Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Cours 2

Limites infinies

Définition
Une suite a pour limite lorsque, pour tout réel , l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que, pour tout entier , on a .

Notation

On note alors
.
Exemple
La suite représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite . En effet, pour un réel choisi, on peut déterminer un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à .

suite qui a pour limite plus l'infini
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Remarque

En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour .
Propriétés
1.
2.
3.
4. Plus généralement, pour tout entier , on a .
5. Si .
Démonstration
Soient un nombre réel et un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer .

1. En prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

2. On a . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

3. Soit . On a car . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites. La propriété 5. est démontrée dans l'exercice .
Exemple
Soient et deux suites définies pour tout entier naturel par et .
On a alors et car et .
Définition
Une suite a pour limite lorsque, pour tout réel , l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que, pour tout entier , on a .

Notation

On note alors
.
Exemple
La suite représentée ci‑contre semble avoir pour limite . En effet, pour un réel choisi, on peut déterminer un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à .

suite qui a pour limite moins l'infini
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

De même que pour le cas , il suffit de montrer cette assertion pour .
Propriété
Si , alors .

Remarque

Si alors .
Démonstration
Voir exercice p. 148.
Propriétés
  • Toute suite croissante non majorée a pour limite quand tend vers .
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite quand tend vers .
Démonstration
Soit une suite croissante non majorée et soit un nombre réel. Comme n'est pas majorée, il existe un entier tel que .
Or, comme est croissante, pour tout entier , on a .
Ainsi, pour tout entier , on a .
Il existe donc un entier tel que, pour tout , donc .

Remarque

Le 2e cas se démontre de façon analogue.
Application et méthode - 3
Énoncé
Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par a pour limite quand tend vers .

Méthode

On considère un réel . On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier tel que, pour tout entier , on a .
Solution
Soit un nombre réel.
On a .
Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 144

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