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2. Limites infinies
P.148-149

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Entraînement


2
Limites infinies





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
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52
FLASH

Donner les limites des suites ci‑dessous.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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53
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a .
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54
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a .
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55
[Calculer.] ◉◉
Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .

1. Soit un nombre réel. Déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a .


2. En déduire .
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56
[Calculer.] ◉◉◉
Soit la suite définie, pour tout entier , par .

1. Soit un nombre réel. Montrer que : .


2. Discuter suivant les valeurs de le signe de l’expression .


3. En déduire la valeur du plus petit entier tel que, pour tout , on a .


4. En déduire .
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57
[Raisonner.] ◉◉
[DÉMO]

Nous allons démontrer que, pour tout , . Pour cela, on pose avec .

1. Démontrer par récurrence que . Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.


2. Soit un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier tel que, pour tout , .


3. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : .
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Nous allons montrer que si est une suite telle que , alors .

1. Soit une suite telle que . Rappeler la définition d'une telle limite.


2. Soit un nombre réel fixé.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel tel que, pour tout , .


b. Conclure.
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59

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

1. Soit un nombre réel .
Déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a .


2. En déduire .
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60
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , . On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(10) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(50) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite  ?
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61
VRAI/FAUX
[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite n’est pas majorée, alors .


2. Si alors, n’est pas majorée.


3. Si une suite est strictement croissante, alors .


4. Si alors, est croissante.
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62
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)


1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?


2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l’appel fonction(p) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite ?
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