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Activités
P.128-129

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Activités




A
Ne pas faire les choses à moitié



Objectif
Découvrir la notion de limite finie d’une suite.


On colorie la surface d’un rectangle de 1 mètre de largeur et de 2 mètres de longueur de la façon suivante : on commence par colorier la moitié de la surface du rectangle, puis la moitié de la surface restante, puis la moitié de la nouvelle surface restante et ainsi de suite. Pour tout , on note l’aire totale coloriée après étapes de ce coloriage.
Suites - Activité A
1
Déterminer les valeurs , et .


2
Justifier que, pour tout , .


3
a) Afficher sur la calculatrice les 25 premiers termes de la suite . Que remarque-t-on ?


b) Vers quelle valeur la suite semble-t-elle tendre ? Est-ce étonnant ?


On note la limite de la suite .

4
À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel rang on a , puis à partir de quel rang on a . Géométriquement, quel sens peut-on donner à ces résultats ?


5
Existe-t-il un rang à partir duquel l'aire de la surface coloriée est égale à  ?
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Bilan

Pourquoi peut-on dire que la suite possède une limite finie ?
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B
Ne pas dépasser les limites



Objectif
Conjecturer la limite d'une suite strictement croissante et bornée.


On considère une étoile à cinq branches dont l’aire vaut .
Suites - activité B
On décide de colorier cette étoile de la façon suivante :
  • choisir de façon aléatoire un nombre réel appartenant à l’intervalle  ;
  • colorier  % de la surface encore blanche de l’étoile ;
  • réitèrer le processus.

Pour tout entier naturel non nul , on note le nombre choisi à l’étape et la valeur de l’aire de la surface totale coloriée après étapes.

1
Exprimer et en fonction de , et .


2
En sachant que , expliquer si on peut calculer les valeurs de et .


3
Que peut-on dire sur le sens de variation de  ?


4
Pourquoi peut-on affirmer que, pour tout ,  ? On dit que la suite est majorée par .


5
Conjecturer la limite de la suite lorsque tend vers l’infini.
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Bilan

Expliquer pourquoi on peut conjecturer la limite de la suite alors que l’on ne peut même pas calculer son premier terme.
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C
Évolution d’une population de bactéries



Objectif
Découvrir la notion de limite infinie d’une suite.


On considère une population de bactéries composée de individus. Chaque jour, cette population augmente de 3 %. Pour tout entier naturel , on note le nombre de bactéries au bout de jours. Ainsi, on a .

bactéries
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1
Calculer et en arrondissant à l’unité si nécessaire.


2
Pour tout , exprimer en fonction de .


3
Quelle est la nature de la suite  ?


4
a) Au bout de combien de jours la population de bactéries aura‑t‑elle doublé ?


b) Au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera‑t‑elle les individus ?


5
Afin de déterminer rapidement au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera un seuil quelconque, on propose l’algorithme ci-dessous.


a) Recopier et compléter cet algorithme.


b) Déterminer alors au bout de combien de jours il y aura plus de bactéries.


6
a) Comment le nombre d’individus de cette population va‑t‑il évoluer à long terme ?


b) Peut-on trouver une valeur telle que le nombre de de bactéries ne soit jamais supérieur à  ? Justifier.
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Bilan

On dit que la suite a pour limite lorsque tend vers . Comment justifier cette définition ?
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D
Une suite bien encadrée



Objectif
Découvrir le théorème des gendarmes.

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On considère les suites , et définies respectivement, pour tout , par , et .
1
Déterminer les sens de variation respectifs des suites et ainsi que leur limite.


2
Quel est le sens de variation de la suite  ?


3
Justifier que, pour tout , on a l'inégalité .


4
Représenter graphiquement les dix premiers termes des suites , et à l’aide d’une calculatrice.


5
Conjecturer la limite de la suite .


6
À l’aide d’une méthode similaire, conjecturer la limite de la suite définie, pour tout , par .


Aide

Définir deux suites qui permettront d’encadrer la suite .
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Bilan

Expliquer la méthode utilisée dans cette activité pour conjecturer la limite des suites et .
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