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p. 1-13

Automatismes

Ch. 1

Statistiques à une variable

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Ch. 2

Fluctuations d'une fréquence et probabilités

Ch. 3

Résolution d'un problème du premier degré

Ch. 4

Représentation et variations d'une fonction

Ch. 5

Fonctions affines, fonction carré

Ch. 6

Calculs commerciaux et financiers

Ch. 7

Géométrie

Fiches méthodes

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Chapitre 7

L'essentiel

Géométrie

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1
Figures planes usuelles

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Une figure plane est une figure géométrique en deux dimensions dont tous les points sont situés dans un même plan.
Le périmètre

P

d'une figure correspond à la longueur de son contour.
L'aire

A

d'une figure correspond à sa surface.

Le carré

P = 4 \times c

A = c^{2}

#Exemple Le périmètre d'un carré de côté 3 m est

P = 4 \times 3 = 12 m

. Son aire est

A = 3^{2} = 9 m^{2}

Le rectangle

P = 2 \times L + 2 \times ℓ

A = L \times ℓ

#Exemple Le périmètre d'un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 5 cm est

P = 2 \times 12 + 2 \times 5 = 34 cm

. Son aire est

A = 12 \times 5 = 60 cm^{2}

Le cercle/le disque

P = 2 \times π \times R

A = π \times R^{2}

#Exemple Le périmètre d'un cercle de rayon 7 km est

P = 2 \times π \times 7 \approx 44 km

. L'aire du disque est

A = π \times 7^{2} \approx 154 km^{2}

Le triangle

A = \frac{b \times h}{2}

#Exemple L'aire d'un triangle de base 30 cm et de hauteur associée 8 cm est

A = \frac{30 \times 8}{2} = 120 cm^{2}

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2
Solides usuels

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Un solide est un objet en trois dimensions, c'est-à-dire qu'il occupe un volume

V

dans l'espace.

Le cube

V = c^{3}

#Exemple Le volume d'un cube de 6 cm de côté est

V = 6^{3} = 216 cm^{3}

Le pavé droit

V = L \times ℓ \times h

#Exemple Le volume d'un pavé droit de longueur 8 m, de largeur 1,5 m et de hauteur 3 m est

V = 8 \times 1, 5 \times 3 = 36 m^{3}

La boule

V = \frac{4}{3} \times π \times R^{3}

#Exemple Le volume d'une boule de 5 cm de rayon est

V = \frac{4}{3} \times π \times 5^{3} \approx 523, 6 cm^{3}

La pyramide

La pyramide

V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h

#Exemple Le volume d'une pyramide de 30 m de hauteur à base carrée de côté 20 m est

V = \frac{1}{3} \times A_{base} 20 \times 20 \times 30 = 4000 m^{3}

Le cône

V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h

#Exemple Le volume d'un cône de 4 cm de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 7 cm est

V = \frac{1}{3} \times A_{base} π \times 7^{2} \times 4 \approx 205, 25 cm^{3}

Le cylindre droit

V = A_{base} \times h

#Exemple Le volume d'un cylindre droit de 8 m de hauteur et de base circulaire dont le rayon mesure 1,5 m est

V = A_{base} π \times 1, 5^{2} \times 8 \approx 56, 5 m^{3}

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3
Agrandissement et réduction

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Dans le cas d'un agrandissement ou d'une réduction d'une figure de rapport

k

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $k^{3}$ .

0 < k < 1

, c'est une réduction.
Si

k > 1

, c'est un agrandissement.
Si

k = 1

, il n'y a aucun changement.

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Exemple

On considère un carré de côté 3 cm.

Figure réduite avec un rapport

k = 0, 5

c^{'} = c \times k = 3 \times 0, 5 = 1, 5 cm

A^{'} = A \times k^{2} = 9 \times 0, 5^{2} = 2, 25 cm^{2}

Figure originale

c = 3 cm

A = 3^{2} = 9 cm^{2}

Figure agrandie avec un rapport

k = 2

c^{''} = c \times k = 3 \times 2 = 6 cm

A^{''} = A \times k^{2} = 9 \times 2^{2} = 36 cm^{2}

On considère un cube de côté 3 cm.

Solide réduit avec un rapport

k = 0, 5

V^{'} = V \times k^{3} = 27 \times 0, 5^{3} = 3, 375 cm^{3}

Solide originale

V = 3^{3} = 27 cm^{3}

Solide agrandi avec un rapport

k = 2

V^{''} = V \times k^{3} = 27 \times 2^{3} = 216 cm^{3}

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4
Théorème de Pythagore et sa réciproque

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Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans le triangle

ABC

rectangle en

A

, d'après le théorème de Pythagore, on a

BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}

.

Le théorème de Pythagore permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît les deux autres.

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Exemple

On considère le triangle

EFG

ci-dessous. Calculer la longueur

EF

Dans le triangle $EFG$ , rectangle en $F$ , le côté $[EG]$ est l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore, on a : $EG^{2} = EF^{2} + FG^{2}$ .

On remplace les longueurs connues et on calcule la longueur inconnue :
$5^{2} = EF^{2} + 3^{2}$
$25 = EF^{2} + 9$
$EF^{2} = 25 - 9$
$EF^{2} = 16$
$EF = 16 = 4$ .

La longueur $EF$ est de 4 cm.

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Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Dans le triangle

DEF

EF

est le plus grand des côtés. Si

EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}

alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

DEF

est rectangle en

D

.

La réciproque du théorème de Pythagore permet de vérifier si un triangle est rectangle lorsque l'on connaît la mesure de ses trois côtés.

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Exemple

On considère le triangle

IJK

ci-dessous. Déterminer, par le calcul, s'il est rectangle.

Dans le triangle $IJK$ , $[IK]$ est le plus grand côté.

On calcule le carré de sa longueur : $IK^{2} = 1 0^{2} = 100$ .

On calcule la somme des carrés des deux autres longueurs : $JK^{2} + IJ^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ .

On vérifie l'égalité de Pythagore $IK^{2} = JK^{2} + IJ^{2}$ .

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

IJK

est rectangle en

J

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5
Théorème de Thalès

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Si $ABC$ est un triangle tel que $M$ appartient au segment $[AB]$ , $N$ appartient au segment $[AC]$ et que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors on a les égalités suivantes.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Le théorème de Thalès permet de déterminer une longueur inconnue dans un triangle dans ce type de configuration.

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Exemple

On considère le triangle

ABC

suivant. Calculer la longueur

AC

Dans le triangle $ABC$ , $D$ appartient à $[BA]$ , $E$ appartient à $[BC]$ et les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a : $\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}$ .

On remplace les longueurs connues et on calcule la longueur inconnue :
$\frac{4}{6} = \frac{5}{AC}$

$AC = \frac{5 \times 6}{4} = 7, 5$ .

La longueur

AC

est de

7, 5

cm

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Méthode

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Exercice résolu
# Méthode

Un charpentier doit réaliser une charpente pour un de ses clients, cependant il ne possède pas toutes les dimensions nécessaires pour la réaliser. Il demande à son apprenti de calculer les longueurs manquantes à l'aide du schéma suivant.

1. Calculer la longueur

PN

Dans le triangle

MNP

rectangle en

M

, d'après le théorème de Pythagore on a :

P N^{2} = M N^{2} + M P^{2}

P N^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100

P N = 100 = 10 m

La longueur

P N

est de

10 m

2. Calculer la longueur

KR

. On donne

(KR) // (PN)

Dans le triangle

M N P

, le point

K

appartient à

[M P]

, le point

R

appartient à

[M N]

et les droites

(K R) // (P N)

sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :

\frac{M R}{M N} = \frac{M K}{M P} = \frac{K R}{P N}

\frac{3}{8} = \frac{M K}{6} = \frac{K R}{10}

, on obtient donc l'égalité

\frac{3}{8} = \frac{K R}{10}

K R = \frac{3 \times 10}{8} = 3, 75 m

La longueur

K R

est de

3, 75 m

3. Déterminer, par le calcul, si le triangle

AKR

est rectangle.

Dans le triangle

A K R

[A R]

est le côté le plus grand.

A R^{2} = 4, 5^{2} = 20, 25

A K^{2} + K R^{2} = 3, 0 3^{2} + 3, 7 5^{2} \approx 23, 24

. Alors

A R^{2} \neq = A K^{2} + K R^{2}

.
Donc le triangle

A K R

n'est pas rectangle.

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2 Solides usuels

3 Agrandissement et réduction

Exemple

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Exemple

Exemple

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Exemple

Méthode

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