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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Suites
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Capacités attendues
1. Connaître et utiliser la définition de la limite d'une suite.
2. Étudier la convergence d'une suite.
3. Déterminer la limite d'une suite lorsqu'elle existe.
4. Raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite.
5. Étudier des phénomènes d'évolution modélisables par des suites.
2. Étudier la convergence d'une suite.
3. Déterminer la limite d'une suite lorsqu'elle existe.
4. Raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite.
5. Étudier des phénomènes d'évolution modélisables par des suites.
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Les études sur les dynamiques des populations cherchent à modéliser, à l'aide de suites numériques notamment, l'évolution du nombre de représentants de certaines espèces. Les scientifiques ont par exemple constaté que la population d'insectes a fortement diminué en Europe à cause des activités humaines.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Calculer les termes d'une suite définie par son terme général ou par récurrence.
2. Travailler sur les indices des suites.
3. Étudier le sens de variation d'une suite.
4. Déterminer le terme général pour les suites arithmétiques.
5. Déterminer le terme général pour les suites géométriques.
2. Travailler sur les indices des suites.
3. Étudier le sens de variation d'une suite.
4. Déterminer le terme général pour les suites arithmétiques.
5. Déterminer le terme général pour les suites géométriques.
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Les suites ont été utilisées comme outil d'analyse bien avant d'avoir été formalisées à l'aide des fonctions. Les mathématiciens anciens Eudoxe de Cnide, Euclide ou Archimède ont ainsi utilisé pour leurs démonstrations des « suites » indéfinies de grandeurs (notamment d'aires) qui s'approchent autant que l'on veut d'une grandeur « limite ».
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1
Calculer les termes d'une suite
Pour chacune des suites ci‑dessous, calculer u_1, u_2, u_3 et u_5.
1. Pour tout n \in \mathbb{N}, u_n=3 n+5.
2. Pour tout n \in \mathbb{N}, u_n=2^n-1.
3. Pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n}=\frac{n}{n+1}.
4. u_0=1 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}+7.
5. u_0=2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=3 u_{n}-2n.
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4
Terme général d'une suite arithmétique
Dans chaque cas, exprimer w_n en fontion de n.
1. (w_n) est la suite arithmétique de premier terme w_0=2 et de raison r=-3.
2. (w_n) est la suite arithmétique de premier terme w_0=18 et de raison r=5.
3. (w_n) est la suite arithmétique de premier terme w_1=\frac{3}{4} et de raison r=\frac{1}{2}.
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2
Travailler sur les indices des suites
Dans chacun des cas suivants, exprimer t_{n+1}, t_{n-1}, t_{2n} et t_{3n-2} en fonction de n.
1. Pour tout n \in \mathbb{N}, t_n=2n+4.
2. Pour tout n \in \mathbb{N}, t_n=n^2-n+1.
3. Pour tout entier n \geqslant 1, t_{n}=\frac{n-2}{n+1}.
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3
Étudier le sens de variation d'une suite
Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite (v_n).
1. Pour tout n \in \mathbb{N}, v_n=4n-5.
2. Pour tout entier n \geqslant 1, v_n=1+\frac{2}{n}.
3. Pour tout entier n \geqslant 1, v_n=\frac{2^n}{n}.
4. Pour tout n \in \mathbb{N}, v_n=(n-5)^2.
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5
Terme général d'une suite géométrique
Dans chaque cas, exprimer p_n en fonction de n.
1. (p_n) est la suite géométrique de premier terme p_0=3 et de raison q=4.
2. (p_n) est la suite géométrique de premier terme p_0=\dfrac{1}{2} et de raison q=-2.
3. (p_n) est la suite géométrique de premier terme p_1=5 et de raison q=\dfrac{1}{2}.
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6
Utiliser une suite auxiliaire
On considère la suite (u_n) définie par : u_0=-2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=0,5u_n+3.
1. Déterminer les trois premiers termes de cette suite.
2. Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose v_n=u_n-6.
a. Démontrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
b. Exprimer, pour tout entier n, v_n en fonction de n.
c. Exprimer, pour tout entier n, u_n en fonction de n.
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7
Problème
En 2019, une école de musique comptait 250 élèves. On sait que, chaque année, elle perd 10 % de son effectif puis accueille 35 nouveaux élèves.
Pour tout n \in \mathbb{N}, on note u_n le nombre d'élèves comptabilisés sur l'année 2019+n.
1. Montrer qu'en 2020, on compte 260 élèves dans l'école puis calculer le nombre d'élèves en 2021.
2. La suite (u_n) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
2. La suite (u_n) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
3. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite (u_n).
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le nombre d'élèves prévus en 2050 si l'évolution des effectifs suit la même tendance.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le nombre d'élèves prévus en 2050 si l'évolution des effectifs suit la même tendance.
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