Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

TP INFO 2

Approximation de $π$ par la méthode d'Archimède

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Énoncé

π

est le périmètre d'un cercle

C

de diamètre

1

. Vers 250 av. J.‑C., pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, l'un étant inscrit dans le cercle

C

(en bleu) et l'autre lui étant circonscrit (rouge).

Suite - TP2 : Approximation de π par la méthode d'Archimède

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Pour tout

n ⩾ 3

, notons

S_{n}

le périmètre du polygone régulier à

n

côtés inscrit dans le cercle et

T_{n}

le périmètre du polygone régulier à

n

côtés circonscrit à ce cercle. On peut alors montrer (

voir « Pour aller plus loin »

) que pour tout

n ⩾ 3

, on a les relations suivantes :

T_{2 n} = \frac{2 S _{n} T _{n}}{S _{n} + T _{n}}

S_{2 n} = S_{n} T_{2 n}

Question préliminaire : Déterminer les valeurs de

T_{4}

S_{4}

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Objectif

Déterminer un encadrement de

π

en utilisant une des deux méthodes.

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Méthode 1
Tableur

1. Reproduire le tableau ci‑dessous. Quelles valeurs doit‑on entrer dans les cellules B2 et C2 ? (Fichier téléchargeable

ici

https://assets.lls.fr/pages/12251932/chapitre-4-tp2-mcthode-1-enoncc.xlsx

Suite - TP2 : Approximation de π par la méthode d'Archimède - Méthode de résolution 1

Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule B3 pour obtenir

T_{8}

3. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule C3 pour obtenir

S_{8}

4. Étirer les formules jusqu'à la ligne 11. Quel encadrement de

π

obtient‑on à ce stade ?

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Méthode 2
Python

Voici un algorithme permettant de calculer les valeurs successives des suites

(T_{2^{n}})

(S_{2^{n}})

from math import *

def archimede(n) :
	T = ...
	S = ...
	for k in range(n) :
		T = ...
		S = ...
	print("T =", T, "S =", S)

1. Compléter les lignes 4 et 5 de cet algorithme pour initialiser l'algorithme avec les valeurs

T_{4}

S_{4}

.

2. Compléter les lignes 7 et 8 pour calculer les valeurs successives des suites

(T_{2^{n}})

(S_{2^{n}})

.

3. Quelle valeur de

n

doit‑on entrer pour obtenir les valeurs des périmètres des polygones à

2048

côtés inscrit dans le cercle et circonscrit à celui‑ci ? Quel encadrement de

π

obtient‑on alors ?

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Pour aller plus loin

1. Montrer que pour tout

n ⩾ 3

S_{n} = n sin (\frac{π}{n})

T_{n} = n tan (\frac{π}{n})

2. En utilisant la formule trigonométrique suivante :

cos (θ) + 1 = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2})

, montrer que pour tout

n ⩾ 3

\frac{2 S _{n} T _{n}}{S _{n} + T _{n}} = 2 n \frac{sin ( \frac{π}{n} )}{2 cos ^{2} ( \frac{π}{2 n} )} .

3. En utilisant la formule trigonométrique

sin (θ) = 2 sin (\frac{θ}{2}) cos (\frac{θ}{2})

:
a. démontrer que, pour tout

n ⩾ 3

S_{n} T_{2 n} = n \frac{sin ( \frac{π}{n} )}{cos ( \frac{π}{2 n} )}

b. démontrer que, pour tout

n ⩾ 3

\frac{2 S _{n} T _{n}}{S _{n} + T _{n}} = T_{2 n}

S_{n} T_{2 n} = S_{2 n}

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