À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a : \frac{-2 n^{4}+3 n \sqrt{n}-6}{6 n^{4}} \in\left]-0{,}334 ;-0{,}333\right[.

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Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a : \frac{3 n^{2}-8 n+12}{24 n^{2}} \in \left]0{,}12\, ; 0{,}13\right[.

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43
[Calculer.]

Soit (u_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par : u_{n}=\frac{4 n^{2}-2}{n^{2}}.

1. Les premiers termes de la suite(u_n) sont représentés ci‑dessous.

Suites - 1. Limites finies - exercice 43

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Conjecturer la limite de la suite (u_n).

2. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, on a u_{n}=4-\frac{2}{n^{2}}.

3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.

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[Calculer.]
Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\frac{-6 n-2}{2 n+3}.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v_{n}=-3+\frac{7}{2 n+3}.

2. Montrer que la limite de (v_n) est -3.

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite (u_n) définie par u_0=2{,}5 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=-u_{n}^{2}+5 u_{n}-3.

On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.1) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (u_n) ?

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite (w_n) définie par w_0=5 et, pour tout entier naturel n, w_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{w_{n}}}.

On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.00001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (w_n) ?

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Vrai/Faux

[Raisonner.]
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si (u_n) est une suite bornée, alors elle converge.

2. Si (v_n) est une suite convergente, alors elle est bornée.

3. Si (w_n) est une suite croissante et majorée par \text{M}, alors elle converge vers \text{M}.

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Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite (t_n) définie par t_0=5 et, pour tout entier naturel n, t_{n+1}=\frac{1}{3} t_{n}+2.

1. Les premières valeurs de la suite (t_n) ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 48

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (t_n).

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite (t_n) ?

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite (t_n) ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\lt t_{n+1}\lt t_{n}.

3. Justifier que la suite (t_n) converge.

4. Soit \ell la limite de la suite (t_n). On admet que \ell vérifie \ell=\frac{1}{3} \ell+2. Déterminer la valeur de \ell.

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Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite (r_n) définie par r _0=1 et, pour tout entier naturel n, r_{n+1}=\frac{r_{n}}{\sqrt{r_{n}^{2}+1}}.

1. Les premières valeurs de la suite (r_n) ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 49

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (r_n).

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite (r_n) ?

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite (r_n) ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\lt r_{n} \leqslant 1.

3. Déterminer le sens de variation de la suite (r_n).

4. Justifier que la suite (r_n) converge.

5. Soit \ell la limite de la suite (r_n). On admet que \ell vérifie \ell=\frac{\ell}{\sqrt{\ell^{2}+1}}. Déterminer la valeur de \ell.

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La constante d'Apéry

[Raisonner.]
Soit (u_n) la suite définie pour tout entier n \geqslant 1 par u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \frac{1}{k^{3}}=\frac{1}{1^{3}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{n^{3}}. 1. Montrer que la suite (u_n) est croissante.

2. a. Pour tout entier n \geqslant 1, démontrer que \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)} puis que -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^{3}} \leqslant-\frac{1}{n+1}.

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 1 :

u_{n} \leqslant 2-\frac{1}{n}.

3. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

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Histoire des maths

La limite de cette suite est appelée la constante d'Apéry et vaut environ 1,202 056 90. Elle doit son nom au mathématicien français Roger Apéry qui a prouvé en 1978 que ce nombre est irrationnel, deux ans après la publication d'un manifeste, Mathématiques constructives, défendant une philosophie originale des mathématiques. Apéry était également engagé politiquement.

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Python

[Modéliser.]
D'après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le 1^er janvier 2014 et d'y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1^er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le montant présent sur ce compte au 1^er janvier de l'année 2014 + n après le versement de 150 €. On a u_0=2 000. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à 10^{-2} près.

1. Combien d'argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n+1}=1{,}03 u_{n}+150.

3. Pour tout entier n, on pose v_n=u_n+5 000.
Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 1{,}03.

4. Exprimer v_n en fonction de n et en déduire que, pour tout nombre entier n, on a : u_{n}=7 000 \times 1{,}03^{n}-5 000.

5. Déterminer la limite de (u_n).

6. On considère le programme ci‑contre.

Suites - 1. Limites finies - exercice 51

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel programme(4000) ?

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'énoncé.

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