Mathématiques Terminale Spécialité
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Algèbre et géométrie
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Orthogonalité et distances dans l’espace
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Ch. 4
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Ch. 12
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Ch. 13
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Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
TP INFO 2
Approximation de \pi par la méthode d'Archimède
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Énoncé
\pi est le périmètre d'un cercle \mathcal{C} de diamètre 1. Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l'un étant inscrit dans le cercle \mathcal{C} (en bleu) et l'autre lui étant circonscrit (rouge).
Pour tout n \geqslant 3, notons \text{S}_n le périmètre du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle et \text{T}_n le périmètre du polygone régulier à n côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer () que pour tout n \geqslant 3, on a les relations suivantes : \mathrm{T}_{2 n}=\frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}} et \mathrm{S}_{2 n}=\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}. Question préliminaire : Déterminer les valeurs de \text{T}_4 et \text{S}_4.
Pour tout n \geqslant 3, notons \text{S}_n le périmètre du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle et \text{T}_n le périmètre du polygone régulier à n côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer () que pour tout n \geqslant 3, on a les relations suivantes : \mathrm{T}_{2 n}=\frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}} et \mathrm{S}_{2 n}=\sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}. Question préliminaire : Déterminer les valeurs de \text{T}_4 et \text{S}_4.
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Objectif
Déterminer un encadrement de \pi en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. Reproduire le tableau ci‑dessous. Quelles valeurs doit‑on entrer dans les cellules B2 et C2 ? (Fichier téléchargeable ).
2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3 pour obtenir \text{T}_8 ?
3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir \text{S}_8 ?
4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel encadrement de \pi obtient‑on à ce stade ?
3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir \text{S}_8 ?
4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel encadrement de \pi obtient‑on à ce stade ?
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Méthode 2Python
Voici un algorithme permettant de calculer les valeurs successives des suites \left(\mathrm{T}_{2^{n}}\right) et \left(\mathrm{S}_{2^{n}}\right).
from math import *
def archimede(n) :
T = ...
S = ...
for k in range(n) :
T = ...
S = ...
print("T =", T, "S =", S)
1. Compléter les lignes 4 et 5 de cet algorithme pour initialiser l'algorithme avec les valeurs \text{T}_4 et \text{S}_4.
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites \left(\mathrm{T}_{2^{n}}\right) et \left(\mathrm{S}_{2^{n}}\right).
3. Quelle valeur de n doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à 2 048 côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de \pi obtient‑on alors ?
2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites \left(\mathrm{T}_{2^{n}}\right) et \left(\mathrm{S}_{2^{n}}\right).
3. Quelle valeur de n doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à 2 048 côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de \pi obtient‑on alors ?
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1. Montrer que pour tout n\geqslant3, \mathrm{S}_{n}=n \sin \left(\frac{\pi}{n}\right) et \mathrm{T}_{n}=n \tan \left(\frac{\pi}{n}\right).
2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : \cos (\theta)+1=2 \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right), montrer que pour tout n\geqslant3,
\frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=2 n \frac{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2 n}\right)}.
2. En utilisant la formule trigonométrique suivante : \cos (\theta)+1=2 \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right), montrer que pour tout n\geqslant3,
\frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=2 n \frac{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2 n}\right)}.
3. En utilisant la formule trigonométrique \sin (\theta)=2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) :
a. démontrer que, pour tout n\geqslant3, \sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=n \frac{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2 n}\right)}.
b. démontrer que, pour tout n\geqslant3, \frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=\mathrm{T}_{2 n} et \sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=\mathrm{S}_{2 n}.
a. démontrer que, pour tout n\geqslant3, \sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=n \frac{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2 n}\right)}.
b. démontrer que, pour tout n\geqslant3, \frac{2 \mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{n}}{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}=\mathrm{T}_{2 n} et \sqrt{\mathrm{S}_{n} \mathrm{T}_{2 n}}=\mathrm{S}_{2 n}.
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