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1. Limites finies
P.146-148

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Entraînement


1
Limites finies





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
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40
FLASH

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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41
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a : .
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42
FLASH

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que, pour tout , on a : .
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43
[Calculer.] ◉◉
Soit la suite définie, pour tout entier , par : .

1. Les premiers termes de la suite sont représentés ci‑dessous.

Suites - 1. Limites finies - exercice 43
Conjecturer la limite de la suite .


2. Montrer que, pour tout entier , on a .


3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.
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44
[Calculer.] ◉◉
Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .

1. Montrer que, pour tout entier naturel , on a : .


2. Montrer que la limite de est .
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45
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .
On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.1) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite  ?
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46
PYTHON
[Modéliser.]
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)


1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.00001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite  ?
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47
VRAI/FAUX
[Raisonner.] ◉◉
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si est une suite bornée, alors elle converge.


2. Si est une suite convergente, alors elle est bornée.


3. Si est une suite croissante et majorée par , alors elle converge vers .
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48
TABLEUR
[Raisonner.]
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Les premières valeurs de la suite ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 48

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite .


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite  ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite  ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel , .


3. Justifier que la suite converge.


4. Soit la limite de la suite . On admet que vérifie . Déterminer la valeur de .
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49
TABLEUR
[Raisonner.] ◉◉
On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Les premières valeurs de la suite ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

Suites - 1. Limites finies - exercice 49

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite .


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite  ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite  ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel , .


3. Déterminer le sens de variation de la suite .


4. Justifier que la suite converge.


5. Soit la limite de la suite . On admet que vérifie . Déterminer la valeur de .
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50
LA CONSTANTE D'APÉRY
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit la suite définie pour tout entier par .

1. Montrer que la suite est croissante.


2. a. Pour tout entier , démontrer que puis que .


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier  :
.


3. En déduire que la suite est convergente.



Histoire des maths

La limite de cette suite est appelée la constante d’Apéry et vaut environ 1,202 056 90. Elle doit son nom au mathématicien français Roger Apéry qui a prouvé en 1978 que ce nombre est irrationnel, deux ans après la publication d’un manifeste, Mathématiques constructives, défendant une philosophie originale des mathématiques. Apéry était également engagé politiquement.

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51
PYTHON
[Modéliser.] ◉◉
D’après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le 1er janvier 2014 et d’y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel , on note le montant présent sur ce compte au 1er janvier de l’année après le versement de 150 €. On a . Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à près.

1. Combien d’argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?


2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a : .


3. Pour tout entier , on pose .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .


4. Exprimer en fonction de et en déduire que, pour tout nombre entier , on a : .


5. Déterminer la limite de .


6. On considère le programme ci‑contre.

Suites - 1. Limites finies - exercice 51

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel programme(4000) ?


b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.
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