Travailler les automatismes

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17

Quelle semble être la limite de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous ?

18

À l’aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d’une suite $(u_n)$ et d’une suite $(v_n)$ définies sur $\mathbb{N}$. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?

19

Conjecturer un majorant de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous.

20

Conjecturer un majorant de la suite définie sur $\mathbb{N}$ représentée ci‑dessous.

21

Soit $(w_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $w_n=2+\frac{1}{\sqrt{n}}$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $w_n\in ]1,99;2,01[$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, on a $\left|w_n-2\right|⩽10^{-4}$.


c. Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n⩾n_2$, on a $w_n\in ]2-\epsilon ;2+\epsilon [$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n$.

22

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=3n-4$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $u_n⩾100$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, on a $u_n⩾1000$.


c. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n⩾n_2$, on a $u_n⩾\mathrm{A}$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

23

Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=-5n^2$.

1. a. Déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, on a $v_n⩽-720$.


b. Déterminer le plus petit entier $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, on a $v_n⩽-3125$.


c. Soit $\text{A}$ un nombre réel. Déterminer le plus petit entier $n_2$ tel que, pour tout $n⩾n_2$, on a $v_n⩽\mathrm{A}$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n$.

24

1. Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\frac{2n+3}{n+2}$ est majorée par $2$.


2. Montrer que la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\frac{n^2+(-1{)}^n}{n+1}$ est minorée par $0$.


3. Montrer que la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ est minorée par $0$ et majorée par $1$.


4. Montrer par récurrence que la suite $(t_n)$ définie par $t_0=-\sqrt{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=\frac{1}{4}{t}_n-2$ est minorée par $-3$ et majorée par $-1$.

Pour les exercices

25

à 

32

Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.

25

1. $r_n=\sqrt{n}+n^2$


2. $s_n=3+\frac{1}{n^4}$


3. $t_n={\left(\frac{4}{3}\right)}^n+\frac{1}{n^2}$


4. $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-n^3$


5. $v_n=-\left(n+{\pi }^n\right)$


6. $w_n=-4+{\left(\frac{7}{10}\right)}^n+n^5$

26

1. $r_n=n^2-n$


2. $s_n=-n+\sqrt{n}$


3. $t_n=-\left(-\sqrt{n}+n^7\right)$


4. $u_n=-\left(n^6-n^3\right)$


5. $v_n=n^5-n^3+n$


6. $w_n=n^6-n^4+n^2-n$

27

1. $r_n=\left(n^5+4\right)(n-3)$


2. $s_n=5\times {\left(\frac{185}{192}\right)}^n$


3. $t_n=(8n-2)\left(3+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$


4. $u_n=-2\times {\left(\frac{144}{121}\right)}^n$


5. $v_n=\left(6-n^4\right)\left(\frac{1}{n^3}+7\right)$


6. $w_n=\left(4-n^7\right)\left(n^9+1\right)$

28

1. $t_n=\frac{1}{n^2}(2n+4)$


2. $u_n=\frac{1}{n}(2n+4)$


3. $v_n=\frac{1}{n^4}\left(n^3+2n^2\right)$


4. $w_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(-n-\sqrt{n})$

29

1. $t_n=\frac{1}{n^5}\left(-8-n^6\right)$


2. $u_n=\frac{1}{n}\left(-n^3+3\right)$


3. $v_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(2n-3)$


4. $w_n=\frac{1}{n^3}\left(1-n^3\right)$

30

1. $r_n=\frac{2}{n^2-4}$


2. $s_n=\frac{n^3}{4+\frac{1}{n}}$


3. $t_n=\frac{4-\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^3}-6}$


4. $u_n=\frac{1}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^n}$


5. $v_n=\frac{-n}{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n}$


6. $w_n=\frac{{\left(\frac{5}{7}\right)}^n}{\frac{1}{n^2}-9}$

31

1. $r_n=\frac{3n^2+4}{2n+2}$


2. $s_n=\frac{{\left(\frac{7}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^n}$


3. $t_n=\frac{2n-4}{7-3n}$


4. $u_n=\frac{12n^2}{5n^7}$


5. $v_n=\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$


6. $w_n=\frac{n^2-1}{n+1}$

32

1. $r_n=\frac{4-5n}{2n^2+1}$


2. $s_n=\frac{{\left(\frac{6}{19}\right)}^n}{{\left(\frac{4}{11}\right)}^n}$


3. $t_n=\frac{-6n^2+3}{-n-2n^2}$


4. $u_n=\frac{{\left(\frac{18}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{16}{11}\right)}^n}$


5. $v_n=\frac{n^2+n+1}{n^3}$


6. $w_n=\frac{n^2-4}{n+2}$

33

1. Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾n^2+1$. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.


2. Soit $(v_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $v_n⩽-3n-4$. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n$.


3. Soit $(w_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $-1+2n⩽w_n⩽1+2n$. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n$.

34

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{n^3+1}⩾n\sqrt{n}$. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\sqrt{n^3+1}$.

35

Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=t_n-5n-4$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾2$, $t_n⩽-n^2$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{t}_n$.

36

Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=0,59^n\left(5+(-1{)}^n\right)$.

1. Pour tout entier naturel $n$, déterminer un encadrement de $u_n$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n$.

37

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $v_n=\frac{\sin (n)}{n^3}$.

1. Pour tout $n⩾1$, déterminer un encadrement de $v_n$.


2. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n$.

38

Déterminer cinq suites distinctes dont les limites sont égales à $4$.

39

On lit le raisonnement suivant :
« On a $u_n⩽w_n⩽v_n$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-5$ donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{w}_n=-5$. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d’exercice.