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Activités
P.128-129

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Activités




A
Ne pas faire les choses à moitié



Objectif
Découvrir la notion de limite finie d’une suite.


On colorie la surface d’un rectangle de 1 mètre de largeur et de 2 mètres de longueur de la façon suivante : on commence par colorier la moitié de la surface du rectangle, puis la moitié de la surface restante, puis la moitié de la nouvelle surface restante et ainsi de suite. Pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, on note An\text{A}_n l’aire totale coloriée après nn étapes de ce coloriage.
Suites - Activité A
1
Déterminer les valeurs A1\text{A}_1, A2\text{A}_2 et A3\text{A}_3.


2
Justifier que, pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, An+1=1+12An\mathrm{A}_{n+1}=1+\dfrac{1}{2} \mathrm{A}_{n}.


3
a) Afficher sur la calculatrice les 25 premiers termes de la suite (An)nN\left(\mathrm{A}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}. Que remarque-t-on ?


b) Vers quelle valeur la suite (An)(\text{A}_n) semble-t-elle tendre ? Est-ce étonnant ?


On note A\text{A} la limite de la suite (An)(\text{A}_n).

4
À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel rang nn on a AAn<0,1\left|\mathrm{A}-\mathrm{A}_{n}\right| \lt 0,1, puis à partir de quel rang nn on a AAn<0,01\left|\mathrm{A}-\mathrm{A}_{n}\right| \lt 0,01. Géométriquement, quel sens peut-on donner à ces résultats ?


5
Existe-t-il un rang nn à partir duquel l'aire de la surface coloriée est égale à A\text{A} ?
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Bilan

Pourquoi peut-on dire que la suite (An)(\text{A}_n) possède une limite finie ?
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B
Ne pas dépasser les limites



Objectif
Conjecturer la limite d'une suite strictement croissante et bornée.


On considère une étoile à cinq branches dont l’aire vaut A\mathcal{A}.
Suites - activité B
On décide de colorier cette étoile de la façon suivante :
  • choisir de façon aléatoire un nombre réel pp appartenant à l’intervalle ]0 ; 100[]0 ; 100[ ;
  • colorier pp % de la surface encore blanche de l’étoile ;
  • réitèrer le processus.

Pour tout entier naturel non nul nn, on note pnp_n le nombre choisi à l’étape nn et ana_n la valeur de l’aire de la surface totale coloriée après nn étapes.

1
Exprimer a1a_1 et a2a_2 en fonction de A\mathcal{A}, p1p_1 et p2p_2.


2
En sachant que A=28\mathcal{A}=28, expliquer si on peut calculer les valeurs de a1a_1 et a2a_2.


3
Que peut-on dire sur le sens de variation de (an)(a_n) ?


4
Pourquoi peut-on affirmer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, anAa_{n} \leqslant \mathcal{A} ? On dit que la suite (an)(a_n) est majorée par A\mathcal{A}.


5
Conjecturer la limite de la suite (an)(a_n) lorsque nn tend vers l’infini.
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Bilan

Expliquer pourquoi on peut conjecturer la limite de la suite (an)(a_n) alors que l’on ne peut même pas calculer son premier terme.
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C
Évolution d’une population de bactéries



Objectif
Découvrir la notion de limite infinie d’une suite.


On considère une population de bactéries composée de 1 0001 000 individus. Chaque jour, cette population augmente de 3 %. Pour tout entier naturel nn, on note bnb_n le nombre de bactéries au bout de nn jours. Ainsi, on a b0=1 000b_0= 1 000.

bactéries
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1
Calculer b1b_1 et b2b_2 en arrondissant à l’unité si nécessaire.


2
Pour tout nNn \in \mathbb{N}, exprimer bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_n.


3
Quelle est la nature de la suite (bn)(b_n) ?


4
a) Au bout de combien de jours la population de bactéries aura‑t‑elle doublé ?


b) Au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera‑t‑elle les 3 0003 000 individus ?


5
Afin de déterminer rapidement au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera un seuil S\text{S} quelconque, on propose l’algorithme ci-dessous.

N0BTant que NBFin Tant que Afficher  \boxed{ \begin{array}{l}\mathrm{N} \leftarrow 0 \\ \mathrm{B} \leftarrow \ldots \\ \text {Tant que } \ldots \\ \qquad \begin{aligned} \mathrm{N} & \leftarrow \ldots \\ \mathrm{B} & \leftarrow \ldots \end{aligned} \\ \text {Fin Tant que } \\ \text {Afficher } \ldots\end{array} }

a) Recopier et compléter cet algorithme.


b) Déterminer alors au bout de combien de jours il y aura plus de 5 0005 000 bactéries.


6
a) Comment le nombre d’individus de cette population va‑t‑il évoluer à long terme ?


b) Peut-on trouver une valeur MN\text{M} \in \mathbb{N} telle que le nombre de de bactéries ne soit jamais supérieur à M\text{M} ? Justifier.
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Bilan

On dit que la suite (bn)(b_n) a pour limite ++\infty lorsque nn tend vers ++\infty. Comment justifier cette définition ?
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D
Une suite bien encadrée



Objectif
Découvrir le théorème des gendarmes.

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On considère les suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) définies respectivement, pour tout n>0n>0, par un=1nu_{n}=\dfrac{1}{n}, vn=1n v_{n}=-\dfrac{1}{n} et wn=cos(n)nw_{n}=\dfrac{\cos (n)}{n}.
1
Déterminer les sens de variation respectifs des suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) ainsi que leur limite.


2
Quel est le sens de variation de la suite (wn)(w_n) ?


3
Justifier que, pour tout n>0n>0, on a l'inégalité vnwnunv_{n} \leqslant w_{n} \leqslant u_{n}.


4
Représenter graphiquement les dix premiers termes des suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) à l’aide d’une calculatrice.


5
Conjecturer la limite de la suite (wn)(w_n).


6
À l’aide d’une méthode similaire, conjecturer la limite de la suite (zn)(z_n) définie, pour tout n>0n>0, par zn=3sin(n)n+2z_{n}=\dfrac{3 \sin (n)}{n}+2.


Aide

Définir deux suites qui permettront d’encadrer la suite (zn)(z_n).
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Bilan

Expliquer la méthode utilisée dans cette activité pour conjecturer la limite des suites (wn)(w_n) et (zn)(z_n).
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