Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 4
Cours 2
Limites infinies
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Définition
Une suite (u_n) a pour limite +\infty lorsque, pour tout réel \text{A}, l'intervalle [\mathrm{A} ;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel \text{A}, on peut trouver un rang n_0 tel que, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant \mathrm{A}.
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On note alors
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_{n}=+\infty.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_{n}=+\infty.
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Exemple
La suite (u_n) représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite +\infty. En effet, pour un réel \text{A} choisi, on peut déterminer un rang n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à \text{A}.
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En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour \text{A}>0.
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Propriétés
1. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n=+\infty
2. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty
3. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n^{2}=+\infty
2. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty
3. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n^{2}=+\infty
4. Plus généralement, pour tout entier k \geqslant 1, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n^{k}=+\infty.
5. Si q>1 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}q^{n}=+\infty.
5. Si q>1 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}q^{n}=+\infty.
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Démonstration
Soient \text{A} un nombre réel et n un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer \text{A}>0.
1. En prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \text{A}, on a bien n \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
2. On a \sqrt{n} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \mathrm{A}^{2}. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \text{A}^2, on a bien \sqrt{n} \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
3. Soit \text{A} \geqslant 0. On a n^{2} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \sqrt{\mathrm{A}} car n \geqslant 0. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \sqrt{\mathrm{A}}, on a bien n^{2} \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
1. En prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \text{A}, on a bien n \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
2. On a \sqrt{n} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \mathrm{A}^{2}. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \text{A}^2, on a bien \sqrt{n} \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
3. Soit \text{A} \geqslant 0. On a n^{2} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \sqrt{\mathrm{A}} car n \geqslant 0. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à \sqrt{\mathrm{A}}, on a bien n^{2} \geqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
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La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice .
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Exemple
Soient (u_n) et (v_n) deux suites définies pour tout entier naturel n par u_n=n^3 et v_n=2^n.
On a alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} 2^{n}=+\infty car q=2 et 2>1.
On a alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} 2^{n}=+\infty car q=2 et 2>1.
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Définition
Une suite (u_n) a pour limite -\infty lorsque, pour tout réel \text{A}, l'intervalle ]-\infty ; \text{A}] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit, pour tout réel \text{A}, on peut trouver un rang n_0 tel que, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \leqslant \mathrm{A}.
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On note alors
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_{n}=-\infty.
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Exemple
La suite (u_n) représentée ci‑contre semble avoir pour limite -\infty. En effet, pour un réel \text{A} choisi, on peut déterminer un rang n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à \text{A}.
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De même que pour le cas +\infty, il suffit de montrer cette assertion pour {\text{A}\lt0}.
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Propriété
Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=-\infty.
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Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=+\infty.
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Démonstration
Voir exercice p. 148.
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Propriétés
- Toute suite croissante non majorée a pour limite +\infty quand n tend vers +\infty.
- Toute suite décroissante non minorée a pour limite -\infty quand n tend vers +\infty.
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Démonstration
Soit (u_n) une suite croissante non majorée et soit \text{A} un nombre réel. Comme (u_n) n'est pas majorée, il existe un entier n_0 tel que u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}.
Or, comme (u_n) est croissante, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant u_{n_{0}}.
Ainsi, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}.
Il existe donc un entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, u_{n} \geqslant \mathrm{A} donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.
Or, comme (u_n) est croissante, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant u_{n_{0}}.
Ainsi, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}.
Il existe donc un entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, u_{n} \geqslant \mathrm{A} donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.
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Le 2e cas se démontre de façon analogue.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Montrer que la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=-3n-6 a pour limite -\infty quand n tend vers +\infty.
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On considère un réel \text{A}. On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \leqslant \mathrm{A}.
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Solution
Soit \text{A} un nombre réel.
On a u_{n} \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n-6 \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n \leqslant \mathrm{A}+6 \Leftrightarrow n \geqslant-\frac{\mathrm{A}}{3}-2.
Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à -\frac{\mathrm{A}}{3}-2, on a bien u_{n} \leqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
On a u_{n} \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n-6 \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n \leqslant \mathrm{A}+6 \Leftrightarrow n \geqslant-\frac{\mathrm{A}}{3}-2.
Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à -\frac{\mathrm{A}}{3}-2, on a bien u_{n} \leqslant \mathrm{A} pour tout n \geqslant n_{0}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 144
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