3

Repère de l'espace

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l’espace est rapporté à un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

67

On considère les points $\text{A}(1;2;3)$, $\text{B}(-1;1;4)$ et $\text{C}(3;5;-2)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{D}$ telles que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme.

68

On considère les points $\text{A}(1;2;1)$, $\text{B}(3;-1;2)$ et $\text{C}(-1;3;4)$.

1. Déterminer les coordonnées du milieu de $\text{[AC]}$.

2. Déterminer les coordonnées de $\text{D}$ telles que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme.

69

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point $\text{E}(-8;3;5)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{i}$.


2. Le point $\text{F}(-6;3;5)$ appartient-il à cette droite ?

70

[Calculer.]
Soient les points $\text{A}(-1;4;-3)$ et $\text{B}(2;1;3)$.
Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ vérifant $\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$.

71

[Représenter.] ◉ ◉◉
1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points $\text{A}(1;0;2)$, $\text{B}(1;2;0)$, $\text{C}(1;1;-2)$ et $\mathrm{D}(1;-2;1)$.

2. On considère le vecteur $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$. Construire le représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ d’origine $\mathrm{M}(0;-1;1)$.

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$.
Que peut-on en déduire ?

72

[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points $\text{A}$ et $\text{B}$ de l’espace, renvoie les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

73

[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre $\text{ABCD}$.
On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[CD]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[BD]}$.

1. L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}})$. a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.

b. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ dans la base $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}})$.

2. L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{B};\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}},\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}},\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{D}})$.
Donner les coordonnées des points de la figure.

74

[Calculer.]
On considère les points $\text{A}(0;1;1)$, $\text{B}(2;1;1)$ et $\text{C}(3;1;1)$ et $\text{D}(1;1;1)$.

1. Démontrer que $\text{ABCD}$ est un parallélogramme.

2. Soit $\text{E}$ le point de coordonnées $(2;2;4)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$ telles que $\text{ACEF}$ soit un parallélogramme.

3. Soit $\text{I}$ le point de l’espace tel que $\text{F}$ soit le milieu de $\text{[AI]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[EF]}$. Démontrer que $\text{J}$ est le milieu de $\text{[IC]}$.

75

[Calculer.] ◉◉ ◉
On considère les points $\text{A}(1;1;2)$ et $\text{B}(-1;3;4)$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

1. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont coplanaires.

2. Soit $\text{M}$ le point du plan défini par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}=2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}$.
Les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{M}$ sont-ils alignés ? Justifer.

76

[Représenter.]
Soit $\text{ABCD}$ un tétraèdre.
L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}})$.
On appelle $\text{I}$ et $\text{J}$ les milieux respectifs de $\text{[DC}]$ et de $\text{[BC}]$. Soient $\text{E}$ et $\text{F}$ les points définis par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{E}$ et $\text{F}$.

2. Démontrer que $\text{(EF)}$ est parallèle à $\text{(IJ)}$.

77

[Chercher.]
Soient $\text{A}(1;2;1)$, $\text{B}(1;-1;1)$ et $\text{C}(3;1;2)$ trois points de l’espace.
On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$.

1. Déterminer les coordonnées du point $\text{G}$ (centre de gravité du triangle $\text{ABC}$) défini par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}$.

2. On considère le point $\text{E}(3;7;2)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$ telles que $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$.

3. On note $\text{J}$ le milieu de $\text{[BE]}$. Les points $\text{G}$, $\text{J}$ et $\text{F}$ sont-ils alignés ? Justifer.

78

[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.

79

[Calculer.] ◉ ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par $\text{A}$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

1. $\mathrm{A}(-1;2;5)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

2. $\mathrm{A}(1;7;3)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right)$.

3. $\mathrm{A}(-1;0;4)$ et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{k}$.

80

[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(AB)}$.
1. $\mathrm{A}(-1;5;3)$ et $\mathrm{A}(2;-4;3)$.

2. $\mathrm{A}(-1;2;1)$ et $\mathrm{A}(3;2;1)$.

81

[Chercher.]
Soient $d$ et $d^{\prime }$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
$d:\{\begin{array}{l}x=-2t+3\\ y=-3t+1,t\in \mathbb{R}\\ z=t+2\end{array}$ et $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=t^{\prime }+1\\ y=-2t^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R}\\ z=4\end{array}$

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.

2. Les droites $d$ et $d^{\prime }$ sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifer.

3. Que peut-on en conclure ?

82

[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites $d$ et $d^{\prime }$.

1. $d:\{\begin{array}{l}x=-2t+3\\ y=-3t+1,t\in \mathbb{R}\\ z=t+2\end{array}$ et $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=t^{\prime }-1\\ y=2t^{\prime }+2,t^{\prime }\in \mathbb{R}\\ z=-t^{\prime }-3\end{array}$.

2. $d:\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=2t+2,t\in \mathbb{R}\\ z=-t-3\end{array}$ et $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=3t^{\prime }\\ y=-2t^{\prime }+1,t^{\prime }\in \mathbb{R}\\ z=t^{\prime }+1\end{array}$.

3. $d:\{\begin{array}{l}x=2t+7\\ y=-3t+1,t\in \mathbb{R}\\ z=6t+2\end{array}$ et $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=3t^{\prime }-1\\ y=-\frac{9}{2}{t}^{\prime },t^{\prime }\in \mathbb{R}\\ z=9t^{\prime }+5\end{array}$.

83

[Représenter.]
Déterminer l’ensemble des points de l’espace de coordonnées $(x;y;z)$ vérifant :

1. $\{\begin{array}{l}x=2t-4\\ y=t+1,t\in {\mathbb{R}}^{+}\\ z=-3t+4\end{array}$.

2. $\{\begin{array}{l}x=t-3\\ y=3t+2,t\in [-2;3]\\ z=t+1\end{array}$.

84

[Calculer.] ◉◉ ◉
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(AB)}$ où $\mathrm{A}(1;-1;3)$ et $\mathrm{B}(3;2;4)$.

2. On considère le point $\mathrm{E}(-5;7;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ contenant $\text{E}$ et parallèle à $\text{(AB)}$.

3. On considère le point $\mathrm{F}(-1;13;3)$.
a. Justifer que $\text{(AF)}$ et $d$ ne sont pas parallèles.

b. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection s’il existe.

85

[Calculer.] ◉ ◉◉
Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\{\begin{array}{l}x=-t+1\\ y=4t-3,t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{1}{2}t+6\end{array}$.

1. Donner un vecteur directeur de $d$.

2. Soit $\mathcal{P}$ le plan dont un repère est $(\text{A};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ avec $\text{A}(-1;2;5)$, $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -3\end{array}\right)$.

a. Le point $\text{E}(1;1;1)$ appartient-il à ce plan ?

b. La droite $d$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ? Justifer.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ contenant $\text{E}$, de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
Que peut-on dire de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$ ?

86

[Chercher.]
Soient les points de l’espace suivants : $\text{A}(1;2;-3)$, $\text{B}(2;4;1)$ et $\text{C}(-1;3;2)$.

1. Justifer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.

2. Soit $\text{M}(x;y;z)$, un point du plan $\text{(ABC)}$. a. Justifer qu’il existe deux réels $t$ et $t^{\prime }$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}}=t\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+t^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.

b. En déduire que $\text{M}\in (\text{ABC})$ si, et seulement si, $\{\begin{array}{l}x=t-2t^{\prime }+1\\ y=2t+t^{\prime }+2,\text{ ouˋ }t\in \mathbb{R}\text{ et }{t}^{\prime }\in \mathbb{R}\\ z=4t+5t^{\prime }-3\end{array}$.

c. Le point $\text{E}(1;4;-7)$ appartient-il au plan $(\text{ABC})$ ?

3. Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est $\{\begin{array}{l}x=-k+1\\ y=3k+4,k\in \mathbb{R}\\ z=9k-7\end{array}$.
La droite $d$ est-elle parallèle au plan $(\text{ABC})$ ?

87

[Raisonner.] ◉◉◉
L’espace est rapporté à un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.
Pour tout point $\text{M}(x;y;z)$ de l’espace, on note ${\text{M}}^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ l’image de $\text{M}$ par la translation $t$.

1. Déterminer $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ et $z^{\prime }$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

2. Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $\{\begin{array}{l}x=3k+1\\ y=2k-2,\text{ avec }k\in \mathbb{R}\\ z=4k+2\end{array}$.

a. Soit $\text{N}$ un point de $\mathcal{D}$.
Déterminer l’image de $\text{N}$ par $t$ notée ${\text{N}}^{\prime }$.

b. En déduire la nature et les caractéristiques de ${\mathcal{D}}^{\prime }$, image de la droite $\mathcal{D}$ par la translation $t$.

88

[Communiquer.]
On considère l’énoncé suivant.
« On considère la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est $\{\begin{array}{l}x=3k+1\\ y=2k-1,\text{ avec }k\in \mathbb{R}\\ z=-k+2\end{array}$ et la droite ${\Delta }^{\prime }$ dont une représentation paramétrique est $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}t+2\\ y=\frac{2\sqrt{2}}{3}t-1,\text{ avec }t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{\sqrt{2}}{3}t+2\end{array}$. Étudier la position relative des droites $\Delta$ et ${\Delta }^{\prime }$. »
Voici la copie de Chloé.

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