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TP1 : Étude de la convergence des séries de Riemann
P.142

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TP / TICE 1


1
Étude de la convergence des séries de Riemann




Énoncé

Soit un nombre réel strictement positif. On considère la suite définie, pour tout entier par :
.

Objectif

Discuter, suivant les valeurs de , la convergence de la suite en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

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1. Compléter le programme ci-dessous pour qu’il affiche les premiers termes de la suite pour une valeur de donnée en argument.

def Somme(alpha):
	S = 1
	for p in range(2, 501):
		S = ...
		print(S)

2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite .
a.


b.


c.


d.


e.


f.


g.


h.


3. Discuter, suivant les valeurs de , la convergence de la suite .
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
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1. En cellule A1, saisir la valeur de . On commence par étudier le cas .


2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de de à .


3. a. Saisir la valeur de dans la cellule D1.


b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer  ?


4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les premiers termes de la suite .


5. Modifier la valeur de dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite pour les différentes valeurs de suivantes.
a.


b.


c.


d.


e.


f.


g.


h.


6. Discuter, suivant les valeurs de , la convergence de la suite .
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Pour aller plus loin

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1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que est un nombre strictement positif ?


2. On considère la suite définie, pour tout entier , par .
a. Démontrer que, pour tout entier , on a .


b. On considère la suite définie, pour tout entier , par .
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de .



c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite  ?
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Histoire des maths

Lorsque tend vers , on peut définir la fonction zêta par : est un réel.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.