4

Limites et comparaison

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

77

Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+(-1)^{n}\right)$.

78

Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2 n^{7}+\cos (n)\right)$.

79

Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{7}{3}+\dfrac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right)$.

80

[Raisonner.] ◉◉◉
D’après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{3} b_{n}+n-2$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 5$, $b_n \geqslant n-3$.


2. En déduire la limite de la suite $(b_n)$.

81

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_{n}=n^{4}+\sqrt{n^{2}-3 n+5}-8$.

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $c_{n} \geqslant n^{4}-8$.


2. En déduire la limite de la suite $(c_n)$.

82

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(d_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $d_{n}=\dfrac{2-4 n}{3 \sin (2 n)-8}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $d_{n} \geqslant \dfrac{4 n-2}{11}$.


2. En déduire la limite de la suite $(d_n)$.

83

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(e_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $e_{n}=\dfrac{11 n^{2}}{4 \sin (2 n)-7}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $e_{n} \leqslant-n^{2}$.


2. En déduire la limite de la suite $(e_n)$.

84

[Calculer.]
Soit $(t_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $t_{n}=\sqrt{n}+\cos (n)\left(4 \cos ^{2}(n)-3\right)+1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\cos (3 n)=\cos (n)\left[4 \cos ^{2}(n)-3\right]$.


2. Déterminer alors la limite de la suite $(t_n)$.

85

[Calculer.]
Soit $(k_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $k_{n}=\dfrac{n^{2}+\sin (n)}{n^{3}-2 n+5}$.

1. On a représenté ci‑dessous les premiers termes de la suite $(k_n)$.

Conjecturer la limite de la suite $(k_n)$.

2. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $\dfrac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5} \leqslant k_{n} \leqslant \dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}$.


3. a. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}$.

b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} k_n$.

86

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(a_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $a_{n}=\dfrac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^{2}+n+1}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $\dfrac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \dfrac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}$.


2. a. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_n$.

87

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(b_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 4$, par $b_{n}=\dfrac{2 n+(-1)^{n} \cos (n)}{3-n}$.

1. Pour tout entier $n \geqslant 4$, montrer que $\dfrac{2 n-1}{3-n} \geqslant b_{n} \geqslant \dfrac{2 n+1}{3-n}$.


2. a. Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{2 n-1}{3-n}$ et $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{2 n+1}{3-n}$.


b. En déduire $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_n$.

88

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_{n}=\dfrac{1-\cos ^{2}(n)}{3 n^{2}-2 n+2+(-1)^{n}}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, déterminer un encadrement de $c_n$.


2. En déduire que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}c_n=0$.

89

[Raisonner.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_{n} \leqslant 1$ et $0 \leqslant v_{n} \leqslant 1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant u_{n}$ et $0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant v_{n}$.


2. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $1$.

90

[Calculer.]
Soit $(d_n)$ la suite définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $d_{n}=\dfrac{1-\sin ^{2}(n)}{\sqrt{n} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+n\right)}$.

1. Pour tout entier $n \geqslant 1$, montrer que $d_{n}=\dfrac{\cos (n)}{\sqrt{n}}$.


2. Déterminer alors $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} d_{n}$.