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3. Opérations sur les limites

P.135-137

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COURS 3

3
Opérations sur les limites

A
Limite d’une somme de suites

Propriétés (admises)

Soient

(u_n)

(v_n)

deux suites et soient

\ell

\ell^{\prime}

deux réels.

Si $(u_n)$ a pour limite	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
et $(v_n)$ a pour limite	$\ell^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors $(u_n+v_n)$ a pour limite	$\ell+\ell^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

NOTATION

F.I. signifie « forme indéterminée ».

Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

Exemples

Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_{n}=\dfrac{1}{n}$ et $v_n=-n$ .
On a $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=0$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty$ . Par somme, on en déduit que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n}+v_{n}\right)=-\infty$ .
Considérons les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$ , par $a_n=3n$ et $b_{n}=-\dfrac{n}{2}$ .
On a $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_{n}=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_{n}=-\infty$ . En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir $a_{n}+b_{n}=3 n-\dfrac{n}{2}=\dfrac{5 n}{2}$ . Donc $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{5 n}{2}=+\infty$ .

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_n)

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n}=n^{2}+\sqrt{n}

Méthode

On identifie $(u_n)$ comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
À l’aide des propriétés sur la limite d’une somme de deux suites, on détermine la limite de $(u_n)$ .

Solution

On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{2}=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n}=+\infty

.
Ainsi, par somme, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty

Pour s'entraîner : exercice 25 p. 145

B
Limite d’un produit de suites

Propriétés (admises)

Soient

(u_n)

(v_n)

deux suites et soient

\ell

\ell^{\prime}

deux réels.

Si $(u_n)$ a pour limite	$\ell$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell\lt0$	$\ell\lt0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
et $(v_n)$ a pour limite	$\ell^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$
alors $\left(u_{n} \times v_{n}\right)$ a pour limite	$\ell\times\ell^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.

NOTATION

\pm \infty

signifie que la limite peut être

+\infty

ou bien

-\infty

Exemple

Si

(u_n)

(v_n)

désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel

n

par

u_n=3+0,8^n

v_n=-2+0,1^n

, alors

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(3+0,8^{n}\right)=3

car

-1\lt 0,8\lt 1

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2+0,1^{n}\right)=-2

car

-1\lt 0,1\lt 1

. Donc

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=3 \times(-2)=-6

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_n)

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n}=\left(n^{2}-1\right)(-n+7)

Méthode

On identifie $(u_n)$ comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
À l’aide des propriétés sur la limite d’un produit de deux suites, on détermine la limite de $(u_n)$ .

Solution

On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-n+7)=-\infty

.
Ainsi, par produit, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty

Pour s'entraîner : exercice 27 p. 145

C
Limite d’un quotient de suites

Propriétés (admises)

Soient

(u_n)

(v_n)

deux suites telles que

(v_n)

ne s’annule jamais et soient

\ell

\ell^{\prime}

deux réels.

Si $(u_n)$ a pour limite	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$0$	$\pm \infty$
et $(v_n)$ a pour limite	$\ell^{\prime} \neq 0$	$\pm \infty$	$\ell^{\prime}>0$	$\ell^{\prime}\lt 0$	$\ell^{\prime}>0$	$\ell^{\prime}\lt 0$	$0$	$\pm \infty$
alors $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ a pour limite	$\dfrac{\ell}{\ell^{\prime}}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.	F.I.

Si $(u_n)$ a pour limite	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell\lt 0$ ou $-\infty$	$\ell\lt 0$ ou $-\infty$
et $(v_n)$ a pour limite 0 en restant	positive	négative	positive	négative
alors $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ a pour limite	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$

Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

Exemple

En reprenant les deux suites

(u_n)

(v_n)

définies dans l’exemple précédent, avec

v_n

ne s’annulant pas au voisinage de

+\infty

, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{3}{-2}=-1,5

Application et méthode - 6

Énoncé

Déterminer la limite de la suite

(u_n)

définie, pour tout entier

n \geqslant 1

, par

u_{n}=\dfrac{\dfrac{5}{n}+7}{8+\dfrac{2}{n}}

Méthode

On identifie $(u_n)$ comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
À l’aide des propriétés sur la limite d’un quotient de deux suites, on détermine la limite de de $(u_n)$ .

Solution

On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{5}{n}+7\right)=7

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(8+\dfrac{2}{n}\right)=8

.
Ainsi, par quotient, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\dfrac{7}{8}

Pour s'entraîner : exercice 30 p. 145

Application et méthode - 7

Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite

(u_n)

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3

.
2. Déterminer la limite de la suite

(v_n)

définie, pour tout entier

n \geqslant 1

, par

v_{n}=\dfrac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}

.
3. Déterminer la limite de la suite

(w_n)

définie, pour tout entier naturel

n

, par

w_{n}=\dfrac{6 n+5}{2 n-7}

.
4. Déterminer la limite de la suite

(t_n)

définie, pour tout entier

n \geqslant 1

, par

t_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} \times\left(n^{3}+2 n\right)

Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu’on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu’on lève l’indétermination.
4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l’indétermination.

Solution

1. On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7 n^{3}\right)=-\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(5 n+3)=+\infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n \geqslant 1

, on a

u_{n}=-7 n^{3}+5 n+3=n^{3}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right)

.
Or

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{5}{n^{2}}=0

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{3}{n^{3}}=0

. D’où, par somme, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right)=-7

.
On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n^{3}=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-7+\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{3}{n^{3}}\right)=-7

. Ainsi, par produit, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty

.

2. On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5 n^{2}+n\right)=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+4 n\right)=+\infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n \geqslant 1

, on a

v_{n}=\dfrac{5 n^{2}+n}{n^{3}+4 n}=\dfrac{n^{2}\left(5+\dfrac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)}=\dfrac{5+\dfrac{1}{n}}{n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)}

.
Or

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=1

. D’où, par produit, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=+\infty

.
On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(5+\dfrac{1}{n}\right)=5

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n\left(1+\dfrac{4}{n^{2}}\right)=+\infty

. Ainsi, par quotient, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0

.

3. On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(6 n+5)=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(2 n-7)=+\infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n \geqslant 1

, on a

w_{n}=\dfrac{6 n+5}{2 n-7}=\dfrac{n\left(6+\dfrac{5}{n}\right)}{n\left(2-\dfrac{7}{n}\right)}=\dfrac{6+\dfrac{5}{n}}{2-\dfrac{7}{n}}

.
Or

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(6+\dfrac{5}{n}\right)=6

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(2-\dfrac{7}{n}\right)=2

. Ainsi, par quotient, on a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=\dfrac{6}{2}=3

.

4. On a

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n^{2}}=0

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+2 n\right)=+\infty

donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier

n \geqslant 1

, on a

t_{n}=\dfrac{n^{3}}{n^{2}}+\dfrac{2 n}{n^{2}}=n+\dfrac{2}{n}

.
Or

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} n=+\infty

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{2}{n}=0

. Ainsi, par somme, on obtient

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty

Pour s'entraîner : exercices 26 ; 28 ; 31 ; et 32 p. 145

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3Opérations sur les limites

ALimite d’une somme de suites

Remarque

Application et méthode - 4

Énoncé

Méthode

Solution

BLimite d’un produit de suites

Application et méthode - 5

Énoncé

Méthode

Solution

CLimite d’un quotient de suites

Remarque

Application et méthode - 6

Énoncé

Méthode

Solution

Application et méthode - 7

Énoncé

Méthode

Solution

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Opérations sur les limites

A
Limite d’une somme de suites

B
Limite d’un produit de suites

C
Limite d’un quotient de suites