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1. Limites finies
P.130-132
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COURS 1


1
Limites finies





Remarque préliminaire : Lorsque l’on cherche à déterminer l’éventuelle limite d’une suite, on fait toujours tendre nn vers +∞+\infty. On note alors n→+∞.n \rightarrow+\infty.

A
Définitions et premières propriétés


Définition
Une suite (un)(u_n) a pour limite le réel ℓ\ell lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel ε>0\varepsilon>0, on peut trouver un rang n0n_0 tel que, pour tout n⩾n0n \geqslant n_{0}, on a , ℓ−ε<un<ℓ+ε\ell-\varepsilon\lt u_{n}\lt\ell+\varepsilon soit encore un∈ ]ℓ−ε ; ℓ+ε[\left.u_{n} \in \right] \ell-\varepsilon ; \ell+\varepsilon[.

NOTATION
On note alors lim⁡n→+∞un=ℓ\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}u_n=\ell.

Exemple
La suite (un)(u_n) représentée ci‑contre semble avoir pour limite ℓ\ell. Autrement dit, on peut trouver une valeur de n0n_0 pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut de ℓ\ell.

1. Limites finies - A. Définitions et premières propriétés

Remarque

Si on choisit une valeur de n0n_0 plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à n0n_0 ne sont pas compris dans l’intervalle ]ℓ−ε ; ℓ+ε[] \ell-\varepsilon ; \ell+\varepsilon[.

Propriété (admise)
Si une suite (un)(u_n) a pour limite le réel ℓ\ell, alors cette limite est unique.

Propriétés
1. lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n}=0

2. lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0

3. lim⁡n→+∞1n2=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n^{2}}=0

4. Plus généralement, pour tout entier k⩾1k \geqslant 1, on a lim⁡n→+∞1nk=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n^{k}}=0.

5. Si −1<q<1-1\lt q \lt 1, alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0.

Remarque

Si q=1q=1 alors lim⁡n→+∞qn=1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^n=1.

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
69
 et utilise le résultat de l'exercice
57
.

DÉMONSTRATION

Soient ε>0\varepsilon>0 un réel et nn un entier naturel.
1. On a −ε<1n<ε⇔∣1n∣<ε⇔1n<ε⇔n>1ε-\varepsilon\lt\dfrac{1}{n}\lt\varepsilon\Leftrightarrow\left|\dfrac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\varepsilon}. Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier strictement supérieur à 1ε\dfrac{1}{\varepsilon}, on a −ε<1n<ε-\varepsilon\lt\dfrac{1}{n}\lt\varepsilon pour tout entier n⩾n0n \geqslant n_{0}.
2. On a −ε<1n<ε⇔∣1n∣<ε⇔1n<ε⇔n>1ε⇔n>1ε2-\varepsilon\lt\dfrac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt{n}>\dfrac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\varepsilon^{2}} en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur [0 ;+∞[[0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier strictement supérieur à 1ε2\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}, on a −ε<1n<ε-\varepsilon\lt\dfrac{1}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon pour tout entier n⩾n0n \geqslant n_{0}.
3. On a −ε<1n2<ε⇔∣1n2∣<ε⇔1n2<ε⇔n2>1ε⇔n>1ε-\varepsilon\lt\dfrac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\dfrac{1}{n^{2}}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n^{2}>\dfrac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} car n⩾0n \geqslant 0 et la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ;+∞[[0 ;+\infty[. Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier strictement supérieur à 1ε\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, on a bien −ε<1n2<ε-\varepsilon\lt\dfrac{1}{n^{2}}\lt\varepsilon pour tout entier n⩾n0.n \geqslant n_{0}.

Définitions
  • Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel ℓ\ell. On dit aussi que la suite converge vers ℓ\ell.
  • Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.

Remarque

Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.

Exemple

La suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=(−1)nu_n= (-1)^n est une suite divergente : elle prend successivement la valeur 11 quand nn est pair et la valeur −1-1 quand nn est impair. Elle n’admet donc aucune limite.

Application et méthode - 1

Énoncé

On considère la suite (wn)(w_n) définie pour tout entier n⩾1n \geqslant 1 par wn=5+1nw_{n}=5+\dfrac{1}{n}. Montrer que (wn)(w_n) converge vers 55.

Méthode

  • On considère un réel ε>0\varepsilon>0 quelconque.
  • On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout entier n⩾n0n \geqslant n_{0}, on a ℓ−ε<wn<ℓ+ε\ell-\varepsilon\lt w_{n}\lt \ell+\varepsilon.

Solution

Soit ε>0\varepsilon>0 un réel. On applique la définition avec ℓ=5\ell=5. On a
5−ε<wn<5+ε⇔5−ε<5+1n<5+ε⇔−ε<1n<ε⇔∣1n∣<ε⇔1n<ε⇔n>1ε5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow 5-\varepsilon\lt 5+\dfrac{1}{n}\lt 5+\varepsilon \Leftrightarrow-\varepsilon\lt\dfrac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow\left|\dfrac{1}{n}\right|\lt\varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{n}\lt\varepsilon \Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\varepsilon}.
Ainsi, en prenant comme valeur de n0n_0 le plus petit entier strictement supérieur à 1ε\dfrac{1}{\varepsilon}, on a bien 5−ε<wn<5+ε5-\varepsilon\lt w_{n}\lt 5+\varepsilon pour tout entier n⩾n0n \geqslant n_{0}.
La suite (wn)(w_n) converge donc vers 5.


Pour s'entraîner : exercices 21 p. 144 et 43 p. 146

B
Théorème de convergence monotone


Définitions
  • Une suite (un)(u_n) est majorée par un réel M\text{M} lorsque, pour tout entier naturel nn, un⩽Mu_{n} \leqslant \mathrm{M}. On dit que M\text{M} est un majorant de (un)(u_n).
  • Une suite (un)(u_n) est minorée par un réel mm lorsque, pour tout entier naturel nn, un⩾mu_{n} \geqslant m. On dit que mm est un minorant de (un)(u_n).
  • Une suite (un)(u_n) est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Remarque

Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).

Exemple
La suite (un)(u_n) définie, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, par un=cos⁡(n)u_{n}=\cos (n) vérifie, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, −1⩽un⩽1-1 \leqslant u_{n} \leqslant 1. Elle est donc minorée par −1-1 (mais également par −2-2 ou −7-7) et majorée par 11 (mais aussi 2424 ou 5\sqrt5) : (un)(u_n) est donc bornée. En particulier ∣un∣⩽1\left|u_{n}\right| \leqslant 1.

Théorème de convergence monotone (admis)
  • Une suite croissante et majorée converge.
  • Une suite décroissante et minorée converge.

Remarque

Ce théorème permet juste d’affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.

Exemples
  • La suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel n⩾1n \geqslant 1, par un=1n u_n=\dfrac{1}{n} est décroissante et minorée par 00. Le théorème de convergence monotone permet alors d’affirmer que (un)(u_n) est convergente.
  • Soit (vn)(v_n) la suite définie par v0=2v_0=2 et, pour tout entier naturel nn, vn+1=12vn+2v_{n+1}=\dfrac{1}{2} v_{n}+2. On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par 44. On en déduit que(vn)(v_n) est convergente.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=96−unu_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_{n}}.
1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, 0<un<un+1<30\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. Justifier que la suite (un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell.
3. On admet que ℓ≠6\ell \neq 6, et que ℓ=96−ℓ\ell=\dfrac{9}{6-\ell}. Déterminer la valeur de ℓ\ell.

Méthode

1. On utilise un raisonnement par récurrence pour prouver l’inégalité.
2. L’inégalité de la question 1. permet d’affirmer que la suite (un)(u_n) est croissante et majorée. On conclut grâce au théorème de convergence monotone.
3. On résout l’équation pour déterminer la valeur de ℓ\ell.

Solution

1. Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. On note Pn\text{P}_n la proposition 0<un<un+1<30\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3. On souhaite démontrer que Pn\text{P}_n est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
Pour n=0n=0 (initialisation) :
u0=1u_0=1 et u1=96−u0=95=1,8u_{1}=\dfrac{9}{6-u_{0}}=\dfrac{9}{5}=1{,}8 donc 0<u0<u1<30\lt u_{0}\lt u_{1}\lt 3.
On en déduit que P0\text{P}_0 est vraie.
On considère un entier naturel kk quelconque tel que Pk\text{P}_k est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que 0<uk<uk+1<30\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3.
On souhaite démontrer que Pk+1\text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que 0<uk+1<uk+2<30\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3 (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
0<uk<uk+1<30\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3 ⇔0>−uk>−uk+1>−3\Leftrightarrow 0>-u_{k}>-u_{k+1}>-3

⇔6>6−uk>6−uk+1>3\Leftrightarrow 6>6-u_{k}>6-u_{k+1}>3

⇔16<16−uk<16−uk+1<13\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\lt \dfrac{1}{6-u_{k}}\lt \dfrac{1}{6-u_{k+1}}\lt\dfrac{1}{3} car x↦1xx \mapsto \dfrac{1}{x} est strictement décroissante sur ]0 ;+∞[] 0 ;+\infty[.

⇔96<96−uk<96−uk+1<93\Leftrightarrow \dfrac{9}{6}\lt\dfrac{9}{6-u_{k}}\lt\dfrac{9}{6-u_{k+1}}\lt\dfrac{9}{3}

⇔1,5<uk+1<uk+2<3\Leftrightarrow 1{,}5\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3
soit 0<uk+1<uk+2<3.0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3.
Ainsi, P0\text{P}_0 est vraie et, lorsque Pk\text{P}_k est vraie pour un entier kk quelconque, alors Pk+1\text{P}_{k+1} est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, Pn\text{P}_n est vraie donc 0<un<un+1<30\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.
2. D’après l’inégalité de la question 1. , la suite (un)(u_n) est croissante et majorée par 33.
D’après le théorème de convergence monotone, (un)(u_n) converge vers une limite ℓ\ell.
3. On a : ℓ=96−ℓ\ell=\dfrac{9}{6-\ell} ⇔ℓ(6−ℓ)=9\Leftrightarrow \ell(6-\ell)=9
⇔6ℓ−ℓ2=9\Leftrightarrow 6 \ell-\ell^{2}=9
⇔ℓ2−6ℓ+9=0\Leftrightarrow \ell^{2}-6 \ell+9=0
⇔(ℓ−3)2=0\Leftrightarrow(\ell-3)^{2}=0
⇔ℓ−3=0\Leftrightarrow \ell-3=0
⇔ℓ=3\Leftrightarrow \ell=3
Donc la suite (un)(u_n) converge vers 33.

Remarque

Pour comprendre comment cette égalité a été obtenue, on pourra se référer au chapitre 6.

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 144 et 47 p. 147
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