1

Limites finies

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

40

Déterminer les limites des suites ci-dessous.

1. $r_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}$


2. $s_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$


3. $t_{n}=\dfrac{1}{n^{8}}$


4. $u_{n}=\left(\dfrac{7}{9}\right)^{n}$


5. $v_{n}=\left(\dfrac{17}{21}\right)^{n}$


6. $w_{n}=n^{-7}$

41

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a : $\dfrac{-2 n^{4}+3 n \sqrt{n}-6}{6 n^{4}} \in\left]-0{,}334 ;-0{,}333\right[$.

42

À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a : $\dfrac{3 n^{2}-8 n+12}{24 n^{2}} \in \left]0{,}12\, ; 0{,}13\right[$.

43

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par : $u_{n}=\dfrac{4 n^{2}-2}{n^{2}}$.

1. Les premiers termes de la suite$(u_n)$ sont représentés ci‑dessous.

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.


2. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $u_{n}=4-\dfrac{2}{n^{2}}$.


3. Démontrer la conjecture émise à la question 1.

44

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=\dfrac{-6 n-2}{2 n+3}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n}=-3+\dfrac{7}{2 n+3}$.


2. Montrer que la limite de $(v_n)$ est $-3$.

45

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2{,}5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-u_{n}^{2}+5 u_{n}-3$.
On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(e):
	N = 0
	U = 2.5
	while abs(U - 3) >= e:
		N = N + 1
		U = -U**2 + 5*U - 3
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.1) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(u_n)$ ?

46

PYTHON

[Modéliser.]
On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1}{w_{n}}}$.
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(e):
	N = 0
	W = 5
	while abs(W - 1) >= e:
		N = N + 1
		W = sqrt(1/W)
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.001) ?


b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(0.00001) ?


2. De manière générale, quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel fonction(e) ?


3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite $(w_n)$ ?

47

VRAI/FAUX

[Raisonner.] ◉◉◉
Les justifications suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si $(u_n)$ est une suite bornée, alors elle converge.


2. Si $(v_n)$ est une suite convergente, alors elle est bornée.


3. Si $(w_n)$ est une suite croissante et majorée par $\text{M}$, alors elle converge vers $\text{M}$.

48

TABLEUR

[Raisonner.]
On considère la suite $(t_n)$ définie par $t_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=\dfrac{1}{3} t_{n}+2$.

1. Les premières valeurs de la suite $(t_n)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $(t_n)$.


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite $(t_n)$ ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite $(t_n)$ ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\lt t_{n+1}\lt t_{n}$.


3. Justifier que la suite $(t_n)$ converge.


4. Soit $\ell$ la limite de la suite $(t_n)$. On admet que $\ell$ vérifie $\ell=\dfrac{1}{3} \ell+2$. Déterminer la valeur de $\ell$.

49

TABLEUR

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère la suite $(r_n)$ définie par $r _0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $r_{n+1}=\dfrac{r_{n}}{\sqrt{r_{n}^{2}+1}}$.

1. Les premières valeurs de la suite $(r_n)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran.

a. Trouver la formule à saisir dans la cellule B3 puis à étirer vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $(r_n)$.


b. Quelle conjecture peut‑on faire sur les variations de la suite $(r_n)$ ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite de la suite $(r_n)$ ?


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\lt r_{n} \leqslant 1$.


3. Déterminer le sens de variation de la suite $(r_n)$.


4. Justifier que la suite $(r_n)$ converge.


5. Soit $\ell$ la limite de la suite $(r_n)$. On admet que $\ell$ vérifie $\ell=\dfrac{\ell}{\sqrt{\ell^{2}+1}}$. Déterminer la valeur de $\ell$.

50

LA CONSTANTE D'APÉRY

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k^{3}}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.


2. a. Pour tout entier $n \geqslant 1$, démontrer que $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}$ puis que $-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^{3}} \leqslant-\dfrac{1}{n+1}$.


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :
$u_{n} \leqslant 2-\dfrac{1}{n}$.


3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

51

PYTHON

[Modéliser.] ◉◉◉
D’après bac L/ES, Polynésie, septembre 2014
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le 1^er janvier 2014 et d’y placer 2 000 €. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 € sur ce compte chaque 1^er janvier de l'année suivante.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le montant présent sur ce compte au 1^er janvier de l’année $2014 + n$ après le versement de 150 €. On a $u_0=2 000$. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

1. Combien d’argent cette personne aura‑t‑elle sur son compte épargne en 2015 puis en 2016 ?


2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=1{,}03 u_{n}+150$.


3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n+5 000$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $1{,}03$.


4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout nombre entier $n$, on a : $u_{n}=7 000 \times 1{,}03^{n}-5 000$.


5. Déterminer la limite de $(u_n)$.


6. On considère le programme ci‑contre.

a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l’appel programme(4000) ?


b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.