Limites et comparaison

Parcours 1 : exercices

43

 ;

47

 ;

55

 ;

66

 ;

80

et

86

Parcours 2 : exercices

44

 ;

49

 ;

51

 ;

57

 ;

73

 ;

82

et

87

Parcours 3 : exercices

50

 ;

56

 ;

72

et

83

77

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(n^3+(-1{)}^n\right)$.

78

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(-2n^7+\cos (n)\right)$.

79

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(\frac{7}{3}+\frac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right)$.

80

[Raisonner.]
D'après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=\frac{1}{3}{b}_n+n-2$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾5$, $b_n⩾n-3$.

2. En déduire la limite de la suite $(b_n)$.

81

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_n=n^4+\sqrt{n^2-3n+5}-8$.

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $c_n⩾n^4-8$.

2. En déduire la limite de la suite $(c_n)$.

82

[Calculer.]
Soit $(d_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $d_n=\frac{2-4n}{3\sin (2n)-8}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, $d_n⩾\frac{4n-2}{11}$.

2. En déduire la limite de la suite $(d_n)$.

83

[Calculer.]
Soit $(e_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾1$, par $e_n=\frac{11n^2}{4\sin (2n)-7}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, $e_n⩽-n^2$.

Insérer une formule mathématique

2. En déduire la limite de la suite $(e_n)$.

Insérer une formule mathématique

86

[Calculer.]
Soit $(a_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $a_n=\frac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^2+n+1}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $\frac{\sqrt{n}-1}{n^2+n+1}⩽a_n⩽\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+n+1}$.

2. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{n}-1}{n^2+n+1}$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+n+1}$.

b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{a}_n$.

87

[Calculer.]
Soit $(b_n)$ la suite définie, pour tout entier $n⩾4$, par $b_n=\frac{2n+(-1{)}^n\cos (n)}{3-n}$.

1. Pour tout entier $n⩾4$, montrer que $\frac{2n-1}{3-n}⩾b_n⩾\frac{2n+1}{3-n}$.

2. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{2n-1}{3-n}$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{2n+1}{3-n}$.

b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{b}_n$.

88

[Calculer.]
Soit $(c_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $c_n=\frac{1-{\cos }^2(n)}{3n^2-2n+2+(-1{)}^n}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, déterminer un encadrement de $c_n$.

2. En déduire que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{c}_n=0$.

89

[Raisonner.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(u_n\times v_n\right)=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n⩽1$ et $0⩽v_n⩽1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n\times v_n⩽u_n$ et $0⩽u_n\times v_n⩽v_n$.

2. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $1$.