Chapitre 2
Entraînement 3
Repère de l'espace
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Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}).
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67
Flash
On considère les points \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 3), \text{B}( -1 \: ; 1 \: ; 4) et \text{C}( 3 \: ; 5 \: ; -2). Déterminer les coordonnées du point \text{D} telles que \text{ABCD} soit un parallélogramme.
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68
Flash
On considère les points \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B}( 3 \: ; -1 \: ; 2) et \text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 4).
1. Déterminer les coordonnées du milieu de \text{[AC]}.
2. Déterminer les coordonnées de \text{D} telles que \text{ABCD} soit un parallélogramme.
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69
Flash
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point \text{E}( -8 \: ; 3 \: ; 5) et de vecteur directeur \vec{i}.
2. Le point \text{F}( -6 \: ; 3 \: ; 5) appartient-il à cette droite ?
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70
[Calculer.]Soient les points \text{A}( -1 \: ; 4 \: ; -3) et \text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 3).
Déterminer les coordonnées de \text{M} vérifiant \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
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71
[Représenter.]
1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis
placer les points \text{A}(1 \: ; 0 \:; 2), \text{B}(1 \: ; 2 \: ; 0), \text{C}(1 \: ; 1 \: ;-2) et \mathrm{D}(1 ;-2 ; 1).
2. On considère le vecteur \vec{u}=3 \vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k}. Construire le représentant du vecteur \vec{u} d'origine \mathrm{M}(0 \: ;-1 \: ; 1).
3. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}}.
Que peut-on en déduire ?
3. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}}.
Que peut-on en déduire ?
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72
Python
[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points \text{A} et \text{B} de l'espace, renvoie les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.
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73
[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre \text{ABCD}.
On note \text{I} le milieu de \text{[CD]} et \text{J} le milieu de \text{[BD]}.
1. L'espace est rapporté au repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}). a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.
b. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{BD}} dans la base (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).
2. L'espace est rapporté au repère (\mathrm{B} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{BC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{BD}}).
Donner les coordonnées des points de la figure.
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74
[Calculer.]On considère les points \text{A}( 0 \: ; 1 \: ; 1), \text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 1) et \text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 1) et \text{D}( 1 \: ; 1 \: ; 1).
1. Démontrer que \text{ABCD} est un parallélogramme.
2. Soit \text{E} le point de coordonnées ( 2 \: ; 2 \: ; 4). Déterminer les coordonnées du point \text{F} telles que \text{ACEF} soit un parallélogramme.
3. Soit \text{I} le point de l'espace tel que \text{F} soit le milieu de \text{[AI]} et \text{J} le milieu de \text{[EF]}. Démontrer que \text{J} est le milieu de \text{[IC]}.
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75
[Calculer.] On considère les points \text{A}( 1 \: ; 1 \: ; 2) et \text{B}( -1 \: ; 3 \: ; 4) et les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).
1. Démontrer que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \vec{u} et \vec{v} sont coplanaires.
2. Soit \text{M} le point du plan défini par \overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \vec{u}+4 \vec{v}.
Les points \text{A}, \text{B} et \text{M} sont-ils alignés ? Justifier.
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76
[Représenter.]Soit \text{ABCD} un tétraèdre.
L'espace est rapporté au repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).
On appelle \text{I} et \text{J} les milieux respectifs de \text{[DC}] et de \text{[BC}]. Soient \text{E} et \text{F} les points définis par \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
1. Déterminer les coordonnées des points \text{I}, \text{J}, \text{E} et \text{F}.
2. Démontrer que \text{(EF)} est parallèle à \text{(IJ)}.
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77
[Chercher.]Soient \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B}( 1 \: ; -1 \: ; 1) et \text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 2) trois points de l'espace.
On note \text{I} le milieu de \text{[BC]}.
1. Déterminer les coordonnées du point \text{G} (centre de gravité du triangle \text{ABC}) défini par \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AI}}.
2. On considère le point \text{E}( 3 \: ; 7 \: ; 2). Déterminer les coordonnées du point \text{F} telles que \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
3. On note \text{J} le milieu de \text{[BE]}. Les points \text{G}, \text{J} et \text{F} sont-ils alignés ? Justifier.
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78
Python
[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.
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80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(AB)}.
1. \mathrm{A}(-1 ; 5 ; 3) et \mathrm{B}(2 ; -4 ; 3).
2. \mathrm{A}(-1 ; 2 ; 1) et \mathrm{B}(3 ; 2 ; 1).
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79
[Calculer.] Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par \text{A} et de vecteur directeur \vec{u}.
1. \mathrm{A}(-1 ; 2 ; 5) et \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right).
2. \mathrm{A}(1 ; 7 ; 3) et \vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ - \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
3. \mathrm{A}(-1 ; 0 ; 4) et \vec{u} = \vec{k}.
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81
[Chercher.]
Soient d et d' deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-2 t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 \end{array}\right.
1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.
2. Les droites d et d' sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.
3. Que peut-on en conclure ?
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82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites d et d'.
1. d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}-1 \\ y=2 t^{\prime}+2, t^{\prime} \in \R \\ z=-t^{\prime}-3 \end{array}\right..
2. d:\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=2 t+2, t \in \mathbb{R} \\ z=-t-3 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime} \\ y=-2 t^{\prime}+1, t^{\prime} \in \R \\ z=t^{\prime}+1 \end{array}\right..
3. d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+7 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=6 t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime}-1 \\ y=-\frac{9}{2} t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=9 t^{\prime}+5 \end{array}\right..
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83
[Représenter.]
Déterminer l'ensemble des points de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) vérifiant :
1. \left\{\begin{array}{l} x=2 t-4 \\ y=t+1 \quad, t \in \mathbb{R}^{+} \\ z=-3 t+4 \end{array}\right..
2. \left\{\begin{array}{l} x=t-3 \\ y=3 t+2, t \in[-2 ; 3] \\ z=t+1 \end{array}\right..
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84
[Calculer.] 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(AB)} où \mathrm{A}(1 ; -1 ; 3) et \mathrm{B}(3 ; 2 ; 4).
2. On considère le point \mathrm{E}(-5 ; 7 ; 1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite d contenant \text{E} et parallèle à \text{(AB)}.
3. On considère le point \mathrm{F}(-1 ; 13 ; 3).
a. Justifier que \text{(AF)} et d ne sont pas parallèles.
b. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.
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85
[Calculer.] Soit d la droite dont une représentation paramétrique est : \left\{\begin{array}{l} x=-t+1 \\ y=4 t-3, t \in \mathbb{R} \\ z=\frac{1}{2} t+6 \end{array}\right..
1. Donner un vecteur directeur de d.
2. Soit \mathcal{P} le plan dont un repère est (\text{A} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) avec \text{A} (-1 \: ; 2 \: ; 5), \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -6 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right).
a. Le point \text{E}(1 \: ; 1 \: ; 1) appartient-il à ce plan ?
b. La droite d est-elle parallèle à \mathcal{P} ? Justifier.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta contenant \text{E}, de vecteur directeur \vec{u}.
Que peut-on dire de \Delta et de \mathcal{P} ?
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86
[Chercher.]
Soient les points de l'espace suivants : \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; -3), \text{B}( 2 \: ; 4 \: ; 1) et \text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 2).
1. Justifier que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} définissent un plan.
2. Soit \text{M}(x \: ; y \: ; z), un point du plan \text{(ABC)}. a. Justifier qu'il existe deux réels t et t' tels que \overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t' \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
b. En déduire que \text{M} \in (\text{ABC}) si, et seulement si, \left\{\begin{array}{l} x=t-2 t^{\prime}+1 \\ y=2 t+t^{\prime}+2, \text { où } t \in \mathbb{R} \text { et } t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 t+5 t^{\prime}-3 \end{array}\right..
c. Le point \text{E}(1 \: ; 4 \: ; -7) appartient-il au plan (\text{ABC}) ?
3. Soit d la droite dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=-k+1 \\ y=3 k+4, k \in \mathbb{R} \\ z=9 k-7 \end{array}\right..
La droite d est-elle parallèle au plan (\text{ABC}) ?
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87
[Raisonner.] L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}).
On considère la translation t de vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Pour tout point \text{M}(x \: ; y \: ; z) de l'espace, on note \text{M}'(x' \: ; y' \: ; z') l'image de \text{M} par la translation t.
1. Déterminer x', y' et z' en fonction de x, y et z.
2. Soit \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-2, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=4 k+2 \end{array}\right..
a. Soit \text{N} un point de \mathcal{D}.
Déterminer l'image de \text{N} par t notée \text{N}'.
b. En déduire la nature et les caractéristiques de \mathcal{D}', image de la droite \mathcal{D} par la translation t.
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88
[Communiquer.]On considère l'énoncé suivant.
« On considère la droite \Delta dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-1, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=-k+2 \end{array}\right. et la droite \Delta' dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{2} t+2 \\ y=\frac{2 \sqrt{2}}{3} t-1, \text { avec } t \in \mathbb{R} \\ z=\frac{\sqrt{2}}{3} t+2 \end{array}\right.. Étudier la position relative des droites \Delta et \Delta'. »
Voici la copie de Chloé.
Soit \vec{u} un vecteur directeur de \Delta.
On a \vec{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Soit \vec{v} un vecteur directeur de \Delta'.
On a \vec{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \end{array}\right).
Les droites \Delta et \Delta' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel \lambda tel que \vec{u}=\lambda \vec{v}.
On résout alors le système suivant.
\left\{\begin{aligned} 3 &=\lambda \sqrt{2} \\ 2 &=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \lambda \\ -1 &=\frac{\sqrt{2}}{3} \lambda \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=-\frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\right..
Ce système n'admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes.
Corriger ses éventuelles erreurs.
On a \vec{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Soit \vec{v} un vecteur directeur de \Delta'.
On a \vec{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \end{array}\right).
Les droites \Delta et \Delta' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel \lambda tel que \vec{u}=\lambda \vec{v}.
On résout alors le système suivant.
\left\{\begin{aligned} 3 &=\lambda \sqrt{2} \\ 2 &=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \lambda \\ -1 &=\frac{\sqrt{2}}{3} \lambda \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=-\frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\right..
Ce système n'admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
