Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Entraînement 3

Opérations sur les limites

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Flash

Calculer

n \to + \infty lim (\frac{1}{n ^{7}} + 8)

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Flash

Calculer

n \to + \infty lim n (- 2 n^{2} + 3 n + 4)

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Flash

Calculer

n \to + \infty lim \frac{- n ^{2} - 3 n + 1}{2 n ^{2} + 4}

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[Communiquer.]
1. Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites définies, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

u_{n} = \frac{1}{n}

v_{n} = n

.
a. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

n \to + \infty lim v_{n}

b. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} \times v_{n}

c. En déduire

n \to + \infty lim (u_{n} \times v_{n})

2. Soient

(u_{n})

(w_{n})

deux suites définies, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

u_{n} = \frac{1}{n}

w_{n} = n^{2}

.
a. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

n \to + \infty lim w_{n}

b. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} \times w_{n}

c. En déduire

n \to + \infty lim u_{n} \times w_{n}

3. Expliquer pourquoi la limite du produit d'une suite qui converge vers

0

et d'une suite qui diverge vers

+ \infty

- \infty

ne peut pas s'obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

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67
[Communiquer.]
Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites définies, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

u_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

v_{n} = \frac{1}{n}

.
1. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

n \to + \infty lim v_{n}

2. a. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

\frac{u _{n}}{v _{n}}

b. En déduire

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}}

3. a. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

\frac{v _{n}}{u _{n}}

b. En déduire

n \to + \infty lim \frac{v _{n}}{u _{n}}

4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui convergent vers

0

ne peut pas s'obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

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68
[Communiquer.]
Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites définies, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

u_{n} = n^{2}

v_{n} = n

.
1. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

n \to + \infty lim v_{n}

2. a. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

\frac{u _{n}}{v _{n}}

b. En déduire

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}}

3. a. Calculer, pour tout entier

n ⩾ 1

\frac{v _{n}}{u _{n}}

b. En déduire

n \to + \infty lim \frac{v _{n}}{u _{n}}

4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui divergent vers

+ \infty

ne peut pas s'obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

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Démo

[Raisonner.]
Nous allons démontrer que, pour tout réel

q

tel que

- 1 < q < 1

, on a

n \to + \infty lim q^{n} = 0

.
Pour cela, nous utiliserons un raisonnement par disjonction de cas.

1. Si

q = 0

, déterminer

n \to + \infty lim q^{n}

2. a. Si

0 < q < 1

, que peut‑on dire de

\frac{1}{q}

b. Déterminer

n \to + \infty lim (\frac{1}{q})^{n}

c. En déduire qu'on a alors

n \to + \infty lim q^{n} = 0

3. Avec un raisonnement analogue pour

- 1 < q < 0

, prouver que

n \to + \infty lim q^{n} = 0

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70
[Calculer.]
Produit télescopique
Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 2

, par :

u_{n} = (1 - \frac{1}{2 ^{2}}) (1 - \frac{1}{3 ^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}})

.

1. a. Soit

k

un entier tel que

2 ⩽ k ⩽ n

. Montrer que

1 - \frac{1}{k ^{2}} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 )}{k ^{2}}

b. En déduire que, pour tout entier

n ⩾ 2

u_{n} = \frac{n + 1}{2 n}

2. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

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71
[Calculer.]
D'après les Olympiades Suisses de Mathématiques
Soit

(b_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par :

b_{n} = k = 1 \sum n \frac{4 k}{4 k ^{4} + 1} = \frac{4}{5} + \frac{8}{6 5} + \dots + \frac{4 n}{4 n ^{4} + 1}

.

1. a. Montrer que pour tout entier

k

tel que

1 ⩽ k ⩽ n

\frac{4 k}{4 k ^{4} + 1} = \frac{( 2 k ^{2} + 2 k + 1 ) - ( 2 k ^{2} - 2 k + 1 )}{( 2 k ^{2} + 2 k + 1 ) ( 2 k ^{2} - 2 k + 1 )}

b. En déduire que, pour tout entier

n ⩾ 1

b_{n} = 1 - \frac{1}{2 n ^{2} + 2 n + 1}

2. Calculer

n \to + \infty lim b_{n}

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[Calculer.]
Somme télescopique
Soit

(c_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par :

c_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}

= \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}

.

1. a. Soit

k

un entier tel que

1 ⩽ k ⩽ n

.
Montrer que

\frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2})

b. En déduire une expression simplifiée de

c_{n}

2. Déterminer

n \to + \infty lim c_{n}

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[Modéliser.]
Une salle de sport a ouvert en 2019 et 3 500 personnes se sont inscrites dès la première année. Chaque année, 80 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 450 nouvelles inscriptions sont enregistrées.
Pour tout entier naturel

n

, on note

a_{n}

le nombre d'abonnés au cours de l'année

2019 + n

.
On a donc

a_{0} = 3500

.

1. Exprimer

a_{n + 1}

en fonction de

a_{n}

2. Pour tout entier naturel

n

, on pose

b_{n} = a_{n} - 2250

.
a. Montrer que la suite

(b_{n})

est géométrique de raison

0, 8

. Préciser son premier terme.

b. Exprimer

b_{n}

en fonction de

n

c. En déduire que

a_{n} = 1250 \times 0, 8^{n} + 2250

3. Déterminer

n \to + \infty lim a_{n}

et interpréter le résultat.

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Algo

[Modéliser.]

Suites - 3. Opérations sur les limites - exercice 74

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Sergey Uryadnikov / Shutterstock

Une association d'ornithologues décide de suivre l'évolution d'une population d'oiseaux migrateurs dans une réserve naturelle. Pour ce faire, ils baguent les oiseaux qui viennent s'installer dans la réserve au printemps et recensent ceux qui reviennent dans cette même réserve l'année suivante. La première année, 600 oiseaux sont bagués. Par la suite, les ornithologues constatent que 90 % des oiseaux qui se sont installés dans la réserve une année reviennent l'année suivante et que 100 nouveaux oiseaux les rejoignent.
Pour tout entier naturel

n

, on note

u_{n}

le nombre d'oiseaux présents dans la réserve la

n

‑ième année.
On a donc

u_{1} = 600

1. Exprimer, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

2. Pour tout entier naturel

n

, on pose

v_{n} = u_{n} - 1000

.
a. Montrer que la suite

(v_{n})

est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b. Exprimer

v_{n}

puis

u_{n}

en fonction de

n

3. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

et interpréter le résultat.

4. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre d'oiseaux présents dans la réserve sera supérieur à 900. Pour cela, les ornithologues ont commencé à rédiger l'algorithme ci‑contre.

N \leftarrow 1 U \leftarrow \dots Tant que \dots N \leftarrow \dots U \leftarrow \dots Fin Tant que \dots

a. Compléter l'algorithme pour qu'il réponde au problème posé.

b. Programmer cet algorithme et répondre à la question.

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75
[Modéliser.]

Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci‑dessous, on partage ce carré en neuf carrés égaux et on noircit celui du centre.
On partage ensuite chacun des huit carrés restants en neuf carrés égaux et on noircit les huit carreaux au centre.
On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel

n ⩾ 1

, on note

A_{n}

l'aire totale noircie après la

n

‑ième l'étape. On a donc

A_{1} = \frac{1}{9}

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. a. Quelle proportion de la surface verte restante est noircie à chaque étape ?

b. En déduire que, pour tout entier

n ⩾ 1

, on a :

A_{n + 1} = \frac{8}{9} A_{n} + \frac{1}{9}

2. Pour tout entier

n ⩾ 1

, on pose

B_{n} = A_{n} - 1

.
a. Montrer que la suite

(B_{n})

est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b. Exprimer

B_{n}

en fonction de

n

c. Exprimer alors

A_{n}

en fonction de

n

d. Déterminer

n \to + \infty lim A_{n}

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76
[Modéliser.]
Flocon de Koch

Afin de construire la courbe fractale ci‑après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction : on partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base. Voici les trois premières étapes de construction pour un côté :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On obtient alors la construction complète du flocon où l'étape 1 représente un triangle équilatéral :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Nombre de côtés
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

c_{n}

le nombre de côtés du flocon à l'étape

n

.
a. En combien de segments égaux un segment est‑il partagé d'une étape à l'autre ?

b. En déduire que la suite

(c_{n})

est géométrique.

c. Exprimer

c_{n}

en fonction de

n

2. Périmètre du flocon
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

ℓ_{n}

la longueur d'un segment à l'étape

n

.
a. Montrer que la suite

(ℓ_{n})

est géométrique.

b. Exprimer

ℓ_{n}

en fonction de

n

c. Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

p_{n}

le périmètre du flocon à l'étape

n

.
Montrer que

p_{n} = 3 ℓ_{1} \times (\frac{4}{3})^{n - 1}

d. En déduire la limite du périmètre du flocon lorsque

n

tend vers

+ \infty

3. Défi
Déterminer la suite dont le terme général donne l'aire du flocon et montrer que cette suite converge.
En quoi est‑ce surprenant ?

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