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Activités- Histoire des mathématiques
P.124-125

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Activités

Histoire des mathématiques




A
Méthode de Briggs, expliquée par Euler


En 1617, dans son Logarithmorum Chilias Prima, on a vu page 122 que Henry Briggs publie la première table des logarithmes décimaux. En 1748, Leonhard Euler publie son Introductio in analysin infinitorum et montre (chapitre VI) que logarithmes et exponentielles peuvent être regardés commme des fonctions auxquelles s'applique le calcul infinitésimal. Il explique avant cela la méthode utilisée par Briggs pour construire sa table de logarithmes.
Voici un extrait de la traduction d’Euler en français par J.B. Labey (1796).

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Extrait de la traduction d’Euler en français par J.B. Labey (1796).


1
La moyenne proportionnelle de deux grandeurs aa et bb telles que 1<a<b1 \lt a \lt b est la grandeur cc telle que ac=cb\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}. Dans le cas de nombres comme ici, justifier alors que c=abc=\sqrt{a b} et a<c<b.a \lt c \lt b.


2
On appelle \ell, la fonction logarithme d’Euler, correspondant au logarithme décimal de Briggs. Retrouver dans l’extrait ci-dessus une valeur approchée de (10),\ell(10), (1)\ell(1) et (5,232991).\ell(5{,}232991).


3
Toujours d’après Euler (chapitre VI), « le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes des facteurs ». Par lecture de la page donnée à la page 122, retrouver le logarithme de 1818.


4
En reprenant que la moyenne proportionnelle cc de aa et bb vérifie c2=abc^2 = ab, montrer que le logarithme de cc est la moyenne arithmétique de ceux de aa et bb puis interpréter les colonnes 2 et 3 de l’extrait ci-dessus.


5
Compléter et exécuter le programme suivant écrit en Python pour qu’il retrouve la valeur approchée à 10610^{-6} près du logarithme de 55 par la méthode de Briggs donnée par Euler.

from math import*
a = ...
b = ...
la = ...
lb = ...
while b - a > ... :
	if sqrt(a*b) < 5 
		a = ...
		la = ...
	else :
		b = ...
		lb = ...
print(la)


6
Modifier le programme pour l’écrire sous la forme d’une fonction logarithme(x)\text{logarithme(x)} qui renvoie une valeur approchée du logarithme de xx par la méthode de Briggs pour tout x\text{x} compris entre 11 et 1010.
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Remarque

L'algorithme de Briggs est également abordé dans le chapitre 8.

B
De la quadrature à la primitive


Une quadrature est une méthode géométrique qui permet de déterminer le rapport d'une aire par une aire de référence. Dans l’Antiquité, Archimède a trouvé et démontré plusieurs quadratures, dont celle de la parabole. En voici rapidement les grands principes.

Math spécialité - HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES - ACTIVITÉS - De la quadrature à la primitive

En inscrivant dans une parabole un triangle BCS\text{BCS} d’aire T\text{T} (en bleu) dont le sommet S\text{S} est sur la tangente à la parabole parallèle à la base (BC)\text{(BC)}, il montre que l’aire A\text{A} comprise entre la base [BC]\text{[BC]} du triangle et l’arc de parabole d’extrémités B\text{B} et C\text{C} est à l’aire du triangle comme 44 est à 33, c’est-à-dire qu’elle dépasse cette dernière du tiers. À l’étape suivante, on construit les triangles BUS\text{BUS} et SVC\text{SVC} sur le même principe.
L’aire des triangles qu’il ajoute est à chaque fois égale à 14\dfrac{1}{4} de l’aire des triangles précédents.
On a donc, en termes modernes, A=T(1+14+116+164++14n)\mathrm{A}=\mathrm{T}\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+\ldots+\dfrac{1}{4^{n}}\right) soit AT=(1+14+116+164++14n)\dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{T}}=\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+\ldots+\dfrac{1}{4^{n}}\right) à une étape nn.
Il montre par un double raisonnement par l’absurde que AT=43,\dfrac{\text{A}}{\text{T}}=\dfrac{4}{3}, là où nous calculerions une limite.
Ces principes de démonstration ont été repris et perfectionnés durant tout le Moyen-Âge, notamment dans le monde islamique, puis théorisé au XVIIe siècle sous le nom de « méthode d’exhaustion » par Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), qui l’appliquera notamment à l’hyperbole (voir ci-dessous).
C’est la recherche de la simplification de ces méthodes, alliée à l’apparition du calcul différentiel et à un formalisme algébrique qui lui soit adapté, qui a donné naissance au calcul intégral.

Partie A : À propos d’Archimède

1
Montrer que 1+14++(14)n=4313×14n1+\dfrac{1}{4}+\ldots+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4^{n}} puis en déduire une limite.


2
Dans un repère orthogonal, on considère la parabole d’équation y=x2y = x^2 et le segment [AB]\text{[AB]}A(1;1)\text{A}(-1\: ; 1) et B(1;1)\text{B}(1\: ; 1). Démontrer que l’aire du domaine délimité par la parabole, l’axe des abscisses et les droites d'équation x=1x = -1 et x=1x = 1 vaut 23.\dfrac{2}{3}. Est-ce cohérent avec le résultat d'Archimède ? Justifier.


3
Plus généralement, si A\text{A} a pour abscisse aa et B\text{B} a pour abscisse bb, démontrer que le point S\text{S} de la construction d’Archimède a pour abscisse a+b2.\dfrac{a+b}{2}.
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Partie B : À propos de Saint-Vincent

Soient aa et bb deux réels tels que 1<a<b.1 \lt a \lt b. On appelle R(a;b)\text{R}(a \: ; b) l’aire du rectangle dont un des côtés est défini à l’aide de aa et bb comme indiqué sur la figure. kk désigne un réel strictement supérieur à 1.1.

Math spécialité - histoire des mathématiques - activité - De la quadrature à la primitive


1
Montrer que R(a;b)=R(ka;kb).\text{R}(a \:; b) = \text{R}(ka \:; kb).


2
Soit c=ab.c=\sqrt{a b}. Démontrer que a<c<b.a \lt c \lt b.


3
Montrer que R(a;c)=R(c;b)\mathrm{R}(a \: ; c)=\mathrm{R}(c \: ; b) puis que R(ka;kc)=R(kc;kb)\mathrm{R}(k a \: ; k c)=\mathrm{R}(k c \: ; k b) et enfin que R(ka;kc)=R(a;c).\mathrm{R}(k a \: ; k c)=\mathrm{R}(a \: ; c). Notons A(a;b)\mathcal{A}(a \:; b) l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, l’hyperbole et les droites d’équation x=ax = a et x=b.x = b. Comment Grégoire de Saint-Vincent aurait-il pu justifier que A(ka;kb)=A(a;b)\mathcal{A}(k a \: ; k b)=\mathcal{A}(a \: ; b) ?


4
Posons (x)=A(1;x)\ell(x)=\mathcal{A}(1 \:; x) pour x>1.x > 1. Montrer que (ab)=(a)+(b)\ell(a b)=\ell(a)+\ell(b) (la fonction \ell possède donc la propriété fonctionnelle des fonctions logarithmes).
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