Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

TP INFO 1

Étude de la convergence des séries de Riemann

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Énoncé

Soit

α

un nombre réel strictement positif. On considère la suite

S_{n}

définie, pour tout entier

n ⩾ 1

par :

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}} = 1 + \frac{1}{2 ^{α}} + \frac{1}{3 ^{α}} + \dots + \frac{1}{n ^{α}}

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Objectif

Discuter, suivant les valeurs de

α

, la convergence de la suite

(S_{n})

en utilisant une des deux méthodes.

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Méthode 1
Python

1. Compléter le programme ci-dessous pour qu'il affiche les

500

premiers termes de la suite

(S_{n})

pour une valeur de

α

donnée en argument.

def Somme(alpha):
	S = 1
	for p in range(2, 501):
		S = ...
		print(S)

2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite

(S_{n})

.
a.

α = 1

α = 1, 1

α = 0, 5

α = 2

α = 0, 8

α = 20

α = 10

α = 0, 1

3. Discuter, suivant les valeurs de

α

, la convergence de la suite

(S_{n})

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Méthode 2
Tableur

1. En cellule A1, saisir la valeur de

α

. On commence par étudier le cas

α = 4

2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de

n

1

10

3. a. Saisir la valeur de

S_{1}

dans la cellule D1.

b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer

S_{2}

4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les

500

premiers termes de la suite

(S_{n})

5. Modifier la valeur de

α

dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite

(S_{n})

pour les différentes valeurs de

α

suivantes.
a.

α = 1

α = 1, 1

α = 0, 5

α = 2

α = 0, 8

α = 20

α = 10

α = 0, 1

6. Discuter, suivant les valeurs de

α

, la convergence de la suite

(S_{n})

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Pour aller plus loin

1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que

α

est un nombre strictement positif ?

2. On considère la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier

n ⩾ 2

, par

u_{n} = k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{n ^{2} - 1}

.
a. Démontrer que, pour tout entier

2 ⩽ k ⩽ n

, on a

\frac{1}{k ^{2} - 1} ⩾ \frac{1}{k}

b. On considère la suite

(v_{n})

définie, pour tout entier

2 ⩽ k ⩽ n

, par

v_{n} = k = 2 \sum n \frac{1}{k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de

(v_{n})

c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite

(u_{n})

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Histoire des maths

Lorsque

n

tend vers

+ \infty

, on peut définir la fonction zêta par :

ζ (α) = k = 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}}

où

α

est un réel.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.

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Python

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