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Synthèse
P.153-157

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91
DEVOIR MAISON
[Calculer, Raisonner.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2003
Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=n22nu_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}.

1. Pour tout entier n1n \geqslant 1, on pose vn=un+1unv_{n}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}.
a. Montrer que limn+vn=12\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\dfrac{1}{2}.


b. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, vn>12v_{n}>\dfrac{1}{2}.


c. Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_0, vn34v_{n} \leqslant \dfrac{3}{4}.


d. En déduire que, pour tout nn0n \geqslant n_0, un+134unu_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} u_{n}.


2. Pour tout entier n5n \geqslant 5 on pose Sn=k=5nuk=u5+u6++un\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=5}\limits^{n} u_{k}=u_{5}+u_{6}+\ldots+u_{n}.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n5n \geqslant 5 :
un(34)n5u5u_{n} \leqslant\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5} u_{5}.



b. Montrer que, pour tout entier n5n \geqslant 5 :
Sn[1+34+(34)2++(34)n5]u5\mathrm{S}_{n} \leqslant\left[1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}+\ldots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right] u_{5}.



c. En déduire que, pour tout entier n5n \geqslant 5, Sn4u5\mathrm{S}_{n} \leqslant 4 u_{5}.


3. Montrer que la suite (Sn)(\text{S}_n) est croissante et en déduire qu’elle converge.
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92
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Nouvelle Calédonie, novembre 2013

Suites mêlées

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies par u0=2u_0=2, v0=10v_0=10 et, pour tout entier naturel nn :
un+1=2un+vn3u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+v_{n}}{3} et vn+1=un+3vn4v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+3 v_{n}}{4}.

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel nn : vn+1un+1=512(vnun)v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}\left(v_{n}-u_{n}\right).


b. Pour tout entier naturel nn, on pose wn=vnunw_{n}=v_{n}-u_{n}.
Montrer que, pour tout entier naturel nn, wn=8(512)nw_{n}=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n}.


2. a. Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante et que la suite (vn)(v_n) est décroissante.


b. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : un10u_{n} \leqslant 10 et vn2v_{n} \geqslant 2.


c. En déduire que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) convergent.


3. Montrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) ont la même limite.


4. a. Montrer que la suite (tn)(t_n) définie, pour tout entier naturel nn, par tn=3un+4vnt_{n}=3 u_{n}+4 v_{n} est constante.


b. En déduire que la limite commune des suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) est 467\dfrac{46}{7}.
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93
[Raisonner, Calculer.]
Soient (Sn)\left(\mathrm{S}_{n}\right) et (Tn)\left(\mathrm{T}_{n}\right) deux suites définies, pour tout entier naturel nn, par :
Sn=k=0n13k=1+13++13n\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{1}{3^{k}}=1+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{3^{n}} et Tn=k=0nk3k=13+232++n3n\mathrm{T}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{k}{3^{k}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^{2}}+\ldots+\dfrac{n}{3^{n}}.

1. a. Pour tout entier naturel nn, exprimer Sn\text{S}_n en fonction de nn.


b. En déduire limn+Sn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\mathrm{S}_{n}.


2. a. Montrer que la suite Tn\mathrm{T}_{n} est croissante.


b. Montrer que, pour tout entier naturel nn, Tn+1=Sn+Tn3\mathrm{T}_{n+1}=\dfrac{\mathrm{S}_{n}+\mathrm{T}_{n}}{3}.


c. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1, Tn1\mathrm{T}_{n} \leqslant 1.


d. En déduire que la suite Tn\mathrm{T}_{n} converge vers un réel \ell.


e. On admet que \ell vérifie =+323\ell=\dfrac{\ell+\dfrac{3}{2}}{3}. Déterminer \ell.
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94
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018

Suites - Synthèse - exercice 94 - melons coupés en deux

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :
  • parmi les clients achetant un melon une semaine donnée, 90 % d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients n’achetant pas de melon une semaine donnée, 60 % d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour n1n \geqslant 1, on note An\text{A}_n l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine nn » et pn=P(An)p_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right). On a ainsi p1=1p_{1}=1.

1. Démontrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, pn+1=0,5pn+0,4p_{n+1}=0,5 p_{n}+0,4.


2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1, pn>0,8p_{n}>0,8.


b. Démontrer que la suite (pn)(p_n) est décroissante.


c. La suite (pn)(p_n) est‑elle convergente ?


3. On pose pour tout entier n1n \geqslant 1, vn=pn0,8v_{n}=p_{n}-0,8.
a. Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme v1v_1 et la raison.


b. Exprimer vnv_n en fonction de nn. En déduire que, pour tout n1n \geqslant 1, pn=0,8+0,2×0,5n1p_{n}=0,8+0,2 \times 0,5^{n-1}.


c. Déterminer la limite de la suite (pn)(p_n).
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95
[Calculer, Communiquer.]
Suite arithmético-géométrique
Soient aa et bb deux réels tels que a0a \neq 0, a1a \neq 1 et b0b \neq 0.
On considère la suite (un)(u_n) de premier terme u0Ru_{0} \in \mathbb{R} et définie, pour tout entier naturel nn, par un+1=aun+bu_{n+1}=a u_{n}+b.

1. Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation x=ax+bx=a x+b.


On note α\alpha la solution de cette équation.

2. Montrer que la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=unαv_{n}=u_{n}-\alpha est géométrique.


3. Exprimer alors vnv_n et unu_n en fonction de u0u_0, nn, aa et bb.


4. Suivant les valeurs de aa, discuter de la convergence de la suite (un)(u_n).
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96
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Polynésie, juin 2018
Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Pour tout entier naturel nn, on note ana_n (respectivement bnb_n et cnc_n) la probabilité de l’événement : « Le lapin est dans la galerie A\text{A} (respectivement B\text{B} et C\text{C}) à l’étape nn ».
À l’étape n=0n=0, le lapin est dans la galerie A\text{A}.
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :
{an+1=13an+14bnbn+1=23an+12bn+23cncn+1=14bn+13cn\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=\dfrac{1}{3} a_{n}+\dfrac{1}{4} b_{n} \\ b_{n+1}=\dfrac{2}{3} a_{n}+\dfrac{1}{2} b_{n}+\dfrac{2}{3} c_{n} \\ c_{n+1}=\dfrac{1}{4} b_{n}+\dfrac{1}{3} c_{n}\end{array}\right..

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

1. Pour tout entier naturel nn, on pose un=ancnu_{n}=a_{n}-c_{n}.
a. Démontrer que la suite (un)(u_n) est géométrique en précisant sa raison.


b. Exprimer unu_n en fonction de nn.


2. Pour tout entier naturel nn, on pose vn=bn47v_{n}=b_{n}-\dfrac{4}{7}.
a. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel nn, an+bn+cn=1a_{n}+b_{n}+c_{n}=1 et en déduire que, pour tout entier naturel nn, vn+1=16vnv_{n+1}=-\dfrac{1}{6} v_{n}.


b. Exprimer vnv_n en fonction de nn.


3. En déduire que pour tout entier naturel nn, on a :
an=314+12(13)n+27(16)na_{n}=\dfrac{3}{14}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n}, bn=4747(16)nb_{n}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n} et cn=31412(13)n+27(16)nc_{n}=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n}.


4. Que peut‑on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d’étapes ?
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97
[Représenter.]
D’après bac S, Polynésie, septembre 2017
Au début de l’an 2000, on comptait 300300 tortues vivant sur une île.
Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite (un)(u_n) définie par u0=0,3u_0=0{,}3 et, pour tout entier naturel nn, un+1=0,9un(1un)u_{n+1}=0{,}9 u_{n}\left(1-u_{n}\right) où, pour tout entier naturel nn, unu_n modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000+n2000+ n.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.


2. On admet que, pour tout entier naturel nn, unu_n et 1un1-u_n appartiennent à l’intervalle [0 ; 1][0 ; 1].
a. Montrer que, pour tout entier naturel nn : 0un+10,9un0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0{,}9 u_{n}.


b. Montrer que, pour tout entier naturel nn : 0un0,3×0,9n0 \leqslant u_{n} \leqslant 0{,}3 \times 0{,}9^{n}.


c. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n). Que peut‑on en conclure sur le devenir de cette population de tortues ?


3. Des études permettent d’affirmer que si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci contre calcule la dernière année avant laquelle il restera au moins 30 tortues. Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.

u0,3n0Tant que :Fin Tant que  \boxed{ \begin{array} { l } {u} \leftarrow {0{,}3} \\ {n} \leftarrow {0} \\ \text {Tant que } \ldots : \\ \quad \ldots \\ \text {Fin Tant que } \\ \end{array} }




  
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98
[Représenter, Modéliser.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018
Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 11 m·s1−1. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse.
On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d’unité 1 mètre. L’origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d’équation x=5x = 5. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
La situation est représentée par le graphique ci‑dessous.

Suites - Synthèse - exercice 98

À l’instant initial, le scooter est représenté par le point S0\text{S}_0. Le chien qui le poursuit est représenté par le point M0\text{M}_0. On considère qu’à chaque seconde, le chien s’oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre.
Ainsi, à l’instant initial, le chien s’oriente en direction du point S0\text{S}_0, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point M1.\text{M}_1.
À cet instant, le scooter est au point S1\text{S}_1. Le chien s’oriente en direction de S1\text{S}_1 et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite.
On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées (Mn)(\text{M}_n) et (Sn)(\text{S}_n).
Au bout de nn secondes, les coordonnées du point Sn\text{S}_n sont (5 ; n)(5 ; n).
On note (xn ; yn)(x_n ; y_n) les coordonnées du point Mn\text{M}_n.

1. Reproduire le graphique et construire les points M2\mathrm{M}_{2} et M3\mathrm{M}_{3}.

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2. On note dnd_n la distance entre le chien et le scooter nn secondes après le début de la poursuite.
On a donc dn=MnSnd_{n}=\mathrm{M}_{n} \mathrm{S}_{n}.
Calculer d0d_0 et d1d_1.


3. Justifier que le point M2\mathrm{M}_{2} a pour coordonnées : (1+417 ; 117)\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}} ; \dfrac{1}{\sqrt{17}}\right).


4. On admet que, pour tout entier naturel nn :
{xn+1=xn+5xndnyn+1=yn+nyndn\left\{\begin{array}{l}x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{5-x_{n}}{d_{n}} \\ y_{n+1}=y_{n}+\dfrac{n-y_{n}}{d_{n}}\end{array}\right.

a. Le tableau ci‑dessous, obtenu à l’aide d’un tableur, donne les coordonnées des points Mn\mathrm{M}_{n} et Sn\mathrm{S}_{n} ainsi que la distance dnd_n en fonction de nn.

Suites - Synthèse - exercice 98

Quelles formules doit‑on écrire dans les cellules B4, C4 et F4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B, C et F ?


b. On admet que la suite (dn)(d_n) est strictement décroissante. Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l’aide du tableau.
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99
[Raisonner, Modéliser.]
Soit (kn)(k_n) la suite dont la succession des valeurs est une fois 1, deux fois 2, trois fois 3, etc. (c’est‑à‑dire k0=1k_0=1, k1=k2=2k_1=k_2=2, k3=k4=k5=3k_3=k_4=k_5=3, etc.)
Montrer que limn+kn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} k_{n}=+\infty.
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100
APPROFONDISSEMENT

Deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont dites adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et que limn+(unvn)=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0.
Nous allons démontrer que si (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent et elles ont toutes les deux la même limite.
Pour cela, considérons deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) telles que, quitte à inverser les rôles, (un)(u_n) est croissante, (vn)(v_n) est décroissante et limn+(unvn)=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0.

1. a. Montrer que la suite (vnun)\left(v_{n}-u_{n}\right) est décroissante.


b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a unvnu_{n} \leqslant v_{n}.


2. Nous allons à présent montrer que (un)(u_n) converge.
a. Prouver que la suite (un)(u_n) est majorée.


b. En déduire que la suite (un)(u_n) converge.


Avec un raisonnement analogue, on montre de même que la suite (vn)(v_n) converge.

3. Nous allons à présent montrer que les deux suites convergent vers la même limite.
Pour cela, notons limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\ell et limn+vn=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\ell^{\prime}.
a. Grâce aux opérations sur les limites, déterminer limn+(unvn)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}-v_{n}\right).


b. En déduire que =\ell=\ell^{\prime}.


4. Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies pour tout entier n1n \geqslant 1 par :
un=k=0n1k!=10!+11!+12!++1n!u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{1}{k !}=\dfrac{1}{0 !}+\dfrac{1}{1 !}+\dfrac{1}{2 !}+\ldots+\dfrac{1}{n !} et vn=un+1n!×nv_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n ! \times n}k!=1×2××kk !=1 \times 2 \times \ldots \times k et, par convention 0!=1.0!=1.
a. Montrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes.


b. Grâce à la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10610^{-6} près de la limite commune de ces deux suites.



Histoire des maths

Euler

La limite commune de ces deux suites est le nombre e2,718282\mathrm{e} \approx 2,718282 et cette représentation en « série » a été mise en évidence par Euler dans son Introduction à l’analyse infinitésimale de 1748.

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101
APPROFONDISSEMENT

Méthode de Newton
Soit ff une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} et telle que ff^{\prime} ne s’annule pas sur I\text{I}. On note Cf\mathcal{C }_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On admet que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha sur I\text{I} dont on cherche à déterminer une approximation. Soit x0x_0 un nombre réel de I\text{I}.
Pour tout entier naturel nn, xn+1x_{n+1} est l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la tangente à Cf\mathcal{C }_f au point d’abscisse xnx_n.

Suites - Synthèse - exercice 101

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn : xn+1=xnf(xn)f(xn)x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}.


2. Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[] 0 ; +\infty[ par f(x)=x22f(x)=x^{2}-2. On pose x0=2x_0=2.
a. Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : xn+1=xn2+22xnx_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+2}{2 x_{n}}.


b. Soit gg la fonction définie sur ]0 ;+[] 0 ;+\infty[ par g(x)=x2+22xg(x)=\dfrac{x^{2}+2}{2 x}. Étudier les variations de la fonction gg.


c. Montrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 2xn+1xn\sqrt{2} \leqslant x_{n+1} \leqslant x_{n}.


d. En déduire que la suite (xn)(x_n) converge vers un réel \ell.


e. On admet que \ell vérifie =2+22\ell=\dfrac{\ell^{2}+2}{2\ell}. Déterminer \ell.


3. Soit ff la fonction définie sur [1 ;+[[1 ;+\infty[ par f(x)=x2x1f(x)=x^{2}-x-1. on pose x0=2x_0=2.
a. Résoudre l’équation x2x1=0x^{2}-x-1=0.
On note Φ\Phi la solution positive de cette équation.


b. Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : xn+1=xn2+12xn1x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+1}{2 x_{n}-1}.


c. Soit gg la fonction définie sur [1 ;+[[1 ;+\infty[ par g(x)=x2+12x1g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{2 x-1}. Étudier les variations de la fonction gg.


d. Montrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Φxn+1xn\Phi \leqslant x_{n+1} \leqslant x_{n}.


e. En déduire que la suite (xn)(x_n) converge vers un réel \ell.


f. On admet que \ell vérifie =2+121\ell=\dfrac{\ell^{2}+1}{2 \ell-1}. Montrer que =Φ\ell=\Phi.
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102
APPROFONDISSEMENT

Méthode de Héron
Soit aa un nombre réel strictement positif.
Considérons la suite (un)(u_n) définie par u0]0 ;+[\left.u_{0} \in\right] 0 ;+\infty[ et, pour tout entier naturel nn, un+1=12(un+aun)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{a}{u_{n}}\right).

1. Montrer par récurrence que la suite (un)(u_n) est positive.


2. a. Montrer que, pour tout entier naturel nn : un+1a=(una)22unu_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{\left(u_{n}-\sqrt{a}\right)^{2}}{2 u_{n}}.


b. En déduire que, pour tout entier naturel n1n \geqslant 1 : una0u_{n}-\sqrt{a} \geqslant 0.


c. Montrer que la suite (un)(u_n) est décroissante.


3. En déduire que la suite (un)(u_n) converge vers un réel \ell.


4. On admet que \ell vérifie =12(+a)\ell=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{a}{\ell}\right). Déterminer la valeur de \ell.
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103
APPROFONDISSEMENT

Suites récurrentes linéaires d’ordre deux
Une suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} est une suite récurrente linéaire d’ordre deux lorsqu’il existe deux réels aa et bb avec bb non nul tels que, pour tout entier nn, un+2=aun+1+bunu_{n+2}=a u_{n+1}+b u_{n}.
Pour une telle suite, on appelle (E):r2=ar+b(\mathrm{E}): r^{2}=a r+b l’équation caractéristique.
Dans la suite, (un)(u_n) désignera une suite récurrente linéaire d’ordre deux de premiers termes u0u_0 et u1u_1.

Partie A
On suppose dans cette partie que l’équation (E)(\mathrm{E}) admet deux solutions réelles distinctes r1r_1 et r2r_2.
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels λ\lambda et μ\mu tels que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=λr1n+μr2nu_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}.

1. On suppose que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=λr1n+μr2nu_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}.
Calculer λ\lambda et μ\mu en fonction de u0u_0, u1u_1, r1r_1 et r2r_2.


2. Pour tout entier naturel nn, on note P(n)\mathrm{P}(n) la proposition un=λr1n+μr2nu_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}.
a. Vérifier que P(0)\mathrm{P}(0) et P(1)\mathrm{P}(1) sont vraies.


b. Soit kk un entier naturel tel que P(k)\mathrm{P}(k) et P(k+1)\mathrm{P}(k+1) sont vraies. Montrer alors que P(k+2)\mathrm{P}(k+2) est également vraie.


c. En déduire que P(n)\mathrm{P}(n) est vraie pour tout entier naturel nn puis conclure.


3. Application : On appelle suite de Fibonacci la suite (un)(u_n) définie par u0=u1=1u_{0}=u_{1}=1 et la relation, valable pour tout entier naturel nn, un+2=un+1+unu_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel nn, unu_n en fonction de nn.


Partie B
On suppose dans cette partie que l’équation (E)(\mathrm{E}) admet une unique solution r0r_0.
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels λ\lambda et μ\mu tels que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=λr0n+μnr0nu_{n}=\lambda r_{0}^{n}+\mu n r_{0}^{n}.

1. Montrer que dans ce cas, l'équation (E)(\mathrm{E}) peut s'écrire r2=2r0rr02r^{2}=2 r_{0} r-r_{0}^{2}.


2. On suppose que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=λr0n+μnr0nu_{n}=\lambda r_{0}^{n}+\mu n r_{0}^{n}.
Calculer λ\lambda et μ\mu en fonction de u0u_0, u1u_1, r0r_0.


3. Pour tout entier naturel nn, on note P(n)\mathrm{P}(n) la proposition un=λr0n+μnr0nu_{n}=\lambda r_{0}^{n}+\mu n r_{0}^{n}.
Montrer, en utilisant un raisonnement analogue à celui rencontré dans la Partie A, que P(n)\mathrm{P}(n) est vraie pour tout entier naturel nn.


4. Application : Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=4u_0=4, u1=3u_1=3 et la relation, valable pour tout entier naturel nn, un+2=4un+14unu_{n+2}=4 u_{n+1}-4 u_{n}.
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel nn, unu_n en fonction de nn.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  et  p. 432

Le Grand Oral

Déterminer les points importants à aborder

Exemple de sujet : La suite de Fibonacci


Méthode

Vous avez travaillé pendant des semaines sur votre oral, vous avez appris énormément de choses, vous avez envie de tout dire… Or, votre présentation ne doit pas durer plus de 5 minutes ! Vous devez aller à l’essentiel : cela nécessite de faire des choix.

Au brouillon, notez toutes vos idées, sous la forme de mots‑clés ou de phrases ; organisez‑les ensuite par grandes thématiques. Ces thématiques vont constituer la trame de votre présentation.

Vous pouvez noter le niveau de priorité en face de chaque point que vous voulez aborder : priorité 1 (à évoquer absolument), priorité 2 (important à évoquer), priorité 3 (moins important, à évoquer s’il reste du temps). Cela vous aidera à hiérarchiser vos idées.

Conseils :
  • J’énonce clairement une propriété avec toutes les hypothèses nécessaires.
  • Je donne des exemples d’application.
  • Je donne des contre‑exemples pour les cas où la propriété ne s’applique pas.
  • Je donne des éléments de la démonstration sans entrer dans le détail si je n’ai pas le temps ; le jury pourra me demander de compléter lors des questions.


Exemples de points à aborder

Il peut être judicieux de commencer par donner quelques éléments biographiques rapides sur Fibonacci.

Expliquer comment est définie cette suite sera une étape essentielle de votre développement. Vous pouvez commencer par présenter les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 avant d’aborder les suites récurrentes linéaires d’ordre 2.

La suite de Fibonacci possède de très nombreuses propriétés (la limite des quotients de ses termes est liée au nombre d’or, la recherche d’un maximum par méthode dichotomique, l'approximation de la spirale logarithmique, etc.). Il faut choisir celles que vous souhaitez aborder car vous n’aurez pas le temps de tout traiter.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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