Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 4

Cours 3

Opérations sur les limites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Limite d'une somme de suites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés (admises)

Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites et soient

ℓ

ℓ^{'}

deux réels.

Si $(u_{n})$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
et $(v_{n})$ a pour limite	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
alors $(u_{n} + v_{n})$ a pour limite	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	F.I.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Notation

F.I. signifie « forme indéterminée ».

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

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Faites défiler pour voir la suite.

Exemples

Considérons les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_{n} = \frac{1}{n}$ et $v_{n} = - n$ .
On a $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ et $n \to + \infty lim v_{n} = - \infty$ . Par somme, on en déduit que $n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = - \infty$ .
Considérons les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ définies, pour tout entier naturel $n$ , par $a_{n} = 3 n$ et $b_{n} = - \frac{n}{2}$ .
On a $n \to + \infty lim a_{n} = + \infty$ et $n \to + \infty lim b_{n} = - \infty$ . En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir $a_{n} + b_{n} = 3 n - \frac{n}{2} = \frac{5 n}{2}$ . Donc $n \to + \infty lim (a_{n} + b_{n}) = n \to + \infty lim \frac{5 n}{2} = + \infty$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 4

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = n^{2} + n .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On identifie $(u_{n})$ comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
À l'aide des propriétés sur la limite d'une somme de deux suites, on détermine la limite de $(u_{n})$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

On a

n \to + \infty lim n^{2} = + \infty

n \to + \infty lim n = + \infty

.
Ainsi, par somme, on a

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

Ressource affichée de l'autre côté.
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B
Limite d'un produit de suites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés (admises)

Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites et soient

ℓ

ℓ^{'}

deux réels.

Si $(u_{n})$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ < 0$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$0$
et $(v_{n})$ a pour limite	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$\pm \infty$
alors $(u_{n} \times v_{n})$ a pour limite	$ℓ \times ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	F.I.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

(u_{n})

(v_{n})

désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = 3 + 0, 8^{n}

v_{n} = - 2 + 0, 1^{n}

, alors

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim (3 + 0, 8^{n}) = 3

car

- 1 < 0, 8 < 1

n \to + \infty lim v_{n} = n \to + \infty lim (- 2 + 0, 1^{n}) = - 2

car

- 1 < 0, 1 < 1

. Donc

n \to + \infty lim (u_{n} \times v_{n}) = 3 \times (- 2) = - 6

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Notation

\pm \infty

signifie que la limite peut être

+ \infty

ou bien

- \infty

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Application et méthode - 5

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = (n^{2} - 1) (- n + 7)

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On identifie $(u_{n})$ comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
À l'aide des propriétés sur la limite d'un produit de deux suites, on détermine la limite de $(u_{n})$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

On a

n \to + \infty lim (n^{2} - 1) = + \infty

n \to + \infty lim (- n + 7) = - \infty

.
Ainsi, par produit, on a

n \to + \infty lim u_{n} = - \infty

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Limite d'un quotient de suites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés (admises)

Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites telles que

(v_{n})

ne s'annule jamais et soient

ℓ

ℓ^{'}

deux réels.

Si $(u_{n})$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$0$	$\pm \infty$
et $(v_{n})$ a pour limite	$ℓ^{'} \neq = 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$0$	$\pm \infty$
alors $(\frac{u _{n}}{v _{n}})$ a pour limite	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	F.I.	F.I.

Si $(u_{n})$ a pour limite	$ℓ > 0$ ou $+ \infty$	$ℓ > 0$ ou $+ \infty$	$ℓ < 0$ ou $- \infty$	$ℓ < 0$ ou $- \infty$
et $(v_{n})$ a pour limite 0 en restant	positive	négative	positive	négative
alors $(\frac{u _{n}}{v _{n}})$ a pour limite	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

En reprenant les deux suites

(u_{n})

(v_{n})

définies dans l'exemple précédent, avec

v_{n}

ne s'annulant pas au voisinage de

+ \infty

, on a

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{3}{- 2} = - 1, 5

Ressource affichée de l'autre côté.
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Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

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Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 6

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

u_{n} = \frac{\frac{5}{n} + 7}{8 + \frac{2}{n}}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On identifie $(u_{n})$ comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
À l'aide des propriétés sur la limite d'un quotient de deux suites, on détermine la limite de de $(u_{n})$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

On a

n \to + \infty lim (\frac{5}{n} + 7) = 7

n \to + \infty lim (8 + \frac{2}{n}) = 8

.
Ainsi, par quotient, on a

n \to + \infty lim u_{n} = \frac{7}{8}

Pour s'entraîner

Exercice

p. 145

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 7

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = - 7 n^{3} + 5 n + 3

.

2. Déterminer la limite de la suite

(v_{n})

définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

v_{n} = \frac{5 n ^{2} + n}{n ^{3} + 4 n}

.

3. Déterminer la limite de la suite

(w_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

w_{n} = \frac{6 n + 5}{2 n - 7}

.

4. Déterminer la limite de la suite

(t_{n})

définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par

t_{n} = \frac{1}{n ^{2}} \times (n^{3} + 2 n)

Ressource affichée de l'autre côté.
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Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu'on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu'on lève l'indétermination.

4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l'indétermination.

Ressource affichée de l'autre côté.
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Solution

1. On a

n \to + \infty lim (- 7 n^{3}) = - \infty

n \to + \infty lim (5 n + 3) = + \infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

u_{n} = - 7 n^{3} + 5 n + 3 = n^{3} (- 7 + \frac{5}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{3}})

.
Or

n \to + \infty lim \frac{5}{n ^{2}} = 0

n \to + \infty lim \frac{3}{n ^{3}} = 0

. D'où, par somme, on a

n \to + \infty lim (- 7 + \frac{5}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{3}}) = - 7

.
On a

n \to + \infty lim n^{3} = + \infty

n \to + \infty lim (- 7 + \frac{5}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{3}}) = - 7

. Ainsi, par produit, on a

n \to + \infty lim u_{n} = - \infty

.

2. On a

n \to + \infty lim (5 n^{2} + n) = + \infty

n \to + \infty lim (n^{3} + 4 n) = + \infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

v_{n} = \frac{5 n ^{2} + n}{n ^{3} + 4 n} = \frac{n ^{2} ( 5 + \frac{1}{n} )}{n ^{3} ( 1 + \frac{4}{n ^{2}} )} = \frac{5 + \frac{1}{n}}{n ( 1 + \frac{4}{n ^{2}} )}

.
Or

n \to + \infty lim n = + \infty

n \to + \infty lim (1 + \frac{4}{n ^{2}}) = 1

. D'où, par produit, on a

n \to + \infty lim n (1 + \frac{4}{n ^{2}}) = + \infty

.
On a

n \to + \infty lim (5 + \frac{1}{n}) = 5

n \to + \infty lim n (1 + \frac{4}{n ^{2}}) = + \infty

. Ainsi, par quotient, on a

n \to + \infty lim v_{n} = 0

.

3. On a

n \to + \infty lim (6 n + 5) = + \infty

n \to + \infty lim (2 n - 7) = + \infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

w_{n} = \frac{6 n + 5}{2 n - 7} = \frac{n ( 6 + \frac{5}{n} )}{n ( 2 - \frac{7}{n} )} = \frac{6 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{7}{n}}

.
Or

n \to + \infty lim (6 + \frac{5}{n}) = 6

n \to + \infty lim (2 - \frac{7}{n}) = 2

. Ainsi, par quotient, on a

n \to + \infty lim w_{n} = \frac{6}{2} = 3

.

4. On a

n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

n \to + \infty lim (n^{3} + 2 n) = + \infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

t_{n} = \frac{n ^{3}}{n ^{2}} + \frac{2 n}{n ^{2}} = n + \frac{2}{n}

.
Or

n \to + \infty lim n = + \infty

n \to + \infty lim \frac{2}{n} = 0

. Ainsi, par somme, on obtient

n \to + \infty lim t_{n} = + \infty

Pour s'entraîner

Exercices

;

; et

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Opérations sur les limites

ALimite d'une somme de suites

Notation

Remarque

Méthode

BLimite d'un produit de suites

Notation

Méthode

CLimite d'un quotient de suites

Remarque

Méthode

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A
Limite d'une somme de suites

B
Limite d'un produit de suites

C
Limite d'un quotient de suites