Remarque préliminaire : Lorsque l’on cherche à déterminer l’éventuelle limite d’une
suite, on fait toujours tendre n vers +∞. On note alors n→+∞.
A
Définitions et premières propriétés
Définition
Une suite (un) a pour limite le réel ℓ lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel ε>0, on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a , ℓ−ε<un<ℓ+ε soit encore un∈]ℓ−ε;ℓ+ε[.
NOTATION
On note alors n→+∞limun=ℓ.
Exemple
La suite (un) représentée ci‑contre semble avoir pour limite ℓ. Autrement
dit, on peut trouver une valeur de n0 pour laquelle les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut de ℓ.
Remarque
Si on choisit une valeur de n0 plus petite que celle représentée, certains termes de la suite de rang supérieur à n0 ne sont pas compris dans l’intervalle ]ℓ−ε;ℓ+ε[.
Propriété (admise)
Si une suite (un) a pour limite le réel ℓ, alors cette limite est unique.
Propriétés
1.n→+∞limn1=0
2.n→+∞limn1=0
3.n→+∞limn21=0
4. Plus généralement, pour tout entier k⩾1, on a n→+∞limnk1=0.
5. Si −1<q<1, alors n→+∞limqn=0.
Remarque
Si q=1 alors n→+∞limqn=1.
Remarque
La propriété 4. est admise pour le moment et pourra être démontrée avec les opérations sur les limites.
La propriété 5. est démontrée dans l'exercice
Soient ε>0 un réel et n un entier naturel.
1. On a −ε<n1<ε⇔∣∣∣∣∣n1∣∣∣∣∣<ε⇔n1<ε⇔n>ε1. Ainsi, en prenant comme valeur de n0 le plus petit entier strictement supérieur à ε1, on a −ε<n1<ε pour tout entier n⩾n0.
2. On a −ε<n1<ε⇔∣∣∣∣∣n1∣∣∣∣∣<ε⇔n1<ε⇔n>ε1⇔n>ε21 en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur [0;+∞[. Ainsi, en prenant comme valeur de n0 le plus petit entier strictement supérieur à ε21, on a −ε<n1<ε pour tout entier n⩾n0.
3. On a −ε<n21<ε⇔∣∣∣∣∣n21∣∣∣∣∣<ε⇔n21<ε⇔n2>ε1⇔n>ε1 car n⩾0 et la fonction
racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[. Ainsi, en prenant comme valeur de n0 le plus petit entier strictement supérieur à ε1, on a bien −ε<n21<ε pour tout entier n⩾n0.
Définitions
Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel ℓ. On dit aussi que la suite converge vers ℓ.
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.
Remarque
Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie.
Exemple
La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=(−1)n est une suite divergente : elle prend successivement la valeur 1 quand n est pair et la valeur −1 quand n est impair. Elle n’admet donc aucune limite.
Application et méthode - 1
Énoncé
On considère la suite (wn) définie pour tout entier n⩾1 par wn=5+n1. Montrer que (wn) converge vers 5.
B
Théorème de convergence monotone
Définitions
Une suite (un) est majorée par un réel M lorsque, pour tout entier naturel n, un⩽M. On dit que M est un majorant de (un).
Une suite (un) est minorée par un réel m lorsque, pour tout entier naturel n, un⩾m. On dit que m est un minorant de (un).
Une suite (un) est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque
Une suite majorée (resp. minorée) possède une infinité de majorants (resp. minorants).
Exemple
La suite (un) définie, pour tout n∈N, par un=cos(n) vérifie, pour tout n∈N, −1⩽un⩽1. Elle est donc minorée par −1 (mais également par −2 ou −7) et majorée par 1 (mais aussi 24 ou 5) : (un) est donc bornée. En particulier ∣un∣⩽1.
Théorème de convergence monotone (admis)
Une suite croissante et majorée converge.
Une suite décroissante et minorée converge.
Remarque
Ce théorème permet juste d’affirmer qu'une suite converge. Il ne permet pas de déterminer sa limite.
Exemples
La suite (un) définie, pour tout entier naturel n⩾1, par un=n1 est décroissante et minorée par 0. Le théorème de convergence monotone permet alors d’affirmer que (un) est convergente.
Soit (vn) la suite définie par v0=2 et, pour tout entier naturel n, vn+1=21vn+2. On peut démontrer que cette suite est croissante et majorée par 4. On en déduit que(vn) est convergente.
Application et méthode - 2
Énoncé
On considère la suite (un) définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=6−un9.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0<un<un+1<3.
2. Justifier que la suite (un) converge vers un réel ℓ.
3. On admet que ℓ=6, et que ℓ=6−ℓ9. Déterminer la valeur de ℓ.