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Limites infinies

En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour $\text{A}>0$.

Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite $+\infty$. En effet, pour un réel $\text{A}$ choisi, on peut déterminer un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à $\text{A}$.

DÉMONSTRATION

Soient $\text{A}$ un nombre réel et $n$ un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer $\text{A}>0$.
1. En prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\text{A}$, on a bien $n \geqslant \mathrm{A}$ pour tout $n \geqslant n_{0}$.
2. On a $\sqrt{n} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \mathrm{A}^{2}$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\text{A}^2$, on a bien $\sqrt{n} \geqslant \mathrm{A}$ pour tout $n \geqslant n_{0}$.
3. Soit $\text{A} \geqslant 0$. On a $n^{2} \geqslant \mathrm{A}>0 \Leftrightarrow n \geqslant \sqrt{\mathrm{A}}$ car $n \geqslant 0$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\sqrt{\mathrm{A}}$, on a bien $n^{2} \geqslant \mathrm{A}$ pour tout $n \geqslant n_{0}$.

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice

57

.

Exemple

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^3$ et $v_n=2^n$.
On a alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} 2^{n}=+\infty$ car $q=2$ et $2>1$.

Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre semble avoir pour limite $-\infty$. En effet, pour un réel $\text{A}$ choisi, on peut déterminer un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $\text{A}$.

De même que pour le cas $+\infty$, il suffit de montrer cette assertion pour $\text{A}\lt0$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

58

p. 148.

Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty$ alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=+\infty$.

DÉMONSTRATION

Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et soit $\text{A}$ un nombre réel. Comme $(u_n)$ n’est pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}$.
Or, comme $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \geqslant u_{n_{0}}$.
Ainsi, pour tout entier $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \geqslant u_{n_{0}} \geqslant \mathrm{A}$.
Il existe donc un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $u_{n} \geqslant \mathrm{A}$ donc $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$.

Le 2^e cas se démontre de façon analogue.

Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-3n-6$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.