Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Synthèse
P.153-157




Synthèse




Voir la correction

91
DEVOIR MAISON
[Calculer, Raisonner.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2003
Soit la suite définie, pour tout entier , par .

1. Pour tout entier , on pose .
a. Montrer que .


b. Montrer que, pour tout entier , .


c. Déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , .


d. En déduire que, pour tout , .


2. Pour tout entier on pose .

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier  :
.



b. Montrer que, pour tout entier :
.



c. En déduire que, pour tout entier , .


3. Montrer que la suite est croissante et en déduire qu’elle converge.
Voir la correction
Voir la correction

92
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Nouvelle Calédonie, novembre 2013

Suites mêlées

Soient et deux suites définies par , et, pour tout entier naturel  :
et .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


b. Pour tout entier naturel , on pose .
Montrer que, pour tout entier naturel , .


2. a. Montrer que la suite est croissante et que la suite est décroissante.


b. Montrer que, pour tout entier naturel , on a : et .


c. En déduire que les suites et convergent.


3. Montrer que les suites et ont la même limite.


4. a. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par est constante.


b. En déduire que la limite commune des suites et est .
Voir la correction
Voir la correction

93
[Raisonner, Calculer.]
Soient et deux suites définies, pour tout entier naturel , par :
et .

1. a. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .


b. En déduire .


2. a. Montrer que la suite est croissante.


b. Montrer que, pour tout entier naturel , .


c. Montrer par récurrence que, pour tout entier , .


d. En déduire que la suite converge vers un réel .


e. On admet que vérifie . Déterminer .
Voir la correction
Voir la correction

94
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018

Suites - Synthèse - exercice 94 - melons coupés en deux

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :
  • parmi les clients achetant un melon une semaine donnée, 90 % d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients n’achetant pas de melon une semaine donnée, 60 % d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour , on note l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine  » et . On a ainsi .

1. Démontrer que, pour tout entier , .


2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier , .


b. Démontrer que la suite est décroissante.


c. La suite est‑elle convergente ?


3. On pose pour tout entier , .
a. Démontrer que est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.


b. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout , .


c. Déterminer la limite de la suite .
Voir la correction
Voir la correction

95
[Calculer, Communiquer.]
Suite arithmético-géométrique
Soient et deux réels tels que , et .
On considère la suite de premier terme et définie, pour tout entier naturel , par .

1. Résoudre dans l’équation .


On note la solution de cette équation.

2. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par est géométrique.


3. Exprimer alors et en fonction de , , et .


4. Suivant les valeurs de , discuter de la convergence de la suite .
Voir la correction
Voir la correction

96
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Polynésie, juin 2018
Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées , et , dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Pour tout entier naturel , on note (respectivement et ) la probabilité de l’événement : « Le lapin est dans la galerie (respectivement et ) à l’étape  ».
À l’étape , le lapin est dans la galerie .
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :
.

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

1. Pour tout entier naturel , on pose .
a. Démontrer que la suite est géométrique en précisant sa raison.


b. Exprimer en fonction de .


2. Pour tout entier naturel , on pose .
a. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel , et en déduire que, pour tout entier naturel , .


b. Exprimer en fonction de .


3. En déduire que pour tout entier naturel , on a :
, et .


4. Que peut‑on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d’étapes ?
Voir la correction
Voir la correction

97
[Représenter.]
D’après bac S, Polynésie, septembre 2017
Au début de l’an 2000, on comptait tortues vivant sur une île.
Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite définie par et, pour tout entier naturel , où, pour tout entier naturel , modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année .

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.


2. On admet que, pour tout entier naturel , et appartiennent à l’intervalle .
a. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


b. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


c. Déterminer la limite de la suite . Que peut‑on en conclure sur le devenir de cette population de tortues ?


3. Des études permettent d’affirmer que si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci contre calcule la dernière année avant laquelle il restera au moins 30 tortues. Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.





  
Voir la correction
Voir la correction

98
[Représenter, Modéliser.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018
Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de  m·s. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse.
On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d’unité 1 mètre. L’origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d’équation . Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
La situation est représentée par le graphique ci‑dessous.

Suites - Synthèse - exercice 98

À l’instant initial, le scooter est représenté par le point . Le chien qui le poursuit est représenté par le point . On considère qu’à chaque seconde, le chien s’oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre.
Ainsi, à l’instant initial, le chien s’oriente en direction du point , et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point
À cet instant, le scooter est au point . Le chien s’oriente en direction de et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite.
On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées et .
Au bout de secondes, les coordonnées du point sont .
On note les coordonnées du point .

1. Reproduire le graphique et construire les points et .

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

2. On note la distance entre le chien et le scooter secondes après le début de la poursuite.
On a donc .
Calculer et .


3. Justifier que le point a pour coordonnées : .


4. On admet que, pour tout entier naturel  :

a. Le tableau ci‑dessous, obtenu à l’aide d’un tableur, donne les coordonnées des points et ainsi que la distance en fonction de .

Suites - Synthèse - exercice 98

Quelles formules doit‑on écrire dans les cellules B4, C4 et F4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B, C et F ?


b. On admet que la suite est strictement décroissante. Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l’aide du tableau.
Voir la correction
Voir la correction

99
[Raisonner, Modéliser.]
Soit la suite dont la succession des valeurs est une fois 1, deux fois 2, trois fois 3, etc. (c’est‑à‑dire , , , etc.)
Montrer que .
Voir la correction
Voir la correction

100
APPROFONDISSEMENT

Deux suites et définies pour tout entier naturel sont dites adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et que .
Nous allons démontrer que si et sont deux suites adjacentes, alors elles convergent et elles ont toutes les deux la même limite.
Pour cela, considérons deux suites et telles que, quitte à inverser les rôles, est croissante, est décroissante et .

1. a. Montrer que la suite est décroissante.


b. En déduire que, pour tout entier naturel , on a .


2. Nous allons à présent montrer que converge.
a. Prouver que la suite est majorée.


b. En déduire que la suite converge.


Avec un raisonnement analogue, on montre de même que la suite converge.

3. Nous allons à présent montrer que les deux suites convergent vers la même limite.
Pour cela, notons et .
a. Grâce aux opérations sur les limites, déterminer .


b. En déduire que .


4. Soient et deux suites définies pour tout entier par :
et et, par convention
a. Montrer que les suites et sont adjacentes.


b. Grâce à la calculatrice, déterminer une valeur approchée à près de la limite commune de ces deux suites.



Histoire des maths

Euler

La limite commune de ces deux suites est le nombre et cette représentation en « série » a été mise en évidence par Euler dans son Introduction à l’analyse infinitésimale de 1748.

Voir la correction
Voir la correction

101
APPROFONDISSEMENT

Méthode de Newton
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle et telle que ne s’annule pas sur . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On admet que l’équation admet une unique solution sur dont on cherche à déterminer une approximation. Soit un nombre réel de .
Pour tout entier naturel , est l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses avec la tangente à au point d’abscisse .

Suites - Synthèse - exercice 101

1. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


2. Soit la fonction définie sur par . On pose .
a. Montrer que pour tout entier naturel , on a : .


b. Soit la fonction définie sur par . Étudier les variations de la fonction .


c. Montrer par récurrence que, pour tout , .


d. En déduire que la suite converge vers un réel .


e. On admet que vérifie . Déterminer .


3. Soit la fonction définie sur par . on pose .
a. Résoudre l’équation .
On note la solution positive de cette équation.


b. Montrer que pour tout entier naturel , on a : .


c. Soit la fonction définie sur par . Étudier les variations de la fonction .


d. Montrer par récurrence que, pour tout , .


e. En déduire que la suite converge vers un réel .


f. On admet que vérifie . Montrer que .
Voir la correction
Voir la correction

102
APPROFONDISSEMENT

Méthode de Héron
Soit un nombre réel strictement positif.
Considérons la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Montrer par récurrence que la suite est positive.


2. a. Montrer que, pour tout entier naturel  : .


b. En déduire que, pour tout entier naturel  : .


c. Montrer que la suite est décroissante.


3. En déduire que la suite converge vers un réel .


4. On admet que vérifie . Déterminer la valeur de .
Voir la correction
Voir la correction

103
APPROFONDISSEMENT

Suites récurrentes linéaires d’ordre deux
Une suite définie sur est une suite récurrente linéaire d’ordre deux lorsqu’il existe deux réels et avec non nul tels que, pour tout entier , .
Pour une telle suite, on appelle l’équation caractéristique.
Dans la suite, désignera une suite récurrente linéaire d’ordre deux de premiers termes et .

Partie A
On suppose dans cette partie que l’équation admet deux solutions réelles distinctes et .
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels et tels que, pour tout , .

1. On suppose que, pour tout , .
Calculer et en fonction de , , et .


2. Pour tout entier naturel , on note la proposition .
a. Vérifier que et sont vraies.


b. Soit un entier naturel tel que et sont vraies. Montrer alors que est également vraie.


c. En déduire que est vraie pour tout entier naturel puis conclure.


3. Application : On appelle suite de Fibonacci la suite définie par et la relation, valable pour tout entier naturel , .
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


Partie B
On suppose dans cette partie que l’équation admet une unique solution .
On va montrer que, pour une telle suite, il existe deux uniques nombres réels et tels que, pour tout , .

1. Montrer que dans ce cas, l'équation peut s'écrire .


2. On suppose que, pour tout , .
Calculer et en fonction de , , .


3. Pour tout entier naturel , on note la proposition .
Montrer, en utilisant un raisonnement analogue à celui rencontré dans la Partie A, que est vraie pour tout entier naturel .


4. Application : Soit la suite définie par , et la relation, valable pour tout entier naturel , .
Écrire l’équation caractéristique associée, la résoudre, puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .
Voir la correction

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  et  p. 432

Le Grand Oral

Déterminer les points importants à aborder

Exemple de sujet : La suite de Fibonacci


Méthode

Vous avez travaillé pendant des semaines sur votre oral, vous avez appris énormément de choses, vous avez envie de tout dire… Or, votre présentation ne doit pas durer plus de 5 minutes ! Vous devez aller à l’essentiel : cela nécessite de faire des choix.

Au brouillon, notez toutes vos idées, sous la forme de mots‑clés ou de phrases ; organisez‑les ensuite par grandes thématiques. Ces thématiques vont constituer la trame de votre présentation.

Vous pouvez noter le niveau de priorité en face de chaque point que vous voulez aborder : priorité 1 (à évoquer absolument), priorité 2 (important à évoquer), priorité 3 (moins important, à évoquer s’il reste du temps). Cela vous aidera à hiérarchiser vos idées.

Conseils :
  • J’énonce clairement une propriété avec toutes les hypothèses nécessaires.
  • Je donne des exemples d’application.
  • Je donne des contre‑exemples pour les cas où la propriété ne s’applique pas.
  • Je donne des éléments de la démonstration sans entrer dans le détail si je n’ai pas le temps ; le jury pourra me demander de compléter lors des questions.


Exemples de points à aborder

Il peut être judicieux de commencer par donner quelques éléments biographiques rapides sur Fibonacci.

Expliquer comment est définie cette suite sera une étape essentielle de votre développement. Vous pouvez commencer par présenter les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 avant d’aborder les suites récurrentes linéaires d’ordre 2.

La suite de Fibonacci possède de très nombreuses propriétés (la limite des quotients de ses termes est liée au nombre d’or, la recherche d’un maximum par méthode dichotomique, l'approximation de la spirale logarithmique, etc.). Il faut choisir celles que vous souhaitez aborder car vous n’aurez pas le temps de tout traiter.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.