Suites récurrentes linéaires d’ordre deux
Une suite
(un) définie sur
N est une
suite récurrente linéaire d’ordre deux lorsqu’il existe deux réels
a et
b avec
b non nul tels que, pour tout entier
n,
un+2=aun+1+bun.
Pour une telle suite, on appelle
(E):r2=ar+b l’
équation caractéristique.
Dans la suite,
(un) désignera une suite récurrente linéaire d’ordre deux de premiers termes
u0 et
u1.
Partie A
On suppose dans cette partie que l’équation
(E) admet deux solutions réelles distinctes
r1 et
r2.
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels
λ et
μ tels que, pour tout
n∈N,
un=λr1n+μr2n.
1. On suppose que, pour tout
n∈N,
un=λr1n+μr2n.
Calculer
λ et
μ en fonction de
u0,
u1,
r1 et
r2.
2. Pour tout entier naturel
n, on note
P(n) la proposition
un=λr1n+μr2n.
a. Vérifier que
P(0) et
P(1) sont vraies.
b. Soit
k un entier naturel tel que
P(k) et
P(k+1) sont vraies. Montrer alors que
P(k+2) est également vraie.
c. En déduire que
P(n) est vraie pour tout entier naturel
n puis conclure.
3. Application : On appelle suite de Fibonacci la suite
(un) définie par
u0=u1=1 et la relation, valable pour tout entier naturel
n,
un+2=un+1+un.
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel
n,
un en fonction de
n.
Partie B
On suppose dans cette partie que l’équation
(E) admet une unique solution
r0.
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels
λ et
μ tels que, pour tout
n∈N,
un=λr0n+μnr0n.
1. Montrer que dans ce cas, l'équation
(E) peut s'écrire
r2=2r0r−r02.
2. On suppose que, pour tout
n∈N,
un=λr0n+μnr0n.
Calculer
λ et
μ en fonction de
u0,
u1,
r0.
3. Pour tout entier naturel
n, on note
P(n) la proposition
un=λr0n+μnr0n.
Montrer, en utilisant un raisonnement analogue à celui rencontré dans la Partie A, que
P(n) est vraie pour tout entier naturel
n.
4. Application : Soit
(un) la suite définie par
u0=4,
u1=3 et la relation, valable pour tout entier naturel
n,
un+2=4un+1−4un.
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel
n,
un en fonction de
n.