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2. Droites et plans de l'espace
P.75

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Entraînement


2
Droites et plans de l’espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

58
FLASH

On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} ci-dessous.

Droites et plans de l'espace

1. Donner un repère du plan (ABC)\text{(ABC)}.


2. Donner un repère de la droite (AE)\text{(AE)}.


3. On note I\text{I} le milieu de [AE]\text{[AE]}.
a. (I;AB,DC)( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{DC}} ) est-il un repère du plan ? Justifier.


b. (I;IE,AB)( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{IE}} \: , \overrightarrow{\text{AB}} ) est-il un repère du plan ? Justifier.


2. Donner trois différentes bases de l’espace en utilisant les points de la figure.
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59
FLASH

On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} et on note I\text{I} le milieu de [FE]\text{[FE]}, S\text{S} l’intersection de (AE)\text{(AE)} et (BI)\text{(BI)} et J\text{J} l’intersection de la droite (EH)\text{(EH)} avec le plan (BDS)\text{(BDS)}.
Droites et plans de l’espace

Démontrer que (IJ)\text{(IJ)} et (BD)\text{(BD)} sont parallèles.
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60
FLASH

On considère un triangle ABC \text{ABC}, I\text{I} un point du segment [AB]\text{[AB]} et J\text{J} un point du segment [AC]\text{[AC]}, la droite (IJ)\text{(IJ)} n’étant pas parallèle à la droite (BC)\text{(BC)}. On note S\text{S} un point n’appartenant pas au plan (ABC)\text{(ABC)}. Réaliser une figure à main levée et déterminer l’intersection de la droite (BC)\text{(BC)} et du plan (SIJ)\text{(SIJ)}.

Couleurs
Formes
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61
[Communiquer.]◉◉
On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} représenté ci-dessous.

Droites et plans de l'espace

1. Justifier que (AB,AD,AE)( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ) est une base de l'espace.


2. On note I\text{I} le milieu de [AB]\text{[AB]} et J\text{J} celui de [HG]\text{[HG]}. Exprimer le vecteur IJ\overrightarrow{\text{IJ}} dans la base (AB,AD,AE)( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ).

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62
[Représenter.] ◉◉
Section d’un solide
On considère la pyramide SABCD\text{SABCD} à base carrée et de sommet S\text{S} ci-dessous. E\text{E} et F\text{F} sont deux points de la face SAB\text{SAB} et G \text{G} est un point de la face SBC\text{SBC} tels que (EFG)\text{(EFG)} n’est pas parallèle au plan (ABC)\text{(ABC)}.

Droites et plans de l’espace

On souhaite obtenir la trace de la section de la pyramide par le plan (EFG)\text{(EFG)}, c’est-à-dire les intersections du plan (EFG)\text{(EFG)} avec les faces de la pyramide.
On ne demande pas de justifer les constructions.

1. Reproduire la figure.
2. Tracer l’intersection de la face SAB\text{SAB} et du plan (EFG)\text{(EFG)}.
3. Tracer l’intersection de la face SCB\text{SCB} et du plan (EFG)\text{(EFG)}.

Couleurs
Formes
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4. On note L\text{L} le point d’intersection des droites (EF)\text{(EF)} et (AB)\text{(AB)}. a. Déterminer un autre point appartenant aux plans (EFG)\text{(EFG)} et (ABC)\text{(ABC)}.


b. En déduire le tracé de l’intersection de la face ABC\text{ABC} et du plan (EFG)\text{(EFG)}.


5. En déduire la trace de la section de la pyramide par le plan (EFG)\text{(EFG)}.
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63
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} et on place les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} comme indiqué ci-dessous.

Droites et plans de l’espace
1. On admet que les plans (IJK)\text{(IJK)} et (DHG)\text{(DHG)} sont sécants.
Déterminer leur intersection en justifant.


2. Reproduire le cube et réaliser la trace de la section du cube par le plan (IJK)\text{(IJK)}.

Couleurs
Formes
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64
[Communiquer.]
Soient (AB)\text{(AB)} et (DC)\text{(DC)} deux droites de l’espace sécantes en O\text{O}. On considère un point S\text{S} n’appartenant pas au plan (ABC)\text{(ABC)}.
Déterminer l’intersection des plans (SAB)\text{(SAB)} et (SDC)\text{(SDC)}.
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65
[Raisonnner.]
On considère une pyramide SABCD\text{SABCD} dont la base ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme. On note I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} les milieux respectifs de [SA]\text{[SA]}, [SB]\text{[SB]} et [SC]\text{[SC]}.

Droites et plans de l’espace

1. Démontrer que le plan (IJK)\text{(IJK)} est parallèle à (ABC)\text{(ABC)}.


2. Déterminer l’intersection des plans (CIJ)\text{(CIJ)} et (ABC)\text{(ABC)}.
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66
[Calculer.]
On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} et on définit les points R\text{R}, S\text{S} et T\text{T} par les relations suivantes :
AR=23AE\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}, GS=12GF\overrightarrow{\mathrm{GS}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{GF}} et RT=2BS\overrightarrow{\mathrm{RT}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BS}}.

1. Démontrer que AT=AD+83AE\overrightarrow{\mathrm{AT}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\dfrac{8}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.


2. Démontrer que les plans (ART)\text{(ART)} et (BCG)\text{(BCG)} sont parallèles.
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