Aire d'une section du cube

On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ d'arête de longueur $1$. $\text{I}$ est le milieu de $[\text{FG}]$ et $\text{J}$ celui de $[\text{GH}]$. On note $\text{K}$ un point du segment $[\text{CG}]$.

Questions préliminaires :
1. Démontrer que la section du cube par le plan $(\text{IJK})$ est un triangle isocèle.

2. Calculer la longueur $\text{IJ}$ et vérifer que l'aire du triangle $\text{IJG}$ est égale à $\frac{1}{8}$.

1. Construction de la figure.

a. Ouvrir

GeoGebra 3D

, effacer le plan (clic droit et sélectionner plan). Dans la barre de menu, sélectionner option puis arrondi et fixer le nombre de décimales à 3 pour l'exercice.
b. Construire les points $\text{A}(0;0;0)$ et $\text{A}(1;0;0)$.
c. Construire un cube à partir des points $\text{A}$ et $\text{B}$.
d. Construire les milieux $\text{I}$ et $\text{J}$ de $\text{[FG]}$ et $\text{[GH]}$.
e. Sélectionner point sur un objet et construire $\text{K}$ sur le segment $\text{[CG]}$.

2. a. Tracer le plan $\text{(IJK)}$ et demander l'affchage de l'aire du triangle $\text{IJK}$ dans la barre de saisie.
b. Vérifer le résultat obtenu lorsque les points $\text{G}$ et $\text{K}$ sont confondus. Répondre au problème posé.

1. Calcul de $\text{LK}$.
a. Justifer que $(\mathrm{LK})\perp (\mathrm{IJ})$.

b. Démontrer que $\mathrm{LK}=\sqrt{\frac{1}{8}+(1-z{)}^2}$.

c. Écrire le script d'une fonction Python appelée hauteur qui calcule la longueur $\text{LK}$ en fonction de $z$.
d. Écrire le script d'une fonction Python appelée aire qui calcule l'aire du triangle $\text{IJK}$.
e. Vérifer les programmes avec $z=1$.

2. Compléter le programme ci-dessous afin de répondre au problème posé. L'exécuter et conclure.

from math import *

def hauteur(z):
	return ...

def aire(z):
	return ...

z = 1
A = 0.125
pas = 0.001
while A ... 0.25:
	z = ...
	A = aire(z)

print(z)

1. Calcul de $\text{LK}$.
a. Justifer que $(\mathrm{LK})\perp (\mathrm{IJ})$.

b. Démontrer que $\mathrm{LK}=\sqrt{\frac{1}{8}+(1-z{)}^2}$.

2. Ouvrir une feuille de calcul et compléter les colonnes de la façon suivante :

• colonne A : valeur de $z$ entre $0$ et $1$ avec un pas de $0,01$ ;
• colonne B : valeur de $\text{LK}$ en fonction de la colonne A ;
• colonne C : aire du triangle $\text{IJK}$ en fonction de la colonne B.

3. Déterminer alors un encadrement de $z$ d'amplitude $0,01$ pour répondre au problème.