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1. Limites finies
P.130-132

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COURS 1


1
Limites finies





Remarque préliminaire : Lorsque l’on cherche à déterminer l’éventuelle limite d’une suite, on fait toujours tendre vers . On note alors

A
Définitions et premières propriétés


Définition

Une suite a pour limite le réel lorsque tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que, pour tout , on a , soit encore .

NOTATION

On note alors .

Exemple

La suite représentée ci‑contre semble avoir pour limite . Autrement dit, on peut trouver une valeur de pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut de .

1. Limites finies - A. Définitions et premières propriétés

Remarque

Si on choisit une valeur de plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à ne sont pas compris dans l’intervalle .

Propriété (admise)

Si une suite a pour limite le réel , alors cette limite est unique.

Propriétés

1.

2.

3.

4. Plus généralement, pour tout entier , on a .

5. Si , alors .

Remarque

Si alors .

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
69
et utilise le résultat de l'exercice
57
.

DÉMONSTRATION

Soient un réel et un entier naturel.
1. On a . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à , on a pour tout entier .
2. On a en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à , on a pour tout entier .
3. On a car et la fonction racine carrée est strictement croissante sur . Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à , on a bien pour tout entier

Définitions

  • Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel . On dit aussi que la suite converge vers .
  • Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.

Remarque

Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.

Exemple

La suite définie pour tout entier naturel par est une suite divergente : elle prend successivement la valeur quand est pair et la valeur quand est impair. Elle n’admet donc aucune limite.

Application et méthode - 1

Énoncé

On considère la suite définie pour tout entier par . Montrer que converge vers .

Méthode

  • On considère un réel quelconque.
  • On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier tel que, pour tout entier , on a .

Solution

Soit un réel. On applique la définition avec . On a
.
Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à , on a bien pour tout entier .
La suite converge donc vers 5.


Pour s'entraîner : exercices 21 p. 144 et 43 p. 146

B
Théorème de convergence monotone


Définitions

  • Une suite est majorée par un réel lorsque, pour tout entier naturel , . On dit que est un majorant de .
  • Une suite est minorée par un réel lorsque, pour tout entier naturel , . On dit que est un minorant de .
  • Une suite est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Remarque

Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).

Exemple

La suite définie, pour tout , par vérifie, pour tout , . Elle est donc minorée par (mais également par ou ) et majorée par (mais aussi ou ) : est donc bornée. En particulier .

Théorème de convergence monotone (admis)

  • Une suite croissante et majorée converge.
  • Une suite décroissante et minorée converge.

Remarque

Ce théorème permet juste d’affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.

Exemples

  • La suite définie, pour tout entier naturel , par est décroissante et minorée par . Le théorème de convergence monotone permet alors d’affirmer que est convergente.
  • Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , . On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par . On en déduit que est convergente.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .
1. Montrer que, pour tout entier naturel , .
2. Justifier que la suite converge vers un réel .
3. On admet que , et que . Déterminer la valeur de .

Méthode

1. On utilise un raisonnement par récurrence pour prouver l’inégalité.
2. L’inégalité de la question 1. permet d’affirmer que la suite est croissante et majorée. On conclut grâce au théorème de convergence monotone.
3. On résout l’équation pour déterminer la valeur de .

Solution

1. Soit . On note la proposition . On souhaite démontrer que est vraie pour tout .
Pour (initialisation) :
et donc .
On en déduit que est vraie.
On considère un entier naturel quelconque tel que est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que .
On souhaite démontrer que est vraie, autrement dit que (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :




car est strictement décroissante sur .




soit
Ainsi, est vraie et, lorsque est vraie pour un entier quelconque, alors est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout , est vraie donc .
2. D’après l’inégalité de la question 1. , la suite est croissante et majorée par .
D’après le théorème de convergence monotone, converge vers une limite .
3. On a :





Donc la suite converge vers .

Remarque

Pour comprendre comment cette égalité a été obtenue, on pourra se référer au chapitre 6.

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 144 et 47 p. 147
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