2

Limites infinies

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

52

Donner les limites des suites ci‑dessous.

1. $r_n=n^3$


2. $s_n=-n^5$


3. $t_n=\sqrt{n}$


4. $u_n=-n$


5. $v_n={\left(\frac{16}{9}\right)}^n$


6. $w_n={\left(\frac{4}{3}\right)}^n$

53

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $3n^2-81n+50⩾100$.

54

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a ${\mathrm{e}}^n⩾10^6$.

55

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=(3n-4{)}^2$.

1. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $u_n⩾\mathrm{A}$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

56

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $v_n=\frac{3n^2+1}{2n}$.

1. Soit $\mathrm{A}$ un nombre réel. Montrer que : $v_n⩾\mathrm{A}\iff 3n^2-2\times \mathrm{A}\times n+1⩾0$.


2. Discuter suivant les valeurs de $\text{A}$ le signe de l’expression $4{\mathrm{A}}^2-12$.


3. En déduire la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $v_n⩾\mathrm{A}$.


4. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n$.

57

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout $q>1$, $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{q}^n=+\infty$. Pour cela, on pose $q=1+a$ avec $a>0$.

1. Démontrer par récurrence que $(1+a{)}^n⩾1+an$. Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.


2. Soit $\text{A}$ un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $1+an⩾\mathrm{A}$.


3. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{q}^n=+\infty$.

58

[Raisonner.]

[DÉMO]

Nous allons montrer que si $(u_n)$ est une suite telle que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-u_n\right)=-\infty$.

1. Soit $(u_n)$ une suite telle que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$. Rappeler la définition d'une telle limite.


2. Soit $\mathrm{A}$ un nombre réel fixé.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $-u_n⩽-\mathrm{A}$.


b. Conclure.

59

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-\sqrt{5n+7}$.

1. Soit un nombre réel $\mathrm{A}<0$.
Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $u_n⩽\mathrm{A}$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

60

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=-v_n^2+v_n-2$. On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(10) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(50) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(v_n)$ ?

61

VRAI/FAUX

[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite $(u_n)$ n’est pas majorée, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$.


2. Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$ alors, $(v_n)$ n’est pas majorée.


3. Si une suite $(w_n)$ est strictement croissante, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n=+\infty$.


4. Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{t}_n=+\infty$ alors, $(t_n)$ est croissante.

62

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0=0,0001$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\exp (\sqrt{{\mathrm{z}}_n})$.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)

1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(z_n)$ ?