Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Limites infinies
P.148-149

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


2
Limites infinies





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
Voir les réponses

52
FLASH

Donner les limites des suites ci‑dessous.

1. rn=n3r_{n}=n^3


2. sn=n5s_{n}=-n^5


3. tn=nt_{n}=\sqrt{n}


4. un=nu_{n}=-n


5. vn=(169)nv_{n}=\left(\dfrac{16}{9}\right)^{n}


6. wn=(43)nw_{n}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}
Voir les réponses
Voir les réponses

53
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a 3n281n+501003 n^{2}-81 n+50 \geqslant 100.
Voir les réponses
Voir les réponses

54
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a en106\mathrm{e}^{n} \geqslant 10^{6}.
Voir les réponses
Voir les réponses

55
[Calculer.] ◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par un=(3n4)2u_{n}=(3 n-4)^{2}.

1. Soit A\text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a unAu_{n} \geqslant \mathrm{A}.


2. En déduire limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.
Voir les réponses
Voir les réponses

56
[Calculer.] ◉◉◉
Soit (vn)(v_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par vn=3n2+12nv_{n}=\dfrac{3 n^{2}+1}{2 n}.

1. Soit A\mathrm{A} un nombre réel. Montrer que : vnA3n22×A×n+10v_{n} \geqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow 3 n^{2}-2 \times \mathrm{A} \times n+1 \geqslant 0.


2. Discuter suivant les valeurs de A\text{A} le signe de l’expression 4A2124 \mathrm{A}^{2}-12.


3. En déduire la valeur du plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a vnAv_{n} \geqslant \mathrm{A}.


4. En déduire limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.
Voir les réponses
Voir les réponses

57
[Raisonner.] ◉◉
[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout q>1q>1, limn+qn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty. Pour cela, on pose q=1+aq=1+a avec a>0a>0.

1. Démontrer par récurrence que (1+a)n1+an(1+a)^{n} \geqslant 1+a n. Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.


2. Soit A\text{A} un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, 1+anA1+a n \geqslant \mathrm{A}.


3. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : limn+qn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty.
Voir les réponses
Voir les réponses

58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Nous allons montrer que si (un)(u_n) est une suite telle que limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors limn+(un)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=-\infty.

1. Soit (un)(u_n) une suite telle que limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty. Rappeler la définition d'une telle limite.


2. Soit A\mathrm{A} un nombre réel fixé.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, unA-u_{n} \leqslant-\mathrm{A}.


b. Conclure.
Voir les réponses
Voir les réponses

59

Soit (un)(u_n) la suite définie pour tout entier naturel nn par un=5n+7u_{n}=-\sqrt{5 n+7}.

1. Soit un nombre réel A<0\mathrm{A} \lt 0.
Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a unAu_{n} \leqslant \mathrm{A}.


2. En déduire limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.
Voir les réponses
Voir les réponses

60
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (vn)(v_n) définie par v0=3v_0=3 et, pour tout entier naturel nn, vn+1=vn2+vn2v_{n+1}=-v_{n}^{2}+v_{n}-2. On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(10) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(50) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (vn)(v_n) ?
Voir les réponses
Voir les réponses

61
VRAI/FAUX
[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite (un)(u_n) n’est pas majorée, alors limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.


2. Si limn+vn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty alors, (vn)(v_n) n’est pas majorée.


3. Si une suite (wn)(w_n) est strictement croissante, alors limn+wn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=+\infty.


4. Si limn+tn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty alors, (tn)(t_n) est croissante.
Voir les réponses
Voir les réponses

62
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (zn)(z_n) définie par z0=0,0001z_0=0{,}0001 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=exp(zn)z_{n+1}=\exp (\sqrt{\mathrm{z}_{n}}).
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)


1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (zn)(z_n) ?
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.