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1. Limites finies
P.146-148

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Entraînement


1
Limites finies





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
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40
FLASH

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

1. rn=1n2r_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}


2. sn=1ns_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}


3. tn=1n8t_{n}=\dfrac{1}{n^{8}}


4. un=(79)nu_{n}=\left(\dfrac{7}{9}\right)^{n}


5. vn=(1721)nv_{n}=\left(\dfrac{17}{21}\right)^{n}


6. wn=n7w_{n}=n^{-7}
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41
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a : 2n4+3nn66n4]0,334 ;0,333[\dfrac{-2 n^{4}+3 n \sqrt{n}-6}{6 n^{4}} \in\left]-0{,}334 ;-0{,}333\right[.
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42
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a : 3n28n+1224n2]0,12;0,13[\dfrac{3 n^{2}-8 n+12}{24 n^{2}} \in \left]0{,}12\, ; 0{,}13\right[.
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43
[Calculer.] ◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par : un=4n22n2u_{n}=\dfrac{4 n^{2}-2}{n^{2}}.

1. Les premiers termes de la suite(un)(u_n) sont représentés ci‑dessous.

Suites - 1. Limites finies - exercice 43
Conjecturer la limite de la suite (un)(u_n).


2. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, on a un=42n2u_{n}=4-\dfrac{2}{n^{2}}.


3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.
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44
[Calculer.] ◉◉
Soit (vn)(v_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par vn=6n22n+3v_{n}=\dfrac{-6 n-2}{2 n+3}.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : vn=3+72n+3v_{n}=-3+\dfrac{7}{2 n+3}.


2. Montrer que la limite de (vn)(v_n) est 3-3.
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45
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=2,5u_0=2{,}5 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un2+5un3u_{n+1}=-u_{n}^{2}+5 u_{n}-3.
On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.1) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (un)(u_n) ?
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46
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite (wn)(w_n) définie par w0=5w_0=5 et, pour tout entier naturel nn, wn+1=1wnw_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1}{w_{n}}}.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.00001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (wn)(w_n) ?
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47
VRAI/FAUX
[Raisonner.] ◉◉
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si (un)(u_n) est une suite bornée, alors elle converge.


2. Si (vn)(v_n) est une suite convergente, alors elle est bornée.


3. Si (wn)(w_n) est une suite croissante et majorée par M\text{M}, alors elle converge vers M\text{M}.
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48
TABLEUR
[Raisonner.]
On considère la suite (tn)(t_n) définie par t0=5t_0=5 et, pour tout entier naturel nn, tn+1=13tn+2t_{n+1}=\dfrac{1}{3} t_{n}+2.

1. Les premières valeurs de la suite (tn)(t_n) ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 48

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (tn)(t_n).


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite (tn)(t_n) ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite (tn)(t_n) ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel nn, 0<tn+1<tn0\lt t_{n+1}\lt t_{n}.


3. Justifier que la suite (tn)(t_n) converge.


4. Soit \ell la limite de la suite (tn)(t_n). On admet que \ell vérifie =13+2\ell=\dfrac{1}{3} \ell+2. Déterminer la valeur de \ell.
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49
TABLEUR
[Raisonner.] ◉◉
On considère la suite (rn)(r_n) définie par r0=1r _0=1 et, pour tout entier naturel nn, rn+1=rnrn2+1r_{n+1}=\dfrac{r_{n}}{\sqrt{r_{n}^{2}+1}}.

1. Les premières valeurs de la suite (rn)(r_n) ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 49

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (rn)(r_n).


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite (rn)(r_n) ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite (rn)(r_n) ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel nn, 0<rn10\lt r_{n} \leqslant 1.


3. Déterminer le sens de variation de la suite (rn)(r_n).


4. Justifier que la suite (rn)(r_n) converge.


5. Soit \ell la limite de la suite (rn)(r_n). On admet que \ell vérifie =2+1\ell=\dfrac{\ell}{\sqrt{\ell^{2}+1}}. Déterminer la valeur de \ell.
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50
LA CONSTANTE D'APÉRY
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie pour tout entier n1n \geqslant 1 par un=k=1n1k3=113+123++1n3u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k^{3}}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}.

1. Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante.


2. a. Pour tout entier n1n \geqslant 1, démontrer que 1n1n+1=1n(n+1)\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)} puis que 1n+1(n+1)31n+1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^{3}} \leqslant-\dfrac{1}{n+1}.


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1 :
un21nu_{n} \leqslant 2-\dfrac{1}{n}.


3. En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente.



Histoire des maths

La limite de cette suite est appelée la constante d’Apéry et vaut environ 1,202 056 90. Elle doit son nom au mathématicien français Roger Apéry qui a prouvé en 1978 que ce nombre est irrationnel, deux ans après la publication d’un manifeste, Mathématiques constructives, défendant une philosophie originale des mathématiques. Apéry était également engagé politiquement.

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51
PYTHON
[Modéliser.] ◉◉
D’après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le 1er janvier 2014 et d’y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel nn, on note unu_n le montant présent sur ce compte au 1er janvier de l’année 2014+n2014 + n après le versement de 150 €. On a u0=2 000u_0=2 000. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10210^{-2} près.

1. Combien d’argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?


2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=1,03un+150u_{n+1}=1{,}03 u_{n}+150.


3. Pour tout entier nn, on pose vn=un+5 000v_n=u_n+5 000.
Démontrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 1,031{,}03.


4. Exprimer vnv_n en fonction de nn et en déduire que, pour tout nombre entier nn, on a : un=7 000×1,03n5 000u_{n}=7 000 \times 1{,}03^{n}-5 000.


5. Déterminer la limite de (un)(u_n).


6. On considère le programme ci‑contre.

Suites - 1. Limites finies - exercice 51

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel programme(4000) ?


b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.
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