En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour $\text{A}>0$.

Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite $+\infty$. En effet, pour un réel $\text{A}$ choisi, on peut déterminer un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à $\text{A}$.

DÉMONSTRATION

Soient $\text{A}$ un nombre réel et $n$ un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer $\text{A}>0$.
1. En prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\text{A}$, on a bien $n⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.
2. On a $\sqrt{n}⩾\mathrm{A}>0\iff n⩾{\mathrm{A}}^2$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à ${\text{A}}^2$, on a bien $\sqrt{n}⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.
3. Soit $\text{A}⩾0$. On a $n^2⩾\mathrm{A}>0\iff n⩾\sqrt{\mathrm{A}}$ car $n⩾0$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\sqrt{\mathrm{A}}$, on a bien $n^2⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice

57

.

Exemple

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^3$ et $v_n=2^n$.
On a alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{n}^3=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{2}^n=+\infty$ car $q=2$ et $2>1$.

Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre semble avoir pour limite $-\infty$. En effet, pour un réel $\text{A}$ choisi, on peut déterminer un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $\text{A}$.

De même que pour le cas $+\infty$, il suffit de montrer cette assertion pour $\text{A}<0$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

58

p. 148.

Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-u_n\right)=+\infty$.

DÉMONSTRATION

Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et soit $\text{A}$ un nombre réel. Comme $(u_n)$ n’est pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}⩾\mathrm{A}$.
Or, comme $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n⩾n_0$, on a $u_n⩾u_{n_0}$.
Ainsi, pour tout entier $n⩾n_0$, on a $u_n⩾u_{n_0}⩾\mathrm{A}$.
Il existe donc un entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩾\mathrm{A}$ donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$.

Le 2^e cas se démontre de façon analogue.

Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-3n-6$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.