Exemple

La suite $(u_n)$ représentée ci‑contre semble avoir pour limite $\ell$. Autrement dit, on peut trouver une valeur de $n_0$ pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut de $\ell$.

Si on choisit une valeur de $n_0$ plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à $n_0$ ne sont pas compris dans l’intervalle $]\ell -\epsilon ;\ell +\epsilon [$.

Si $q=1$ alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{q}^n=1$.

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice

69

et utilise le résultat de l'exercice

57

.

DÉMONSTRATION

Soient $\epsilon >0$ un réel et $n$ un entier naturel.
1. On a $-\epsilon <\frac{1}{n}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{n}<\epsilon \iff n>\frac{1}{\epsilon }$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{\epsilon }$, on a $-\epsilon <\frac{1}{n}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0$.
2. On a $-\epsilon <\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \iff \sqrt{n}>\frac{1}{\epsilon }\iff n>\frac{1}{{\epsilon }^2}$ en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur $[0;+\infty [$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{{\epsilon }^2}$, on a $-\epsilon <\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0$.
3. On a $-\epsilon <\frac{1}{n^2}<\epsilon \iff \left|\frac{1}{n^2}\right|<\epsilon \iff \frac{1}{n^2}<\epsilon \iff n^2>\frac{1}{\epsilon }\iff n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$ car $n⩾0$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. Ainsi, en prenant comme valeur de $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$, on a bien $-\epsilon <\frac{1}{n^2}<\epsilon$ pour tout entier $n⩾n_0.$

Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.

Exemple

La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=(-1{)}^n$ est une suite divergente : elle prend successivement la valeur $1$ quand $n$ est pair et la valeur $-1$ quand $n$ est impair. Elle n’admet donc aucune limite.

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n⩾1$ par $w_n=5+\frac{1}{n}$. Montrer que $(w_n)$ converge vers $5$.

Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).

Exemple

La suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n=\cos (n)$ vérifie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $-1⩽u_n⩽1$. Elle est donc minorée par $-1$ (mais également par $-2$ ou $-7$) et majorée par $1$ (mais aussi $24$ ou $\sqrt{5}$) : $(u_n)$ est donc bornée. En particulier $\left|u_n\right|⩽1$.

Ce théorème permet juste d’affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.

Exemples

• La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n⩾1$, par $u_n=\frac{1}{n}$ est décroissante et minorée par $0$. Le théorème de convergence monotone permet alors d’affirmer que $(u_n)$ est convergente.
• Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n+2$. On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par $4$. On en déduit que$(v_n)$ est convergente.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{9}{6-u_n}$.
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<u_{n+1}<3$.
2. Justifier que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
3. On admet que $\ell \ne 6$, et que $\ell =\frac{9}{6-\ell }$. Déterminer la valeur de $\ell$.