On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. I est le milieu de [FG] et J celui de [GH]. On note K un point du segment [CG].
Questions préliminaires : 1. Démontrer que la section du cube par le plan (IJK) est un triangle isocèle.
2. Calculer la longueur IJ et vérifer que l’aire du triangle IJG est égale à 81.
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Objectif
Déterminer la position de K telle que l’aire de la section
du cube par le plan (IJK) soit égale au double de l’aire
du triangle IJG en utilisant une des trois méthodes.
a. Ouvrir GeoGebra 3D, effacer le plan (clic droit et sélectionner plan). Dans la barre de menu, sélectionner option puis arrondi et fixer le nombre de décimales à 3 pour l’exercice. b. Construire les points A(0;0;0) et A(1;0;0). c. Construire un cube à partir des points A et B. d. Construire les milieux I et J de [FG] et [GH]. e. Sélectionner point sur un objet et construire K
sur le segment [CG].
2.a. Tracer le plan (IJK) et demander l’affchage de
l’aire du triangle IJK dans la barre de saisie. b. Vérifer le résultat obtenu lorsque les points G et K sont confondus. Répondre au problème posé.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On note L le milieu de [IJ] et z la cote du point K.
1. Calcul de LK. a. Justifer que (LK)⊥(IJ).
b. Démontrer que LK=81+(1−z)2.
c. Écrire le script d’une fonction Python appelée
hauteur qui calcule la longueur LK en fonction de z. d. Écrire le script d’une fonction Python appelée
aire qui calcule l’aire du triangle IJK. e. Vérifer les programmes avec z=1.
2. Compléter le programme ci-dessous afin de répondre au problème posé. L’exécuter et conclure.
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from math import *
def hauteur(z):
return ...
def aire(z):
return ...
z = 1
A = 0.125
pas = 0.001
while A ... 0.25:
z = ...
A = aire(z)
print(z)
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR
On note L le milieu de [IJ] et z la cote du point K.
1. Calcul de LK. a. Justifer que (LK)⊥(IJ).
b. Démontrer que LK=81+(1−z)2.
2. Ouvrir une feuille de calcul et compléter les colonnes de la façon suivante :
colonne A : valeur de z entre 0 et 1 avec un pas de 0,01 ;
colonne B : valeur de LK en fonction de la colonne A ;
colonne C : aire du triangle IJK en fonction de la colonne B.
3. Déterminer alors un encadrement de z
d’amplitude 0,01 pour répondre au problème.