1. Soit
n∈N. On note
Pn la proposition
0<un<un+1<3. On souhaite démontrer que
Pn est vraie pour tout
n∈N.
Pour
n=0 (initialisation) :
u0=1 et
u1=6−u09=59=1,8 donc
0<u0<u1<3.
On en déduit que
P0 est vraie.
On considère un entier naturel
k quelconque tel que
Pk est vraie
(hypothèse de récurrence), autrement dit tel que
0<uk<uk+1<3.
On souhaite démontrer que
Pk+1 est vraie, autrement dit que
0<uk+1<uk+2<3 (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
0<uk<uk+1<3 ⇔0>−uk>−uk+1>−3
⇔6>6−uk>6−uk+1>3
⇔61<6−uk1<6−uk+11<31 car
x↦x1 est strictement décroissante sur
]0 ;+∞[.
⇔69<6−uk9<6−uk+19<39
⇔1,5<uk+1<uk+2<3
soit
0<uk+1<uk+2<3.
Ainsi,
P0 est vraie et, lorsque
Pk est vraie pour un entier
k quelconque, alors
Pk+1 est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout
n∈N,
Pn est vraie donc
0<un<un+1<3.
2. D’après l’inégalité de la question
1. , la suite
(un) est croissante et majorée par
3.
D’après le théorème de convergence monotone,
(un) converge vers une limite
ℓ.
3. On a :
ℓ=6−ℓ9 ⇔ℓ(6−ℓ)=9
⇔6ℓ−ℓ2=9
⇔ℓ2−6ℓ+9=0
⇔(ℓ−3)2=0
⇔ℓ−3=0
⇔ℓ=3
Donc la suite
(un) converge vers
3.
Pour comprendre comment cette égalité a été obtenue, on pourra se référer au chapitre 6.