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17
Quelle semble être la limite de la suite définie sur N représentée ci‑dessous ?
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18
À l’aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d’une suite (un) et d’une suite (vn) définies sur N. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?
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19
Conjecturer un majorant de la suite définie sur N représentée ci‑dessous.
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20
Conjecturer un majorant de la suite définie sur N représentée ci‑dessous.
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Utilisation de la définition d’une limite
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21
Soit (wn) la suite définie, pour tout entier naturel n non nul, par wn=2+n1.
1.a. Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a wn∈]1,99;2,01[.
b. Déterminer le plus petit entier n1 tel que, pour tout n⩾n1, on a ∣wn−2∣⩽10−4.
c. Soit ε un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier n2 tel que, pour tout n⩾n2, on a wn∈]2−ε;2+ε[.
2. En déduire n→+∞limwn.
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22
Soit (un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par un=3n−4.
1.a. Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a un⩾100.
b. Déterminer le plus petit entier n1 tel que, pour tout n⩾n1, on a un⩾1000.
c. Soit A un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n2 tel que, pour tout n⩾n2, on a un⩾A.
2. En déduire n→+∞limun.
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23
Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=−5n2.
1.a. Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n⩾n0, on a vn⩽−720.
b. Déterminer le plus petit entier n1 tel que, pour tout n⩾n1, on a vn⩽−3125.
c. Soit A un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n2 tel que, pour tout n⩾n2, on a vn⩽A.
2. En déduire n→+∞limvn.
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Majorants, minorants
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24
1. Montrer que la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un=n+22n+3 est majorée par 2.
2. Montrer que la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn=n+1n2+(−1)n est minorée par 0.
3. Montrer que la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par wn=n+1−n est minorée par 0 et
majorée par 1.
4. Montrer par récurrence que la suite (tn) définie par t0=−2 et, pour tout entier naturel n, tn+1=41tn−2 est minorée par −3 et majorée par −1.
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Opérations sur les limites
Pour les exercices
25
à
32
Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.
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25
1.rn=n+n2
2.sn=3+n41
3.tn=(34)n+n21
4.un=n1−n3
5.vn=−(n+πn)
6.wn=−4+(107)n+n5
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26
1.rn=n2−n
2.sn=−n+n
3.tn=−(−n+n7)
4.un=−(n6−n3)
5.vn=n5−n3+n
6.wn=n6−n4+n2−n
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27
1.rn=(n5+4)(n−3)
2.sn=5×(192185)n
3.tn=(8n−2)(3+n1)
4.un=−2×(121144)n
5.vn=(6−n4)(n31+7)
6.wn=(4−n7)(n9+1)
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28
1.tn=n21(2n+4)
2.un=n1(2n+4)
3.vn=n41(n3+2n2)
4.wn=n1(−n−n)
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29
1.tn=n51(−8−n6)
2.un=n1(−n3+3)
3.vn=n1(2n−3)
4.wn=n31(1−n3)
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30
1.rn=n2−42
2.sn=4+n1n3
3.tn=n31−64−n1
4.un=(34)n1
5.vn=(43)n−n
6.wn=n21−9(75)n
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31
1.rn=2n+23n2+4
2.sn=(34)n(57)n
3.tn=7−3n2n−4
4.un=5n712n2
5.vn=(32)n(53)n
6.wn=n+1n2−1
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32
1.rn=2n2+14−5n
2.sn=(114)n(196)n
3.tn=−n−2n2−6n2+3
4.un=(1116)n(518)n
5.vn=n3n2+n+1
6.wn=n+2n2−4
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Théorèmes de comparaison
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33
1. Soit (un) une suite telle que, pour tout entier naturel n, un⩾n2+1. Déterminer n→+∞limun.
2. Soit (vn) une suite telle que, pour tout entier naturel n, vn⩽−3n−4. Déterminer n→+∞limvn.
3. Soit (wn) une suite telle que, pour tout entier naturel n, −1+2n⩽wn⩽1+2n. Déterminer n→+∞limwn.
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34
Justifier que, pour tout entier naturel n, n3+1⩾nn. En déduire n→+∞limn3+1.
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35
Soit (tn) la suite définie par t0=5 et, pour tout entier naturel n, tn+1=tn−5n−4.
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n⩾2, tn⩽−n2.
2. En déduire n→+∞limtn.
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36
Soit (un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par un=0,59n(5+(−1)n).
1. Pour tout entier naturel n, déterminer un encadrement de un.
2. En déduire n→+∞limun.
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37
Soit (vn) la suite définie pour tout entier n⩾1 par vn=n3sin(n).
1. Pour tout n⩾1, déterminer un encadrement de vn.
2. En déduire n→+∞limvn.
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Exercices inversés
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38
Déterminer cinq suites distinctes dont les limites
sont égales à 4.
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39
On lit le raisonnement suivant :
« On a un⩽wn⩽vn et n→+∞limun=n→+∞limvn=−5 donc n→+∞limwn=−5. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d’exercice.
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