Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Entraînement 2

Limites infinies

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Flash

Donner les limites des suites ci‑dessous.

1.

r_{n} = n^{3}

s_{n} = - n^{5}

t_{n} = n

u_{n} = - n

v_{n} = (\frac{1 6}{9})^{n}

w_{n} = (\frac{4}{3})^{n}

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Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

3 n^{2} - 81 n + 50 ⩾ 100

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Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

e^{n} ⩾ 1 0^{6}

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[Calculer.]
Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = (3 n - 4)^{2}

.

1. Soit

A

un nombre réel. Déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

u_{n} ⩾ A

2. En déduire

n \to + \infty lim u_{n}

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[Calculer.]
Soit

(v_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

v_{n} = \frac{3 n ^{2} + 1}{2 n}

.

1. Soit

A

un nombre réel. Montrer que :

v_{n} ⩾ A \Leftrightarrow 3 n^{2} - 2 \times A \times n + 1 ⩾ 0

2. Discuter suivant les valeurs de

A

le signe de l'expression

4 A^{2} - 12

3. En déduire la valeur du plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

v_{n} ⩾ A

4. En déduire

n \to + \infty lim v_{n}

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Démo

[Raisonner.]
Nous allons démontrer que, pour tout

q > 1

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty

. Pour cela, on pose

q = 1 + a

avec

a > 0

.

1. Démontrer par récurrence que

(1 + a)^{n} ⩾ 1 + a n

. Cette inégalité s'appelle l'inégalité de Bernoulli.

2. Soit

A

un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

1 + a n ⩾ A

3. En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que :

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty

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Démo

[Raisonner.]
Nous allons montrer que si

(u_{n})

est une suite telle que

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

, alors

n \to + \infty lim (- u_{n}) = - \infty

.

1. Soit

(u_{n})

une suite telle que

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

. Rappeler la définition d'une telle limite.

2. Soit

A

un nombre réel fixé.
a. Montrer qu'il existe un entier naturel

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

- u_{n} ⩽ - A

b. Conclure.

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59

Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = - 5 n + 7

1. Soit un nombre réel

A < 0

.
Déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

u_{n} ⩽ A

2. En déduire

n \to + \infty lim u_{n}

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 3

et, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = - v_{n}^{2} + v_{n} - 2

. On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(10) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(50) ?

2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l'appel fonction(p) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(v_{n})

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Vrai/faux

[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite

(u_{n})

n'est pas majorée, alors

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

2. Si

n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

alors,

(v_{n})

n'est pas majorée.

3. Si une suite

(w_{n})

est strictement croissante, alors

n \to + \infty lim w_{n} = + \infty

4. Si

n \to + \infty lim t_{n} = + \infty

alors,

(t_{n})

est croissante.

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(z_{n})

définie par

z_{0} = 0, 0001

et, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1} = exp (z_{n})

.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)

1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?

2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l'appel fonction(p) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(z_{n})

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