1. Soit $n\in \mathbb{N}$. On note ${\text{P}}_n$ la proposition $0<u_n<u_{n+1}<3$. On souhaite démontrer que ${\text{P}}_n$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Pour $n=0$ (initialisation) :
$u_0=1$ et $u_1=\frac{9}{6-u_0}=\frac{9}{5}=1,8$ donc $0<u_0<u_1<3$.
On en déduit que ${\text{P}}_0$ est vraie.
On considère un entier naturel $k$ quelconque tel que ${\text{P}}_k$ est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que $0<u_k<u_{k+1}<3$.
On souhaite démontrer que ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $0<u_{k+1}<u_{k+2}<3$ (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
$0<u_k<u_{k+1}<3$ $\iff 0>-u_k>-u_{k+1}>-3$

$\iff 6>6-u_k>6-u_{k+1}>3$

$\iff \frac{1}{6}<\frac{1}{6-u_k}<\frac{1}{6-u_{k+1}}<\frac{1}{3}$ car $x\mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty [$.

$\iff \frac{9}{6}<\frac{9}{6-u_k}<\frac{9}{6-u_{k+1}}<\frac{9}{3}$

$\iff 1,5<u_{k+1}<u_{k+2}<3$
soit $0<u_{k+1}<u_{k+2}<3.$
Ainsi, ${\text{P}}_0$ est vraie et, lorsque ${\text{P}}_k$ est vraie pour un entier $k$ quelconque, alors ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{P}}_n$ est vraie donc $0<u_n<u_{n+1}<3.$

2. D'après l'inégalité de la question 1. , la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$.
D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

Exercices

24

p. 144 et

47

p. 147