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Aire d'une section du cube
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Aire d’une section du cube




Énoncé

On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} d’arête de longueur 11. I\text{I} est le milieu de [FG][\text{FG}] et J\text{J} celui de [GH][\text{GH}]. On note K\text{K} un point du segment [CG][\text{CG}].

Questions préliminaires :
1. Démontrer que la section du cube par le plan (IJK)(\text{IJK}) est un triangle isocèle.


2. Calculer la longueur IJ\text{IJ} et vérifer que l’aire du triangle IJG\text{IJG} est égale à 18\dfrac{1}{8}.
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Aire d’une section du cube

Objectif

Déterminer la position de K\text{K} telle que l’aire de la section du cube par le plan (IJK)(\text{IJK}) soit égale au double de l’aire du triangle IJG\text{IJG} en utilisant une des trois méthodes.

Pour aller plus loin

Certaines intersections de cube sont étudiées dans l’exercice « Travailler ensemble » p. 120.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Construction de la figure.

a. Ouvrir GeoGebra 3D, effacer le plan (clic droit et sélectionner plan). Dans la barre de menu, sélectionner option puis arrondi et fixer le nombre de décimales à 3 pour l’exercice.
b. Construire les points A(0;0;0)\text{A} ( 0 \: ; 0 \: ; 0) et A(1;0;0)\text{A} ( 1 \: ; 0 \: ; 0).
c. Construire un cube à partir des points A\text{A} et B\text{B}.
d. Construire les milieux I\text{I} et J\text{J} de [FG]\text{[FG]} et [GH]\text{[GH]}.
e. Sélectionner point sur un objet et construire K\text{K} sur le segment [CG]\text{[CG]}.

2. a. Tracer le plan (IJK)\text{(IJK)} et demander l’affchage de l’aire du triangle IJK\text{IJK} dans la barre de saisie.
b. Vérifer le résultat obtenu lorsque les points G\text{G} et K\text{K} sont confondus. Répondre au problème posé.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On note L\text{L} le milieu de [IJ]\text{[IJ]} et zz la cote du point K\text{K}.

1. Calcul de LK\text{LK}.
a. Justifer que (LK)(IJ)(\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ}).


b. Démontrer que LK=18+(1z)2\mathrm{LK}=\sqrt{\dfrac{1}{8}+(1-z)^{2}}.


c. Écrire le script d’une fonction Python appelée hauteur qui calcule la longueur LK\text{LK} en fonction de zz.
d. Écrire le script d’une fonction Python appelée aire qui calcule l’aire du triangle IJK\text{IJK}.
e. Vérifer les programmes avec z=1z = 1.

2. Compléter le programme ci-dessous afin de répondre au problème posé. L’exécuter et conclure.
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from math import *

def hauteur(z):
	return ...

def aire(z):
	return ...

z = 1
A = 0.125
pas = 0.001
while A ... 0.25:
	z = ...
	A = aire(z)

print(z)
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR

On note L\text{L} le milieu de [IJ]\text{[IJ]} et zz la cote du point K\text{K}.

1. Calcul de LK\text{LK}.
a. Justifer que (LK)(IJ)(\mathrm{LK}) \perp(\mathrm{IJ}).

b. Démontrer que LK=18+(1z)2\mathrm{LK}=\sqrt{\dfrac{1}{8}+(1-z)^{2}}.

2. Ouvrir une feuille de calcul et compléter les colonnes de la façon suivante :
  • colonne A : valeur de zz entre 00 et 11 avec un pas de 0,010{,}01 ;
  • colonne B : valeur de LK\text{LK} en fonction de la colonne A ;
  • colonne C : aire du triangle IJK\text{IJK} en fonction de la colonne B.

3. Déterminer alors un encadrement de zz d’amplitude 0,010,01 pour répondre au problème.
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