Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Entraînement 1

Limites finies

Ressource affichée de l'autre côté.
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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Flash

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

r_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

s_{n} = \frac{1}{n}

t_{n} = \frac{1}{n ^{8}}

u_{n} = (\frac{7}{9})^{n}

v_{n} = (\frac{1 7}{2 1})^{n}

w_{n} = n^{- 7}

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Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a :

\frac{- 2 n ^{4} + 3 n n - 6}{6 n ^{4}} \in] - 0, 334; - 0, 333 [

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Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a :

\frac{3 n ^{2} - 8 n + 1 2}{2 4 n ^{2}} \in] 0, 12; 0, 13 [

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43
[Calculer.]

Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par :

u_{n} = \frac{4 n ^{2} - 2}{n ^{2}}

.

1. Les premiers termes de la suite

(u_{n})

sont représentés ci‑dessous.

Suites - 1. Limites finies - exercice 43

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Conjecturer la limite de la suite

(u_{n})

2. Montrer que, pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

u_{n} = 4 - \frac{2}{n ^{2}}

3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.

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[Calculer.]
Soit

(v_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = \frac{- 6 n - 2}{2 n + 3}

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

v_{n} = - 3 + \frac{7}{2 n + 3}

2. Montrer que la limite de

(v_{n})

est

- 3

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2, 5

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = - u_{n}^{2} + 5 u_{n} - 3

On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.1) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(u_{n})

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(w_{n})

définie par

w_{0} = 5

et, pour tout entier naturel

n

w_{n + 1} = \frac{1}{w _{n}}

On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.00001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(w_{n})

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Vrai/Faux

[Raisonner.]
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si

(u_{n})

est une suite bornée, alors elle converge.

2. Si

(v_{n})

est une suite convergente, alors elle est bornée.

3. Si

(w_{n})

est une suite croissante et majorée par

M

, alors elle converge vers

M

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Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite

(t_{n})

définie par

t_{0} = 5

et, pour tout entier naturel

n

t_{n + 1} = \frac{1}{3} t_{n} + 2

.

1. Les premières valeurs de la suite

(t_{n})

ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 48

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite

(t_{n})

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite

(t_{n})

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite

(t_{n})

2. Montrer que, pour tout entier naturel

n

0 < t_{n + 1} < t_{n}

3. Justifier que la suite

(t_{n})

converge.

4. Soit

ℓ

la limite de la suite

(t_{n})

. On admet que

ℓ

vérifie

ℓ = \frac{1}{3} ℓ + 2

. Déterminer la valeur de

ℓ

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Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite

(r_{n})

définie par

r_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

r_{n + 1} = \frac{r _{n}}{r _{n}^{2} + 1}

.

1. Les premières valeurs de la suite

(r_{n})

ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 49

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite

(r_{n})

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite

(r_{n})

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite

(r_{n})

2. Montrer que, pour tout entier naturel

n

0 < r_{n} ⩽ 1

3. Déterminer le sens de variation de la suite

(r_{n})

4. Justifier que la suite

(r_{n})

converge.

5. Soit

ℓ

la limite de la suite

(r_{n})

. On admet que

ℓ

vérifie

ℓ = \frac{ℓ}{ℓ ^{2} + 1}

. Déterminer la valeur de

ℓ

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La constante d'Apéry

[Raisonner.]
Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier

n ⩾ 1

par

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{3}} = \frac{1}{1 ^{3}} + \frac{1}{2 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}}

. 1. Montrer que la suite

(u_{n})

est croissante.

2. a. Pour tout entier

n ⩾ 1

, démontrer que

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

puis que

- \frac{1}{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{3}} ⩽ - \frac{1}{n + 1}

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} ⩽ 2 - \frac{1}{n}

3. En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente.

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Histoire des maths

La limite de cette suite est appelée la constante d'Apéry et vaut environ 1,202 056 90. Elle doit son nom au mathématicien français Roger Apéry qui a prouvé en 1978 que ce nombre est irrationnel, deux ans après la publication d'un manifeste, Mathématiques constructives, défendant une philosophie originale des mathématiques. Apéry était également engagé politiquement.

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Python

[Modéliser.]
D'après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le 1^er janvier 2014 et d'y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1^er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel

n

, on note

u_{n}

le montant présent sur ce compte au 1^er janvier de l'année

2014 + n

après le versement de 150 €. On a

u_{0} = 2000

. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à

1 0^{- 2}

près.

1. Combien d'argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?

2. Justifier que, pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 150

3. Pour tout entier

n

, on pose

v_{n} = u_{n} + 5000

.
Démontrer que la suite

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

1, 03

4. Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

et en déduire que, pour tout nombre entier

n

, on a :

u_{n} = 7000 \times 1, 0 3^{n} - 5000

5. Déterminer la limite de

(u_{n})

6. On considère le programme ci‑contre.

Suites - 1. Limites finies - exercice 51

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel programme(4000) ?

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'énoncé.

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