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2. Limites infinies
P.133-134

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COURS 2


2
Limites infinies





Définition

Une suite (un)(u_n) a pour limite ++\infty lorsque, pour tout réel A\text{A}, l'intervalle [A;+[[\mathrm{A} ;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel A\text{A}, on peut trouver un rang n0n_0 tel que, pour tout entier nn0n \geqslant n_{0}, on a unAu_{n} \geqslant \mathrm{A}.

NOTATION

On note alors
limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_{n}=+\infty.

Remarque

En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour A>0\text{A}>0.

Exemple

La suite (un)(u_n) représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite ++\infty. En effet, pour un réel A\text{A} choisi, on peut déterminer un rang n0n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à A\text{A}.

suite qui a pour limite plus l'infini

Propriétés

1. limn+n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n=+\infty
2. limn+n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty
3. limn+n2=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n^{2}=+\infty
4. Plus généralement, pour tout entier k1k \geqslant 1, on a limn+nk=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}n^{k}=+\infty.
5. Si q>1limn+qn=+q>1 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}q^{n}=+\infty.

DÉMONSTRATION

Soient A\text{A} un nombre réel et nn un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer A>0\text{A}>0.
1. En prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à A\text{A}, on a bien nAn \geqslant \mathrm{A} pour tout nn0n \geqslant n_{0}.
2. On a nA>0nA2\sqrt{n} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \mathrm{A}^{2}. Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à A2\text{A}^2, on a bien nA\sqrt{n} \geqslant \mathrm{A} pour tout nn0n \geqslant n_{0}.
3. Soit A0\text{A} \geqslant 0. On a n2A>0nAn^{2} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \sqrt{\mathrm{A}} car n0n \geqslant 0. Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à A\sqrt{\mathrm{A}}, on a bien n2An^{2} \geqslant \mathrm{A} pour tout nn0n \geqslant n_{0}.

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
57
.

Exemple

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies pour tout entier naturel nn par un=n3u_n=n^3 et vn=2nv_n=2^n.
On a alors limn+un=limn+n3=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et limn+vn=limn+2n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} 2^{n}=+\infty car q=2q=2 et 2>12>1.

Définition

Une suite (un)(u_n) a pour limite -\infty lorsque, pour tout réel A\text{A}, l'intervalle ] ; A]]-\infty ; \text{A}] contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel A\text{A}, on peut trouver un rang n0n_0 tel que, pour tout entier nn0n \geqslant n_{0}, on a unAu_{n} \leqslant \mathrm{A}.

NOTATION

On note alors
limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_{n}=-\infty.

Exemple

La suite (un)(u_n) représentée ci‑contre semble avoir pour limite -\infty. En effet, pour un réel A\text{A} choisi, on peut déterminer un rang n0n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à A\text{A}.

suite qui a pour limite moins l'infini

Remarque

De même que pour le cas ++\infty, il suffit de montrer cette assertion pour A<0\text{A}\lt0.

Propriété

Si limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors limn+(un)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=-\infty.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
58
p. 148.

Remarque

Si limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty alors limn+(un)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=+\infty.

Propriétés

  • Toute suite croissante non majorée a pour limite ++\infty quand nn tend vers ++\infty.
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite -\infty quand nn tend vers ++\infty.

DÉMONSTRATION

Soit (un)(u_n) une suite croissante non majorée et soit A\text{A} un nombre réel. Comme (un)(u_n) n’est pas majorée, il existe un entier n0n_0 tel que un0Au_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}.
Or, comme (un)(u_n) est croissante, pour tout entier nn0n \geqslant n_{0}, on a unun0u_{n} \geqslant u_{n_{0}}.
Ainsi, pour tout entier nn0n \geqslant n_{0}, on a unun0Au_{n} \geqslant u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}.
Il existe donc un entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, unAu_{n} \geqslant \mathrm{A} donc limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

Remarque

Le 2e cas se démontre de façon analogue.

Application et méthode - 3

Énoncé

Montrer que la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=3n6u_n=-3n-6 a pour limite -\infty quand nn tend vers ++\infty.

Méthode

On considère un réel A\text{A}. On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout entier nn0n \geqslant n_{0}, on a unAu_{n} \leqslant \mathrm{A}.

Solution


Soit A\text{A} un nombre réel.
On a unA3n6A3nA+6nA32u_{n} \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n-6 \leqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow-3 n \leqslant \mathrm{A}+6 \Leftrightarrow n \geqslant-\dfrac{\mathrm{A}}{3}-2.
Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier supérieur ou égal à A32-\dfrac{\mathrm{A}}{3}-2, on a bien unAu_{n} \leqslant \mathrm{A} pour tout nn0n \geqslant n_{0}.

Pour s'entraîner : exercices 22 et 23 p. 144
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