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Opérations sur les limites

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

Exemples

• Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n=\frac{1}{n}$ et $v_n=-n$.
  On a $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=0$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-\infty$. Par somme, on en déduit que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(u_n+v_n\right)=-\infty$.
• Considérons les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par $a_n=3n$ et $b_n=-\frac{n}{2}$.
  On a $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{a}_n=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{b}_n=-\infty$. En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir $a_n+b_n=3n-\frac{n}{2}=\frac{5n}{2}$. Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(a_n+b_n\right)=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{5n}{2}=+\infty$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=n^2+\sqrt{n}$.

Exemple

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3+0,8^n$ et $v_n=-2+0,1^n$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(3+0,8^n\right)=3$ car $-1<0,8<1$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-2+0,1^n\right)=-2$ car $-1<0,1<1$. Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(u_n\times v_n\right)=3\times (-2)=-6$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\left(n^2-1\right)(-n+7)$.

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

Exemple

En reprenant les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies dans l’exemple précédent, avec $v_n$ ne s’annulant pas au voisinage de $+\infty$ , on a $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\frac{3}{-2}=-1,5$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n⩾1$, par $u_n=\frac{\frac{5}{n}+7}{8+\frac{2}{n}}$.

1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=-7n^3+5n+3$.
2. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier $n⩾1$, par $v_n=\frac{5n^2+n}{n^3+4n}$.
3. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=\frac{6n+5}{2n-7}$.
4. Déterminer la limite de la suite $(t_n)$ définie, pour tout entier $n⩾1$, par $t_n=\frac{1}{n^2}\times \left(n^3+2n\right)$.