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3. Opérations sur les limites
P.135-137

COURS 3


3
Opérations sur les limites




A
Limite d’une somme de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I.

NOTATION

F.I. signifie « forme indéterminée ».

Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

Exemples

  • Considérons les suites et définies, pour tout entier naturel non nul, par et .
    On a et . Par somme, on en déduit que .
  • Considérons les suites et définies, pour tout entier naturel , par et .
    On a et . En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir . Donc .

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .

B
Limite d’un produit de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I.

NOTATION

signifie que la limite peut être ou bien .

Exemple

Si et désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel par et , alors car et car . Donc .

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie pour tout entier naturel par .

C
Limite d’un quotient de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites telles que ne s’annule jamais et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I. F.I.

Si a pour limite ou ou ou ou
et a pour limite 0 en restant positive négative positive négative
alors a pour limite

Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

Exemple

En reprenant les deux suites et définies dans l’exemple précédent, avec ne s’annulant pas au voisinage de , on a .

Application et méthode - 6

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .

Application et méthode - 7

Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .
2. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .
3. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .
4. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .
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