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3. Repère de l’espace
P.77-79

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Entraînement


3
Repère de l'espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k)( \text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).

67
FLASH

On considère les points A(1;2;3)\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 3), B(1;1;4)\text{B}( -1 \: ; 1 \: ; 4) et C(3;5;2)\text{C}( 3 \: ; 5 \: ; -2). Déterminer les coordonnées du point D\text{D} telles que ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme.
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68
FLASH

On considère les points A(1;2;1)\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), B(3;1;2)\text{B}( 3 \: ; -1 \: ; 2) et C(1;3;4)\text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 4).

1. Déterminer les coordonnées du milieu de [AC]\text{[AC]}.


2. Déterminer les coordonnées de D\text{D} telles que ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme.
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69
FLASH

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point E(8;3;5)\text{E}( -8 \: ; 3 \: ; 5) et de vecteur directeur i\overrightarrow{i}.


2. Le point F(6;3;5)\text{F}( -6 \: ; 3 \: ; 5) appartient-il à cette droite ?
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70
[Calculer.]
Soient les points A(1;4;3)\text{A}( -1 \: ; 4 \: ; -3) et B(2;1;3)\text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 3).
Déterminer les coordonnées de M\text{M} vérifant MA+MB=13AB\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
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71
[Représenter.] ◉◉
1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points A(1;0;2)\text{A}(1 \: ; 0 \:; 2), B(1;2;0)\text{B}(1 \: ; 2 \: ; 0), C(1;1;2)\text{C}(1 \: ; 1 \: ;-2) et D(1;2;1)\mathrm{D}(1 ;-2 ; 1).

Repère de l'espace

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2. On considère le vecteur u=3i+j2k\overrightarrow{u}=3 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2 \overrightarrow{k}. Construire le représentant du vecteur u\overrightarrow{u} d’origine M(0;1;1)\mathrm{M}(0 \: ;-1 \: ; 1).


3. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et CD\overrightarrow{\text{CD}}.
Que peut-on en déduire ?
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72
PYTHON
[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points A\text{A} et B\text{B} de l’espace, renvoie les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}}.

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73
[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre ABCD\text{ABCD}.
On note I\text{I} le milieu de [CD]\text{[CD]} et J\text{J} le milieu de [BD]\text{[BD]}.

Repère de l’espace

1. L’espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}). a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.


b. Exprimer le vecteur BD\overrightarrow{\text{BD}} dans la base (AB,AC,AD)(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).


2. L’espace est rapporté au repère (B;BA,BC,BD)(\mathrm{B} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{BC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{BD}}).
Donner les coordonnées des points de la figure.
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74
[Calculer.]
On considère les points A(0;1;1)\text{A}( 0 \: ; 1 \: ; 1), B(2;1;1)\text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 1) et C(3;1;1)\text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 1) et D(1;1;1)\text{D}( 1 \: ; 1 \: ; 1).

1. Démontrer que ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme.


2. Soit E\text{E} le point de coordonnées (2;2;4)( 2 \: ; 2 \: ; 4). Déterminer les coordonnées du point F\text{F} telles que ACEF\text{ACEF} soit un parallélogramme.


3. Soit I\text{I} le point de l’espace tel que F\text{F} soit le milieu de [AI]\text{[AI]} et J\text{J} le milieu de [EF]\text{[EF]}. Démontrer que J\text{J} est le milieu de [IC]\text{[IC]}.
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75
[Calculer.] ◉◉
On considère les points A(1;1;2)\text{A}( 1 \: ; 1 \: ; 2) et B(1;3;4)\text{B}( -1 \: ; 3 \: ; 4) et les vecteurs u(110)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) et v(201)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).

1. Démontrer que les vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}}, u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont coplanaires.


2. Soit M\text{M} le point du plan défini par AM=2u+4v\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{u}+4 \overrightarrow{v}.
Les points A\text{A}, B\text{B} et M\text{M} sont-ils alignés ? Justifer.
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76
[Représenter.]
Soit ABCD\text{ABCD} un tétraèdre.
L’espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD)(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).
On appelle I\text{I} et J\text{J} les milieux respectifs de [DC]\text{[DC}] et de [BC]\text{[BC}]. Soient E\text{E} et F\text{F} les points définis par AE=14AB\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et AF=14AD\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

1. Déterminer les coordonnées des points I\text{I}, J\text{J}, E\text{E} et F\text{F}.


2. Démontrer que (EF)\text{(EF)} est parallèle à (IJ)\text{(IJ)}.
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77
[Chercher.]
Soient A(1;2;1)\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), B(1;1;1)\text{B}( 1 \: ; -1 \: ; 1) et C(3;1;2)\text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 2) trois points de l’espace.
On note I\text{I} le milieu de [BC]\text{[BC]}.

1. Déterminer les coordonnées du point G\text{G} (centre de gravité du triangle ABC\text{ABC}) défini par AG=23AI\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AI}}.


2. On considère le point E(3;7;2)\text{E}( 3 \: ; 7 \: ; 2). Déterminer les coordonnées du point F\text{F} telles que EF=AB\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.


3. On note J\text{J} le milieu de [BE]\text{[BE]}. Les points G\text{G}, J\text{J} et F\text{F} sont-ils alignés ? Justifer.
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78
PYTHON
[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.


Repère de l'espace
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79
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par A\text{A} et de vecteur directeur u\overrightarrow{u}.

1. A(1;2;5)\mathrm{A}(-1 ; 2 ; 5) et u(102)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right).


2. A(1;7;3)\mathrm{A}(1 ; 7 ; 3) et u(5113)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ - \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.


3. A(1;0;4)\mathrm{A}(-1 ; 0 ; 4) et u=k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{k}.
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80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)\text{(AB)}.
1. A(1;5;3)\mathrm{A}(-1 ; 5 ; 3) et A(2;4;3)\mathrm{A}(2 ; -4 ; 3).


2. A(1;2;1)\mathrm{A}(-1 ; 2 ; 1) et A(3;2;1)\mathrm{A}(3 ; 2 ; 1).
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81
[Chercher.]
Soient dd et dd' deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
d:{x=2t+3y=3t+1,tRz=t+2d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d:{x=t+1y=2t,tRz=4d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-2 t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 \end{array}\right.

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.


2. Les droites dd et dd' sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifer.


3. Que peut-on en conclure ?
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82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites dd et dd'.

1. d:{x=2t+3y=3t+1,tRz=t+2d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d:{x=t1y=2t+2,tRz=t3d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}-1 \\ y=2 t^{\prime}+2, t^{\prime} \in \R \\ z=-t^{\prime}-3 \end{array}\right..


2. d:{x=t1y=2t+2,tRz=t3d:\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=2 t+2, t \in \mathbb{R} \\ z=-t-3 \end{array}\right. et d:{x=3ty=2t+1,tRz=t+1d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime} \\ y=-2 t^{\prime}+1, t^{\prime} \in \R \\ z=t^{\prime}+1 \end{array}\right..


3. d:{x=2t+7y=3t+1,tRz=6t+2d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+7 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=6 t+2 \end{array}\right. et d:{x=3t1y=92t,tRz=9t+5d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime}-1 \\ y=-\dfrac{9}{2} t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=9 t^{\prime}+5 \end{array}\right..
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83
[Représenter.]
Déterminer l’ensemble des points de l’espace de coordonnées (x;y;z)(x ; y ; z) vérifant :

1. {x=2t4y=t+1,tR+z=3t+4\left\{\begin{array}{l} x=2 t-4 \\ y=t+1 \quad, t \in \mathbb{R}^{+} \\ z=-3 t+4 \end{array}\right..


2. {x=t3y=3t+2,t[2;3]z=t+1\left\{\begin{array}{l} x=t-3 \\ y=3 t+2, t \in[-2 ; 3] \\ z=t+1 \end{array}\right..

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84
[Calculer.] ◉◉
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)\text{(AB)}A(1;1;3)\mathrm{A}(1 ; -1 ; 3) et B(3;2;4)\mathrm{B}(3 ; 2 ; 4).


2. On considère le point E(5;7;1)\mathrm{E}(-5 ; 7 ; 1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd contenant E\text{E} et parallèle à (AB)\text{(AB)}.


3. On considère le point F(1;13;3)\mathrm{F}(-1 ; 13 ; 3).
a. Justifer que (AF)\text{(AF)} et dd ne sont pas parallèles.


b. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection s’il existe.
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85
[Calculer.] ◉◉
Soit dd la droite dont une représentation paramétrique est : {x=t+1y=4t3,tRz=12t+6\left\{\begin{array}{l} x=-t+1 \\ y=4 t-3, t \in \mathbb{R} \\ z=\dfrac{1}{2} t+6 \end{array}\right..

1. Donner un vecteur directeur de dd.


2. Soit P\mathcal{P} le plan dont un repère est (A;u,v)(\text{A} \: ; \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v}) avec A(1;2;5)\text{A} (-1 \: ; 2 \: ; 5), u(111)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) et v(643)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -6 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right).

a. Le point E(1;1;1)\text{E}(1 \: ; 1 \: ; 1) appartient-il à ce plan ?


b. La droite dd est-elle parallèle à P\mathcal{P} ? Justifer.


c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta contenant E\text{E}, de vecteur directeur u\overrightarrow{u}.
Que peut-on dire de Δ\Delta et de P\mathcal{P} ?
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86
[Chercher.]
Soient les points de l’espace suivants : A(1;2;3)\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; -3), B(2;4;1)\text{B}( 2 \: ; 4 \: ; 1) et C(1;3;2)\text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 2).

1. Justifer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} définissent un plan.


2. Soit M(x;y;z)\text{M}(x \: ; y \: ; z), un point du plan (ABC)\text{(ABC)}. a. Justifer qu’il existe deux réels tt et tt' tels que AM=tAB+tAC\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t' \overrightarrow{\mathrm{AC}}.


b. En déduire que M(ABC)\text{M} \in (\text{ABC}) si, et seulement si, {x=t2t+1y=2t+t+2, ouˋ tR et tRz=4t+5t3\left\{\begin{array}{l} x=t-2 t^{\prime}+1 \\ y=2 t+t^{\prime}+2, \text { où } t \in \mathbb{R} \text { et } t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 t+5 t^{\prime}-3 \end{array}\right..


c. Le point E(1;4;7)\text{E}(1 \: ; 4 \: ; -7) appartient-il au plan (ABC)(\text{ABC}) ?


3. Soit dd la droite dont une représentation paramétrique est {x=k+1y=3k+4,kRz=9k7\left\{\begin{array}{l} x=-k+1 \\ y=3 k+4, k \in \mathbb{R} \\ z=9 k-7 \end{array}\right..
La droite dd est-elle parallèle au plan (ABC)(\text{ABC}) ?
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87
[Raisonner.] ◉◉◉
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k)( \text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}).
On considère la translation tt de vecteur u(121)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Pour tout point M(x;y;z)\text{M}(x \: ; y \: ; z) de l’espace, on note M(x;y;z)\text{M}'(x' \: ; y' \: ; z') l’image de M\text{M} par la translation tt.

1. Déterminer xx', yy' et zz' en fonction de xx, yy et zz.


2. Soit D\mathcal{D} la droite de représentation paramétrique : {x=3k+1y=2k2, avec kRz=4k+2\left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-2, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=4 k+2 \end{array}\right..

a. Soit N\text{N} un point de D\mathcal{D}.
Déterminer l’image de N\text{N} par tt notée N\text{N}'.


b. En déduire la nature et les caractéristiques de D\mathcal{D}', image de la droite D\mathcal{D} par la translation tt.
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88
[Communiquer.]
On considère l’énoncé suivant.
« On considère la droite Δ\Delta dont une représentation paramétrique est {x=3k+1y=2k1, avec kRz=k+2\left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-1, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=-k+2 \end{array}\right. et la droite Δ\Delta' dont une représentation paramétrique est {x=2t+2y=223t1, avec tRz=23t+2\left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{2} t+2 \\ y=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} t-1, \text { avec } t \in \mathbb{R} \\ z=\dfrac{\sqrt{2}}{3} t+2 \end{array}\right.. Étudier la position relative des droites Δ\Delta et Δ\Delta'. »
Voici la copie de Chloé.

Soit u\overrightarrow{u} un vecteur directeur de Δ\Delta.
On a u(321)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Soit v\overrightarrow{v} un vecteur directeur de Δ\Delta'.
On a v(222323)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{3} \end{array}\right).
Les droites Δ\Delta et Δ\Delta' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel λ\lambda tel que u=λv\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}.
On résout alors le système suivant.
{3=λ22=223λ1=23λ\left\{\begin{aligned} 3 &=\lambda \sqrt{2} \\ 2 &=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \lambda \\ -1 &=\dfrac{\sqrt{2}}{3} \lambda \end{aligned}\right. soit {λ=32λ=32λ=32\left\{\begin{array}{l} \lambda=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=-\dfrac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\right..
Ce système n’admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes.
Corriger ses éventuelles erreurs.


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