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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Cours 1
Limites finies
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Lorsque l'on cherche à déterminer l'éventuelle limite d'une
suite, on fait toujours tendre n vers +\infty. On note alors n \rightarrow+\infty.
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ADéfinitions et premières propriétés
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Définition
Une suite (u_n) a pour limite le réel \ell lorsque tout intervalle ouvert contenant \ell contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel \varepsilon>0, on peut trouver un rang n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a , \ell-\varepsilon\lt u_{n}\lt\ell+\varepsilon soit encore \left.u_{n} \in \right] \ell-\varepsilon ; \ell+\varepsilon[.
Autrement dit, pour tout réel \varepsilon>0, on peut trouver un rang n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a , \ell-\varepsilon\lt u_{n}\lt\ell+\varepsilon soit encore \left.u_{n} \in \right] \ell-\varepsilon ; \ell+\varepsilon[.
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On note alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_n=\ell.
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Exemple
La suite (u_n) représentée ci‑contre semble avoir pour limite \ell. Autrement
dit, on peut trouver une valeur de n_0 pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l'on veut de \ell.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Si on choisit une valeur de n_0 plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à n_0 ne sont pas compris dans l'intervalle ] \ell-\varepsilon ; \ell+\varepsilon[.
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Propriété (admise)
Si une suite (u_n) a pour limite le réel \ell, alors cette limite est unique.
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Propriétés
1. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n}=0
2. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{\sqrt{n}}=0
3. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n^{2}}=0
2. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{\sqrt{n}}=0
3. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n^{2}}=0
4. Plus généralement, pour tout entier k \geqslant 1, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n^{k}}=0.
5. Si -1\lt q \lt 1, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0.
5. Si -1\lt q \lt 1, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0.
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Si q=1 alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^n=1.
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Démonstration
Soient \varepsilon>0 un réel et n un entier naturel.
1. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon\Leftrightarrow\left|\frac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon}, on a -\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
2. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon^{2}} en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur [0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon^{2}}, on a -\varepsilon\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
3. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{n^{2}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n^{2}>\frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} car n \geqslant 0 et la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, on a bien -\varepsilon\lt\frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
1. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon\Leftrightarrow\left|\frac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon}, on a -\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
2. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon^{2}} en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur [0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon^{2}}, on a -\varepsilon\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
3. On a -\varepsilon\lt\frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{n^{2}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n^{2}>\frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} car n \geqslant 0 et la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, on a bien -\varepsilon\lt\frac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
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Définitions
- Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel \ell. On dit aussi que la suite converge vers \ell.
- Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.
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Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.
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Exemple
La suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n= (-1)^n est une suite divergente : elle prend successivement la valeur 1 quand n est pair et la valeur -1 quand n est impair. Elle n'admet donc aucune limite.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
On considère la suite (w_n) définie pour tout entier n \geqslant 1 par w_{n}=5+\frac{1}{n}. Montrer que (w_n) converge vers 5.
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- On considère un réel \varepsilon>0 quelconque.
- On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout entier n \geqslant n_{0}, on a \ell-\varepsilon\lt w_{n}\lt \ell+\varepsilon.
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Solution
Soit \varepsilon>0 un réel. On applique la définition avec \ell=5. On a
5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow 5-\varepsilon\lt 5+\frac{1}{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow-\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}.
Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon}, on a bien 5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
La suite (w_n) converge donc vers 5.
5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow 5-\varepsilon\lt 5+\frac{1}{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow-\varepsilon\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\frac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}.
Ainsi, en prenant comme valeur de n_0 le plus petit entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon}, on a bien 5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon pour tout entier n \geqslant n_{0}.
La suite (w_n) converge donc vers 5.
Pour s'entraîner
Exercices p. 144 et p. 146
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BThéorème de convergence monotone
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Définitions
- Une suite (u_n) est majorée par un réel \text{M} lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant \mathrm{M}. On dit que \text{M} est un majorant de (u_n).
- Une suite (u_n) est minorée par un réel m lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n} \geqslant m. On dit que m est un minorant de (u_n).
- Une suite (u_n) est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
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Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).
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Exemple
La suite (u_n) définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par u_{n}=\cos (n) vérifie, pour tout n \in \mathbb{N}, -1 \leqslant u_{n} \leqslant 1. Elle est donc minorée par -1 (mais également par -2 ou -7) et majorée par 1 (mais aussi 24 ou \sqrt5) : (u_n) est donc bornée. En particulier \left|u_{n}\right| \leqslant 1.
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Théorème de convergence monotone (admis)
- Une suite croissante et majorée converge.
- Une suite décroissante et minorée converge.
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Ce théorème permet juste d'affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.
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Exemples
- La suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n \geqslant 1, par u_n=\frac{1}{n} est décroissante et minorée par 0. Le théorème de convergence monotone permet alors d'affirmer que (u_n) est convergente.
- Soit (v_n) la suite définie par v_0=2 et, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=\frac{1}{2} v_{n}+2. On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par 4. On en déduit que(v_n) est convergente.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\frac{9}{6-u_{n}}.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. Justifier que la suite (u_n) converge vers un réel \ell.
3. On admet que \ell \neq 6, et que \ell=\frac{9}{6-\ell}. Déterminer la valeur de \ell.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. Justifier que la suite (u_n) converge vers un réel \ell.
3. On admet que \ell \neq 6, et que \ell=\frac{9}{6-\ell}. Déterminer la valeur de \ell.
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1. On utilise un raisonnement par récurrence pour prouver l'inégalité.
2. L'inégalité de la question 1. permet d'affirmer que la suite (u_n) est croissante et majorée. On conclut grâce au théorème de convergence monotone.
3. On résout l'équation pour déterminer la valeur de \ell.
2. L'inégalité de la question 1. permet d'affirmer que la suite (u_n) est croissante et majorée. On conclut grâce au théorème de convergence monotone.
3. On résout l'équation pour déterminer la valeur de \ell.
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Solution
1. Soit n \in \mathbb{N}. On note \text{P}_n la proposition 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3. On souhaite démontrer que \text{P}_n est vraie pour tout n \in \mathbb{N}.
Pour n=0 (initialisation) :
u_0=1 et u_{1}=\frac{9}{6-u_{0}}=\frac{9}{5}=1{,}8 donc 0\lt u_{0}\lt u_{1}\lt 3.
On en déduit que \text{P}_0 est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que \text{P}_k est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que 0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3.
On souhaite démontrer que \text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3 (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3 \Leftrightarrow 0>-u_{k}>-u_{k+1}>-3
\Leftrightarrow 6>6-u_{k}>6-u_{k+1}>3
\Leftrightarrow \frac{1}{6}\lt \frac{1}{6-u_{k}}\lt \frac{1}{6-u_{k+1}}\lt\frac{1}{3} car x \mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur ] 0 ;+\infty[.
\Leftrightarrow \frac{9}{6}\lt\frac{9}{6-u_{k}}\lt\frac{9}{6-u_{k+1}}\lt\frac{9}{3}
\Leftrightarrow 1{,}5\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3
soit 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3.
Ainsi, \text{P}_0 est vraie et, lorsque \text{P}_k est vraie pour un entier k quelconque, alors \text{P}_{k+1} est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{P}_n est vraie donc 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. D'après l'inégalité de la question 1. , la suite (u_n) est croissante et majorée par 3.
D'après le théorème de convergence monotone, (u_n) converge vers une limite \ell.
Pour n=0 (initialisation) :
u_0=1 et u_{1}=\frac{9}{6-u_{0}}=\frac{9}{5}=1{,}8 donc 0\lt u_{0}\lt u_{1}\lt 3.
On en déduit que \text{P}_0 est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que \text{P}_k est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que 0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3.
On souhaite démontrer que \text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3 (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3 \Leftrightarrow 0>-u_{k}>-u_{k+1}>-3
\Leftrightarrow 6>6-u_{k}>6-u_{k+1}>3
\Leftrightarrow \frac{1}{6}\lt \frac{1}{6-u_{k}}\lt \frac{1}{6-u_{k+1}}\lt\frac{1}{3} car x \mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur ] 0 ;+\infty[.
\Leftrightarrow \frac{9}{6}\lt\frac{9}{6-u_{k}}\lt\frac{9}{6-u_{k+1}}\lt\frac{9}{3}
\Leftrightarrow 1{,}5\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3
soit 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3.
Ainsi, \text{P}_0 est vraie et, lorsque \text{P}_k est vraie pour un entier k quelconque, alors \text{P}_{k+1} est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{P}_n est vraie donc 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. D'après l'inégalité de la question 1. , la suite (u_n) est croissante et majorée par 3.
D'après le théorème de convergence monotone, (u_n) converge vers une limite \ell.
3. On a : \ell=\frac{9}{6-\ell} \Leftrightarrow \ell(6-\ell)=9
\Leftrightarrow 6 \ell-\ell^{2}=9
\Leftrightarrow \ell^{2}-6 \ell+9=0
\Leftrightarrow(\ell-3)^{2}=0
\Leftrightarrow \ell-3=0
\Leftrightarrow \ell=3
Donc la suite (u_n) converge vers 3.
\Leftrightarrow 6 \ell-\ell^{2}=9
\Leftrightarrow \ell^{2}-6 \ell+9=0
\Leftrightarrow(\ell-3)^{2}=0
\Leftrightarrow \ell-3=0
\Leftrightarrow \ell=3
Donc la suite (u_n) converge vers 3.
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