1

Limites finies

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

40

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

1. $r_n=\frac{1}{n^2}$


2. $s_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$


3. $t_n=\frac{1}{n^8}$


4. $u_n={\left(\frac{7}{9}\right)}^n$


5. $v_n={\left(\frac{17}{21}\right)}^n$


6. $w_n=n^{-7}$

41

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a : $\frac{-2n^4+3n\sqrt{n}-6}{6n^4}\in \left]-0,334;-0,333\right[$.

42

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a : $\frac{3n^2-8n+12}{24n^2}\in \left]0,12;0,13\right[$.

43

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par : $u_n=\frac{4n^2-2}{n^2}$.

1. Les premiers termes de la suite$(u_n)$ sont représentés ci‑dessous.

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.


2. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, on a $u_n=4-\frac{2}{n^2}$.


3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.

44

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\frac{-6n-2}{2n+3}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n=-3+\frac{7}{2n+3}$.


2. Montrer que la limite de $(v_n)$ est $-3$.

45

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2,5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-u_n^2+5u_n-3$.
On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.1) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(u_n)$ ?

46

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{w_n}}$.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.00001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(w_n)$ ?

47

VRAI/FAUX

[Raisonner.] ◉◉◉
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si $(u_n)$ est une suite bornée, alors elle converge.


2. Si $(v_n)$ est une suite convergente, alors elle est bornée.


3. Si $(w_n)$ est une suite croissante et majorée par $\text{M}$, alors elle converge vers $\text{M}$.

48

TABLEUR

[Raisonner.]
On considère la suite $(t_n)$ définie par $t_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=\frac{1}{3}{t}_n+2$.

1. Les premières valeurs de la suite $(t_n)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.


a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $(t_n)$.


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite $(t_n)$ ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite $(t_n)$ ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<t_{n+1}<t_n$.


3. Justifier que la suite $(t_n)$ converge.


4. Soit $\ell$ la limite de la suite $(t_n)$. On admet que $\ell$ vérifie $\ell =\frac{1}{3}\ell +2$. Déterminer la valeur de $\ell$.

49

TABLEUR

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère la suite $(r_n)$ définie par $r_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt{r_n^2+1}}$.

1. Les premières valeurs de la suite $(r_n)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.


a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $(r_n)$.


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite $(r_n)$ ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite $(r_n)$ ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<r_n⩽1$.


3. Déterminer le sens de variation de la suite $(r_n)$.


4. Justifier que la suite $(r_n)$ converge.


5. Soit $\ell$ la limite de la suite $(r_n)$. On admet que $\ell$ vérifie $\ell =\frac{\ell }{\sqrt{{\ell }^2+1}}$. Déterminer la valeur de $\ell$.

50

LA CONSTANTE D'APÉRY

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{n^3}$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.


2. a. Pour tout entier $n⩾1$, démontrer que $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ puis que $-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1{)}^3}⩽-\frac{1}{n+1}$.


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$ :


3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

51

PYTHON

[Modéliser.] ◉◉◉
D’après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le 1^er janvier 2014 et d’y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1^er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le montant présent sur ce compte au 1^er janvier de l’année $2014+n$ après le versement de 150 €. On a $u_0=2000$. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

1. Combien d’argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?


2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=1,03u_n+150$.


3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n+5000$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $1,03$.


4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout nombre entier $n$, on a : $u_n=7000\times 1,03^n-5000$.


5. Déterminer la limite de $(u_n)$.


6. On considère le programme ci‑contre.


a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel programme(4000) ?


b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.