Travailler les automatismes

À L'ORAL

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17

Quelle semble être la limite de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous ?

18

À l’aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d’une suite $(u_n)$ et d’une suite $(v_n)$ définies sur $\mathbb{N}$. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?

19

Conjecturer un majorant de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous.

20

Conjecturer un majorant de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous.

21

Soit $(w_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $w_{n}=2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $\left.w_{n} \in\right] 1{,}99 ; 2{,}01[$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{1}$, on a $\left|w_{n}-2\right| \leqslant 10^{-4}$.


c. Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{2}$, on a $\left.w_{n} \in\right] 2-\varepsilon ; 2+\varepsilon[$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}$.

22

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=3 n-4$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \geqslant 100$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{1}$, on a $u_{n} \geqslant 1 000$.


c. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{2}$, on a $u_{n} \geqslant \mathrm{A}$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

23

Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=-5 n^{2}$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, on a $v_{n} \leqslant -720$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{1}$, on a $v_{n} \leqslant -3 125$.


c. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n \geqslant n_2$, on a $v_{n} \leqslant \mathrm{A}$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.

24

1. Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=\dfrac{2 n+3}{n+2}$ est majorée par $2$.


2. Montrer que la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=\dfrac{n^{2}+(-1)^{n}}{n+1}$ est minorée par $0$.


3. Montrer que la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ est minorée par $0$ et majorée par $1$.


4. Montrer par récurrence que la suite $(t_n)$ définie par $t_{0}=-\sqrt{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=\dfrac{1}{4} t_{n}-2$ est minorée par $-3$ et majorée par $-1$.

Pour les exercices

25

à 

32

Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.

25

1. $r_{n}=\sqrt{n}+n^{2}$


2. $s_{n}=3+\dfrac{1}{n^{4}}$


3. $t_{n}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{n^{2}}$


4. $u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-n^{3}$


5. $v_{n}=-\left(n+\pi^{n}\right)$


6. $w_{n}=-4+\left(\dfrac{7}{10}\right)^{n}+n^{5}$

26

1. $r_{n}=n^{2}-n$


2. $s_{n}=-n+\sqrt{n}$


3. $t_{n}=-\left(-\sqrt{n}+n^{7}\right)$


4. $u_{n}=-\left(n^{6}-n^{3}\right)$


5. $v_{n}=n^{5}-n^{3}+n$


6. $w_{n}=n^{6}-n^{4}+n^{2}-n$

27

1. $r_{n}=\left(n^{5}+4\right)(n-3)$


2. $s_{n}=5 \times\left(\dfrac{185}{192}\right)^{n}$


3. $t_{n}=(8 n-2)\left(3+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$


4. $u_{n}=-2 \times\left(\dfrac{144}{121}\right)^{n}$


5. $v_{n}=\left(6-n^{4}\right)\left(\dfrac{1}{n^{3}}+7\right)$


6. $w_{n}=\left(4-n^{7}\right)\left(n^{9}+1\right)$

28

1. $t_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}(2 n+4)$


2. $u_{n}=\dfrac{1}{n}(2 n+4)$


3. $v_{n}=\dfrac{1}{n^{4}}\left(n^{3}+2 n^{2}\right)$


4. $w_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}(-n-\sqrt{n})$

29

1. $t_{n}=\dfrac{1}{n^{5}}\left(-8-n^{6}\right)$


2. $u_{n}=\dfrac{1}{n}\left(-n^{3}+3\right)$


3. $v_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}(2 n-3)$


4. $w_{n}=\dfrac{1}{n^{3}}\left(1-n^{3}\right)$

30

1. $r_{n}=\dfrac{2}{n^{2}-4}$


2. $s_{n}=\dfrac{n^{3}}{4+\dfrac{1}{n}}$


3. $t_{n}=\dfrac{4-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\dfrac{1}{n^{3}}-6}$


4. $u_{n}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}}$


5. $v_{n}=\dfrac{-n}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}}$


6. $w_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}-9}$

31

1. $r_{n}=\dfrac{3 n^{2}+4}{2 n+2}$


2. $s_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}}$


3. $t_{n}=\dfrac{2 n-4}{7-3 n}$


4. $u_{n}=\dfrac{12 n^{2}}{5 n^{7}}$


5. $v_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}$


6. $w_{n}=\dfrac{n^{2}-1}{n+1}$

32

1. $r_{n}=\dfrac{4-5 n}{2 n^{2}+1}$


2. $s_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{6}{19}\right)^{n}}{\left(\dfrac{4}{11}\right)^{n}}$


3. $t_{n}=\dfrac{-6 n^{2}+3}{-n-2 n^{2}}$


4. $u_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{18}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{16}{11}\right)^{n}}$


5. $v_{n}=\dfrac{n^{2}+n+1}{n^{3}}$


6. $w_{n}=\dfrac{n^{2}-4}{n+2}$

33

1. Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \geqslant n^{2}+1$. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.


2. Soit $(v_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n} \leqslant-3 n-4$. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.


3. Soit $(w_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $-1+2 n \leqslant w_{n} \leqslant 1+2 n$. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}$.

34

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{n^{3}+1} \geqslant n \sqrt{n}$. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n^{3}+1}$.

35

Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=t_{n}-5 n-4$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 2$, $t_{n} \leqslant-n^{2}$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}$.

36

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=0{,}59^{n}\left(5+(-1)^{n}\right)$.

1. Pour tout entier naturel $n$, déterminer un encadrement de $u_n$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}$.

37

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $v_{n}=\dfrac{\sin (n)}{n^{3}}$.

1. Pour tout $n \geqslant 1$, déterminer un encadrement de $v_n$.


2. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}$.

38

Déterminer cinq suites distinctes dont les limites sont égales à $4$.

39

On lit le raisonnement suivant :
« On a $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-5$ donc $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=-5$. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d’exercice.