[Modéliser.
]
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D’après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le 1
er janvier 2014 et d’y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1
er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel
n, on note
un le montant présent sur ce compte au 1
er janvier de l’année
2014+n après le versement de 150 €. On a
u0=2 000. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à
10−2 près.
1. Combien d’argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel
n, on a :
un+1=1,03un+150.
3. Pour tout entier
n, on pose
vn=un+5 000.
Démontrer que la suite
(vn) est une suite géométrique de raison
1,03.
4. Exprimer
vn en fonction de
n et en déduire que, pour tout nombre entier
n, on a :
un=7 000×1,03n−5 000.
5. Déterminer la limite de
(un).
6. On considère le programme ci‑contre.
a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel
programme(4000) ?
b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.