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Chapitre 4
TP INFO 2
Approximation de par la méthode d'Archimède
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Énoncé
est le périmètre d'un cercle de diamètre . Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l'un étant inscrit dans le cercle (en bleu) et l'autre lui étant circonscrit (rouge).
Pour tout , notons le périmètre du polygone régulier à côtés inscrit dans le cercle et le périmètre du polygone régulier à côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer () que pour tout , on a les relations suivantes : et . Question préliminaire : Déterminer les valeurs de et .
Pour tout , notons le périmètre du polygone régulier à côtés inscrit dans le cercle et le périmètre du polygone régulier à côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer () que pour tout , on a les relations suivantes : et . Question préliminaire : Déterminer les valeurs de et .
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Objectif
Déterminer un encadrement de en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. Reproduire le tableau ci‑dessous. Quelles valeurs doit‑on entrer dans les cellules B2 et C2 ? (Fichier téléchargeable ).
2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3 pour obtenir ?
3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir ?
4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel encadrement de obtient‑on à ce stade ?
3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir ?
4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel encadrement de obtient‑on à ce stade ?
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Méthode 2Python
Voici un algorithme permettant de calculer les valeurs successives des suites et .
from math import *
def archimede(n) :
T = ...
S = ...
for k in range(n) :
T = ...
S = ...
print("T =", T, "S =", S)
1. Compléter les lignes 4 et 5 de cet algorithme pour initialiser l'algorithme avec les valeurs et .
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites et .
3. Quelle valeur de doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de obtient‑on alors ?
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites et .
3. Quelle valeur de doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de obtient‑on alors ?
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1. Montrer que pour tout , et .
2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : , montrer que pour tout ,
2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : , montrer que pour tout ,
3. En utilisant la formule trigonométrique :
a. démontrer que, pour tout , .
b. démontrer que, pour tout , et .
a. démontrer que, pour tout , .
b. démontrer que, pour tout , et .
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