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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 2
Droites et plans de l'espace
15 professeurs ont participé à cette page
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58
Flash
On considère le cube \text{ABCDEFGH} ci-dessous.
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1. Donner un repère du plan \text{(ABC)}.
2. Donner un repère de la droite \text{(AE)}.
3. On note \text{I} le milieu de \text{[AE]}.
a. ( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{DC}} ) est-il un repère du plan ? Justifier.
b. ( \text{I} \: ; \overrightarrow{\text{IE}} \: , \overrightarrow{\text{AB}} ) est-il un repère du plan ? Justifier.
2. Donner trois différentes bases de l'espace en utilisant les points de la figure.
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59
Flash
On considère le cube \text{ABCDEFGH} et on note \text{I} le milieu de \text{[FE]}, \text{S} l'intersection de \text{(AE)} et \text{(BI)} et \text{J} l'intersection de la droite \text{(EH)} avec le plan \text{(BDS)}.
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Démontrer que \text{(IJ)} et \text{(BD)} sont parallèles.
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60
Flash
On considère un triangle \text{ABC}, \text{I} un point du segment \text{[AB]} et \text{J} un point du segment \text{[AC]}, la
droite \text{(IJ)} n'étant pas parallèle à la droite \text{(BC)}. On
note \text{S} un point n'appartenant pas au plan \text{(ABC)}.
Réaliser une figure à main levée et déterminer l'intersection de la droite \text{(BC)} et du plan \text{(SIJ)}.
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61
[Communiquer.]
On considère le cube \text{ABCDEFGH} représenté ci-dessous.
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1. Justifier que ( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ) est une base de l'espace.
2. On note \text{I} le milieu de \text{[AB]} et \text{J} celui de \text{[HG]}. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{IJ}} dans la base ( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ).
2. On note \text{I} le milieu de \text{[AB]} et \text{J} celui de \text{[HG]}. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{IJ}} dans la base ( \overrightarrow{\text{AB}} \: , \overrightarrow{\text{AD}} \: , \overrightarrow{\text{AE}} ).
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62
[Représenter.]
Section d'un solide
On considère la pyramide \text{SABCD} à base carrée et de sommet \text{S} ci-dessous. \text{E} et \text{F} sont deux points de la face \text{SAB} et \text{G} est un point de la face \text{SBC} tels que \text{(EFG)} n'est pas parallèle au plan \text{(ABC)}.
On souhaite obtenir la trace de la section de la pyramide par le plan \text{(EFG)}, c'est-à-dire les intersections du plan \text{(EFG)} avec les faces de la pyramide.
On ne demande pas de justifer les constructions.
On considère la pyramide \text{SABCD} à base carrée et de sommet \text{S} ci-dessous. \text{E} et \text{F} sont deux points de la face \text{SAB} et \text{G} est un point de la face \text{SBC} tels que \text{(EFG)} n'est pas parallèle au plan \text{(ABC)}.
On souhaite obtenir la trace de la section de la pyramide par le plan \text{(EFG)}, c'est-à-dire les intersections du plan \text{(EFG)} avec les faces de la pyramide.
On ne demande pas de justifer les constructions.
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1. Reproduire la figure.
2. Tracer l'intersection de la face \text{SAB} et du plan \text{(EFG)}.
3. Tracer l'intersection de la face \text{SCB} et du plan \text{(EFG)}.
2. Tracer l'intersection de la face \text{SAB} et du plan \text{(EFG)}.
3. Tracer l'intersection de la face \text{SCB} et du plan \text{(EFG)}.
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4. On note \text{L} le point d'intersection des droites \text{(EF)} et \text{(AB)}.
a. Déterminer un autre point appartenant aux plans
\text{(EFG)} et \text{(ABC)}.
b. En déduire le tracé de l'intersection de la face \text{ABC} et du plan \text{(EFG)}.
5. En déduire la trace de la section de la pyramide par le plan \text{(EFG)}.
b. En déduire le tracé de l'intersection de la face \text{ABC} et du plan \text{(EFG)}.
5. En déduire la trace de la section de la pyramide par le plan \text{(EFG)}.
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63
[Raisonner.]
On considère le cube \text{ABCDEFGH} et on place les points \text{I}, \text{J} et \text{K} comme indiqué ci-dessous.
1. On admet que les plans \text{(IJK)} et \text{(DHG)} sont sécants.
Déterminer leur intersection en justifiant.
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Déterminer leur intersection en justifiant.
2. Reproduire le cube et réaliser la trace de la section
du cube par le plan \text{(IJK)}.
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64
[Communiquer.] Soient \text{(AB)} et \text{(DC)} deux droites de l'espace sécantes en \text{O}. On considère un point \text{S} n'appartenant pas au plan \text{(ABC)}.
Déterminer l'intersection des plans \text{(SAB)} et \text{(SDC)}.
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65
[Raisonner.]
On considère une pyramide \text{SABCD} dont la base \text{ABCD} est un parallélogramme. On note \text{I}, \text{J} et \text{K} les milieux respectifs de \text{[SA]}, \text{[SB]} et \text{[SC]}.
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1. Démontrer que le plan \text{(IJK)} est parallèle à \text{(ABC)}.
2. Déterminer l'intersection des plans \text{(CIJ)} et \text{(ABC)}.
2. Déterminer l'intersection des plans \text{(CIJ)} et \text{(ABC)}.
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66
[Calculer.]
On considère un cube \text{ABCDEFGH} et on définit les points \text{R}, \text{S} et \text{T} par les relations suivantes :
\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{GS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{GF}} et \overrightarrow{\mathrm{RT}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BS}}.
1. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{AT}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{8}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.
2. Démontrer que les plans \text{(ART)} et \text{(BCG)} sont parallèles.
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