[Raisonner.]◉◉◉ D’après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit (bn) la suite définie par b0=1 et, pour tout entier naturel n, bn+1=31bn+n−2.
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n⩾5, bn⩾n−3.
2. En déduire la limite de la suite (bn).
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81
[Calculer.]
Soit (cn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par cn=n4+n2−3n+5−8.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, cn⩾n4−8.
2. En déduire la limite de la suite (cn).
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82
[Calculer.]◉◉◉
Soit (dn) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par dn=3sin(2n)−82−4n.
1. Montrer que, pour tout entier n⩾1, dn⩾114n−2.
2. En déduire la limite de la suite (dn).
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83
[Calculer.]◉◉◉
Soit (en) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par en=4sin(2n)−711n2.
1. Montrer que, pour tout entier n⩾1, en⩽−n2.
2. En déduire la limite de la suite (en).
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84
[Calculer.]
Soit (tn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par tn=n+cos(n)(4cos2(n)−3)+1.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos(3n)=cos(n)[4cos2(n)−3].
2. Déterminer alors la limite de la suite (tn).
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85
[Calculer.]
Soit (kn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par kn=n3−2n+5n2+sin(n).
1. On a représenté ci‑dessous les premiers termes de la suite (kn).
Conjecturer la limite de la suite (kn).
2. Pour tout entier naturel n, montrer que n3−2n+5n2−1⩽kn⩽n3−2n+5n2+1.
3.a. Déterminer n→+∞limn3−2n+5n2−1 et n→+∞limn3−2n+5n2+1.
b. En déduire n→+∞limkn.
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86
[Calculer.]◉◉◉
Soit (an) la suite définie, pour tout entier naturel n, par an=n2+n+1n+cos(n).
1. Pour tout entier naturel n, montrer que n2+n+1n−1⩽an⩽n2+n+1n+1.
2.a. Déterminer n→+∞limn2+n+1n−1 et n→+∞limn2+n+1n+1.
b. En déduire n→+∞liman.
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87
[Calculer.]◉◉◉
Soit (bn) la suite définie, pour tout entier n⩾4, par bn=3−n2n+(−1)ncos(n).
1. Pour tout entier n⩾4, montrer que 3−n2n−1⩾bn⩾3−n2n+1.
2.a. Déterminer n→+∞lim3−n2n−1 et n→+∞lim3−n2n+1.
b. En déduire n→+∞limbn.
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88
[Calculer.]
Soit (cn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par cn=3n2−2n+2+(−1)n1−cos2(n).
1. Pour tout entier naturel n, déterminer un encadrement de cn.
2. En déduire que n→+∞limcn=0.
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89
[Raisonner.]
Soient (un) et (vn) deux suites telles que n→+∞lim(un×vn)=1 et, pour tout entier naturel n, 0⩽un⩽1 et 0⩽vn⩽1.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0⩽un×vn⩽un et 0⩽un×vn⩽vn.
2. En déduire que les suites (un) et (vn) convergent vers 1.
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90
[Calculer.]
Soit (dn) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par dn=nsin(2π+n)1−sin2(n).
1. Pour tout entier n⩾1, montrer que dn=ncos(n).
2. Déterminer alors n→+∞limdn.
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