Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 4

Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral

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17
Quelle semble être la limite de la suite définie sur

N

représentée ci‑dessous ?

Suites - Travailler les automatismes - exercice 17

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18
À l'aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d'une suite

(u_{n})

et d'une suite

(v_{n})

définies sur

N

. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?

Suites - Travailler les automatismes - exercice 18

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19
Conjecturer un majorant de la suite définie sur

N

représentée ci‑dessous.

Suites - Travailler les automatismes - exercice 19

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20
Conjecturer un majorant de la suite définie sur

N

représentée ci‑dessous.

Suites - Travailler les automatismes - exercice 20

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Utilisation de la définition d'une limite

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21
Soit

(w_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

non nul, par

w_{n} = 2 + \frac{1}{n}

.

1. a. Déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

w_{n} \in] 1, 99; 2, 01 [

b. Déterminer le plus petit entier

n_{1}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{1}

, on a

∣ w_{n} - 2 ∣ ⩽ 1 0^{- 4}

c. Soit

ε

un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier

n_{2}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{2}

, on a

w_{n} \in] 2 - ε; 2 + ε [

2. En déduire

n \to + \infty lim w_{n}

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22
Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = 3 n - 4

.

1. a. Déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

u_{n} ⩾ 100

b. Déterminer le plus petit entier

n_{1}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{1}

, on a

u_{n} ⩾ 1000

c. Soit

A

un nombre réel. Déterminer le plus petit entier

n_{2}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{2}

, on a

u_{n} ⩾ A

2. En déduire

n \to + \infty lim u_{n}

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23
Soit

(v_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = - 5 n^{2}

.

1. a. Déterminer le plus petit entier

n_{0}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{0}

, on a

v_{n} ⩽ - 720

b. Déterminer le plus petit entier

n_{1}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{1}

, on a

v_{n} ⩽ - 3125

c. Soit

A

un nombre réel. Déterminer le plus petit entier

n_{2}

tel que, pour tout

n ⩾ n_{2}

, on a

v_{n} ⩽ A

2. En déduire

n \to + \infty lim v_{n}

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Majorants, minorants

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24

1. Montrer que la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 2}

est majorée par

2

2. Montrer que la suite

(v_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = \frac{n ^{2} + ( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

est minorée par

0

3. Montrer que la suite

(w_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

w_{n} = n + 1 - n

est minorée par

0

et majorée par

1

4. Montrer par récurrence que la suite

(t_{n})

définie par

t_{0} = - 2

et, pour tout entier naturel

n

t_{n + 1} = \frac{1}{4} t_{n} - 2

est minorée par

- 3

et majorée par

- 1

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Opérations sur les limites

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Pour les exercices
25
à
32

Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.

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25

1.

r_{n} = n + n^{2}

s_{n} = 3 + \frac{1}{n ^{4}}

t_{n} = (\frac{4}{3})^{n} + \frac{1}{n ^{2}}

u_{n} = \frac{1}{n} - n^{3}

v_{n} = - (n + π^{n})

w_{n} = - 4 + (\frac{7}{1 0})^{n} + n^{5}

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26

1.

r_{n} = n^{2} - n

s_{n} = - n + n

t_{n} = - (- n + n^{7})

u_{n} = - (n^{6} - n^{3})

v_{n} = n^{5} - n^{3} + n

w_{n} = n^{6} - n^{4} + n^{2} - n

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27

1.

r_{n} = (n^{5} + 4) (n - 3)

s_{n} = 5 \times (\frac{1 8 5}{1 9 2})^{n}

t_{n} = (8 n - 2) (3 + \frac{1}{n})

u_{n} = - 2 \times (\frac{1 4 4}{1 2 1})^{n}

v_{n} = (6 - n^{4}) (\frac{1}{n ^{3}} + 7)

w_{n} = (4 - n^{7}) (n^{9} + 1)

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28

1.

t_{n} = \frac{1}{n ^{2}} (2 n + 4)

u_{n} = \frac{1}{n} (2 n + 4)

v_{n} = \frac{1}{n ^{4}} (n^{3} + 2 n^{2})

w_{n} = \frac{1}{n} (- n - n)

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29

1.

t_{n} = \frac{1}{n ^{5}} (- 8 - n^{6})

u_{n} = \frac{1}{n} (- n^{3} + 3)

v_{n} = \frac{1}{n} (2 n - 3)

w_{n} = \frac{1}{n ^{3}} (1 - n^{3})

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30

1.

r_{n} = \frac{2}{n ^{2} - 4}

s_{n} = \frac{n ^{3}}{4 + \frac{1}{n}}

t_{n} = \frac{4 - \frac{1}{n}}{\frac{1}{n ^{3}} - 6}

u_{n} = \frac{1}{( \frac{4}{3} ) ^{n}}

v_{n} = \frac{- n}{( \frac{3}{4} ) ^{n}}

w_{n} = \frac{( \frac{5}{7} ) ^{n}}{\frac{1}{n ^{2}} - 9}

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31

1.

r_{n} = \frac{3 n ^{2} + 4}{2 n + 2}

s_{n} = \frac{( \frac{7}{5} ) ^{n}}{( \frac{4}{3} ) ^{n}}

t_{n} = \frac{2 n - 4}{7 - 3 n}

u_{n} = \frac{1 2 n ^{2}}{5 n ^{7}}

v_{n} = \frac{( \frac{3}{5} ) ^{n}}{( \frac{2}{3} ) ^{n}}

w_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{n + 1}

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32

1.

r_{n} = \frac{4 - 5 n}{2 n ^{2} + 1}

s_{n} = \frac{( \frac{6}{1 9} ) ^{n}}{( \frac{4}{1 1} ) ^{n}}

t_{n} = \frac{- 6 n ^{2} + 3}{- n - 2 n ^{2}}

u_{n} = \frac{( \frac{1 8}{5} ) ^{n}}{( \frac{1 6}{1 1} ) ^{n}}

v_{n} = \frac{n ^{2} + n + 1}{n ^{3}}

w_{n} = \frac{n ^{2} - 4}{n + 2}

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Théorèmes de comparaison

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33

1. Soit

(u_{n})

une suite telle que, pour tout entier naturel

n

u_{n} ⩾ n^{2} + 1

. Déterminer

n \to + \infty lim u_{n}

2. Soit

(v_{n})

une suite telle que, pour tout entier naturel

n

v_{n} ⩽ - 3 n - 4

. Déterminer

n \to + \infty lim v_{n}

3. Soit

(w_{n})

une suite telle que, pour tout entier naturel

n

- 1 + 2 n ⩽ w_{n} ⩽ 1 + 2 n

. Déterminer

n \to + \infty lim w_{n}

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34

Justifier que, pour tout entier naturel

n

n^{3} + 1 ⩾ n n

. En déduire

n \to + \infty lim n^{3} + 1

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35

Soit

(t_{n})

la suite définie par

t_{0} = 5

et, pour tout entier naturel

n

t_{n + 1} = t_{n} - 5 n - 4

.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier

n ⩾ 2

t_{n} ⩽ - n^{2}

2. En déduire

n \to + \infty lim t_{n}

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36

Soit

(u_{n})

la suite définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = 0, 5 9^{n} (5 + (- 1)^{n})

.

1. Pour tout entier naturel

n

, déterminer un encadrement de

u_{n}

2. En déduire

n \to + \infty lim u_{n}

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37

Soit

(v_{n})

la suite définie pour tout entier

n ⩾ 1

par

v_{n} = \frac{sin ( n )}{n ^{3}}

.

1. Pour tout

n ⩾ 1

, déterminer un encadrement de

v_{n}

2. En déduire

n \to + \infty lim v_{n}

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Exercices inversés

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38

Déterminer cinq suites distinctes dont les limites sont égales à

4

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39

On lit le raisonnement suivant :
« On a

u_{n} ⩽ w_{n} ⩽ v_{n}

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim v_{n} = - 5

donc

n \to + \infty lim w_{n} = - 5

. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d'exercice.

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