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Activités- Histoire des mathématiques
P.124-125




Activités

Histoire des mathématiques




A
Méthode de Briggs, expliquée par Euler


En 1617, dans son Logarithmorum Chilias Prima, on a vu page 122 que Henry Briggs publie la première table des logarithmes décimaux. En 1748, Leonhard Euler publie son Introductio in analysin infinitorum et montre (chapitre VI) que logarithmes et exponentielles peuvent être regardés commme des fonctions auxquelles s'applique le calcul infinitésimal. Il explique avant cela la méthode utilisée par Briggs pour construire sa table de logarithmes.
Voici un extrait de la traduction d’Euler en français par J.B. Labey (1796).

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Extrait de la traduction d’Euler en français par J.B. Labey (1796).


1
La moyenne proportionnelle de deux grandeurs et telles que est la grandeur telle que . Dans le cas de nombres comme ici, justifier alors que et


2
On appelle , la fonction logarithme d’Euler, correspondant au logarithme décimal de Briggs. Retrouver dans l’extrait ci-dessus une valeur approchée de et


3
Toujours d’après Euler (chapitre VI), « le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes des facteurs ». Par lecture de la page donnée à la page 122, retrouver le logarithme de .


4
En reprenant que la moyenne proportionnelle de et vérifie , montrer que le logarithme de est la moyenne arithmétique de ceux de et puis interpréter les colonnes 2 et 3 de l’extrait ci-dessus.


5
Compléter et exécuter le programme suivant écrit en Python pour qu’il retrouve la valeur approchée à près du logarithme de par la méthode de Briggs donnée par Euler.

from math import*
a = ...
b = ...
la = ...
lb = ...
while b - a > ... :
	if sqrt(a*b) < 5 
		a = ...
		la = ...
	else :
		b = ...
		lb = ...
print(la)


6
Modifier le programme pour l’écrire sous la forme d’une fonction qui renvoie une valeur approchée du logarithme de par la méthode de Briggs pour tout compris entre et .
Voir la correction

Remarque

L'algorithme de Briggs est également abordé dans le chapitre 8.

B
De la quadrature à la primitive


Une quadrature est une méthode géométrique qui permet de déterminer le rapport d'une aire par une aire de référence. Dans l’Antiquité, Archimède a trouvé et démontré plusieurs quadratures, dont celle de la parabole. En voici rapidement les grands principes.

Math spécialité - HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES - ACTIVITÉS - De la quadrature à la primitive

En inscrivant dans une parabole un triangle d’aire (en bleu) dont le sommet est sur la tangente à la parabole parallèle à la base , il montre que l’aire comprise entre la base du triangle et l’arc de parabole d’extrémités et est à l’aire du triangle comme est à , c’est-à-dire qu’elle dépasse cette dernière du tiers. À l’étape suivante, on construit les triangles et sur le même principe.
L’aire des triangles qu’il ajoute est à chaque fois égale à de l’aire des triangles précédents.
On a donc, en termes modernes, soit à une étape .
Il montre par un double raisonnement par l’absurde que là où nous calculerions une limite.
Ces principes de démonstration ont été repris et perfectionnés durant tout le Moyen-Âge, notamment dans le monde islamique, puis théorisé au XVIIe siècle sous le nom de « méthode d’exhaustion » par Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), qui l’appliquera notamment à l’hyperbole (voir ci-dessous).
C’est la recherche de la simplification de ces méthodes, alliée à l’apparition du calcul différentiel et à un formalisme algébrique qui lui soit adapté, qui a donné naissance au calcul intégral.

Partie A : À propos d’Archimède

1
Montrer que puis en déduire une limite.


2
Dans un repère orthogonal, on considère la parabole d’équation et le segment et . Démontrer que l’aire du domaine délimité par la parabole, l’axe des abscisses et les droites d'équation et vaut Est-ce cohérent avec le résultat d'Archimède ? Justifier.


3
Plus généralement, si a pour abscisse et a pour abscisse , démontrer que le point de la construction d’Archimède a pour abscisse
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Partie B : À propos de Saint-Vincent

Soient et deux réels tels que On appelle l’aire du rectangle dont un des côtés est défini à l’aide de et comme indiqué sur la figure. désigne un réel strictement supérieur à

Math spécialité - histoire des mathématiques - activité - De la quadrature à la primitive


1
Montrer que


2
Soit Démontrer que


3
Montrer que puis que et enfin que Notons l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, l’hyperbole et les droites d’équation et Comment Grégoire de Saint-Vincent aurait-il pu justifier que ?


4
Posons pour Montrer que (la fonction possède donc la propriété fonctionnelle des fonctions logarithmes).
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