Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ lorsque, pour tout réel $\text{A}$, l'intervalle $[\mathrm{A};+\infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel $\text{A}$, on peut trouver un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n⩾n_0$, on a $u_n⩾\mathrm{A}$.

On note alors
$\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$.

Soient $\text{A}$ un nombre réel et $n$ un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer $\text{A}>0$.

1. En prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\text{A}$, on a bien $n⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.

2. On a $\sqrt{n}⩾\mathrm{A}>0\iff n⩾{\mathrm{A}}^2$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à ${\text{A}}^2$, on a bien $\sqrt{n}⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.

3. Soit $\text{A}⩾0$. On a $n^2⩾\mathrm{A}>0\iff n⩾\sqrt{\mathrm{A}}$ car $n⩾0$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\sqrt{\mathrm{A}}$, on a bien $n^2⩾\mathrm{A}$ pour tout $n⩾n_0$.

Une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ lorsque, pour tout réel $\text{A}$, l'intervalle $]-\infty ;\text{A}]$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel $\text{A}$, on peut trouver un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n⩾n_0$, on a $u_n⩽\mathrm{A}$.

On note alors
$\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$.

Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-u_n\right)=-\infty$.

Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-u_n\right)=+\infty$.

Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-3n-6$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

On considère un réel $\text{A}$. On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n⩾n_0$, on a $u_n⩽\mathrm{A}$.