On colorie la surface d'un rectangle de 1 mètre de largeur et de 2 mètres de longueur de la façon suivante : on commence par colorier la moitié de la surface du rectangle, puis la moitié de la surface restante, puis la moitié de la nouvelle surface restante et ainsi de suite. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note ${\text{A}}_n$ l'aire totale coloriée après $n$ étapes de ce coloriage.

1

Déterminer les valeurs ${\text{A}}_1$, ${\text{A}}_2$ et ${\text{A}}_3$.

2

Justifier que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\mathrm{A}}_{n+1}=1+\frac{1}{2}{\mathrm{A}}_n$.

3

a) Afficher sur la calculatrice les 25 premiers termes de la suite ${\left({\mathrm{A}}_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$. Que remarque-t-on ?

b) Vers quelle valeur la suite $({\text{A}}_n)$ semble-t-elle tendre ? Est-ce étonnant ?

On note $\text{A}$ la limite de la suite $({\text{A}}_n)$.

4

À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel rang $n$ on a $\left|\mathrm{A}-{\mathrm{A}}_n\right|<0,1$, puis à partir de quel rang $n$ on a $\left|\mathrm{A}-{\mathrm{A}}_n\right|<0,01$. Géométriquement, quel sens peut-on donner à ces résultats ?

5

Existe-t-il un rang $n$ à partir duquel l'aire de la surface coloriée est égale à $\text{A}$ ?

On considère une étoile à cinq branches dont l'aire vaut $\mathcal{A}$.
On décide de colorier cette étoile de la façon suivante :

• choisir de façon aléatoire un nombre réel $p$ appartenant à l'intervalle $]0;100[$ ;
• colorier $p$ % de la surface encore blanche de l'étoile ;
• réitèrer le processus.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $p_n$ le nombre choisi à l'étape $n$ et $a_n$ la valeur de l'aire de la surface totale coloriée après $n$ étapes.

1

Exprimer $a_1$ et $a_2$ en fonction de $\mathcal{A}$, $p_1$ et $p_2$.

2

En sachant que $\mathcal{A}=28$, expliquer si on peut calculer les valeurs de $a_1$ et $a_2$.

3

Que peut-on dire sur le sens de variation de $(a_n)$ ?

4

Pourquoi peut-on affirmer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $a_n⩽\mathcal{A}$ ? On dit que la suite $(a_n)$ est majorée par $\mathcal{A}$.

5

Conjecturer la limite de la suite $(a_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

On considère une population de bactéries composée de $1000$ individus. Chaque jour, cette population augmente de 3 %. Pour tout entier naturel $n$, on note $b_n$ le nombre de bactéries au bout de $n$ jours. Ainsi, on a $b_0=1000$.

1

Calculer $b_1$ et $b_2$ en arrondissant à l'unité si nécessaire.

2

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.

3

Quelle est la nature de la suite $(b_n)$ ?

4

a) Au bout de combien de jours la population de bactéries aura‑t‑elle doublé ?

b) Au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera‑t‑elle les $3000$ individus ?

Afin de déterminer rapidement au bout de combien de jours la population de bactéries dépassera un seuil $\text{S}$ quelconque, on propose l'algorithme ci-dessous.

$\boxed{\begin{array}{l}\mathrm{N}\leftarrow 0\\ \mathrm{B}\leftarrow \dots \\ \text{Tant que }\dots \\ \begin{array}{rl}\mathrm{N}& \leftarrow \dots \\ \mathrm{B}& \leftarrow \dots \end{array}\\ \text{Fin Tant que }\\ \text{Afficher }\dots \end{array}}$

a) Recopier et compléter cet algorithme.

b) Déterminer alors au bout de combien de jours il y aura plus de $5000$ bactéries.

6

a) Comment le nombre d'individus de cette population va‑t‑il évoluer à long terme ?

b) Peut-on trouver une valeur $\text{M}\in \mathbb{N}$ telle que le nombre de de bactéries ne soit jamais supérieur à $\text{M}$ ? Justifier.

1

Déterminer les sens de variation respectifs des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ainsi que leur limite.

2

Quel est le sens de variation de la suite $(w_n)$ ?

3

Justifier que, pour tout $n>0$, on a l'inégalité $v_n⩽w_n⩽u_n$.

4

Représenter graphiquement les dix premiers termes des suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ à l'aide d'une calculatrice.

5

Conjecturer la limite de la suite $(w_n)$.

6

À l'aide d'une méthode similaire, conjecturer la limite de la suite $(z_n)$ définie, pour tout $n>0$, par $z_n=\frac{3\sin (n)}{n}+2$.

Définir deux suites qui permettront d'encadrer la suite $(z_n)$.

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