87

[Raisonner.]
L'espace est rapporté à un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.
Pour tout point $\text{M}(x;y;z)$ de l'espace, on note ${\text{M}}^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ l'image de $\text{M}$ par la translation $t$.

1. Déterminer $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ et $z^{\prime }$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

2. Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=3k+1\\ y=2k-2,\text{ avec }k\in \mathbb{R}\\ z=4k+2\end{array}$.

a. Soit $\text{N}$ un point de $\mathcal{D}$.
Déterminer l'image de $\text{N}$ par $t$ notée ${\text{N}}^{\prime }$.

b. En déduire la nature et les caractéristiques de ${\mathcal{D}}^{\prime }$, image de la droite $\mathcal{D}$ par la translation $t$.

88

[Communiquer.]
On considère l'énoncé suivant.
« On considère la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est $\{\begin{array}{l}x=3k+1\\ y=2k-1,\text{ avec }k\in \mathbb{R}\\ z=-k+2\end{array}$ et la droite ${\Delta }^{\prime }$ dont une représentation paramétrique est $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}t+2\\ y=\frac{2\sqrt{2}}{3}t-1,\text{ avec }t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{\sqrt{2}}{3}t+2\end{array}$. Étudier la position relative des droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$. »
Voici la copie de Chloé.

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $\Delta$.
On a $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.
Soit $\overrightarrow{v}$ un vecteur directeur de ${\Delta }^{\prime }$.
On a $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ \frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \frac{\sqrt{2}}{3}\end{array}\right)$.
Les droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}$.
On résout alors le système suivant.
$\{\begin{array}{rl}3& =\lambda \sqrt{2}\\ 2& =\frac{2\sqrt{2}}{3}\lambda \\ -1& =\frac{\sqrt{2}}{3}\lambda \end{array}$ soit $\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{3}{\sqrt{2}}\\ \lambda =\frac{3}{\sqrt{2}}\\ \lambda =-\frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}$.
Ce système n'admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes. Corriger ses éventuelles erreurs.