Une suite (un) a pour limite+∞ lorsque, pour tout réel A, l'intervalle [A;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel A, on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier n⩾n0, on a un⩾A.
NOTATION
On note alors n→+∞limun=+∞.
Remarque
En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour A>0.
Exemple
La suite (un) représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite +∞. En effet, pour un réel A choisi, on peut déterminer un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à A.
Propriétés
1.n→+∞limn=+∞ 2.n→+∞limn=+∞ 3.n→+∞limn2=+∞ 4. Plus généralement, pour tout entier k⩾1, on a n→+∞limnk=+∞.
5. Si q>1n→+∞limqn=+∞.
DÉMONSTRATION
Soient A un nombre réel et n un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer A>0.
1. En prenant comme valeur de n0 le plus petit entier supérieur ou égal à A, on a bien n⩾A pour tout n⩾n0.
2. On a n⩾A>0⇔n⩾A2. Ainsi, en prenant comme valeur de n0 le plus petit entier supérieur ou égal à A2, on a bien n⩾A pour tout n⩾n0.
3. Soit A⩾0. On a n2⩾A>0⇔n⩾A car n⩾0. Ainsi, en prenant comme valeur de n0 le plus petit entier supérieur ou égal à A, on a bien n2⩾A pour tout n⩾n0.
Remarque
La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
Soient (un) et (vn) deux suites définies pour tout entier naturel n par un=n3 et vn=2n.
On a alors n→+∞limun=n→+∞limn3=+∞ et n→+∞limvn=n→+∞lim2n=+∞ car q=2 et 2>1.
Définition
Une suite (un) a pour limite−∞ lorsque, pour tout réel A, l'intervalle ]−∞;A] contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel A, on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier n⩾n0, on a un⩽A.
NOTATION
On note alors n→+∞limun=−∞.
Exemple
La suite (un) représentée ci‑contre semble avoir pour limite −∞. En effet, pour un réel A choisi, on peut déterminer un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à A.
Remarque
De même que pour le cas +∞, il suffit de montrer cette assertion pour A<0.
Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞ quand n tend vers +∞.
Toute suite décroissante non minorée a pour limite −∞ quand n tend vers +∞.
DÉMONSTRATION
Soit (un) une suite croissante non majorée et soit A un nombre réel. Comme (un) n’est pas majorée, il existe un entier n0 tel que un0⩾A.
Or, comme (un) est croissante, pour tout entier n⩾n0, on a un⩾un0.
Ainsi, pour tout entier n⩾n0, on a un⩾un0⩾A.
Il existe donc un entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, un⩾A donc n→+∞limun=+∞.
Remarque
Le 2e cas se démontre de façon analogue.
Application et méthode - 3
Énoncé
Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=−3n−6 a pour limite −∞ quand n tend vers +∞.
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