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Travailler les automatismes
P.144-145

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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17
Quelle semble être la limite de la suite définie sur N\mathbb{N} représentée ci‑dessous ?


Suites - Travailler les automatismes - exercice 17
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18
À l’aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d’une suite (un)(u_n) et d’une suite (vn)(v_n) définies sur N\mathbb{N}. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?


Suites - Travailler les automatismes - exercice 18
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19
Conjecturer un majorant de la suite définie sur N\mathbb{N} représentée ci‑dessous.


Suites - Travailler les automatismes - exercice 19
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20
Conjecturer un majorant de la suite définie sur N\mathbb{N} représentée ci‑dessous.


Suites - Travailler les automatismes - exercice 20
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Utilisation de la définition d’une limite

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21
Soit (wn)(w_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn non nul, par wn=2+1nw_{n}=2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

1. a. Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a wn]1,99 ; 2,01[\left.w_{n} \in\right] 1{,}99 ; 2{,}01[.


b. Déterminer le plus petit entier n1n_1 tel que, pour tout nn1n \geqslant n_{1}, on a wn2104\left|w_{n}-2\right| \leqslant 10^{-4}.


c. Soit ε\varepsilon un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier n2n_2 tel que, pour tout nn2n \geqslant n_{2}, on a wn]2ε ; 2+ε[\left.w_{n} \in\right] 2-\varepsilon ; 2+\varepsilon[.


2. En déduire limn+wn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}.
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22
Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par un=3n4u_{n}=3 n-4.

1. a. Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a un100u_{n} \geqslant 100.


b. Déterminer le plus petit entier n1n_1 tel que, pour tout nn1n \geqslant n_{1}, on a un1 000u_{n} \geqslant 1 000.


c. Soit A\text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n2n_2 tel que, pour tout nn2n \geqslant n_{2}, on a unAu_{n} \geqslant \mathrm{A}.


2. En déduire limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.
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23
Soit (vn)(v_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par vn=5n2v_{n}=-5 n^{2}.

1. a. Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, on a vn720v_{n} \leqslant -720.


b. Déterminer le plus petit entier n1n_1 tel que, pour tout nn1n \geqslant n_{1}, on a vn3 125v_{n} \leqslant -3 125.


c. Soit A\text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n2n_2 tel que, pour tout nn2n \geqslant n_2, on a vnAv_{n} \leqslant \mathrm{A}.


2. En déduire limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.
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Majorants, minorants

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24

1. Montrer que la suite (un)(u_n) définie, pour tout entier naturel nn, par un=2n+3n+2u_{n}=\dfrac{2 n+3}{n+2} est majorée par 22.


2. Montrer que la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=n2+(1)nn+1v_{n}=\dfrac{n^{2}+(-1)^{n}}{n+1} est minorée par 00.


3. Montrer que la suite (wn)(w_n) définie, pour tout entier naturel nn, par wn=n+1nw_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} est minorée par 00 et majorée par 11.


4. Montrer par récurrence que la suite (tn)(t_n) définie par t0=2t_{0}=-\sqrt{2} et, pour tout entier naturel nn, tn+1=14tn2t_{n+1}=\dfrac{1}{4} t_{n}-2 est minorée par 3-3 et majorée par 1-1.
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Opérations sur les limites


Pour les exercices
25
à 
32

Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.
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25

1. rn=n+n2r_{n}=\sqrt{n}+n^{2}


2. sn=3+1n4s_{n}=3+\dfrac{1}{n^{4}}


3. tn=(43)n+1n2t_{n}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}+\dfrac{1}{n^{2}}


4. un=1nn3u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-n^{3}


5. vn=(n+πn)v_{n}=-\left(n+\pi^{n}\right)


6. wn=4+(710)n+n5w_{n}=-4+\left(\dfrac{7}{10}\right)^{n}+n^{5}
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26

1. rn=n2nr_{n}=n^{2}-n


2. sn=n+ns_{n}=-n+\sqrt{n}


3. tn=(n+n7)t_{n}=-\left(-\sqrt{n}+n^{7}\right)


4. un=(n6n3)u_{n}=-\left(n^{6}-n^{3}\right)


5. vn=n5n3+nv_{n}=n^{5}-n^{3}+n


6. wn=n6n4+n2nw_{n}=n^{6}-n^{4}+n^{2}-n
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27

1. rn=(n5+4)(n3)r_{n}=\left(n^{5}+4\right)(n-3)


2. sn=5×(185192)ns_{n}=5 \times\left(\dfrac{185}{192}\right)^{n}


3. tn=(8n2)(3+1n)t_{n}=(8 n-2)\left(3+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)


4. un=2×(144121)nu_{n}=-2 \times\left(\dfrac{144}{121}\right)^{n}


5. vn=(6n4)(1n3+7)v_{n}=\left(6-n^{4}\right)\left(\dfrac{1}{n^{3}}+7\right)


6. wn=(4n7)(n9+1)w_{n}=\left(4-n^{7}\right)\left(n^{9}+1\right)
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28

1. tn=1n2(2n+4)t_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}(2 n+4)


2. un=1n(2n+4)u_{n}=\dfrac{1}{n}(2 n+4)


3. vn=1n4(n3+2n2)v_{n}=\dfrac{1}{n^{4}}\left(n^{3}+2 n^{2}\right)


4. wn=1n(nn)w_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}(-n-\sqrt{n})
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29

1. tn=1n5(8n6)t_{n}=\dfrac{1}{n^{5}}\left(-8-n^{6}\right)


2. un=1n(n3+3)u_{n}=\dfrac{1}{n}\left(-n^{3}+3\right)


3. vn=1n(2n3)v_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}(2 n-3)


4. wn=1n3(1n3)w_{n}=\dfrac{1}{n^{3}}\left(1-n^{3}\right)
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30

1. rn=2n24r_{n}=\dfrac{2}{n^{2}-4}


2. sn=n34+1ns_{n}=\dfrac{n^{3}}{4+\dfrac{1}{n}}


3. tn=41n1n36t_{n}=\dfrac{4-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\dfrac{1}{n^{3}}-6}


4. un=1(43)nu_{n}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}}


5. vn=n(34)nv_{n}=\dfrac{-n}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}}


6. wn=(57)n1n29w_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}-9}
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31

1. rn=3n2+42n+2r_{n}=\dfrac{3 n^{2}+4}{2 n+2}


2. sn=(75)n(43)ns_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}}


3. tn=2n473nt_{n}=\dfrac{2 n-4}{7-3 n}


4. un=12n25n7u_{n}=\dfrac{12 n^{2}}{5 n^{7}}


5. vn=(35)n(23)nv_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}


6. wn=n21n+1w_{n}=\dfrac{n^{2}-1}{n+1}
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32

1. rn=45n2n2+1r_{n}=\dfrac{4-5 n}{2 n^{2}+1}


2. sn=(619)n(411)ns_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{6}{19}\right)^{n}}{\left(\dfrac{4}{11}\right)^{n}}


3. tn=6n2+3n2n2t_{n}=\dfrac{-6 n^{2}+3}{-n-2 n^{2}}


4. un=(185)n(1611)nu_{n}=\dfrac{\left(\dfrac{18}{5}\right)^{n}}{\left(\dfrac{16}{11}\right)^{n}}


5. vn=n2+n+1n3v_{n}=\dfrac{n^{2}+n+1}{n^{3}}


6. wn=n24n+2w_{n}=\dfrac{n^{2}-4}{n+2}
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Théorèmes de comparaison

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33

1. Soit (un)(u_n) une suite telle que, pour tout entier naturel nn, unn2+1u_{n} \geqslant n^{2}+1. Déterminer limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.


2. Soit (vn)(v_n) une suite telle que, pour tout entier naturel nn, vn3n4v_{n} \leqslant-3 n-4. Déterminer limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.


3. Soit (wn)(w_n) une suite telle que, pour tout entier naturel nn, 1+2nwn1+2n-1+2 n \leqslant w_{n} \leqslant 1+2 n. Déterminer limn+wn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}.
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34

Justifier que, pour tout entier naturel nn, n3+1nn\sqrt{n^{3}+1} \geqslant n \sqrt{n}. En déduire limn+n3+1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n^{3}+1}.
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35

Soit (tn)(t_n) la suite définie par t0=5t_0=5 et, pour tout entier naturel nn, tn+1=tn5n4t_{n+1}=t_{n}-5 n-4.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n2n \geqslant 2, tnn2t_{n} \leqslant-n^{2}.


2. En déduire limn+tn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}.
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36

Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par un=0,59n(5+(1)n)u_{n}=0{,}59^{n}\left(5+(-1)^{n}\right).

1. Pour tout entier naturel nn, déterminer un encadrement de unu_n.


2. En déduire limn+un\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.
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37

Soit (vn)(v_n) la suite définie pour tout entier n1n \geqslant 1 par vn=sin(n)n3v_{n}=\dfrac{\sin (n)}{n^{3}}.

1. Pour tout n1n \geqslant 1, déterminer un encadrement de vnv_n.


2. En déduire limn+vn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.
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Exercices inversés

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38

Déterminer cinq suites distinctes dont les limites sont égales à 44.
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39

On lit le raisonnement suivant :
« On a unwnvnu_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} et limn+un=limn+vn=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-5 donc limn+wn=5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=-5. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d’exercice.
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