Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Cours 1

Limites finies

Remarque préliminaire

Lorsque l'on cherche à déterminer l'éventuelle limite d'une suite, on fait toujours tendre

n

vers

+ \infty

. On note alors

n \to + \infty .

A
Définitions et premières propriétés

Définition

Une suite

(u_{n})

a pour limite le réel $ℓ$ lorsque tout intervalle ouvert contenant

ℓ

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel

ε > 0

, on peut trouver un rang

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a ,

ℓ - ε < u_{n} < ℓ + ε

soit encore

u_{n} \in] ℓ - ε; ℓ + ε [

Notation

On note alors

n \to + \infty lim u_{n} = ℓ

Exemple

La suite

(u_{n})

représentée ci‑contre semble avoir pour limite

ℓ

. Autrement dit, on peut trouver une valeur de

n_{0}

pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l'on veut de

ℓ

1. Limites finies - A. Définitions et premières propriétés

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Si on choisit une valeur de

n_{0}

plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à

n_{0}

ne sont pas compris dans l'intervalle

] ℓ - ε; ℓ + ε [

Propriété (admise)

Si une suite

(u_{n})

a pour limite le réel

ℓ

, alors cette limite est unique.

Propriétés

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0

n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

4. Plus généralement, pour tout entier

k ⩾ 1

, on a

n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{k}} = 0

.

5. Si

- 1 < q < 1

, alors

n \to + \infty lim q^{n} = 0

Remarque

q = 1

alors

n \to + \infty lim q^{n} = 1

Remarque

La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites. La propriété 5. est démontrée dans l'exercice

et utilise le résultat de l'exercice

Démonstration

Soient

ε > 0

un réel et

n

un entier naturel.
1. On a

- ε < \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1}{n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε}

. Ainsi, en prenant comme valeur de

n_{0}

le plus petit entier strictement supérieur à

\frac{1}{ε}

, on a

- ε < \frac{1}{n} < ε

pour tout entier

n ⩾ n_{0}

.
2. On a

- ε < \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1}{n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε} \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε ^{2}}

en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur

[0; + \infty [

. Ainsi, en prenant comme valeur de

n_{0}

le plus petit entier strictement supérieur à

\frac{1}{ε ^{2}}

, on a

- ε < \frac{1}{n} < ε

pour tout entier

n ⩾ n_{0}

.
3. On a

- ε < \frac{1}{n ^{2}} < ε \Leftrightarrow ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1}{n ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n ^{2}} < ε \Leftrightarrow n^{2} > \frac{1}{ε} \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε}

car

n ⩾ 0

et la fonction racine carrée est strictement croissante sur

[0; + \infty [

. Ainsi, en prenant comme valeur de

n_{0}

le plus petit entier strictement supérieur à

\frac{1}{ε},

on a bien

- ε < \frac{1}{n ^{2}} < ε

pour tout entier

n ⩾ n_{0} .

Définitions

Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel $ℓ$ . On dit aussi que la suite converge vers $ℓ$ .
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.

Remarque

Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.

Exemple

La suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = (- 1)^{n}

est une suite divergente : elle prend successivement la valeur

1

quand

n

est pair et la valeur

- 1

quand

n

est impair. Elle n'admet donc aucune limite.

Application et méthode - 1

Énoncé

On considère la suite

(w_{n})

définie pour tout entier

n ⩾ 1

par

w_{n} = 5 + \frac{1}{n}

. Montrer que

(w_{n})

converge vers

5

Méthode

On considère un réel $ε > 0$ quelconque.
On cherche ensuite à déterminer la valeur du plus petit entier $n_{0}$ tel que, pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ , on a $ℓ - ε < w_{n} < ℓ + ε$ .

Solution

Soit

ε > 0

un réel. On applique la définition avec

ℓ = 5

. On a

5 - ε < w_{n} < 5 + ε \Leftrightarrow 5 - ε < 5 + \frac{1}{n} < 5 + ε \Leftrightarrow - ε < \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1}{n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε}

.
Ainsi, en prenant comme valeur de

n_{0}

le plus petit entier strictement supérieur à

\frac{1}{ε}

, on a bien

5 - ε < w_{n} < 5 + ε

pour tout entier

n ⩾ n_{0}

.
La suite

(w_{n})

converge donc vers 5.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 144 et

p. 146

B
Théorème de convergence monotone

Définitions

Une suite $(u_{n})$ est majorée par un réel $M$ lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} ⩽ M$ . On dit que $M$ est un majorant de $(u_{n})$ .
Une suite $(u_{n})$ est minorée par un réel $m$ lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} ⩾ m$ . On dit que $m$ est un minorant de $(u_{n})$ .
Une suite $(u_{n})$ est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Remarque

Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).

Exemple

La suite

(u_{n})

définie, pour tout

n \in N

, par

u_{n} = cos (n)

vérifie, pour tout

n \in N

- 1 ⩽ u_{n} ⩽ 1

. Elle est donc minorée par

- 1

(mais également par

- 2

- 7

) et majorée par

1

(mais aussi

24

5

) :

(u_{n})

est donc bornée. En particulier

∣ u_{n} ∣ ⩽ 1

Théorème de convergence monotone (admis)

Une suite croissante et majorée converge.
Une suite décroissante et minorée converge.

Remarque

Ce théorème permet juste d'affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.

Exemples

La suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , par $u_{n} = \frac{1}{n}$ est décroissante et minorée par $0$ . Le théorème de convergence monotone permet alors d'affirmer que $(u_{n})$ est convergente.
Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n} + 2$ . On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par $4$ . On en déduit que $(v_{n})$ est convergente.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = \frac{9}{6 - u _{n}} .

1. Montrer que, pour tout entier naturel

n

0 < u_{n} < u_{n + 1} < 3

.
2. Justifier que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ

.
3. On admet que

ℓ \neq = 6

, et que

ℓ = \frac{9}{6 - ℓ}

. Déterminer la valeur de

ℓ

Méthode

1. On utilise un raisonnement par récurrence pour prouver l'inégalité.

2. L'inégalité de la question 1. permet d'affirmer que la suite

(u_{n})

est croissante et majorée. On conclut grâce au théorème de convergence monotone.

3. On résout l'équation pour déterminer la valeur de

ℓ

Solution

1. Soit

n \in N

. On note

P_{n}

la proposition

0 < u_{n} < u_{n + 1} < 3

. On souhaite démontrer que

P_{n}

est vraie pour tout

n \in N

.
Pour

n = 0

(initialisation) :

u_{0} = 1

u_{1} = \frac{9}{6 - u _{0}} = \frac{9}{5} = 1, 8

donc

0 < u_{0} < u_{1} < 3

.
On en déduit que

P_{0}

est vraie.
On considère un entier naturel

k

quelconque tel que

P_{k}

est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que

0 < u_{k} < u_{k + 1} < 3

.
On souhaite démontrer que

P_{k + 1}

est vraie, autrement dit que

0 < u_{k + 1} < u_{k + 2} < 3

(hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :

0 < u_{k} < u_{k + 1} < 3

\Leftrightarrow 0 > - u_{k} > - u_{k + 1} > - 3

\Leftrightarrow 6 > 6 - u_{k} > 6 - u_{k + 1} > 3

\Leftrightarrow \frac{1}{6} < \frac{1}{6 - u _{k}} < \frac{1}{6 - u _{k + 1}} < \frac{1}{3}

car

x \mapsto \frac{1}{x}

est strictement décroissante sur

] 0; + \infty [

\Leftrightarrow \frac{9}{6} < \frac{9}{6 - u _{k}} < \frac{9}{6 - u _{k + 1}} < \frac{9}{3}

\Leftrightarrow 1, 5 < u_{k + 1} < u_{k + 2} < 3

soit

0 < u_{k + 1} < u_{k + 2} < 3 .

Ainsi,

P_{0}

est vraie et, lorsque

P_{k}

est vraie pour un entier

k

quelconque, alors

P_{k + 1}

est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout

n \in N

P_{n}

est vraie donc

0 < u_{n} < u_{n + 1} < 3 .

2. D'après l'inégalité de la question 1. , la suite

(u_{n})

est croissante et majorée par

3

.
D'après le théorème de convergence monotone,

(u_{n})

converge vers une limite

ℓ

3. On a :

ℓ = \frac{9}{6 - ℓ}

\Leftrightarrow ℓ (6 - ℓ) = 9

\Leftrightarrow 6 ℓ - ℓ^{2} = 9

\Leftrightarrow ℓ^{2} - 6 ℓ + 9 = 0

\Leftrightarrow (ℓ - 3)^{2} = 0

\Leftrightarrow ℓ - 3 = 0

\Leftrightarrow ℓ = 3

Donc la suite

(u_{n})

converge vers

3

Remarque

Pour comprendre comment cette égalité a été obtenue, on pourra se référer au

chapitre 6

Pour s'entraîner

Exercices

p. 144 et

p. 147

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