Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Entraînement 1

Limites finies

Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

Flash

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

r_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

s_{n} = \frac{1}{n}

t_{n} = \frac{1}{n ^{8}}

u_{n} = (\frac{7}{9})^{n}

v_{n} = (\frac{1 7}{2 1})^{n}

w_{n} = n^{- 7}

Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a :

\frac{- 2 n ^{4} + 3 n n - 6}{6 n ^{4}} \in] - 0, 334; - 0, 333 [

Flash

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a :

\frac{3 n ^{2} - 8 n + 1 2}{2 4 n ^{2}} \in] 0, 12; 0, 13 [

43
[Calculer.]

Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier

n ⩾ 1

, par :

u_{n} = \frac{4 n ^{2} - 2}{n ^{2}}

.

1. Les premiers termes de la suite

(u_{n})

sont représentés ci‑dessous.

Suites - 1. Limites finies - exercice 43

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Conjecturer la limite de la suite

(u_{n})

2. Montrer que, pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

u_{n} = 4 - \frac{2}{n ^{2}}

3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.

[Calculer.]
Soit

(v_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = \frac{- 6 n - 2}{2 n + 3}

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

v_{n} = - 3 + \frac{7}{2 n + 3}

2. Montrer que la limite de

(v_{n})

est

- 3

Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2, 5

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = - u_{n}^{2} + 5 u_{n} - 3

On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.1) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(u_{n})

Python

[Modéliser.]
On considère la suite

(w_{n})

définie par

w_{0} = 5

et, pour tout entier naturel

n

w_{n + 1} = \frac{1}{w _{n}}

On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.001) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(0.00001) ?

2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(e) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite

(w_{n})

Vrai/Faux

[Raisonner.]
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si

(u_{n})

est une suite bornée, alors elle converge.

2. Si

(v_{n})

est une suite convergente, alors elle est bornée.

3. Si

(w_{n})

est une suite croissante et majorée par

M

, alors elle converge vers

M

Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite

(t_{n})

définie par

t_{0} = 5

et, pour tout entier naturel

n

t_{n + 1} = \frac{1}{3} t_{n} + 2

.

1. Les premières valeurs de la suite

(t_{n})

ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 48

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite

(t_{n})

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite

(t_{n})

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite

(t_{n})

2. Montrer que, pour tout entier naturel

n

0 < t_{n + 1} < t_{n}

3. Justifier que la suite

(t_{n})

converge.

4. Soit

ℓ

la limite de la suite

(t_{n})

. On admet que

ℓ

vérifie

ℓ = \frac{1}{3} ℓ + 2

. Déterminer la valeur de

ℓ

Tableur

[Raisonner.]
On considère la suite

(r_{n})

définie par

r_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

r_{n + 1} = \frac{r _{n}}{r _{n}^{2} + 1}

.

1. Les premières valeurs de la suite

(r_{n})

ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 49

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite

(r_{n})

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite

(r_{n})

c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite

(r_{n})

2. Montrer que, pour tout entier naturel

n

0 < r_{n} ⩽ 1

3. Déterminer le sens de variation de la suite

(r_{n})

4. Justifier que la suite

(r_{n})

converge.

5. Soit

ℓ

la limite de la suite

(r_{n})

. On admet que

ℓ

vérifie

ℓ = \frac{ℓ}{ℓ ^{2} + 1}

. Déterminer la valeur de

ℓ

La constante d'Apéry

[Raisonner.]
Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier

n ⩾ 1

par

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{3}} = \frac{1}{1 ^{3}} + \frac{1}{2 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}}

. 1. Montrer que la suite

(u_{n})

est croissante.

2. a. Pour tout entier

n ⩾ 1

, démontrer que

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

puis que

- \frac{1}{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{3}} ⩽ - \frac{1}{n + 1}

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} ⩽ 2 - \frac{1}{n}

3. En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente.

Histoire des maths

La limite de cette suite est appelée la constante d'Apéry et vaut environ 1,202 056 90. Elle doit son nom au mathématicien français Roger Apéry qui a prouvé en 1978 que ce nombre est irrationnel, deux ans après la publication d'un manifeste, Mathématiques constructives, défendant une philosophie originale des mathématiques. Apéry était également engagé politiquement.

Python

[Modéliser.]
D'après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le 1^er janvier 2014 et d'y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1^er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel

n

, on note

u_{n}

le montant présent sur ce compte au 1^er janvier de l'année

2014 + n

après le versement de 150 €. On a

u_{0} = 2000

. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à

1 0^{- 2}

près.

1. Combien d'argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?

2. Justifier que, pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 150

3. Pour tout entier

n

, on pose

v_{n} = u_{n} + 5000

.
Démontrer que la suite

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

1, 03

4. Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

et en déduire que, pour tout nombre entier

n

, on a :

u_{n} = 7000 \times 1, 0 3^{n} - 5000

5. Déterminer la limite de

(u_{n})

6. On considère le programme ci‑contre.

Suites - 1. Limites finies - exercice 51

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel programme(4000) ?

b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'énoncé.

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