Limites et comparaison

Parcours 1 : exercices

43

 ;

47

 ;

55

 ;

66

 ;

80

et

86

Parcours 2 : exercices

44

 ;

49

 ;

51

 ;

57

 ;

73

 ;

82

et

87

Parcours 3 : exercices

50

 ;

56

 ;

72

et

83

77

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+(-1)^{n}\right).

78

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2 n^{7}+\cos (n)\right).

79

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\frac{7}{3}+\frac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right).

80

[Raisonner.]
D'après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit (b_n) la suite définie par b_0=1 et, pour tout entier naturel n, b_{n+1}=\frac{1}{3} b_{n}+n-2.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 5, b_n \geqslant n-3.

2. En déduire la limite de la suite (b_n).

81

[Calculer.]
Soit (c_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par c_{n}=n^{4}+\sqrt{n^{2}-3 n+5}-8.

1. Montrer que pour tout entier naturel n, c_{n} \geqslant n^{4}-8.

2. En déduire la limite de la suite (c_n).

82

[Calculer.]
Soit (d_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par d_{n}=\frac{2-4 n}{3 \sin (2 n)-8}.

1. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, d_{n} \geqslant \frac{4 n-2}{11}.

2. En déduire la limite de la suite (d_n).

83

[Calculer.]
Soit (e_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par e_{n}=\frac{11 n^{2}}{4 \sin (2 n)-7}.

1. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, e_{n} \leqslant-n^{2}.

2. En déduire la limite de la suite (e_n).

86

[Calculer.]
Soit (a_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par a_{n}=\frac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^{2}+n+1}.

1. Pour tout entier naturel n, montrer que \frac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \frac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.

2. a. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.

b. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_n.

87

[Calculer.]
Soit (b_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 4, par b_{n}=\frac{2 n+(-1)^{n} \cos (n)}{3-n}.

1. Pour tout entier n \geqslant 4, montrer que \frac{2 n-1}{3-n} \geqslant b_{n} \geqslant \frac{2 n+1}{3-n}.

2. a. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\frac{2 n-1}{3-n} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{2 n+1}{3-n}.

b. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_n.

88

[Calculer.]
Soit (c_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par c_{n}=\frac{1-\cos ^{2}(n)}{3 n^{2}-2 n+2+(-1)^{n}}.

1. Pour tout entier naturel n, déterminer un encadrement de c_n.

2. En déduire que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}c_n=0.

89

[Raisonner.]
Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=1 et, pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_{n} \leqslant 1 et 0 \leqslant v_{n} \leqslant 1.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant u_{n} et 0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant v_{n}.

2. En déduire que les suites (u_n) et (v_n) convergent vers 1.