Suites

1

Calculer les termes d’une suite

Pour chacune des suites ci‑dessous, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_5$.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=3 n+5$.


2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=2^n-1$.


3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n}=\dfrac{n}{n+1}$.


4. $u_0=1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=2 u_{n}+7$.


5. $u_0=2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=3 u_{n}-2n$.

2

Travailler sur les indices des suites

Dans chacun des cas suivants, exprimer $t_{n+1}$, $t_{n-1}$, $t_{2n}$ et $t_{3n-2}$ en fonction de $n$.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $t_n=2n+4$.


2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $t_n=n^2-n+1$.


3. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $t_{n}=\dfrac{n-2}{n+1}$.

3

Étudier le sens de variation d’une suite

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n).$

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=4n-5$.


2. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n=1+\dfrac{2}{n}.$


3. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n=\dfrac{2^n}{n}.$


4. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=(n-5)^2$.

4

Terme général d’une suite arithmétique

Dans chaque cas, exprimer $w_n$ en fontion de $n.$

1. $(w_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $w_0=2$ et de raison $r=-3$.


2. $(w_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $w_0=18$ et de raison $r=5$.


3. $(w_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $w_1=\dfrac{3}{4}$ et de raison $r=\dfrac{1}{2}$.

5

Terme général d’une suite géométrique

Dans chaque cas, exprimer $p_n$ en fonction de $n$.

1. $(p_n)$ est la suite géométrique de premier terme $p_0=3$ et de raison $q=4$.


2. $(p_n)$ est la suite géométrique de premier terme $p_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=-2$.


3. $(p_n)$ est la suite géométrique de premier terme $p_1=5$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

6

Utiliser une suite auxiliaire

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=-2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.

1. Déterminer les trois premiers termes de cette suite.


2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $v_n=u_n-6$.
a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.


b. Exprimer, pour tout entier $n$, $v_n$ en fonction de $n$.


c. Exprimer, pour tout entier $n$, $u_n$ en fonction de $n$.

7

Problème

En 2019, une école de musique comptait 250 élèves.
On sait que, chaque année, elle perd 10 % de son effectif puis accueille 35 nouveaux élèves.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $u_n$ le nombre d’élèves comptabilisés sur l'année $2019+n$.

1. Montrer qu’en 2020, on compte 260 élèves dans l'école puis calculer le nombre d’élèves en 2021.


2. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.


3. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.


4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le nombre d’élèves prévus en 2050 si l’évolution des effectifs suit la même tendance.