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Limites et comparaison

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83

77

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(n^3+(-1{)}^n\right)$.

78

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-2n^7+\cos (n)\right)$.

79

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(\frac{7}{3}+\frac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right)$.

80

[Raisonner.] ◉◉◉
D’après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=\frac{1}{3}{b}_n+n-2$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾5$, $b_n⩾n-3$.


2. En déduire la limite de la suite $(b_n)$.

81

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_n=n^4+\sqrt{n^2-3n+5}-8$.

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $c_n⩾n^4-8$.


2. En déduire la limite de la suite $(c_n)$.

82

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(d_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $d_n=\frac{2-4n}{3\sin (2n)-8}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, $d_n⩾\frac{4n-2}{11}$.


2. En déduire la limite de la suite $(d_n)$.

83

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(e_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $e_n=\frac{11n^2}{4\sin (2n)-7}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, $e_n⩽-n^2$.


2. En déduire la limite de la suite $(e_n)$.

84

[Calculer.]
Soit $(t_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $t_n=\sqrt{n}+\cos (n)\left(4{\cos }^2(n)-3\right)+1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\cos (3n)=\cos (n)\left[4{\cos }^2(n)-3\right]$.


2. Déterminer alors la limite de la suite $(t_n)$.

85

[Calculer.]
Soit $(k_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $k_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n^3-2n+5}$.

1. On a représenté ci‑dessous les premiers termes de la suite $(k_n)$.


Conjecturer la limite de la suite $(k_n)$.

2. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $\frac{n^2-1}{n^3-2n+5}⩽k_n⩽\frac{n^2+1}{n^3-2n+5}$.


3. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{n^2-1}{n^3-2n+5}$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{n^2+1}{n^3-2n+5}$.

b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{k}_n$.

86

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(a_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $a_n=\frac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^2+n+1}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $\frac{\sqrt{n}-1}{n^2+n+1}⩽a_n⩽\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+n+1}$.


2. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{n}-1}{n^2+n+1}$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+n+1}$.


b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{a}_n$.

87

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(b_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾4$, par $b_n=\frac{2n+(-1{)}^n\cos (n)}{3-n}$.

1. Pour tout entier $n⩾4$, montrer que $\frac{2n-1}{3-n}⩾b_n⩾\frac{2n+1}{3-n}$.


2. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{2n-1}{3-n}$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{2n+1}{3-n}$.


b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{b}_n$.

88

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_n=\frac{1-{\cos }^2(n)}{3n^2-2n+2+(-1{)}^n}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, déterminer un encadrement de $c_n$.


2. En déduire que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{c}_n=0$.

89

[Raisonner.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(u_n\times v_n\right)=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n⩽1$ et $0⩽v_n⩽1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n\times v_n⩽u_n$ et $0⩽u_n\times v_n⩽v_n$.


2. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $1$.

90

[Calculer.]
Soit $(d_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $d_n=\frac{1-{\sin }^2(n)}{\sqrt{n}\sin \left(\frac{\pi }{2}+n\right)}$.

1. Pour tout entier $n⩾1$, montrer que $d_n=\frac{\cos (n)}{\sqrt{n}}$.


2. Déterminer alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{d}_n$.