2

Limites infinies

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

52

Donner les limites des suites ci‑dessous.

1. $r_{n}=n^3$


2. $s_{n}=-n^5$


3. $t_{n}=\sqrt{n}$


4. $u_{n}=-n$


5. $v_{n}=\left(\dfrac{16}{9}\right)^{n}$


6. $w_{n}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}$

53

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $3 n^{2}-81 n+50 \geqslant 100$.

54

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $\mathrm{e}^{n} \geqslant 10^{6}$.

55

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=(3 n-4)^{2}$.

1. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \geqslant \mathrm{A}$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

56

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $v_{n}=\dfrac{3 n^{2}+1}{2 n}$.

1. Soit $\mathrm{A}$ un nombre réel. Montrer que : $v_{n} \geqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow 3 n^{2}-2 \times \mathrm{A} \times n+1 \geqslant 0$.


2. Discuter suivant les valeurs de $\text{A}$ le signe de l’expression $4 \mathrm{A}^{2}-12$.


3. En déduire la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $v_{n} \geqslant \mathrm{A}$.


4. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.

57

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout $q>1$, $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty$. Pour cela, on pose $q=1+a$ avec $a>0$.

1. Démontrer par récurrence que $(1+a)^{n} \geqslant 1+a n$. Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.


2. Soit $\text{A}$ un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $1+a n \geqslant \mathrm{A}$.


3. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty$.

58

[Raisonner.]

[DÉMO]

Nous allons montrer que si $(u_n)$ est une suite telle que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$, alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=-\infty$.

1. Soit $(u_n)$ une suite telle que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$. Rappeler la définition d'une telle limite.


2. Soit $\mathrm{A}$ un nombre réel fixé.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $-u_{n} \leqslant-\mathrm{A}$.


b. Conclure.

59

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}=-\sqrt{5 n+7}$.

1. Soit un nombre réel $\mathrm{A} \lt 0$.
Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \leqslant \mathrm{A}$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

60

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=-v_{n}^{2}+v_{n}-2$. On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(10) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(50) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(v_n)$ ?

61

VRAI/FAUX

[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite $(u_n)$ n’est pas majorée, alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$.


2. Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty$ alors, $(v_n)$ n’est pas majorée.


3. Si une suite $(w_n)$ est strictement croissante, alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=+\infty$.


4. Si $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty$ alors, $(t_n)$ est croissante.

62

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0=0{,}0001$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\exp (\sqrt{\mathrm{z}_{n}})$.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)

1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(z_n)$ ?