Auto-évaluation

8

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=\dfrac{3 n+2}{5+2 n}$. La suite $(u_n)$ :
a. converge vers $\dfrac{3}{5}.$

b. converge vers $\dfrac{3}{2}.$

c. converge vers $0.$

d. a pour limite $+\infty.$

9

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dfrac{v_{n}^{2}}{10}-2 v_{n}+1$. À l’aide de la calculatrice, on conjecture que la suite $(v_n)$ est :
a. bornée.
b. croissante.
c. décroissante.
d. convergente.

10

Une suite $(w_n)$ est majorée par $4$ et converge vers un réel $\ell$. Alors on peut affirmer que :
a. $\ell=4$
b. $(w_n)$ est croissante.
c. $\ell \leqslant 4$
d. la suite $(w_n)$ est constante égale à $4$ à partir d’un certain rang.

11

Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty$, alors :
a. $\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty$

b. $\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=0$

c. $\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=-1$

d. on ne peut pas conclure dans le cas général.

12

Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $1$.

×

a. La suite est croissante.

×

b. La suite est bornée à partir d’un certain rang.

×

c. La suite est positive à partir d’un certain rang.

d. La suite est majorée par $1$.

13

Soit $(v_n)$ une suite bornée.

×

a. La suite n’est pas monotone.

×

b. La suite est monotone.

c. La suite est convergente.

×

d. La suite peut diverger.

14

Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty$, alors on peut avoir :

×

a. $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty$

×

b. $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=0$

×

c. $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=1$

×

d. $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=-\infty$

15

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n}$ à partir d’un certain rang.

×

a. Si$\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$ alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=+\infty$.

×

b. Si$\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty$ alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty$.

×

c. Si$\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty$ alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$.

d. Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}\lt 0$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}>0$ alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0$.

16

D’après bac L/ES, Métropole-La Réunion, juin 2019
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=300$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,96u_n+22$.

1. On définit la suite $(v_n)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-550$.
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.


c. En déduire que $u_{n}=550-250 \times 0,96^{n}$.


2. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

A

Vrai ou faux ? Une suite qui diverge vers $+\infty$ est forcément croissante.

a. Vrai
b. Faux

B

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ à partir d’un certain rang. Vrai ou faux ? Si $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} v_n=+\infty$ alors, on a nécessairement $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} u_n=+\infty$.

a. Vrai
b. Faux

C

La suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \left( -2 \right)^n$ est :

a. strictement croissante.
b. convergente.
c. divergente.
d. strictement décroissante.

D

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} u_n=0$, $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} v_n=0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n \neq 0$. La limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ :

×

a. peut être $+\infty$.

×

b. peut être $-\infty$.

×

c. peut être $0$.

×

d. peut être $1$.

E

La suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n =\dfrac{1+2^n}{3^n}$ est :

×

a. convergente.

b. divergente.

×

c. majorée par $1$.

×

d. minorée par $0$.

F

Lesquelles de ces suites sont majorées par $\dfrac{1}{2}$ ?

a. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \dfrac{2^n + 1}{2^n}$.

×

b. $(u_n)$ définie pour tout entier $n> 2$ par $u_n = \dfrac{1}{n}$.

×

c. $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n^2$.

d. $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{4}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 1-u_n$.

G

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont des suites arithmétiques ?

×

a. $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + \text{e}^{6}$.

×

b. $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$, $u_1 = 7$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n$.

×

c. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 0{,}1n$.

×

d. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 5$.

H

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont convergentes ?

×

a. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_{n} = \dfrac{(-1)^n}{n^2}$.

×

b. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_{n} = \dfrac{\sqrt{n} + 1}{n}$.

c. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \left( \dfrac{14}{13} \right)^n \times \sqrt{n}$.

×

d. $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{\dfrac{1}{n^2}+n}{\dfrac{1}{n}+n^2}$.