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TP1 : Étude de la convergence des séries de Riemann
P.142

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TP / TICE 1


1
Étude de la convergence des séries de Riemann




Énoncé

Soit α\alpha un nombre réel strictement positif. On considère la suite Sn\text{S}_n définie, pour tout entier n1n \geqslant 1 par :
Sn=k=1n1kα=1+12α+13α++1nα\text{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k^{\alpha}}=1+\dfrac{1}{2^{\alpha}}+\dfrac{1}{3^{\alpha}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{\alpha}}.

Objectif

Discuter, suivant les valeurs de α\alpha, la convergence de la suite (Sn)(\text{S}_n) en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

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1. Compléter le programme ci-dessous pour qu’il affiche les 500500 premiers termes de la suite (Sn)(\text{S}_n) pour une valeur de α\alpha donnée en argument.

def Somme(alpha):
	S = 1
	for p in range(2, 501):
		S = ...
		print(S)

2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite (Sn)(\text{S}_n).
a. α=1\alpha=1


b. α=1,1\alpha=1,1


c. α=0,5\alpha=0,5


d. α=2\alpha=2


e. α=0,8\alpha=0,8


f. α=20\alpha=20


g. α=10\alpha=10


h. α=0,1\alpha=0,1


3. Discuter, suivant les valeurs de α\alpha, la convergence de la suite (Sn)(\text{S}_n).
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
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1. En cellule A1, saisir la valeur de α\alpha. On commence par étudier le cas α=4\alpha=4.


2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de nn de 11 à 1010.


3. a. Saisir la valeur de S1\text{S}_1 dans la cellule D1.


b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer S2\text{S}_2 ?


4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les 500500 premiers termes de la suite (Sn)(\text{S}_n).


5. Modifier la valeur de α\alpha dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite (Sn)(\text{S}_n) pour les différentes valeurs de α\alpha suivantes.
a. α=1\alpha=1


b. α=1,1\alpha=1,1


c. α=0,5\alpha=0,5


d. α=2\alpha=2


e. α=0,8\alpha=0,8


f. α=20\alpha=20


g. α=10\alpha=10


h. α=0,1\alpha=0,1


6. Discuter, suivant les valeurs de α\alpha, la convergence de la suite (Sn)(\text{S}_n).
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Pour aller plus loin

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1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que α\alpha est un nombre strictement positif ?


2. On considère la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier n2n \geqslant 2, par un=k=2n1k21=13+18++1n21u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k^{2}-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}.
a. Démontrer que, pour tout entier 2kn2 \leqslant k \leqslant n, on a 1k211k\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}-1}} \geqslant \dfrac{1}{k}.


b. On considère la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier 2kn2 \leqslant k \leqslant n, par vn=k=2n1k=12+13++1nv_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de (vn)(v_n).



c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite (un)(u_n) ?
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Histoire des maths

Lorsque nn tend vers ++\infty, on peut définir la fonction zêta par : ζ(α)=k=1+1kα\zeta(\alpha)=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}α\alpha est un réel.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.
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