Auto-évaluation

8

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\frac{3n+2}{5+2n}$. La suite $(u_n)$ :
a. converge vers $\frac{3}{5}.$

b. converge vers $\frac{3}{2}.$

c. converge vers $0.$

d. a pour limite $+\infty .$

9

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\frac{v_n^2}{10}-2v_n+1$. À l’aide de la calculatrice, on conjecture que la suite $(v_n)$ est :
a. bornée.
b. croissante.
c. décroissante.
d. convergente.

10

Une suite $(w_n)$ est majorée par $4$ et converge vers un réel $\ell$. Alors on peut affirmer que :
a. $\ell =4$
b. $(w_n)$ est croissante.
c. $\ell ⩽4$
d. la suite $(w_n)$ est constante égale à $4$ à partir d’un certain rang.

11

Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-\infty$, alors :
a. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$

b. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$

c. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=-1$

d. on ne peut pas conclure dans le cas général.

12

Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $1$.

×

a. La suite est croissante.

×

b. La suite est bornée à partir d’un certain rang.

×

c. La suite est positive à partir d’un certain rang.

d. La suite est majorée par $1$.

13

Soit $(v_n)$ une suite bornée.

×

a. La suite n’est pas monotone.

×

b. La suite est monotone.

c. La suite est convergente.

×

d. La suite peut diverger.

14

Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$, alors on peut avoir :

×

a. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$

×

b. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$

×

c. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=1$

×

d. $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=-\infty$

15

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_n⩽v_n⩽w_n$ à partir d’un certain rang.

×

a. Si$\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n=+\infty$.

×

b. Si$\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-\infty$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$.

×

c. Si$\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$.

d. Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n<0$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n>0$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=0$.

16

D’après bac L/ES, Métropole-La Réunion, juin 2019
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=300$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,96u_n+22$.

1. On définit la suite $(v_n)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-550$.
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.


c. En déduire que $u_n=550-250\times 0,96^n$.


2. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

A

Vrai ou faux ? Une suite qui diverge vers $+\infty$ est forcément croissante.

a. Vrai
b. Faux

B

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_n⩽v_n⩽w_n$ à partir d’un certain rang. Vrai ou faux ? Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ alors, on a nécessairement $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

a. Vrai
b. Faux

C

La suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n={\left(-2\right)}^n$ est :

a. strictement croissante.
b. convergente.
c. divergente.
d. strictement décroissante.

D

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n\ne 0$. La limite de $\frac{u_n}{v_n}$ :

×

a. peut être $+\infty$.

×

b. peut être $-\infty$.

×

c. peut être $0$.

×

d. peut être $1$.

E

La suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=\frac{1+2^n}{3^n}$ est :

×

a. convergente.

b. divergente.

×

c. majorée par $1$.

×

d. minorée par $0$.

F

Lesquelles de ces suites sont majorées par $\frac{1}{2}$ ?

a. $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^n+1}{2^n}$.

×

b. $(u_n)$ définie pour tout entier $n>2$ par $u_n=\frac{1}{n}$.

×

c. $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n^2$.

d. $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{4}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-u_n$.

G

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont des suites arithmétiques ?

×

a. $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+{\text{e}}^6$.

×

b. $(u_n)$ définie par $u_0=4$, $u_1=7$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n$.

×

c. $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=0,1n$.

×

d. $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=5$.

H

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont convergentes ?

×

a. $(u_n)$ définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}$.

×

b. $(u_n)$ définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par $u_n=\frac{\sqrt{n}+1}{n}$.

c. $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n={\left(\frac{14}{13}\right)}^n\times \sqrt{n}$.

×

d. $(u_n)$ définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par $u_n=\frac{\frac{1}{n^2}+n}{\frac{1}{n}+n^2}$.