\pi est le périmètre d'un cercle
\mathcal{C} de diamètre
1. Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l'un étant inscrit dans le cercle
\mathcal{C} (en bleu) et l'autre lui étant circonscrit (rouge).
Pour tout
n \geqslant 3, notons
\text{S}_n le périmètre du polygone régulier à
n côtés inscrit dans le cercle et
\text{T}_n le périmètre du polygone régulier à
n côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer (
) que pour tout
n \geqslant 3, on a les relations suivantes :
\mathrm{T}_{2 n}=\frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}} et
\mathrm{S}_{2 n}=\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}.
Question préliminaire : Déterminer les valeurs de \text{T}_4 et \text{S}_4.