Mathématiques Terminale Spécialité

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Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
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Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
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Ch. 12
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Ch. 13
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Ch. 14
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Chapitre 4
Cours 3

Opérations sur les limites

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A
Limite d'une somme de suites

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Propriétés (admises)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite\ell\ell\ell+\infty-\infty+\infty
et (v_n) a pour limite\ell^{\prime}+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
alors (u_n+v_n) a pour limite\ell+\ell^{\prime}+\infty-\infty+\infty-\inftyF.I.
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Notation

F.I. signifie « forme indéterminée ».
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Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.
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Exemples
  • Considérons les suites (u_n) et (v_n) définies, pour tout entier naturel n non nul, par u_{n}=\frac{1}{n} et v_n=-n.
    On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty. Par somme, on en déduit que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}+v_{n}\right)=-\infty.
  • Considérons les suites (a_n) et (b_n) définies, pour tout entier naturel n, par a_n=3n et b_{n}=-\frac{n}{2}.
    On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}=-\infty. En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir a_{n}+b_{n}=3 n-\frac{n}{2}=\frac{5 n}{2}. Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{5 n}{2}=+\infty.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=n^{2}+\sqrt{n}.
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Méthode

  • On identifie (u_n) comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
  • À l'aide des propriétés sur la limite d'une somme de deux suites, on détermine la limite de (u_n).
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Solution
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{2}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n}=+\infty.
Ainsi, par somme, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner
Exercice p. 145
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B
Limite d'un produit de suites

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Propriétés (admises)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite\ell\ell>0\ell>0\ell\lt0\ell\lt0+\infty+\infty-\infty0
et (v_n) a pour limite\ell^{\prime}+\infty-\infty+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty\pm \infty
alors \left(u_{n} \times v_{n}\right) a pour limite\ell\times\ell^{\prime}+\infty-\infty-\infty+\infty+\infty-\infty+\inftyF.I.
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Notation

\pm \infty signifie que la limite peut être +\infty ou bien -\infty.
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Exemple
Si (u_n) et (v_n) désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel n par u_n=3+0,8^n et v_n=-2+0,1^n, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(3+0,8^{n}\right)=3 car -1\lt 0,8\lt 1 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2+0,1^{n}\right)=-2 car -1\lt 0,1\lt 1. Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=3 \times(-2)=-6.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_{n}=\left(n^{2}-1\right)(-n+7).
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Méthode

  • On identifie (u_n) comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
  • À l'aide des propriétés sur la limite d'un produit de deux suites, on détermine la limite de (u_n).
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Solution
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-n+7)=-\infty.
Ainsi, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

Pour s'entraîner
Exercice p. 145
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C
Limite d'un quotient de suites

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Propriétés (admises)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que (v_n) ne s'annule jamais et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (u_n) a pour limite\ell\ell+\infty+\infty-\infty-\infty0\pm \infty
et (v_n) a pour limite\ell^{\prime} \neq 0\pm \infty\ell^{\prime}>0\ell^{\prime}\lt 0\ell^{\prime}>0\ell^{\prime}\lt 00\pm \infty
alors \left(\frac{u_n}{v_n}\right) a pour limite\frac{\ell}{\ell^{\prime}}0+\infty-\infty-\infty+\inftyF.I.F.I.

Si (u_n) a pour limite\ell>0 ou +\infty\ell>0 ou +\infty\ell\lt 0 ou -\infty\ell\lt 0 ou -\infty
et (v_n) a pour limite 0 en restantpositivenégativepositivenégative
alors \left(\frac{u_n}{v_n}\right) a pour limite+\infty-\infty-\infty+\infty
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Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.
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Exemple
En reprenant les deux suites (u_n) et (v_n) définies dans l'exemple précédent, avec v_n ne s'annulant pas au voisinage de +\infty , on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{3}{-2}=-1,5.
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Application et méthode - 6
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Énoncé
Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par u_{n}=\frac{\frac{5}{n}+7}{8+\frac{2}{n}}.
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Méthode

  • On identifie (u_n) comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
  • À l'aide des propriétés sur la limite d'un quotient de deux suites, on détermine la limite de de (u_n).
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Solution
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\frac{5}{n}+7\right)=7 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(8+\frac{2}{n}\right)=8.
Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\frac{7}{8}.

Pour s'entraîner
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Application et méthode - 7
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Énoncé
1. Déterminer la limite de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3.

2. Déterminer la limite de la suite (v_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par v_{n}=\frac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}.

3. Déterminer la limite de la suite (w_n) définie, pour tout entier naturel n, par w_{n}=\frac{6 n+5}{2 n-7}.

4. Déterminer la limite de la suite (t_n) définie, pour tout entier n \geqslant 1, par t_{n}=\frac{1}{n^{2}} \times\left(n^{3}+2 n\right).
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Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu'on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu'on lève l'indétermination.

4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l'indétermination.
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Solution
1. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7 n^{3}\right)=-\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(5 n+3)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3=n^{3}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right).
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\frac{5}{n^{2}}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{3}{n^{3}}=0. D'où, par somme, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right)=-7.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\frac{5}{n^{2}}+\frac{3}{n^{3}}\right)=-7. Ainsi, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

2. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5 n^{2}+n\right)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+4 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a v_{n}=\frac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}=\frac{n^{2}\left(5+\frac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}=\frac{5+\frac{1}{n}}{n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=1. D'où, par produit, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=+\infty.
On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5+\frac{1}{n}\right)=5 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)=+\infty. Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0.

3. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(6 n+5)=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(2 n-7)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a w_{n}=\frac{6 n+5}{2 n-7}=\frac{n\left(6+\frac{5}{n}\right)}{n\left(2-\frac{7}{n}\right)}=\frac{6+\frac{5}{n}}{2-\frac{7}{n}}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(6+\frac{5}{n}\right)=6 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(2-\frac{7}{n}\right)=2. Ainsi, par quotient, on a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=\frac{6}{2}=3.

4. On a \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{1}{n^{2}}=0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+2 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n \geqslant 1, on a t_{n}=\frac{n^{3}}{n^{2}}+\frac{2 n}{n^{2}}=n+\frac{2}{n}.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{2}{n}=0. Ainsi, par somme, on obtient \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner
Exercices  ;  ;  ; et p. 145

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