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Chapitre 4


Suites





insectes, papillons, sauterelles, scarabées naturalisés ou sous verre


Les études sur les dynamiques des populations cherchent à modéliser, à l'aide de suites numériques notamment, l'évolution du nombre de représentants de certaines espèces. Les scientifiques ont par exemple constaté que la population d'insectes a fortement diminué en Europe à cause des activités humaines.

Capacités attendues - chapitre 5

1. Connaître et utiliser la définition de la limite d’une suite.
2. Étudier la convergence d’une suite.
3. Déterminer la limite d’une suite lorsqu’elle existe.
4. Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite.
5. Étudier des phénomènes d’évolution modélisables par des suites.

Avant de commencer

Prérequis

1. Calculer les termes d’une suite définie par son terme général ou par récurrence.
2. Travailler sur les indices des suites.
3. Étudier le sens de variation d’une suite.
4. Déterminer le terme général pour les suites arithmétiques.
5. Déterminer le terme général pour les suites géométriques.
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1
Calculer les termes d’une suite

Pour chacune des suites ci‑dessous, calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u5u_5.

1. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=3n+5u_n=3 n+5.


2. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=2n1u_n=2^n-1.


3. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=nn+1u_{n}=\dfrac{n}{n+1}.


4. u0=1u_0=1 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=2un+7u_{n+1}=2 u_{n}+7.


5. u0=2u_0=2 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=3un2nu_{n+1}=3 u_{n}-2n.
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2
Travailler sur les indices des suites

Dans chacun des cas suivants, exprimer tn+1t_{n+1}, tn1t_{n-1}, t2nt_{2n} et t3n2t_{3n-2} en fonction de nn.

1. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, tn=2n+4t_n=2n+4.


2. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, tn=n2n+1t_n=n^2-n+1.


3. Pour tout entier n1n \geqslant 1, tn=n2n+1t_{n}=\dfrac{n-2}{n+1}.
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3
Étudier le sens de variation d’une suite

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite (vn).(v_n).

1. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn=4n5v_n=4n-5.


2. Pour tout entier n1n \geqslant 1, vn=1+2n.v_n=1+\dfrac{2}{n}.


3. Pour tout entier n1n \geqslant 1, vn=2nn.v_n=\dfrac{2^n}{n}.


4. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn=(n5)2v_n=(n-5)^2.
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4
Terme général d’une suite arithmétique

Dans chaque cas, exprimer wnw_n en fontion de n.n.

1. (wn)(w_n) est la suite arithmétique de premier terme w0=2w_0=2 et de raison r=3r=-3.


2. (wn)(w_n) est la suite arithmétique de premier terme w0=18w_0=18 et de raison r=5r=5.


3. (wn)(w_n) est la suite arithmétique de premier terme w1=34w_1=\dfrac{3}{4} et de raison r=12r=\dfrac{1}{2}.
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5
Terme général d’une suite géométrique

Dans chaque cas, exprimer pnp_n en fonction de n n.

1. (pn)(p_n) est la suite géométrique de premier terme p0=3p_0=3 et de raison q=4q=4.


2. (pn)(p_n) est la suite géométrique de premier terme p0=12p_0=\dfrac{1}{2} et de raison q=2q=-2.


3. (pn)(p_n) est la suite géométrique de premier terme p1=5p_1=5 et de raison q=12q=\dfrac{1}{2}.
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6
Utiliser une suite auxiliaire

On considère la suite (un)(u_n) définie par : u0=2 u_0=-2 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=0,5un+3u_{n+1}=0,5u_n+3.

1. Déterminer les trois premiers termes de cette suite.


2. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, on pose vn=un6v_n=u_n-6.
a. Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.


b. Exprimer, pour tout entier nn, vnv_n en fonction de nn.


c. Exprimer, pour tout entier nn, unu_n en fonction de nn.
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7
Problème

En 2019, une école de musique comptait 250 élèves.
On sait que, chaque année, elle perd 10 % de son effectif puis accueille 35 nouveaux élèves.
Pour tout nNn \in \mathbb{N}, on note unu_n le nombre d’élèves comptabilisés sur l'année 2019+n2019+n.

1. Montrer qu’en 2020, on compte 260 élèves dans l'école puis calculer le nombre d’élèves en 2021.


2. La suite (un)(u_n) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.


3. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite (un)(u_n).


4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le nombre d’élèves prévus en 2050 si l’évolution des effectifs suit la même tendance.
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Anecdote

Les suites ont été utilisées comme outil d’analyse bien avant d’avoir été formalisées à l’aide des fonctions. Les mathématiciens anciens Eudoxe de Cnide, Euclide ou Archimède ont ainsi utilisé pour leurs démonstrations des « suites » indéfinies de grandeurs (notamment d’aires) qui s’approchent autant que l’on veut d’une grandeur « limite ».
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