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Aire d’une section du cube

1. Construction de la figure.

a. Ouvrir GeoGebra 3D, effacer le plan (clic droit et sélectionner plan). Dans la barre de menu, sélectionner option puis arrondi et fixer le nombre de décimales à 3 pour l’exercice.
b. Construire les points $\text{A} ( 0 \: ; 0 \: ; 0)$ et $\text{A} ( 1 \: ; 0 \: ; 0)$.
c. Construire un cube à partir des points $\text{A}$ et $\text{B}$.
d. Construire les milieux $\text{I}$ et $\text{J}$ de $\text{[FG]}$ et $\text{[GH]}$.
e. Sélectionner point sur un objet et construire $\text{K}$ sur le segment $\text{[CG]}$.

2. a. Tracer le plan $\text{(IJK)}$ et demander l’affchage de l’aire du triangle $\text{IJK}$ dans la barre de saisie.
b. Vérifer le résultat obtenu lorsque les points $\text{G}$ et $\text{K}$ sont confondus. Répondre au problème posé.

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On note $\text{L}$ le milieu de $\text{[IJ]}$ et $z$ la cote du point $\text{K}$.

1. Calcul de $\text{LK}$.
a. Justifer que $(\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ})$.

b. Démontrer que $\mathrm{LK}=\sqrt{\dfrac{1}{8}+(1-z)^{2}}$.

c. Écrire le script d’une fonction Python appelée hauteur qui calcule la longueur $\text{LK}$ en fonction de $z$.
d. Écrire le script d’une fonction Python appelée aire qui calcule l’aire du triangle $\text{IJK}$.
e. Vérifer les programmes avec $z = 1$.

2. Compléter le programme ci-dessous afin de répondre au problème posé. L’exécuter et conclure.

from math import *

def hauteur(z):
	return ...

def aire(z):
	return ...

z = 1
A = 0.125
pas = 0.001
while A ... 0.25:
	z = ...
	A = aire(z)

print(z)

On note $\text{L}$ le milieu de $\text{[IJ]}$ et $z$ la cote du point $\text{K}$.

1. Calcul de $\text{LK}$.
a. Justifer que $(\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ})$.
b. Démontrer que $\mathrm{LK}=\sqrt{\dfrac{1}{8}+(1-z)^{2}}$.
2. Ouvrir une feuille de calcul et compléter les colonnes de la façon suivante :

• colonne A : valeur de $z$ entre $0$ et $1$ avec un pas de $0{,}01$ ;
• colonne B : valeur de $\text{LK}$ en fonction de la colonne A ;
• colonne C : aire du triangle $\text{IJK}$ en fonction de la colonne B.

3. Déterminer alors un encadrement de $z$ d’amplitude $0,01$ pour répondre au problème.