À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a 3n2−81n+50⩾100.
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54
FLASH
À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a en⩾106.
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55
[Calculer.]◉◉◉
Soit (un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par un=(3n−4)2.
1. Soit A un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a un⩾A.
2. En déduire n→+∞limun.
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56
[Calculer.]◉◉◉
Soit (vn) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par vn=2n3n2+1.
1. Soit A un nombre réel. Montrer que : vn⩾A⇔3n2−2×A×n+1⩾0.
2. Discuter suivant les valeurs de A le signe de l’expression 4A2−12.
3. En déduire la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a vn⩾A.
4. En déduire n→+∞limvn.
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57
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
Nous allons démontrer que, pour tout q>1, n→+∞limqn=+∞. Pour cela, on pose q=1+a avec a>0.
1. Démontrer par récurrence que (1+a)n⩾1+an. Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.
2. Soit A un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, 1+an⩾A.
3. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : n→+∞limqn=+∞.
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]
Nous allons montrer que si (un) est une suite telle que n→+∞limun=+∞, alors n→+∞lim(−un)=−∞.
1. Soit (un) une suite telle que n→+∞limun=+∞. Rappeler la définition d'une telle limite.
2. Soit A un nombre réel fixé.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que, pour tout n⩾n0, −un⩽−A.
b. Conclure.
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59
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un=−5n+7.
1. Soit un nombre réel A<0.
Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a un⩽A.
2. En déduire n→+∞limun.
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60
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (vn) définie par v0=3 et, pour tout entier naturel n, vn+1=−vn2+vn−2. On donne la fonction ci‑dessous.
def fonction(p):
N = 0
V = 3
while V > -10**p:
N = N + 1
V = -V**2 + V - 2
return(N)
1.a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(10) ?
b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(50) ?
2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?
3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (vn) ?
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61
VRAI/FAUX
[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. Si une suite (un) n’est pas majorée, alors n→+∞limun=+∞.
2. Si n→+∞limvn=+∞ alors, (vn) n’est pas majorée.
3. Si une suite (wn) est strictement croissante, alors n→+∞limwn=+∞.
4. Si n→+∞limtn=+∞ alors, (tn) est croissante.
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62
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (zn) définie par z0=0,0001 et, pour tout entier naturel n, zn+1=exp(zn).
On donne la fonction ci‑dessous.
from math import*
def fonction(p):
N = 0
Z = 0.0001
while Z < 10**p:
N = N + 1
Z = exp(sqrt(Z))
return(N)
1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel
fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?
2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?
3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (zn) ?
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