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3. Opérations sur les limites
P.149-151

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Entraînement


3
Opérations sur les limites





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
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63
FLASH

Calculer limn+(1n7+8)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{1}{n^{7}}+8\right).
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64
FLASH

Calculer limn+n(2n2+3n+4)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\sqrt{n}\left(-2 n^{2}+3 n+4\right).
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65
FLASH

Calculer limn+n23n+12n2+4\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{-n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+4}.
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66
[Communiquer.] ◉◉
1. Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=1nu_{n}=\dfrac{1}{n} et vn=nv_n=n.
a. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n} et limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.


b. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, un×vnu_{n} \times v_{n}.


c. En déduire limn+(un×vn)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right).


2. Soient (un)(u_n) et (wn)(w_n) deux suites définies, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=1nu_{n}=\dfrac{1}{n} et wn=n2w_n=n^2.
a. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n} et limn+wn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}.


b. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, un×wnu_{n} \times w_{n}.


c. En déduire limn+un×wn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_n \times w_n.


3. Expliquer pourquoi la limite du produit d’une suite qui converge vers 00 et d’une suite qui diverge vers ++\infty ou -\infty ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.
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67
[Communiquer.]
Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=1n2u_{n}=\dfrac{1}{n^2} et vn=1nv_n=\dfrac{1}{n}.
1. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n} et limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.


2. a. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, unvn\dfrac{u_{n}}{v_{n}}.


b. En déduire limn+unvn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}.


3. a. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, vnun\dfrac{v_{n}}{u_{n}}.


b. En déduire limn+vnun\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{v_{n}}{u_{n}}.


4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui convergent vers 00 ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.
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68
[Communiquer.]
Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=n2u_{n}=n^2 et vn=nv_n=n.
1. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n} et limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.


2. a. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, unvn\dfrac{u_{n}}{v_{n}}.


b. En déduire limn+unvn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}.


3. a. Calculer, pour tout entier n1n \geqslant 1, vnun\dfrac{v_{n}}{u_{n}}.


b. En déduire limn+vnun\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{v_{n}}{u_{n}}.


4. Expliquer pourquoi la limite du quotient de deux suites qui divergent vers ++\infty ne peut pas s’obtenir directement par opérations sur les limites de chaque suite.
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69
[Raisonner.]
[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout réel qq tel que 1<q<1-1\lt q\lt 1, on a limn+qn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0.
Pour cela, nous utiliserons un raisonnement par disjonction de cas.

1. Si q=0q = 0, déterminer limn+qn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}.


2. a. Si 0<q<10\lt q\lt 1, que peut‑on dire de 1q\dfrac{1}{q} ?


b. Déterminer limn+(1q)n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n}.


c. En déduire qu’on a alors limn+qn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}q^n=0.


3. Avec un raisonnement analogue pour 1<q<0-1\lt q\lt 0, prouver que limn+qn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=0.
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70
[Calculer.]
Produit télescopique
Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier n2n \geqslant 2, par : un=(1122)(1132)(11n2)u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right).

1. a. Soit kk un entier tel que 2kn2 \leqslant k \leqslant n. Montrer que 11k2=(k1)(k+1)k21-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}.


b. En déduire que, pour tout entier n2n \geqslant 2, un=n+12nu_{n}=\dfrac{n+1}{2 n}.


2. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.
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71
[Calculer.]
D’après les Olympiades Suisses de Mathématiques
Soit (bn)(b_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par : bn=k=1n4k4k4+1=45+865++4n4n4+1b_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{4 k}{4 k^{4}+1}=\dfrac{4}{5}+\dfrac{8}{65}+\ldots+\dfrac{4 n}{4 n^{4}+1}.

1. a. Montrer que pour tout entier kk tel que 1kn1 \leqslant k \leqslant n, 4k4k4+1=(2k2+2k+1)(2k22k+1)(2k2+2k+1)(2k22k+1)\dfrac{4 k}{4 k^{4}+1}=\dfrac{\left(2 k^{2}+2 k+1\right)-\left(2 k^{2}-2 k+1\right)}{\left(2 k^{2}+2 k+1\right)\left(2 k^{2}-2 k+1\right)}.


b. En déduire que, pour tout entier n1n \geqslant 1, bn=112n2+2n+1b_{n}=1-\dfrac{1}{2 n^{2}+2 n+1}.


2. Calculer limn+bn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}.
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72
[Calculer.] ◉◉◉
Somme télescopique
Soit (cn)(c_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par :
cn=k=1n1k(k+1)(k+2)c_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=11×2×3+12×3×4++1n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}.

1. a. Soit kk un entier tel que 1kn1 \leqslant k \leqslant n.
Montrer que 1k(k+1)(k+2)=12(1k1k+1)12(1k+11k+2)\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right).


b. En déduire une expression simplifiée de cnc_n.


2. Déterminer limn+cn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} c_{n}.
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73
[Modéliser.] ◉◉
Une salle de sport a ouvert en 2019 et 3 500 personnes se sont inscrites dès la première année. Chaque année, 80 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 450 nouvelles inscriptions sont enregistrées.
Pour tout entier naturel nn, on note ana_n le nombre d’abonnés au cours de l’année 2019+n2019 + n.
On a donc a0=3 500a_0=3 500.

1. Exprimer an+1a_{n+1} en fonction de ana_n.


2. Pour tout entier naturel nn, on pose bn=an2 250b_n=a_n-2 250.
a. Montrer que la suite (bn)(b_n) est géométrique de raison 0,80{,}8. Préciser son premier terme.


b. Exprimer bnb_n en fonction de nn.


c. En déduire que an=1 250×0,8n+2 250a_{n}=1 250 \times 0{,}8^{n}+2 250.


3. Déterminer limn+an\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n} et interpréter le résultat.
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74
ALGO
[Modéliser.]
Suites - 3. Opérations sur les limites - exercice 74

Une association d’ornithologues décide de suivre l’évolution d’une population d’oiseaux migrateurs dans une réserve naturelle. Pour ce faire, ils baguent les oiseaux qui viennent s’installer dans la réserve au printemps et recensent ceux qui reviennent dans cette même réserve l’année suivante. La première année, 600 oiseaux sont bagués. Par la suite, les ornithologues constatent que 90 % des oiseaux qui se sont installés dans la réserve une année reviennent l’année suivante et que 100 nouveaux oiseaux les rejoignent.
Pour tout entier naturel nn, on note unu_n le nombre d’oiseaux présents dans la réserve la nn‑ième année.
On a donc u1=600u_1=600.

1. Exprimer, pour tout entier naturel nn, un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.


2. Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un1 000v_n=u_n-1 000.
a. Montrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de nn.


3. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n} et interpréter le résultat.


4. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre d’oiseaux présents dans la réserve sera supérieur à 900. Pour cela, les ornithologues ont commencé à rédiger l’algorithme ci‑contre.

N1UTant que NUFin Tant que  \boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{N}} \leftarrow 1 \\ {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \text {Tant que } \ldots \\ \quad {\mathrm{N}} \leftarrow \ldots \\ \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \text {Fin Tant que } \ldots \\ \end{array} }

a. Compléter l’algorithme pour qu’il réponde au problème posé.


b. Programmer cet algorithme et répondre à la question.




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75
[Modéliser.]
Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l’aire est de 1 m2. Pour construire la figure ci‑dessous, on partage ce carré en neuf carrés égaux et on noircit celui du centre.
On partage ensuite chacun des huit carrés restants en neuf carrés égaux et on noircit les huit carreaux au centre.
On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n1n \geqslant 1, on note An\text{A}_n l’aire totale noircie après la nn‑ième l’étape. On a donc A1=19\mathrm{A}_{1}=\dfrac{1}{9}.

Tapis de Sierpiński

1. a. Quelle proportion de la surface verte restante est noircie à chaque étape ?


b. En déduire que, pour tout entier n1n \geqslant 1, on a : An+1=89An+19\mathrm{A}_{n+1}=\dfrac{8}{9} \mathrm{A}_{n}+\dfrac{1}{9}.


2. Pour tout entier n1n \geqslant 1, on pose Bn=An1\mathrm{B}_{n}=\mathrm{A}_{n}-1.
a. Montrer que la suite (Bn)(\text{B}_n) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.


b. Exprimer Bn\text{B}_n en fonction de nn.


c. Exprimer alors An\text{A}_n en fonction de nn.


d. Déterminer limn+An\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \mathrm{A}_{n}.
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76
[Modéliser.]
Flocon de Koch
Afin de construire la courbe fractale ci‑après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction : on partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base. Voici les trois premières étapes de construction pour un côté :

Flocon de Koch

On obtient alors la construction complète du flocon où l'étape 1 représente un triangle équilatéral :

Flocon de Koch

1. Nombre de côtés
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on note cnc_n le nombre de côtés du flocon à l’étape nn.
a. En combien de segments égaux un segment est‑il partagé d’une étape à l’autre ?


b. En déduire que la suite (cn)(c_n) est géométrique.


c. Exprimer cnc_n en fonction de nn.


2. Périmètre du flocon
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on note n\ell_n la longueur d’un segment à l’étape nn.
a. Montrer que la suite (n)(\ell_n) est géométrique.


b. Exprimer n\ell_n en fonction de nn.


c. Pour tout entier n1n \geqslant 1, on note pnp_n le périmètre du flocon à l’étape nn.
Montrer que pn=31×(43)n1p_{n}=3 \ell_{1} \times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}.


d. En déduire la limite du périmètre du flocon lorsque nn tend vers ++\infty.


3. Défi
Déterminer la suite dont le terme général donne l’aire du flocon et montrer que cette suite converge.
En quoi est‑ce surprenant ?
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