Aire d'une section du cube

On considère un cube \text{ABCDEFGH} d'arête de longueur 1. \text{I} est le milieu de [\text{FG}] et \text{J} celui de [\text{GH}]. On note \text{K} un point du segment [\text{CG}].

Questions préliminaires :
1. Démontrer que la section du cube par le plan (\text{IJK}) est un triangle isocèle.

2. Calculer la longueur \text{IJ} et vérifer que l'aire du triangle \text{IJG} est égale à \dfrac{1}{8}.

1. Construction de la figure.

a. Ouvrir

GeoGebra 3D

, effacer le plan (clic droit et sélectionner plan). Dans la barre de menu, sélectionner option puis arrondi et fixer le nombre de décimales à 3 pour l'exercice.
b. Construire les points \text{A} ( 0 \: ; 0 \: ; 0) et \text{A} ( 1 \: ; 0 \: ; 0).
c. Construire un cube à partir des points \text{A} et \text{B}.
d. Construire les milieux \text{I} et \text{J} de \text{[FG]} et \text{[GH]}.
e. Sélectionner point sur un objet et construire \text{K} sur le segment \text{[CG]}.

2. a. Tracer le plan \text{(IJK)} et demander l'affchage de l'aire du triangle \text{IJK} dans la barre de saisie.
b. Vérifer le résultat obtenu lorsque les points \text{G} et \text{K} sont confondus. Répondre au problème posé.

1. Calcul de \text{LK}.
a. Justifer que (\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ}).

b. Démontrer que \mathrm{LK}=\sqrt{\frac{1}{8}+(1-z)^{2}}.

c. Écrire le script d'une fonction Python appelée hauteur qui calcule la longueur \text{LK} en fonction de z.
d. Écrire le script d'une fonction Python appelée aire qui calcule l'aire du triangle \text{IJK}.
e. Vérifer les programmes avec z = 1.

2. Compléter le programme ci-dessous afin de répondre au problème posé. L'exécuter et conclure.

from math import *

def hauteur(z):
	return ...

def aire(z):
	return ...

z = 1
A = 0.125
pas = 0.001
while A ... 0.25:
	z = ...
	A = aire(z)

print(z)

1. Calcul de \text{LK}.
a. Justifer que (\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ}).

b. Démontrer que \mathrm{LK}=\sqrt{\frac{1}{8}+(1-z)^{2}}.

2. Ouvrir une feuille de calcul et compléter les colonnes de la façon suivante :

• colonne A : valeur de z entre 0 et 1 avec un pas de 0{,}01 ;
• colonne B : valeur de \text{LK} en fonction de la colonne A ;
• colonne C : aire du triangle \text{IJK} en fonction de la colonne B.

3. Déterminer alors un encadrement de z d'amplitude 0,01 pour répondre au problème.