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Limites finies

Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre semble avoir pour limite $\ell$. Autrement dit, on peut trouver une valeur de $n_0$ pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut de $\ell$.

Si on choisit une valeur de $n_0$ plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à $n_0$ ne sont pas compris dans l’intervalle $]\ell -\epsilon ;\ell +\epsilon [$.

Si $q=1$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{q}^n=1$.

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice

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et utilise le résultat de l'exercice

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.

DÉMONSTRATION

Soient $\epsilon >0$ un réel et $n$ un entier naturel.
1. On a $-\epsilon <\frac{1}{n}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{n}<\epsilon \iff n>\frac{1}{\epsilon }$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{\epsilon }$, on a $-\epsilon <\frac{1}{n}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0$.
2. On a $-\epsilon <\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \iff \sqrt{n}>\frac{1}{\epsilon }\iff n>\frac{1}{{\epsilon }^2}$ en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur $[0;+\infty [$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{{\epsilon }^2}$, on a $-\epsilon <\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0$.
3. On a $-\epsilon <\frac{1}{n^2}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{n^2}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{n^2}<\epsilon \iff n^2>\frac{1}{\epsilon }\iff n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$ car $n⩾0$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$, on a bien $-\epsilon <\frac{1}{n^2}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0.$

Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.

Exemple

La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=(-1{)}^n$ est une suite divergente : elle prend successivement la valeur $1$ quand $n$ est pair et la valeur $-1$ quand $n$ est impair. Elle n’admet donc aucune limite.

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n⩾1$ par $w_n=5+\frac{1}{n}$. Montrer que $(w_n)$ converge vers $5$.

Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).

Exemple

La suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n=\cos (n)$ vérifie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $-1⩽u_n⩽1$. Elle est donc minorée par $-1$ (mais également par $-2$ ou $-7$) et majorée par $1$ (mais aussi $24$ ou $\sqrt{5}$) : $(u_n)$ est donc bornée. En particulier $\left|u_n\right|⩽1$.

Ce théorème permet juste d’affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.

Exemples

• La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n⩾1$, par $u_n=\frac{1}{n}$ est décroissante et minorée par $0$. Le théorème de convergence monotone permet alors d’affirmer que $(u_n)$ est convergente.
• Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n+2$. On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par $4$. On en déduit que$(v_n)$ est convergente.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{9}{6-u_n}$.
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<u_{n+1}<3$.
2. Justifier que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
3. On admet que $\ell \ne 6$, et que $\ell =\frac{9}{6-\ell }$. Déterminer la valeur de $\ell$.