,j,k)( \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), on donne les vecteur u=i+j+2k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}, v=ij2k\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} - 2 \overrightarrow{k} et w=3ij2k\overrightarrow{w}= 3 \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} - 2 \overrightarrow{k}.

1. Déterminer deux réels λ\lambda et μ\mu tels que w=λu+μv\overrightarrow{w} = \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}.


2. Que peut-on en déduire ?
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Intersections


30
On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}, I\text{I} un point du segment [AE]\text{[AE]}, J\text{J} un point du segment [EH]\text{[EH]} et K\text{K} un point du segment [GC]\text{[GC]}.

Déterminer l’intersection des plans (IJK)\text{(IJK)} et (DCG)\text{(DCG)} .
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31
Dans le tétraèdre ABCD\text{ABCD}, les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} sont placés comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note respectivement L\text{L}, M\text{M} et N\text{N} les intersections de (IJ)\text{(IJ)} et (BD)\text{(BD)}, de (IK)\text{(IK)} et (BC)\text{(BC)} et de (KJ)\text{(KJ)} et (CD)\text{(CD)}.

Applications directes
Démontrer que les points L\text{L}, M\text{M} et N\text{N} sont alignés.
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32
Soit ABCDS\text{ABCDS} une pyramide régulière de sommet S\text{S} et de base carrée de centre O\text{O}.

1. Déterminer l’intersection des plans (SBO)\text{(SBO)} et (SAC)\text{(SAC)}.


2. Déterminer l’intersection des plans (SAB)\text{(SAB)} et (SDC)\text{(SDC)}.
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33
Soit ABCDS\text{ABCDS} une pyramide régulière de sommet S\text{S} et dont la base ABCD\text{ABCD} est un carré.
On note I\text{I} le milieu de [SA]\text{[SA]} et J\text{J} le milieu de [SB]\text{[SB]}.

1. Démontrer que (DC)\text{(DC)} et (IJ)\text{(IJ)} sont parallèles.


2. Démontrer que (IJ)\text{(IJ)} et (SDC)\text{(SDC)} sont parallèles.
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Repère de l'espace


34
Soit ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} un cube. L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE)(\text{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AD}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AE}}). On note I\text{I} le milieu de [AB]\text{[AB]}. J\text{J} est le point défini par AJ=34AB+12AD+12AE\overrightarrow{\mathrm{AJ}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.

Démontrer que les points I\text{I}, J\text{J} et G\text{G} sont alignés
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Pour les exercices
35
à
39


L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k)(\mathrm{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

35
On donne les points E(1;3;4)\text{E} (1 \: ;-3 \: ; 4), F(2;1;1)\text{F} (2 \: ;-1 \: ; 1) et G(1;0;2)\text{G} (-1 \: ;0 \: ; 2). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :

  • EF\overrightarrow{\text{EF}}


  • EG\overrightarrow{\text{EG}}


  • 3EG+2EF-3 \overrightarrow{\text{EG}} + 2 \overrightarrow{\text{EF}}


  • 2FG+EF2 \overrightarrow{\text{FG}} + \overrightarrow{\text{EF}}
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    36
    On donne les points A(1;2;1)\text{A} (1 \: ;2 \: ; 1), B(2;1;3)\text{B} (2 \: ;-1 \: ; 3) et C(3;4;5)\text{C} (3 \: ; -4 \: ; 5). Démontrer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont alignés.
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    37
    On donne les points A(2;3;2)\text{A} (2 \: ; 3 \: ; -2), B(1;3;1)\text{B} (1 \: ; 3 \: ; 1) et C(1;1;0)\text{C} (-1 \: ; 1 \: ; 0). Démontrer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} définissent un plan.
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    38
    On donne les points A(1;2;1)\text{A} (1 \: ; 2 \: ; 1), B(1;2;3)\text{B} (-1 \: ; -2 \: ; 3) et C(1;2;5)\text{C} (1 \: ; 2 \: ; 5). Démontrer que les points O\text{O}, A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont coplanaires.
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    39
    On donne les points E(4;7;2)\text{E} (4 \: ; 7 \: ; 2) et F(3;1;5)\text{F} (3 \: ; 1 \: ; -5).

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EF)\text{(EF)}.


    2. On donne la droite δ\delta de représentation paramétrique : {x=t+1y=6t1,tR.z=7t\left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\ y=6 t-1, t \in \mathbb{R}.\\ z=7 t \end{array}\right.
    Étudier la position relative de δ\delta et (EF)(\text{EF}).
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    Exercices inversés


    40

    En réponse à un exercice, on écrit : « AD=3AB2AC\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} donc A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} sont coplanaires. » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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    41

    En réponse à un exercice, on écrit : « Une équation paramétrique de la droite dd est donc {x=2t+4y=3t1,tRz=4t+1\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+4 \\ y=3 t-1, t \in \mathrm{\R} \\ z=4 t+1 \end{array}\right..  » Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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