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Étude de la convergence des séries de Riemann

1. Compléter le programme ci-dessous pour qu’il affiche les $500$ premiers termes de la suite $(\text{S}_n)$ pour une valeur de $\alpha$ donnée en argument.

def Somme(alpha):
	S = 1
	for p in range(2, 501):
		S = ...
		print(S)

2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite $(\text{S}_n)$.
a. $\alpha=1$


b. $\alpha=1,1$


c. $\alpha=0,5$


d. $\alpha=2$


e. $\alpha=0,8$


f. $\alpha=20$


g. $\alpha=10$


h. $\alpha=0,1$


3. Discuter, suivant les valeurs de $\alpha$, la convergence de la suite $(\text{S}_n)$.

1. En cellule A1, saisir la valeur de $\alpha$. On commence par étudier le cas $\alpha=4$.


2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de $n$ de $1$ à $10$.


3. a. Saisir la valeur de $\text{S}_1$ dans la cellule D1.


b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer $\text{S}_2$ ?


4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les $500$ premiers termes de la suite $(\text{S}_n)$.


5. Modifier la valeur de $\alpha$ dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite $(\text{S}_n)$ pour les différentes valeurs de $\alpha$ suivantes.
a. $\alpha=1$


b. $\alpha=1,1$


c. $\alpha=0,5$


d. $\alpha=2$


e. $\alpha=0,8$


f. $\alpha=20$


g. $\alpha=10$


h. $\alpha=0,1$


6. Discuter, suivant les valeurs de $\alpha$, la convergence de la suite $(\text{S}_n)$.

1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que $\alpha$ est un nombre strictement positif ?


2. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n \geqslant 2$, par $u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k^{2}-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}$.
a. Démontrer que, pour tout entier $2 \leqslant k \leqslant n$, on a $\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}-1}} \geqslant \dfrac{1}{k}$.


b. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier $2 \leqslant k \leqslant n$, par $v_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de $(v_n)$.

c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite $(u_n)$ ?