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3. Opérations sur les limites
P.135-137

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COURS 3


3
Opérations sur les limites




A
Limite d’une somme de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I.

NOTATION

F.I. signifie « forme indéterminée ».

Remarque

On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale et qu'il faut étudier les limites au cas par cas.

Exemples

  • Considérons les suites et définies, pour tout entier naturel non nul, par et .
    On a et . Par somme, on en déduit que .
  • Considérons les suites et définies, pour tout entier naturel , par et .
    On a et . En utilisant le tableau précédent, on obtient une forme indéterminée. On ne peut donc pas conclure directement. Il est en revanche possible d'additionner les termes de ces deux suites et d'obtenir . Donc .

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .

Méthode

  • On identifie comme une somme de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent la somme.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’une somme de deux suites, on détermine la limite de .

Solution

On a et .
Ainsi, par somme, on a .

Pour s'entraîner : exercice 25 p. 145

B
Limite d’un produit de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I.

NOTATION

signifie que la limite peut être ou bien .

Exemple

Si et désignent respectivement les suites définies pour tout entier naturel par et , alors car et car . Donc .

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie pour tout entier naturel par .

Méthode

  • On identifie comme un produit de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le produit.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’un produit de deux suites, on détermine la limite de .

Solution

On a et .
Ainsi, par produit, on a .

Pour s'entraîner : exercice 27 p. 145

C
Limite d’un quotient de suites


Propriétés (admises)

Soient et deux suites telles que ne s’annule jamais et soient et deux réels.

Si a pour limite
et a pour limite
alors a pour limite F.I. F.I.

Si a pour limite ou ou ou ou
et a pour limite 0 en restant positive négative positive négative
alors a pour limite

Remarque

Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite.

Exemple

En reprenant les deux suites et définies dans l’exemple précédent, avec ne s’annulant pas au voisinage de , on a .

Application et méthode - 6

Énoncé

Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .

Méthode

  • On identifie comme un quotient de deux suites dont on connaît les limites.
  • On détermine la limite de chacune des suites qui composent le quotient.
  • À l’aide des propriétés sur la limite d’un quotient de deux suites, on détermine la limite de de .

Solution

On a et .
Ainsi, par quotient, on a .

Pour s'entraîner : exercice 30 p. 145

Application et méthode - 7

Énoncé

1. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .
2. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .
3. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier naturel , par .
4. Déterminer la limite de la suite définie, pour tout entier , par .

Méthode

1., 2. et 3. Lorsqu’on est confronté à une forme indéterminée pour une somme ou un quotient, on factorise par le terme de plus haut degré pour déterminer la limite de la suite. On dit qu’on lève l’indétermination.
4. Si la forme indéterminée concerne un produit, on peut développer le produit pour lever l’indétermination.

Solution

1. On a et donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier , on a .
Or et . D’où, par somme, on a .
On a et . Ainsi, par produit, on a .

2. On a et donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier , on a .
Or et . D’où, par produit, on a .
On a et . Ainsi, par quotient, on a .

3. On a et donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier , on a .
Or et . Ainsi, par quotient, on a .

4. On a et donc on obtient une forme indéterminée.
Pour tout entier , on a .
Or et . Ainsi, par somme, on obtient .

Pour s'entraîner : exercices 26 ; 28 ; 31 ; et 32 p. 145
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