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2. Limites infinies
P.133-134

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COURS 2


2
Limites infinies





Définition

Une suite a pour limite lorsque, pour tout réel , l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que, pour tout entier , on a .

NOTATION

On note alors
.

Remarque

En réalité, il suffit de montrer cette assertion pour .

Exemple

La suite représentée ci‑contre pourrait avoir pour limite . En effet, pour un réel choisi, on peut déterminer un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont tous supérieurs ou égaux à .

suite qui a pour limite plus l'infini

Propriétés

1.
2.
3.
4. Plus généralement, pour tout entier , on a .
5. Si .

DÉMONSTRATION

Soient un nombre réel et un entier naturel. D'après la remarque de la définition, on peut supposer .
1. En prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .
2. On a . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .
3. Soit . On a car . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
57
.

Exemple

Soient et deux suites définies pour tout entier naturel par et .
On a alors et car et .

Définition

Une suite a pour limite lorsque, pour tout réel , l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que, pour tout entier , on a .

NOTATION

On note alors
.

Exemple

La suite représentée ci‑contre semble avoir pour limite . En effet, pour un réel choisi, on peut déterminer un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à .

suite qui a pour limite moins l'infini

Remarque

De même que pour le cas , il suffit de montrer cette assertion pour .

Propriété

Si , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
58
p. 148.

Remarque

Si alors .

Propriétés

  • Toute suite croissante non majorée a pour limite quand tend vers .
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite quand tend vers .

DÉMONSTRATION

Soit une suite croissante non majorée et soit un nombre réel. Comme n’est pas majorée, il existe un entier tel que .
Or, comme est croissante, pour tout entier , on a .
Ainsi, pour tout entier , on a .
Il existe donc un entier tel que, pour tout , donc .

Remarque

Le 2e cas se démontre de façon analogue.

Application et méthode - 3

Énoncé

Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par a pour limite quand tend vers .

Méthode

On considère un réel . On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier tel que, pour tout entier , on a .

Solution


Soit un nombre réel.
On a .
Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier supérieur ou égal à , on a bien pour tout .

Pour s'entraîner : exercices 22 et 23 p. 144
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