On colorie la surface d’un rectangle de 1 mètre de largeur et de 2 mètres de longueur de la façon suivante : on commence par colorier la moitié de la surface du rectangle, puis la moitié de la surface restante, puis la moitié de la nouvelle surface restante et ainsi de suite. Pour tout n∈N∗, on note An l’aire totale coloriée après n étapes de ce coloriage.
1
Déterminer les valeurs A1, A2 et A3.
2
Justifier que, pour tout n∈N∗, An+1=1+21An.
3
a) Afficher sur la calculatrice les 25 premiers termes de la suite (An)n∈N∗. Que remarque-t-on ?
b) Vers quelle valeur la suite (An) semble-t-elle tendre ? Est-ce étonnant ?
On note A la limite de la suite (An).
4
À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel rang n on a ∣A−An∣<0,1, puis à partir de quel rang n on a ∣A−An∣<0,01. Géométriquement, quel sens peut-on donner à ces résultats ?
5
Existe-t-il un rang n à partir duquel l'aire de la surface coloriée est égale à A ?
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Bilan
Pourquoi peut-on dire que la suite (An) possède une limite finie ?
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B
Ne pas dépasser les limites
Objectif
Conjecturer la limite d'une suite strictement croissante et bornée.
On considère une étoile à cinq branches dont l’aire vaut A.
On décide de colorier cette étoile de la façon suivante :
choisir de façon aléatoire un nombre réel p appartenant à l’intervalle ]0;100[ ;
colorier p % de la surface encore blanche de l’étoile ;
réitèrer le processus.
Pour tout entier naturel non nul n, on note pn le nombre choisi à l’étape n et an la valeur de l’aire de la surface totale coloriée après n étapes.
1
Exprimer a1 et a2 en fonction de A, p1 et p2.
2
En sachant que A=28, expliquer si on peut calculer les valeurs de a1 et a2.
3
Que peut-on dire sur le sens de variation de (an) ?
4
Pourquoi peut-on affirmer que, pour tout n∈N, an⩽A ? On dit que la suite (an) est majorée par A.
5
Conjecturer la limite de la suite (an) lorsque n tend vers l’infini.
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Bilan
Expliquer pourquoi on peut conjecturer la limite de la suite (an) alors que l’on ne peut même pas calculer son premier terme.
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C
Évolution d’une population de bactéries
Objectif
Découvrir la notion de limite infinie d’une suite.
On considère une population de bactéries composée de 1000 individus. Chaque jour, cette population augmente de 3 %. Pour tout entier naturel n, on note bn le nombre de bactéries au bout de n jours. Ainsi, on a b0=1000.
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1
Calculer b1 et b2 en arrondissant à l’unité si nécessaire.
2
Pour tout n∈N, exprimer bn+1 en fonction de bn.
3
Quelle est la nature de la suite (bn) ?
4
a) Au bout de combien de jours la population de bactéries aura‑t‑elle doublé ?
b) Au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera‑t‑elle les 3000 individus ?
5
Afin de déterminer rapidement au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera un seuil S quelconque, on propose l’algorithme ci-dessous.
N←0B←…Tant que …NB←…←…Fin Tant que Afficher …
a) Recopier et compléter cet algorithme.
b) Déterminer alors au bout de combien de jours il y aura plus de 5000 bactéries.
6
a) Comment le nombre d’individus de cette population va‑t‑il évoluer à long terme ?
b) Peut-on trouver une valeur M∈N telle que le nombre de de bactéries ne soit jamais
supérieur à M ? Justifier.
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Bilan
On dit que la suite (bn) a pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞. Comment justifier cette définition ?
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D
Une suite bien encadrée
Objectif
Découvrir le théorème des gendarmes.
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On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies respectivement, pour tout n>0, par un=n1, vn=−n1 et wn=ncos(n).
1
Déterminer les sens de variation respectifs des suites (un) et (vn) ainsi que leur limite.
2
Quel est le sens de variation de la suite (wn) ?
3
Justifier que, pour tout n>0, on a l'inégalité vn⩽wn⩽un.
4
Représenter graphiquement les dix premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) à l’aide d’une calculatrice.
5
Conjecturer la limite de la suite (wn).
6
À l’aide d’une méthode similaire, conjecturer la limite de la suite (zn) définie, pour tout n>0, par zn=n3sin(n)+2.
Aide
Définir deux suites qui permettront d’encadrer la suite (zn).
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Bilan
Expliquer la méthode utilisée dans cette activité pour conjecturer la limite des suites (wn) et (zn).
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