Mathématiques Spécialité Terminale

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3. Repère de l’espace
P.77-79

Entraînement


3
Repère de l'espace





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l’espace est rapporté à un repère .

67
FLASH

On considère les points , et . Déterminer les coordonnées du point telles que soit un parallélogramme.

68
FLASH

On considère les points , et .

1. Déterminer les coordonnées du milieu de .


2. Déterminer les coordonnées de telles que soit un parallélogramme.

69
FLASH

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point et de vecteur directeur .


2. Le point appartient-il à cette droite ?

70
[Calculer.]
Soient les points et .
Déterminer les coordonnées de vérifant .

71
[Représenter.] ◉◉
1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points , , et .

Repère de l'espace

Dessinez ici

2. On considère le vecteur . Construire le représentant du vecteur d’origine .


3. Déterminer les coordonnées des vecteurs et .
Que peut-on en déduire ?

72
PYTHON
[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points et de l’espace, renvoie les coordonnées du vecteur .


73
[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre .
On note le milieu de et le milieu de .

Repère de l’espace

1. L’espace est rapporté au repère . a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.


b. Exprimer le vecteur dans la base .


2. L’espace est rapporté au repère .
Donner les coordonnées des points de la figure.

74
[Calculer.]
On considère les points , et et .

1. Démontrer que est un parallélogramme.


2. Soit le point de coordonnées . Déterminer les coordonnées du point telles que soit un parallélogramme.


3. Soit le point de l’espace tel que soit le milieu de et le milieu de . Démontrer que est le milieu de .

75
[Calculer.] ◉◉
On considère les points et et les vecteurs et .

1. Démontrer que les vecteurs , et sont coplanaires.


2. Soit le point du plan défini par .
Les points , et sont-ils alignés ? Justifer.

76
[Représenter.]
Soit un tétraèdre.
L’espace est rapporté au repère .
On appelle et les milieux respectifs de et de . Soient et les points définis par et .

1. Déterminer les coordonnées des points , , et .


2. Démontrer que est parallèle à .

77
[Chercher.]
Soient , et trois points de l’espace.
On note le milieu de .

1. Déterminer les coordonnées du point (centre de gravité du triangle ) défini par .


2. On considère le point . Déterminer les coordonnées du point telles que .


3. On note le milieu de . Les points , et sont-ils alignés ? Justifer.

78
PYTHON
[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.


Repère de l'espace

79
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par et de vecteur directeur .

1. et .


2. et .


3. et .

80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite .
1. et .


2. et .

81
[Chercher.]
Soient et deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
et

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.


2. Les droites et sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifer.


3. Que peut-on en conclure ?

82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites et .

1. et .


2. et .


3. et .

83
[Représenter.]
Déterminer l’ensemble des points de l’espace de coordonnées vérifant :

1. .


2. .


84
[Calculer.] ◉◉
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite et .


2. On considère le point . Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant et parallèle à .


3. On considère le point .
a. Justifer que et ne sont pas parallèles.


b. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection s’il existe.

85
[Calculer.] ◉◉
Soit la droite dont une représentation paramétrique est : .

1. Donner un vecteur directeur de .


2. Soit le plan dont un repère est avec , et .

a. Le point appartient-il à ce plan ?


b. La droite est-elle parallèle à ? Justifer.


c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant , de vecteur directeur .
Que peut-on dire de et de ?

86
[Chercher.]
Soient les points de l’espace suivants : , et .

1. Justifer que les points , et définissent un plan.


2. Soit , un point du plan . a. Justifer qu’il existe deux réels et tels que .


b. En déduire que si, et seulement si, .


c. Le point appartient-il au plan ?


3. Soit la droite dont une représentation paramétrique est .
La droite est-elle parallèle au plan ?

87
[Raisonner.] ◉◉◉
L’espace est rapporté à un repère .
On considère la translation de vecteur .
Pour tout point de l’espace, on note l’image de par la translation .

1. Déterminer , et en fonction de , et .


2. Soit la droite de représentation paramétrique : .

a. Soit un point de .
Déterminer l’image de par notée .


b. En déduire la nature et les caractéristiques de , image de la droite par la translation .

88
[Communiquer.]
On considère l’énoncé suivant.
« On considère la droite dont une représentation paramétrique est et la droite dont une représentation paramétrique est . Étudier la position relative des droites et . »
Voici la copie de Chloé.

Soit un vecteur directeur de .
On a .
Soit un vecteur directeur de .
On a .
Les droites et sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel tel que .
On résout alors le système suivant.