Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Histoire des mathématiques : Analyse

Ouverturep. 122-123

Activités- Histoire des mathématiques

Histoirep. 124-125

Ouverturep. 126-127

Activitép. 128-129

1. Limites finies

Coursp. 130-132

2. Limites infinies

Coursp. 133-134

3. Opérations sur les limites

Coursp. 135-137

4. Limites et comparaison

Coursp. 138-139

Fiches de révision - Exclusivité numérique

Auto-évaluation

Auto-évaluationp. 141

TP1 : Étude de la convergence des séries de Riemann

TP / TICEp. 142

TP2 : Approximation de π par la méthode d’Archimède

TP / TICEp. 143

Travailler les automatismes

Exercicesp. 144-145

1. Limites finies

Exercicesp. 146-148

2. Limites infinies

Exercicesp. 148-149

3. Opérations sur les limites

Exercicesp. 149-151

4. Limites et comparaison

Exercicesp. 151-152

Synthèsep. 153-157

Préparer le bac

Méthode Bacp. 158-159

Exercices de révision

Exercices de révision - Exclusivité numérique

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Cours 3

Opérations sur les limites

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A
Limite d'une somme de suites

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Propriétés (admises)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite	\ell	\ell	\ell	+\infty	-\infty	+\infty
et (v_n) a pour limite	\ell^{\prime}	+\infty	-\infty	+\infty	-\infty	-\infty
alors (u_n+v_n) a pour limite	\ell+\ell^{\prime}	+\infty	-\infty	+\infty	-\infty	F.I.

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Notation

F.I. signifie « forme indéterminée ».

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Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

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Exemples

Considérons les suites (u_n) et (v_n) définies, pour tout entier naturel n non nul, par u_{n}=\frac{1}{n} et v_n=-n.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty. Par somme, on en déduit que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}+v_{n}\right)=-\infty.
Considérons les suites (a_n) et (b_n) définies, pour tout entier naturel n, par a_n=3n et b_{n}=-\frac{n}{2}.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}=-\infty. En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir a_{n}+b_{n}=3 n-\frac{n}{2}=\frac{5 n}{2}. Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{5 n}{2}=+\infty.

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Application et méthode - 4

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Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=n^{2}+\sqrt{n}.

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Méthode

On identifie (u_n) comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
À l'aide des propriétés sur la limite d'une somme de deux suites, on détermine la limite de (u_n).

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Solution

On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{2}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n}=+\infty.
Ainsi, par somme, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

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B
Limite d'un produit de suites

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Propriétés (admises)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite	\ell	\ell>0	\ell>0	\ell\lt0	\ell\lt0	+\infty	+\infty	-\infty	0
et (v_n) a pour limite	\ell^{\prime}	+\infty	-\infty	+\infty	-\infty	+\infty	-\infty	-\infty	\pm \infty
alors \left(u_{n} \times v_{n}\right) a pour limite	\ell\times\ell^{\prime}	+\infty	-\infty	-\infty	+\infty	+\infty	-\infty	+\infty	F.I.

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Exemple

Si (u_n) et (v_n) désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel n par u_n=3+0,8^n et v_n=-2+0,1^n, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(3+0,8^{n}\right)=3 car -1\lt 0,8\lt 1 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2+0,1^{n}\right)=-2 car -1\lt 0,1\lt 1. Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=3 \times(-2)=-6.

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Notation

\pm \infty signifie que la limite peut être +\infty ou bien -\infty.

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Application et méthode - 5

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Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_{n}=\left(n^{2}-1\right)(-n+7).

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Méthode

On identifie (u_n) comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
À l'aide des propriétés sur la limite d'un produit de deux suites, on détermine la limite de (u_n).

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Solution

On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-n+7)=-\infty.
Ainsi, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

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C
Limite d'un quotient de suites

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Propriétés (admises)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que (v_n) ne s'annule jamais et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite	\ell	\ell	+\infty	+\infty	-\infty	-\infty	0	\pm \infty
et (v_n) a pour limite	\ell^{\prime} \neq 0	\pm \infty	\ell^{\prime}>0	\ell^{\prime}\lt 0	\ell^{\prime}>0	\ell^{\prime}\lt 0	0	\pm \infty
alors \left(\frac{u_n}{v_n}\right) a pour limite	\frac{\ell}{\ell^{\prime}}	0	+\infty	-\infty	-\infty	+\infty	F.I.	F.I.

Si (u_n) a pour limite	\ell>0 ou +\infty	\ell>0 ou +\infty	\ell\lt 0 ou -\infty	\ell\lt 0 ou -\infty
et (v_n) a pour limite 0 en restant	positive	négative	positive	négative
alors \left(\frac{u_n}{v_n}\right) a pour limite	+\infty	-\infty	-\infty	+\infty

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Exemple

En reprenant les deux suites (u_n) et (v_n) définies dans l'exemple précédent, avec v_n ne s'annulant pas au voisinage de +\infty , on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{3}{-2}=-1,5.

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Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

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Application et méthode - 6

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Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par u_{n}=\frac{\frac{5}{n}+7}{8+\frac{2}{n}}.

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Méthode

On identifie (u_n) comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
À l'aide des propriétés sur la limite d'un quotient de deux suites, on détermine la limite de de (u_n).

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\frac{5}{n}+7\right)=7 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(8+\frac{2}{n}\right)=8.
Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\frac{7}{8}.

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

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Application et méthode - 7

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Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3.

2. Déterminer la limite de la suite (v_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par v_{n}=\frac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}.

3. Déterminer la limite de la suite (w_n) définie, pour tout entier naturel n, par w_{n}=\frac{6 n+5}{2 n-7}.

4. Déterminer la limite de la suite (t_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par t_{n}=\frac{1}{n^{2}} \times\left(n^{3}+2 n\right).

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Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu'on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu'on lève l'indétermination.

4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l'indétermination.

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Solution

1. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7 n^{3}\right)=-\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(5 n+3)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3=n^{3}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right).
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\frac{5}{n^{2}}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{3}{n^{3}}=0. D'où, par somme, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right)=-7.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right)=-7. Ainsi, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

2. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5 n^{2}+n\right)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+4 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a v_{n}=\frac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}=\frac{n^{2}\left(5+\frac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}=\frac{5+\frac{1}{n}}{n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=1. D'où, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=+\infty.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5+\frac{1}{n}\right)=5 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=+\infty. Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0.

3. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(6 n+5)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(2 n-7)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a w_{n}=\frac{6 n+5}{2 n-7}=\frac{n\left(6+\frac{5}{n}\right)}{n\left(2-\frac{7}{n}\right)}=\frac{6+\frac{5}{n}}{2-\frac{7}{n}}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(6+\frac{5}{n}\right)=6 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(2-\frac{7}{n}\right)=2. Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=\frac{6}{2}=3.

4. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n^{2}}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+2 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a t_{n}=\frac{n^{3}}{n^{2}}+\frac{2 n}{n^{2}}=n+\frac{2}{n}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{2}{n}=0. Ainsi, par somme, on obtient \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner

Exercices

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p. 145

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