Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 2

Entraînement 3

Repère de l'espace

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Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Flash

On considère les points

A (1; 2; 3)

B (- 1; 1; 4)

C (3; 5; - 2)

. Déterminer les coordonnées du point

D

telles que

ABCD

soit un parallélogramme.

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Flash

On considère les points

A (1; 2; 1)

B (3; - 1; 2)

C (- 1; 3; 4)

.

1. Déterminer les coordonnées du milieu de

[AC]

2. Déterminer les coordonnées de

D

telles que

ABCD

soit un parallélogramme.

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Flash

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point

E (- 8; 3; 5)

et de vecteur directeur

i

2. Le point

F (- 6; 3; 5)

appartient-il à cette droite ?

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70
[Calculer.]
Soient les points

A (- 1; 4; - 3)

B (2; 1; 3)

.
Déterminer les coordonnées de

M

vérifiant

MA + MB = \frac{1}{3} AB

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71
[Représenter.]

1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points

A (1; 0; 2)

B (1; 2; 0)

C (1; 1; - 2)

D (1; - 2; 1)

2. On considère le vecteur

u = 3 i + j - 2 k

. Construire le représentant du vecteur

u

d'origine

M (0; - 1; 1)

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs

AB

CD

.
Que peut-on en déduire ?

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Python

[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points

A

B

de l'espace, renvoie les coordonnées du vecteur

AB

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73
[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre

ABCD

.
On note

I

le milieu de

[CD]

J

le milieu de

[BD]

1. L'espace est rapporté au repère

(A; AB, AC, AD)

. a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.

b. Exprimer le vecteur

BD

dans la base

(AB, AC, AD)

2. L'espace est rapporté au repère

(B; BA, BC, BD)

.
Donner les coordonnées des points de la figure.

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74
[Calculer.]
On considère les points

A (0; 1; 1)

B (2; 1; 1)

C (3; 1; 1)

D (1; 1; 1)

.

1. Démontrer que

ABCD

est un parallélogramme.

2. Soit

E

le point de coordonnées

(2; 2; 4)

. Déterminer les coordonnées du point

F

telles que

ACEF

soit un parallélogramme.

3. Soit

I

le point de l'espace tel que

F

soit le milieu de

[AI]

J

le milieu de

[EF]

. Démontrer que

J

est le milieu de

[IC]

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75
[Calculer.]

On considère les points

A (1; 1; 2)

B (- 1; 3; 4)

et les vecteurs

u 110

v - 2 01

.

1. Démontrer que les vecteurs

AB

u

v

sont coplanaires.

2. Soit

M

le point du plan défini par

AM = 2 u + 4 v

.
Les points

A

B

M

sont-ils alignés ? Justifier.

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76
[Représenter.]
Soit

ABCD

un tétraèdre.
L'espace est rapporté au repère

(A; AB, AC, AD)

.
On appelle

I

J

les milieux respectifs de

[DC]

et de

[BC]

. Soient

E

F

les points définis par

AE = \frac{1}{4} AB

AF = \frac{1}{4} AD

.

1. Déterminer les coordonnées des points

I

J

E

F

2. Démontrer que

(EF)

est parallèle à

(IJ)

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77
[Chercher.]
Soient

A (1; 2; 1)

B (1; - 1; 1)

C (3; 1; 2)

trois points de l'espace.
On note

I

le milieu de

[BC]

.

1. Déterminer les coordonnées du point

G

(centre de gravité du triangle

ABC

) défini par

AG = \frac{2}{3} AI

2. On considère le point

E (3; 7; 2)

. Déterminer les coordonnées du point

F

telles que

EF = AB

3. On note

J

le milieu de

[BE]

. Les points

G

J

F

sont-ils alignés ? Justifier.

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Python

[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.

Code Python: fonction vérifiant la colinéarité de deux vecteurs. Retourne True si colinéaires, False sinon.

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80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite

(AB)

.
1.

A (- 1; 5; 3)

B (2; - 4; 3)

A (- 1; 2; 1)

B (3; 2; 1)

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79
[Calculer.]

Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par

A

et de vecteur directeur

u

.

1.

A (- 1; 2; 5)

u 102

A (1; 7; 3)

u 51 - \frac{1}{3}

A (- 1; 0; 4)

u = k

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81
[Chercher.]
Soient

d

d^{'}

deux droites dont on donne une représentation paramétrique :

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 t + 3 y = - 3 t + 1, t \in R z = t + 2

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = t^{'} + 1 y = - 2 t^{'}, t^{'} \in R z = 4

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.

2. Les droites

d

d^{'}

sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.

3. Que peut-on en conclure ?

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82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites

d

d^{'}

.

1.

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 t + 3 y = - 3 t + 1, t \in R z = t + 2

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = t^{'} - 1 y = 2 t^{'} + 2, t^{'} \in R z = - t^{'} - 3

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = t - 1 y = 2 t + 2, t \in R z = - t - 3

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 t^{'} y = - 2 t^{'} + 1, t^{'} \in R z = t^{'} + 1

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t + 7 y = - 3 t + 1, t \in R z = 6 t + 2

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 t^{'} - 1 y = - \frac{9}{2} t^{'}, t^{'} \in R z = 9 t^{'} + 5

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83
[Représenter.]
Déterminer l'ensemble des points de l'espace de coordonnées

(x; y; z)

vérifiant :

1.

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t - 4 y = t + 1, t \in R^{+} z = - 3 t + 4

⎩ ⎨ ⎧ x = t - 3 y = 3 t + 2, t \in [- 2; 3] z = t + 1

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84
[Calculer.]

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite

(AB)

où

A (1; - 1; 3)

B (3; 2; 4)

2. On considère le point

E (- 5; 7; 1)

. Déterminer une représentation paramétrique de la droite

d

contenant

E

et parallèle à

(AB)

3. On considère le point

F (- 1; 13; 3)

.
a. Justifier que

(AF)

d

ne sont pas parallèles.

b. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.

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85
[Calculer.]

Soit

d

la droite dont une représentation paramétrique est :

⎩ ⎨ ⎧ x = - t + 1 y = 4 t - 3, t \in R z = \frac{1}{2} t + 6

.

1. Donner un vecteur directeur de

d

2. Soit

P

le plan dont un repère est

(A; u, v)

avec

A (- 1; 2; 5)

u 111

v - 6 4 - 3

.

a. Le point

E (1; 1; 1)

appartient-il à ce plan ?

b. La droite

d

est-elle parallèle à

P

? Justifier.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite

Δ

contenant

E

, de vecteur directeur

u

.
Que peut-on dire de

Δ

et de

P

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86
[Chercher.]
Soient les points de l'espace suivants :

A (1; 2; - 3)

B (2; 4; 1)

C (- 1; 3; 2)

.

1. Justifier que les points

A

B

C

définissent un plan.

2. Soit

M (x; y; z)

, un point du plan

(ABC)

. a. Justifier qu'il existe deux réels

t

t^{'}

tels que

AM = t AB + t^{'} AC

b. En déduire que

M \in (ABC)

si, et seulement si,

⎩ ⎨ ⎧ x = t - 2 t^{'} + 1 y = 2 t + t^{'} + 2, o u ˋ t \in R et t^{'} \in R z = 4 t + 5 t^{'} - 3

c. Le point

E (1; 4; - 7)

appartient-il au plan

(ABC)

3. Soit

d

la droite dont une représentation paramétrique est

⎩ ⎨ ⎧ x = - k + 1 y = 3 k + 4, k \in R z = 9 k - 7

.
La droite

d

est-elle parallèle au plan

(ABC)

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87
[Raisonner.]

L'espace est rapporté à un repère

(O; i, j, k)

.
On considère la translation

t

de vecteur

u 12 - 1

.
Pour tout point

M (x; y; z)

de l'espace, on note

M^{'} (x^{'}; y^{'}; z^{'})

l'image de

M

par la translation

t

.

1. Déterminer

x^{'}

y^{'}

z^{'}

en fonction de

x

y

z

2. Soit

D

la droite de représentation paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 k + 1 y = 2 k - 2, avec k \in R z = 4 k + 2

.

a. Soit

N

un point de

D

.
Déterminer l'image de

N

par

t

notée

N^{'}

b. En déduire la nature et les caractéristiques de

D^{'}

, image de la droite

D

par la translation

t

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88
[Communiquer.]
On considère l'énoncé suivant.
« On considère la droite

Δ

dont une représentation paramétrique est

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 k + 1 y = 2 k - 1, avec k \in R z = - k + 2

et la droite

Δ^{'}

dont une représentation paramétrique est

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t + 2 y = \frac{2 2}{3} t - 1, avec t \in R z = \frac{2}{3} t + 2

. Étudier la position relative des droites

Δ

Δ^{'}

. »
Voici la copie de Chloé.

Soit

u

un vecteur directeur de

Δ

.
On a

u 32 - 1

.
Soit

v

un vecteur directeur de

Δ^{'}

.
On a

v 2 \frac{2 2}{3} \frac{2}{3}

.
Les droites

Δ

Δ^{'}

sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.

u

v

sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel

λ

tel que

u = λ v

.
On résout alors le système suivant.

⎩ ⎨ ⎧ 32 - 1 = λ 2 = \frac{2 2}{3} λ = \frac{2}{3} λ

soit

⎩ ⎨ ⎧ λ = \frac{3}{2} λ = \frac{3}{2} λ = - \frac{3}{2}

.
Ce système n'admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes.

Corriger ses éventuelles erreurs.

Photo : personne écrivant sur un carnet posé sur ses genoux, sur un banc. Étude, prise de notes.

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Rappels de première

Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Repère de l'espace

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Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres