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3. Opérations sur les limites
P.135-137

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COURS 3


3
Opérations sur les limites




A
Limite d’une somme de suites


Propriétés (admises)

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (un)(u_n) a pour limite \ell \ell \ell ++\infty -\infty ++\infty
et (vn)(v_n) a pour limite \ell^{\prime} ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
alors (un+vn)(u_n+v_n) a pour limite +\ell+\ell^{\prime} ++\infty -\infty ++\infty -\infty F.I.

NOTATION

F.I. signifie « forme indéterminée ».

Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

Exemples

  • Considérons les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies, pour tout entier naturel nn non nul, par un=1nu_{n}=\dfrac{1}{n} et vn=nv_n=-n.
    On a limn+un=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=0 et limn+vn=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty. Par somme, on en déduit que limn+(un+vn)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}+v_{n}\right)=-\infty.
  • Considérons les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) définies, pour tout entier naturel nn, par an=3na_n=3n et bn=n2b_{n}=-\dfrac{n}{2}.
    On a limn+an=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n}=+\infty et limn+bn=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}=-\infty. En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir an+bn=3nn2=5n2a_{n}+b_{n}=3 n-\dfrac{n}{2}=\dfrac{5 n}{2}. Donc limn+(an+bn)=limn+5n2=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{5 n}{2}=+\infty.

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel nn, par un=n2+nu_{n}=n^{2}+\sqrt{n}.

Méthode

  • On identifie (un)(u_n) comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’une somme de deux suites, on détermine la limite de (un)(u_n).

Solution

On a limn+n2=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{2}=+\infty et limn+n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n}=+\infty.
Ainsi, par somme, on a limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner : exercice 25 p. 145

B
Limite d’un produit de suites


Propriétés (admises)

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (un)(u_n) a pour limite \ell >0\ell>0 >0\ell>0 <0\ell\lt0 <0\ell\lt0 ++\infty ++\infty -\infty 00
et (vn)(v_n) a pour limite \ell^{\prime} ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm \infty
alors (un×vn)\left(u_{n} \times v_{n}\right) a pour limite ×\ell\times\ell^{\prime} ++\infty -\infty -\infty ++\infty ++\infty -\infty ++\infty F.I.

NOTATION

±\pm \infty signifie que la limite peut être ++\infty ou bien -\infty.

Exemple

Si (un)(u_n) et (vn)(v_n) désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel nn par un=3+0,8nu_n=3+0,8^n et vn=2+0,1nv_n=-2+0,1^n, alors limn+un=limn+(3+0,8n)=3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(3+0,8^{n}\right)=3 car 1<0,8<1-1\lt 0,8\lt 1 et limn+vn=limn+(2+0,1n)=2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2+0,1^{n}\right)=-2 car 1<0,1<1-1\lt 0,1\lt 1. Donc limn+(un×vn)=3×(2)=6\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=3 \times(-2)=-6.

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=(n21)(n+7)u_{n}=\left(n^{2}-1\right)(-n+7).

Méthode

  • On identifie (un)(u_n) comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’un produit de deux suites, on détermine la limite de (un)(u_n).

Solution

On a limn+(n21)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty et limn+(n+7)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-n+7)=-\infty.
Ainsi, par produit, on a limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

Pour s'entraîner : exercice 27 p. 145

C
Limite d’un quotient de suites


Propriétés (admises)

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles que (vn)(v_n) ne s’annule jamais et soient \ell et \ell^{\prime} deux réels.

Si (un)(u_n) a pour limite \ell \ell ++\infty ++\infty -\infty -\infty 00 ±\pm \infty
et (vn)(v_n) a pour limite 0\ell^{\prime} \neq 0 ±\pm \infty >0\ell^{\prime}>0 <0\ell^{\prime}\lt 0 >0\ell^{\prime}>0 <0\ell^{\prime}\lt 0 00 ±\pm \infty
alors (unvn)\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) a pour limite \dfrac{\ell}{\ell^{\prime}} 00 ++\infty -\infty -\infty ++\infty F.I. F.I.

Si (un)(u_n) a pour limite >0\ell>0 ou ++\infty >0\ell>0 ou ++\infty <0\ell\lt 0 ou -\infty <0\ell\lt 0 ou -\infty
et (vn)(v_n) a pour limite 0 en restant positive négative positive négative
alors (unvn)\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) a pour limite ++\infty -\infty -\infty ++\infty

Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

Exemple

En reprenant les deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies dans l’exemple précédent, avec vnv_n ne s’annulant pas au voisinage de ++\infty , on a limn+unvn=32=1,5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{3}{-2}=-1,5.

Application et méthode - 6

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par un=5n+78+2nu_{n}=\dfrac{\dfrac{5}{n}+7}{8+\dfrac{2}{n}}.

Méthode

  • On identifie (un)(u_n) comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’un quotient de deux suites, on détermine la limite de de (un)(u_n).

Solution

On a limn+(5n+7)=7\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{5}{n}+7\right)=7 et limn+(8+2n)=8\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(8+\dfrac{2}{n}\right)=8.
Ainsi, par quotient, on a limn+un=78\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\dfrac{7}{8}.

Pour s'entraîner : exercice 30 p. 145

Application et méthode - 7

Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel nn, par un=7n3+5n+3u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3.
2. Déterminer la limite de la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par vn=5n2+nn3+4nv_{n}=\dfrac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}.
3. Déterminer la limite de la suite (wn)(w_n) définie, pour tout entier naturel nn, par wn=6n+52n7w_{n}=\dfrac{6 n+5}{2 n-7}.
4. Déterminer la limite de la suite (tn)(t_n) définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par tn=1n2×(n3+2n)t_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} \times\left(n^{3}+2 n\right).

Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu’on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu’on lève l’indétermination.
4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l’indétermination.

Solution

1. On a limn+(7n3)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7 n^{3}\right)=-\infty et limn+(5n+3)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(5 n+3)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on a un=7n3+5n+3=n3(7+5n2+3n3)u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3=n^{3}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right).
Or limn+5n2=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{5}{n^{2}}=0 et limn+3n3=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{3}{n^{3}}=0. D’où, par somme, on a limn+(7+5n2+3n3)=7\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right)=-7.
On a limn+n3=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty et limn+(7+5n2+3n3)=7\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right)=-7. Ainsi, par produit, on a limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

2. On a limn+(5n2+n)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5 n^{2}+n\right)=+\infty et limn+(n3+4n)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+4 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on a vn=5n2+nn3+4n=n2(5+1n)n3(1+4n2)=5+1nn(1+4n2)v_{n}=\dfrac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}=\dfrac{n^{2}\left(5+\dfrac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)}=\dfrac{5+\dfrac{1}{n}}{n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)}.
Or limn+n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et limn+(1+4n2)=1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=1. D’où, par produit, on a limn+n(1+4n2)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=+\infty.
On a limn+(5+1n)=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5+\dfrac{1}{n}\right)=5 et limn+n(1+4n2)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=+\infty. Ainsi, par quotient, on a limn+vn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0.

3. On a limn+(6n+5)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(6 n+5)=+\infty et limn+(2n7)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(2 n-7)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on a wn=6n+52n7=n(6+5n)n(27n)=6+5n27nw_{n}=\dfrac{6 n+5}{2 n-7}=\dfrac{n\left(6+\dfrac{5}{n}\right)}{n\left(2-\dfrac{7}{n}\right)}=\dfrac{6+\dfrac{5}{n}}{2-\dfrac{7}{n}}.
Or limn+(6+5n)=6\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(6+\dfrac{5}{n}\right)=6 et limn+(27n)=2\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(2-\dfrac{7}{n}\right)=2. Ainsi, par quotient, on a limn+wn=62=3\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=\dfrac{6}{2}=3.

4. On a limn+1n2=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n^{2}}=0 et limn+(n3+2n)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+2 n\right)=+\infty donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier n1n \geqslant 1, on a tn=n3n2+2nn2=n+2nt_{n}=\dfrac{n^{3}}{n^{2}}+\dfrac{2 n}{n^{2}}=n+\dfrac{2}{n}.
Or limn+n=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty et limn+2n=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{2}{n}=0. Ainsi, par somme, on obtient limn+tn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty.

Pour s'entraîner : exercices 26 ; 28 ; 31 ; et 32 p. 145
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