TP1 : Étude de la convergence des séries de Riemann
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TP / TICE 1
1
Étude de la convergence des séries de Riemann
Énoncé
Soit α un nombre réel strictement positif. On considère la suite Sn définie, pour tout entier n⩾1 par : Sn=k=1∑nkα1=1+2α1+3α1+…+nα1.
Objectif
Discuter, suivant les valeurs de α, la convergence de la suite (Sn) en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON
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1.
Compléter le programme ci-dessous pour qu’il affiche les 500 premiers termes de la suite (Sn) pour une valeur de α donnée en argument.
def Somme(alpha):
S = 1
for p in range(2, 501):
S = ...
print(S)
2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite (Sn).
a.α=1
b.α=1,1
c.α=0,5
d.α=2
e.α=0,8
f.α=20
g.α=10
h.α=0,1
3. Discuter, suivant les valeurs de α, la convergence
de la suite (Sn).
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
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1. En cellule A1, saisir la valeur de α. On commence par étudier le cas α=4.
2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de n de 1 à 10.
3.a. Saisir la valeur de S1 dans la cellule D1.
b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer S2 ?
4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les 500 premiers termes de la suite (Sn).
5. Modifier la valeur de α dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite (Sn) pour les différentes valeurs de α suivantes.
a.α=1
b.α=1,1
c.α=0,5
d.α=2
e.α=0,8
f.α=20
g.α=10
h.α=0,1
6. Discuter, suivant les valeurs de α, la convergence de la suite (Sn).
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Pour aller plus loin
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1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que α est un nombre strictement positif ?
2. On considère la suite (un) définie, pour tout entier n⩾2, par un=k=2∑nk2−11=31+81+…+n2−11.
a. Démontrer que, pour tout entier 2⩽k⩽n, on a k2−11⩾k1.
b. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier 2⩽k⩽n, par vn=k=2∑nk1=21+31+…+n1.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de (vn).
c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite (un) ?
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Histoire des maths
Lorsque n tend vers +∞, on peut définir la fonction zêta par : ζ(α)=k=1∑+∞kα1 où α est un réel.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.
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