3

Opérations sur les limites

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

63

Calculer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{1}{n^{7}}+8\right)$.

64

Calculer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\sqrt{n}\left(-2 n^{2}+3 n+4\right)$.

65

Calculer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{-n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+4}$.

66

[Communiquer.] ◉◉◉
1. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $u_{n}=\dfrac{1}{n}$ et $v_n=n$.
a. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.


b. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n} \times v_{n}$.


c. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)$.


2. Soient $(u_n)$ et $(w_n)$ deux suites définies, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $u_{n}=\dfrac{1}{n}$ et $w_n=n^2$.
a. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}$.


b. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n} \times w_{n}$.


c. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_n \times w_n$.


3. Expliquer pourquoi la limite du produit d’une suite qui converge vers $0$ et d’une suite qui diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

67

[Communiquer.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $u_{n}=\dfrac{1}{n^2}$ et $v_n=\dfrac{1}{n}$.
1. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.


2. a. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.


3. a. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\dfrac{v_{n}}{u_{n}}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{v_{n}}{u_{n}}$.


4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui convergent vers $0$ ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

68

[Communiquer.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $u_{n}=n^2$ et $v_n=n$.
1. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.


2. a. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.


3. a. Calculer, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\dfrac{v_{n}}{u_{n}}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{v_{n}}{u_{n}}$.


4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui divergent vers $+\infty$ ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.

69

[Raisonner.]

[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout réel $q$ tel que $-1\lt q\lt 1$, on a $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0$.
Pour cela, nous utiliserons un raisonnement par disjonction de cas.

1. Si $q = 0$, déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}$.


2. a. Si $0\lt q\lt 1$, que peut‑on dire de $\dfrac{1}{q}$ ?


b. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n}$.


c. En déduire qu’on a alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}q^n=0$.


3. Avec un raisonnement analogue pour $-1\lt q\lt 0$, prouver que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0$.

70

[Calculer.]
Produit télescopique
Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 2$, par : $u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$.

1. a. Soit $k$ un entier tel que $2 \leqslant k \leqslant n$. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$.


b. En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 2$, $u_{n}=\dfrac{n+1}{2 n}$.


2. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

71

[Calculer.]
D’après les Olympiades Suisses de Mathématiques
Soit $(b_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par : $b_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{4 k}{4 k^{4}+1}=\dfrac{4}{5}+\dfrac{8}{65}+\ldots+\dfrac{4 n}{4 n^{4}+1}$.

1. a. Montrer que pour tout entier $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant n$, $\dfrac{4 k}{4 k^{4}+1}=\dfrac{\left(2 k^{2}+2 k+1\right)-\left(2 k^{2}-2 k+1\right)}{\left(2 k^{2}+2 k+1\right)\left(2 k^{2}-2 k+1\right)}$.


b. En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $b_{n}=1-\dfrac{1}{2 n^{2}+2 n+1}$.


2. Calculer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}$.

72

[Calculer.] ◉◉◉
Somme télescopique
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par :
$c_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$$=\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

1. a. Soit $k$ un entier tel que $1 \leqslant k \leqslant n$.
Montrer que $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)$.


b. En déduire une expression simplifiée de $c_n$.


2. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} c_{n}$.

73

[Modéliser.] ◉◉◉
Une salle de sport a ouvert en 2019 et 3 500 personnes se sont inscrites dès la première année. Chaque année, 80 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 450 nouvelles inscriptions sont enregistrées.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés au cours de l’année $2019 + n$.
On a donc $a_0=3 500$.

1. Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.


2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $b_n=a_n-2 250$.
a. Montrer que la suite $(b_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$. Préciser son premier terme.


b. Exprimer $b_n$ en fonction de $n$.


c. En déduire que $a_{n}=1 250 \times 0{,}8^{n}+2 250$.


3. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n}$ et interpréter le résultat.

74

ALGO

[Modéliser.]

Une association d’ornithologues décide de suivre l’évolution d’une population d’oiseaux migrateurs dans une réserve naturelle. Pour ce faire, ils baguent les oiseaux qui viennent s’installer dans la réserve au printemps et recensent ceux qui reviennent dans cette même réserve l’année suivante. La première année, 600 oiseaux sont bagués. Par la suite, les ornithologues constatent que 90 % des oiseaux qui se sont installés dans la réserve une année reviennent l’année suivante et que 100 nouveaux oiseaux les rejoignent.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’oiseaux présents dans la réserve la $n$‑ième année.
On a donc $u_1=600$.

1. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.


2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-1 000$.
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.


3. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$ et interpréter le résultat.


4. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre d’oiseaux présents dans la réserve sera supérieur à 900. Pour cela, les ornithologues ont commencé à rédiger l’algorithme ci‑contre.

$\boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{N}} \leftarrow 1 \\ {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \text {Tant que } \ldots \\ \quad {\mathrm{N}} \leftarrow \ldots \\ \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \text {Fin Tant que } \ldots \\ \end{array} }$

a. Compléter l’algorithme pour qu’il réponde au problème posé.


b. Programmer cet algorithme et répondre à la question.

75

[Modéliser.]
Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l’aire est de 1 m². Pour construire la figure ci‑dessous, on partage ce carré en neuf carrés égaux et on noircit celui du centre.
On partage ensuite chacun des huit carrés restants en neuf carrés égaux et on noircit les huit carreaux au centre.
On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $\text{A}_n$ l’aire totale noircie après la $n$‑ième l’étape. On a donc $\mathrm{A}_{1}=\dfrac{1}{9}$.

1. a. Quelle proportion de la surface verte restante est noircie à chaque étape ?


b. En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $\mathrm{A}_{n+1}=\dfrac{8}{9} \mathrm{A}_{n}+\dfrac{1}{9}$.


2. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $\mathrm{B}_{n}=\mathrm{A}_{n}-1$.
a. Montrer que la suite $(\text{B}_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer $\text{B}_n$ en fonction de $n$.


c. Exprimer alors $\text{A}_n$ en fonction de $n$.


d. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \mathrm{A}_{n}$.

76

[Modéliser.]
Flocon de Koch
Afin de construire la courbe fractale ci‑après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction : on partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base. Voici les trois premières étapes de construction pour un côté :

On obtient alors la construction complète du flocon où l'étape 1 représente un triangle équilatéral :

1. Nombre de côtés
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $c_n$ le nombre de côtés du flocon à l’étape $n$.
a. En combien de segments égaux un segment est‑il partagé d’une étape à l’autre ?


b. En déduire que la suite $(c_n)$ est géométrique.


c. Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.


2. Périmètre du flocon
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $\ell_n$ la longueur d’un segment à l’étape $n$.
a. Montrer que la suite $(\ell_n)$ est géométrique.


b. Exprimer $\ell_n$ en fonction de $n$.


c. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $p_n$ le périmètre du flocon à l’étape $n$.
Montrer que $p_{n}=3 \ell_{1} \times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$.


d. En déduire la limite du périmètre du flocon lorsque $n$ tend vers $+\infty$.


3. Défi
Déterminer la suite dont le terme général donne l’aire du flocon et montrer que cette suite converge.
En quoi est‑ce surprenant ?