Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
67
FLASH
On considère les points A(1;2;3), B(−1;1;4) et C(3;5;−2). Déterminer les coordonnées du point D telles que ABCD soit un parallélogramme.
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68
FLASH
On considère les points A(1;2;1), B(3;−1;2) et C(−1;3;4).
1. Déterminer les coordonnées du milieu de [AC].
2. Déterminer les coordonnées de D telles que ABCD soit un parallélogramme.
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69
FLASH
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point E(−8;3;5) et de
vecteur directeur i.
2. Le point F(−6;3;5) appartient-il à cette droite ?
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70
[Calculer.]
Soient les points A(−1;4;−3) et B(2;1;3).
Déterminer les coordonnées de M vérifant MA+MB=31AB.
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71
[Représenter.]◉◉◉ 1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis
placer les points A(1;0;2), B(1;2;0), C(1;1;−2) et D(1;−2;1).
Dessinez ici
2. On considère le vecteur u=3i+j−2k. Construire le représentant du vecteur u d’origine M(0;−1;1).
3. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD.
Que peut-on en déduire ?
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72
PYTHON
[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points A et B de l’espace, renvoie les coordonnées du vecteur AB.
73
[Communiquer.] Changement de repère
Soit un tétraèdre ABCD.
On note I le milieu de [CD] et J le milieu de [BD].
1. L’espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD).
a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.
b. Exprimer le vecteur BD dans la base (AB,AC,AD).
2. L’espace est rapporté au repère (B;BA,BC,BD).
Donner les coordonnées des points de la figure.
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74
[Calculer.]
On considère les points A(0;1;1), B(2;1;1) et C(3;1;1) et D(1;1;1).
1. Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
2. Soit E le point de coordonnées (2;2;4).
Déterminer les coordonnées du point F telles que
ACEF soit un parallélogramme.
3. Soit I le point de l’espace tel que F soit le milieu de [AI] et J le milieu de [EF]. Démontrer que J est le milieu de [IC].
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75
[Calculer.]◉◉◉
On considère les points A(1;1;2) et B(−1;3;4) et les vecteurs u⎝⎛110⎠⎞ et v⎝⎛−201⎠⎞.
1. Démontrer que les vecteurs AB, u et v sont coplanaires.
2. Soit M le point du plan défini par AM=2u+4v.
Les points A, B et M sont-ils alignés ? Justifer.
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76
[Représenter.]
Soit ABCD un tétraèdre.
L’espace est rapporté au repère (A;AB,AC,AD).
On appelle I et J les milieux respectifs de [DC] et de [BC]. Soient E et F les points définis par AE=41AB et AF=41AD.
1. Déterminer les coordonnées des points I, J, E et F.
2. Démontrer que (EF) est parallèle à (IJ).
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77
[Chercher.]
Soient A(1;2;1), B(1;−1;1) et C(3;1;2) trois points de l’espace.
On note I le milieu de [BC].
1. Déterminer les coordonnées du point G (centre de gravité du triangle ABC) défini par AG=32AI.
2. On considère le point E(3;7;2). Déterminer les coordonnées du point F telles que EF=AB.
3. On note J le milieu de [BE]. Les points G, J et F sont-ils alignés ? Justifer.
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78
PYTHON
[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.
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79
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par A et de vecteur directeur u.
1.A(−1;2;5) et u⎝⎛102⎠⎞.
2.A(1;7;3) et u⎝⎜⎜⎛51−31⎠⎟⎟⎞.
3.A(−1;0;4) et u=k.
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80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
1.A(−1;5;3) et B(2;−4;3).
2.A(−1;2;1) et B(3;2;1).
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81
[Chercher.]
Soient d et d′ deux droites dont on donne une représentation paramétrique : d:⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+3y=−3t+1,t∈Rz=t+2 et d′:⎩⎪⎨⎪⎧x=t′+1y=−2t′,t′∈Rz=4
1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur
directeur.
2. Les droites d et d′ sont-elles parallèles ? Sécantes ?
Justifer.
3. Que peut-on en conclure ?
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82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites d et d′.
1.d:⎩⎪⎨⎪⎧x=−2t+3y=−3t+1,t∈Rz=t+2 et d′:⎩⎪⎨⎪⎧x=t′−1y=2t′+2,t′∈Rz=−t′−3.
2.d:⎩⎪⎨⎪⎧x=t−1y=2t+2,t∈Rz=−t−3 et d′:⎩⎪⎨⎪⎧x=3t′y=−2t′+1,t′∈Rz=t′+1.
3.d:⎩⎪⎨⎪⎧x=2t+7y=−3t+1,t∈Rz=6t+2 et d′:⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=3t′−1y=−29t′,t′∈Rz=9t′+5.
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83
[Représenter.]
Déterminer l’ensemble des points de l’espace de coordonnées (x;y;z) vérifant :
1.⎩⎪⎨⎪⎧x=2t−4y=t+1,t∈R+z=−3t+4.
2.⎩⎪⎨⎪⎧x=t−3y=3t+2,t∈[−2;3]z=t+1.
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84
[Calculer.]◉◉◉ 1. Déterminer une représentation paramétrique de la
droite (AB) où A(1;−1;3) et B(3;2;4).
2. On considère le point E(−5;7;1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite d contenant E et parallèle à (AB).
3. On considère le point F(−1;13;3). a. Justifer que (AF) et d ne sont pas parallèles.
b. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection s’il existe.
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85
[Calculer.]◉◉◉
Soit d la droite dont une représentation paramétrique
est : ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=−t+1y=4t−3,t∈Rz=21t+6.
1. Donner un vecteur directeur de d.
2. Soit P le plan dont un repère est (A;u,v) avec A(−1;2;5), u⎝⎛111⎠⎞ et v⎝⎛−64−3⎠⎞.
a. Le point E(1;1;1) appartient-il à ce plan ?
b. La droite d est-elle parallèle à P ? Justifer.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la
droite Δ contenant E, de vecteur directeur u.
Que peut-on dire de Δ et de P ?
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86
[Chercher.]
Soient les points de l’espace suivants : A(1;2;−3), B(2;4;1) et C(−1;3;2).
1. Justifer que les points A, B et C définissent un plan.
2. Soit M(x;y;z), un point du plan (ABC).
a. Justifer qu’il existe deux réels t et t′ tels que AM=tAB+t′AC.
b. En déduire que M∈(ABC) si, et seulement si, ⎩⎪⎨⎪⎧x=t−2t′+1y=2t+t′+2, ouˋt∈R et t′∈Rz=4t+5t′−3.
c. Le point E(1;4;−7) appartient-il au plan (ABC) ?
3. Soit d la droite dont une représentation
paramétrique est ⎩⎪⎨⎪⎧x=−k+1y=3k+4,k∈Rz=9k−7.
La droite d est-elle parallèle au plan (ABC) ?
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87
[Raisonner.]◉◉◉
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
On considère la translation t de vecteur u⎝⎛12−1⎠⎞.
Pour tout point M(x;y;z) de l’espace, on note
M′(x′;y′;z′) l’image de M par la translation t.
1. Déterminer x′, y′ et z′ en fonction de x, y et z.
2. Soit D la droite de représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x=3k+1y=2k−2, avec k∈Rz=4k+2.
a. Soit N un point de D.
Déterminer l’image de N par t notée N′.
b. En déduire la nature et les caractéristiques de D′,
image de la droite D par la translation t.
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88
[Communiquer.]
On considère l’énoncé suivant.
« On considère la droite Δ dont une représentation paramétrique est ⎩⎪⎨⎪⎧x=3k+1y=2k−1, avec k∈Rz=−k+2 et la droite Δ′ dont une représentation paramétrique est ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x=2t+2y=322t−1, avec t∈Rz=32t+2. Étudier la position relative des droites Δ et Δ′. »
Voici la copie de Chloé.
Soit u un vecteur directeur de Δ.
On a u⎝⎛32−1⎠⎞.
Soit v un vecteur directeur de Δ′.
On a v⎝⎜⎜⎜⎜⎛232232⎠⎟⎟⎟⎟⎞.
Les droites Δ et Δ′ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires. u et v sont colinéaires si, et seulement si,
il existe un réel λ tel que u=λv.
On résout alors le système suivant. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧32−1=λ2=322λ=32λ soit ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧λ=23λ=23λ=−23.
Ce système n’admet pas de solution. On en déduit
que les droites ne sont pas parallèles et, par
conséquent, elles sont sécantes.