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TP2 : Approximation de π par la méthode d’Archimède
P.143

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TP / TICE 2


2
Approximation de π\pi par la méthode d’Archimède




Énoncé

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π\pi est le périmètre d’un cercle C\mathcal{C} de diamètre 11. Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l’un étant inscrit dans le cercle C\mathcal{C} (en bleu) et l’autre lui étant circonscrit (rouge).
Pour tout n3n \geqslant 3, notons Sn\text{S}_n le périmètre du polygone régulier à nn côtés inscrit dans le cercle et Tn\text{T}_n le périmètre du polygone régulier à nn côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer (voir « Pour aller plus loin ») que pour tout n2n \geqslant 2, on a les relations suivantes : T2n=2SnTnSn+Tn\mathrm{T}_{2 n}=\dfrac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}} et S2n=SnT2n\mathrm{S}_{2 n}=\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}.

Question préliminaire : Déterminer les valeurs de T4\text{T}_4 et S4\text{S}_4.
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Suite - TP2 : Approximation de π par la méthode d’Archimède

Objectif

Déterminer un encadrement de π\pi en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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1. Reproduire le tableau ci‑dessous. Quelles valeurs doit‑on entrer dans les cellules B2 et C2 ? (Fichier téléchargeable ici).

Suite - TP2 : Approximation de π par la méthode d’Archimède - Méthode de résolution 1

2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3 pour obtenir T8\text{T}_8 ?


3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir S8\text{S}_8 ?


4. Étirer les formules jusqu’à la ligne 11. Quel encadrement de π\pi obtient‑on à ce stade ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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Voici un algorithme permettant de calculer les valeurs successives des suites (T2n)\left(\mathrm{T}_{2^{n}}\right) et (S2n)\left(\mathrm{S}_{2^{n}}\right).

from math import *

def archimede(n) :
	T = ...
	S = ...
	for k in range(n) :
		T = ...
		S = ...
	print("T =", T, "S =", S)

1. Compléter les lignes 4 et 5 de cet algorithme pour initialiser l’algorithme avec les valeurs T4\text{T}_4 et S4\text{S}_4.
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites (T2n)\left(\mathrm{T}_{2^{n}}\right) et (S2n)\left(\mathrm{S}_{2^{n}}\right).

3. Quelle valeur de nn doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à 2 0482 048 côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de π\pi obtient‑on alors ?
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Pour aller plus loin

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1. Montrer que pour tout n3n\geqslant3, Sn=nsin(πn)\mathrm{S}_{n}=n \sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right) et Tn=ntan(πn)\mathrm{T}_{n}=n \tan \left(\dfrac{\pi}{n}\right).


2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : cos(θ)+1=2cos2(θ2)\cos (\theta)+1=2 \cos ^{2}\left(\dfrac{\theta}{2}\right), montrer que pour tout n3n\geqslant3,
2SnTnSn+Tn=2nsin(πn)2cos2(π2n).\dfrac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=2 n \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right)}{2 \cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{2 n}\right)}.


3. En utilisant la formule trigonométrique sin(θ)=2sin(θ2)cos(θ2)\sin (\theta)=2 \sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) :
a. démontrer que, pour tout n3n\geqslant3, SnT2n=nsin(πn)cos(π2n)\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=n \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{2 n}\right)}.


b. démontrer que, pour tout n3n\geqslant3, 2SnTnSn+Tn=T2n\dfrac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=\mathrm{T}_{2 n} et SnT2n=S2n\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=\mathrm{S}_{2 n}.
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