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Droites et plans de l’espace

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

58

On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ ci-dessous.

1. Donner un repère du plan $\text{(ABC)}$.

2. Donner un repère de la droite $\text{(AE)}$.

3. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AE]}$.
a. $( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{DC}} )$ est-il un repère du plan ? Justifier.

b. $( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{IE}} \: , \overrightarrow{\text{AB}} )$ est-il un repère du plan ? Justifier.

2. Donner trois différentes bases de l’espace en utilisant les points de la figure.

59

On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ et on note $\text{I}$ le milieu de $\text{[FE]}$, $\text{S}$ l’intersection de $\text{(AE)}$ et $\text{(BI)}$ et $\text{J}$ l’intersection de la droite $\text{(EH)}$ avec le plan $\text{(BDS)}$.

Démontrer que $\text{(IJ)}$ et $\text{(BD)}$ sont parallèles.

60

On considère un triangle $\text{ABC}$, $\text{I}$ un point du segment $\text{[AB]}$ et $\text{J}$ un point du segment $\text{[AC]}$, la droite $\text{(IJ)}$ n’étant pas parallèle à la droite $\text{(BC)}$. On note $\text{S}$ un point n’appartenant pas au plan $\text{(ABC)}$. Réaliser une figure à main levée et déterminer l’intersection de la droite $\text{(BC)}$ et du plan $\text{(SIJ)}$.

61

[Communiquer.]◉◉◉
On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ représenté ci-dessous.

1. Justifier que $( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} )$ est une base de l'espace.

2. On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$ et $\text{J}$ celui de $\text{[HG]}$. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{IJ}}$ dans la base $( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} )$.

62

[Représenter.] ◉◉ ◉
Section d’un solide
On considère la pyramide $\text{SABCD}$ à base carrée et de sommet $\text{S}$ ci-dessous. $\text{E}$ et $\text{F}$ sont deux points de la face $\text{SAB}$ et $\text{G}$ est un point de la face $\text{SBC}$ tels que $\text{(EFG)}$ n’est pas parallèle au plan $\text{(ABC)}$.

On souhaite obtenir la trace de la section de la pyramide par le plan $\text{(EFG)}$, c’est-à-dire les intersections du plan $\text{(EFG)}$ avec les faces de la pyramide.
On ne demande pas de justifer les constructions.

1. Reproduire la figure.
2. Tracer l’intersection de la face $\text{SAB}$ et du plan $\text{(EFG)}$.
3. Tracer l’intersection de la face $\text{SCB}$ et du plan $\text{(EFG)}$.


4. On note $\text{L}$ le point d’intersection des droites $\text{(EF)}$ et $\text{(AB)}$. a. Déterminer un autre point appartenant aux plans $\text{(EFG)}$ et $\text{(ABC)}$.

b. En déduire le tracé de l’intersection de la face $\text{ABC}$ et du plan $\text{(EFG)}$.

5. En déduire la trace de la section de la pyramide par le plan $\text{(EFG)}$.

63

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ et on place les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ comme indiqué ci-dessous.

1. On admet que les plans $\text{(IJK)}$ et $\text{(DHG)}$ sont sécants.
Déterminer leur intersection en justifant.

2. Reproduire le cube et réaliser la trace de la section du cube par le plan $\text{(IJK)}$.

64

[Communiquer.]
Soient $\text{(AB)}$ et $\text{(DC)}$ deux droites de l’espace sécantes en $\text{O}$. On considère un point $\text{S}$ n’appartenant pas au plan $\text{(ABC)}$.
Déterminer l’intersection des plans $\text{(SAB)}$ et $\text{(SDC)}$.

65

[Raisonnner.]
On considère une pyramide $\text{SABCD}$ dont la base $\text{ABCD}$ est un parallélogramme. On note $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ les milieux respectifs de $\text{[SA]}$, $\text{[SB]}$ et $\text{[SC]}$.

1. Démontrer que le plan $\text{(IJK)}$ est parallèle à $\text{(ABC)}$.

2. Déterminer l’intersection des plans $\text{(CIJ)}$ et $\text{(ABC)}$.

66

[Calculer.]
On considère un cube $\text{ABCDEFGH}$ et on définit les points $\text{R}$, $\text{S}$ et $\text{T}$ par les relations suivantes :
$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}$, $\overrightarrow{\mathrm{GS}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{GF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BS}}$.

1. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{AT}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\dfrac{8}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}$.

2. Démontrer que les plans $\text{(ART)}$ et $\text{(BCG)}$ sont parallèles.