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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
TP INFO 2
Approximation de π par la méthode d'Archimède
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Énoncé
π est le périmètre d'un cercle C de diamètre 1. Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l'un étant inscrit dans le cercle C (en bleu) et l'autre lui étant circonscrit (rouge).
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Pour tout n⩾3, notons Sn le périmètre du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle et Tn le périmètre du polygone régulier à n côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer (
2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3 pour obtenir T8 ?
3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir S8 ?
4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel
encadrement de π obtient‑on à ce stade ?
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Méthode 2
Python
Voici un algorithme permettant de calculer les valeurs successives des suites (T2n) et (S2n).
from math import *
def archimede(n) :
T = ...
S = ...
for k in range(n) :
T = ...
S = ...
print("T =", T, "S =", S)
1. Compléter les lignes 4 et 5 de cet algorithme pour initialiser l'algorithme avec les valeurs T4 et S4.
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites (T2n) et (S2n).
3. Quelle valeur de n doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à 2048 côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de π obtient‑on alors ?
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Pour aller plus loin
1. Montrer que pour tout n⩾3, Sn=nsin(nπ) et Tn=ntan(nπ).
2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : cos(θ)+1=2cos2(2θ), montrer que pour tout n⩾3, Sn+Tn2SnTn=2n2cos2(2nπ)sin(nπ).
3. En utilisant la formule trigonométrique sin(θ)=2sin(2θ)cos(2θ) :
a. démontrer que, pour tout n⩾3, SnT2n=ncos(2nπ)sin(nπ).
b. démontrer que, pour tout n⩾3, Sn+Tn2SnTn=T2n et SnT2n=S2n.
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