3

Repère de l'espace

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 46 ; 50 ; 61 ; 71 ; 79 et 85
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 52 ; 62 ; 75 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 57 ; 63 et 87

Dans les exercices suivants, sauf indications contraires, l’espace est rapporté à un repère $( \text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.

67

On considère les points $\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 3)$, $\text{B}( -1 \: ; 1 \: ; 4)$ et $\text{C}( 3 \: ; 5 \: ; -2)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{D}$ telles que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme.

68

On considère les points $\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1)$, $\text{B}( 3 \: ; -1 \: ; 2)$ et $\text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 4)$.

1. Déterminer les coordonnées du milieu de $\text{[AC]}$.

2. Déterminer les coordonnées de $\text{D}$ telles que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme.

69

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point $\text{E}( -8 \: ; 3 \: ; 5)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{i}$.

2. Le point $\text{F}( -6 \: ; 3 \: ; 5)$ appartient-il à cette droite ?

70

[Calculer.]
Soient les points $\text{A}( -1 \: ; 4 \: ; -3)$ et $\text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 3)$.
Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ vérifant $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

71

[Représenter.] ◉ ◉◉
1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points $\text{A}(1 \: ; 0 \:; 2)$, $\text{B}(1 \: ; 2 \: ; 0)$, $\text{C}(1 \: ; 1 \: ;-2)$ et $\mathrm{D}(1 ;-2 ; 1)$.

2. On considère le vecteur $\overrightarrow{u}=3 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2 \overrightarrow{k}$. Construire le représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ d’origine $\mathrm{M}(0 \: ;-1 \: ; 1)$.

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$.
Que peut-on en déduire ?

72

[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points $\text{A}$ et $\text{B}$ de l’espace, renvoie les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

73

[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre $\text{ABCD}$.
On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[CD]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[BD]}$.

1. L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}})$. a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.

b. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ dans la base $(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}})$.

2. L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{B} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{BC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{BD}})$.
Donner les coordonnées des points de la figure.

74

[Calculer.]
On considère les points $\text{A}( 0 \: ; 1 \: ; 1)$, $\text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 1)$ et $\text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 1)$ et $\text{D}( 1 \: ; 1 \: ; 1)$.

1. Démontrer que $\text{ABCD}$ est un parallélogramme.

2. Soit $\text{E}$ le point de coordonnées $( 2 \: ; 2 \: ; 4)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$ telles que $\text{ACEF}$ soit un parallélogramme.

3. Soit $\text{I}$ le point de l’espace tel que $\text{F}$ soit le milieu de $\text{[AI]}$ et $\text{J}$ le milieu de $\text{[EF]}$. Démontrer que $\text{J}$ est le milieu de $\text{[IC]}$.

75

[Calculer.] ◉◉ ◉
On considère les points $\text{A}( 1 \: ; 1 \: ; 2)$ et $\text{B}( -1 \: ; 3 \: ; 4)$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$.

1. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont coplanaires.

2. Soit $\text{M}$ le point du plan défini par $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{u}+4 \overrightarrow{v}$.
Les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{M}$ sont-ils alignés ? Justifer.

76

[Représenter.]
Soit $\text{ABCD}$ un tétraèdre.
L’espace est rapporté au repère $(\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}})$.
On appelle $\text{I}$ et $\text{J}$ les milieux respectifs de $\text{[DC}]$ et de $\text{[BC}]$. Soient $\text{E}$ et $\text{F}$ les points définis par $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$.

1. Déterminer les coordonnées des points $\text{I}$, $\text{J}$, $\text{E}$ et $\text{F}$.

2. Démontrer que $\text{(EF)}$ est parallèle à $\text{(IJ)}$.

77

[Chercher.]
Soient $\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1)$, $\text{B}( 1 \: ; -1 \: ; 1)$ et $\text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 2)$ trois points de l’espace.
On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$.

1. Déterminer les coordonnées du point $\text{G}$ (centre de gravité du triangle $\text{ABC}$) défini par $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AI}}$.

2. On considère le point $\text{E}( 3 \: ; 7 \: ; 2)$. Déterminer les coordonnées du point $\text{F}$ telles que $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

3. On note $\text{J}$ le milieu de $\text{[BE]}$. Les points $\text{G}$, $\text{J}$ et $\text{F}$ sont-ils alignés ? Justifer.

78

[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.

79

[Calculer.] ◉ ◉◉
Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par $\text{A}$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

1. $\mathrm{A}(-1 ; 2 ; 5)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$.

2. $\mathrm{A}(1 ; 7 ; 3)$ et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ - \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$.

3. $\mathrm{A}(-1 ; 0 ; 4)$ et $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{k}$.

80

[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(AB)}$.
1. $\mathrm{A}(-1 ; 5 ; 3)$ et $\mathrm{A}(2 ; -4 ; 3)$.

2. $\mathrm{A}(-1 ; 2 ; 1)$ et $\mathrm{A}(3 ; 2 ; 1)$.

81

[Chercher.]
Soient $d$ et $d'$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
$d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right.$ et $d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-2 t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 \end{array}\right.$

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.

2. Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifer.

3. Que peut-on en conclure ?

82

[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites $d$ et $d'$.

1. $d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right.$ et $d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}-1 \\ y=2 t^{\prime}+2, t^{\prime} \in \R \\ z=-t^{\prime}-3 \end{array}\right.$.

2. $d:\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=2 t+2, t \in \mathbb{R} \\ z=-t-3 \end{array}\right.$ et $d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime} \\ y=-2 t^{\prime}+1, t^{\prime} \in \R \\ z=t^{\prime}+1 \end{array}\right.$.

3. $d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+7 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=6 t+2 \end{array}\right.$ et $d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime}-1 \\ y=-\dfrac{9}{2} t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=9 t^{\prime}+5 \end{array}\right.$.

83

[Représenter.]
Déterminer l’ensemble des points de l’espace de coordonnées $(x ; y ; z)$ vérifant :

1. $\left\{\begin{array}{l} x=2 t-4 \\ y=t+1 \quad, t \in \mathbb{R}^{+} \\ z=-3 t+4 \end{array}\right.$.

2. $\left\{\begin{array}{l} x=t-3 \\ y=3 t+2, t \in[-2 ; 3] \\ z=t+1 \end{array}\right.$.

84

[Calculer.] ◉◉ ◉
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(AB)}$ où $\mathrm{A}(1 ; -1 ; 3)$ et $\mathrm{B}(3 ; 2 ; 4)$.

2. On considère le point $\mathrm{E}(-5 ; 7 ; 1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ contenant $\text{E}$ et parallèle à $\text{(AB)}$.

3. On considère le point $\mathrm{F}(-1 ; 13 ; 3)$.
a. Justifer que $\text{(AF)}$ et $d$ ne sont pas parallèles.

b. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection s’il existe.

85

[Calculer.] ◉ ◉◉
Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l} x=-t+1 \\ y=4 t-3, t \in \mathbb{R} \\ z=\dfrac{1}{2} t+6 \end{array}\right.$.

1. Donner un vecteur directeur de $d$.

2. Soit $\mathcal{P}$ le plan dont un repère est $(\text{A} \: ; \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v})$ avec $\text{A} (-1 \: ; 2 \: ; 5)$, $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} -6 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right)$.

a. Le point $\text{E}(1 \: ; 1 \: ; 1)$ appartient-il à ce plan ?

b. La droite $d$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ? Justifer.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ contenant $\text{E}$, de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
Que peut-on dire de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$ ?

86

[Chercher.]
Soient les points de l’espace suivants : $\text{A}( 1 \: ; 2 \: ; -3)$, $\text{B}( 2 \: ; 4 \: ; 1)$ et $\text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 2)$.

1. Justifer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.

2. Soit $\text{M}(x \: ; y \: ; z)$, un point du plan $\text{(ABC)}$. a. Justifer qu’il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t' \overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

b. En déduire que $\text{M} \in (\text{ABC})$ si, et seulement si, $\left\{\begin{array}{l} x=t-2 t^{\prime}+1 \\ y=2 t+t^{\prime}+2, \text { où } t \in \mathbb{R} \text { et } t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 t+5 t^{\prime}-3 \end{array}\right.$.

c. Le point $\text{E}(1 \: ; 4 \: ; -7)$ appartient-il au plan $(\text{ABC})$ ?

3. Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l} x=-k+1 \\ y=3 k+4, k \in \mathbb{R} \\ z=9 k-7 \end{array}\right.$.
La droite $d$ est-elle parallèle au plan $(\text{ABC})$ ?

87

[Raisonner.] ◉◉◉
L’espace est rapporté à un repère $( \text{O} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k})$.
On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$.
Pour tout point $\text{M}(x \: ; y \: ; z)$ de l’espace, on note $\text{M}'(x' \: ; y' \: ; z')$ l’image de $\text{M}$ par la translation $t$.

1. Déterminer $x'$, $y'$ et $z'$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

2. Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-2, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=4 k+2 \end{array}\right.$.

a. Soit $\text{N}$ un point de $\mathcal{D}$.
Déterminer l’image de $\text{N}$ par $t$ notée $\text{N}'$.

b. En déduire la nature et les caractéristiques de $\mathcal{D}'$, image de la droite $\mathcal{D}$ par la translation $t$.

88

[Communiquer.]
On considère l’énoncé suivant.
« On considère la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-1, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=-k+2 \end{array}\right.$ et la droite $\Delta'$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{2} t+2 \\ y=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} t-1, \text { avec } t \in \mathbb{R} \\ z=\dfrac{\sqrt{2}}{3} t+2 \end{array}\right.$. Étudier la position relative des droites $\Delta$ et $\Delta'$. »
Voici la copie de Chloé.

Corriger ses éventuelles erreurs.