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4. Limites et comparaison
P.151-152

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Entraînement


4
Limites et comparaison





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 47 ; 55 ; 66 ; 80 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 51 ; 57 ; 73 ; 82 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 72 et 83
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77
FLASH

Déterminer limn+(n3+(1)n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+(-1)^{n}\right).
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78
FLASH

Déterminer limn+(2n7+cos(n))\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2 n^{7}+\cos (n)\right).
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79
FLASH

Déterminer limn+(73+sin(n)n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\dfrac{7}{3}+\dfrac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right).
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80
[Raisonner.] ◉◉
D’après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit (bn)(b_n) la suite définie par b0=1b_0=1 et, pour tout entier naturel nn, bn+1=13bn+n2b_{n+1}=\dfrac{1}{3} b_{n}+n-2.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n5n \geqslant 5, bnn3b_n \geqslant n-3.


2. En déduire la limite de la suite (bn)(b_n).
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81
[Calculer.]
Soit (cn)(c_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par cn=n4+n23n+58c_{n}=n^{4}+\sqrt{n^{2}-3 n+5}-8.

1. Montrer que pour tout entier naturel nn, cnn48c_{n} \geqslant n^{4}-8.


2. En déduire la limite de la suite (cn)(c_n).
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82
[Calculer.] ◉◉
Soit (dn)(d_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par dn=24n3sin(2n)8d_{n}=\dfrac{2-4 n}{3 \sin (2 n)-8}.

1. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, dn4n211d_{n} \geqslant \dfrac{4 n-2}{11}.


2. En déduire la limite de la suite (dn)(d_n).
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83
[Calculer.] ◉◉◉
Soit (en)(e_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par en=11n24sin(2n)7e_{n}=\dfrac{11 n^{2}}{4 \sin (2 n)-7}.

1. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, enn2e_{n} \leqslant-n^{2}.


2. En déduire la limite de la suite (en)(e_n).
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84
[Calculer.]
Soit (tn)(t_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par tn=n+cos(n)(4cos2(n)3)+1t_{n}=\sqrt{n}+\cos (n)\left(4 \cos ^{2}(n)-3\right)+1.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, cos(3n)=cos(n)[4cos2(n)3]\cos (3 n)=\cos (n)\left[4 \cos ^{2}(n)-3\right].


2. Déterminer alors la limite de la suite (tn)(t_n).
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85
[Calculer.]
Soit (kn)(k_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par kn=n2+sin(n)n32n+5k_{n}=\dfrac{n^{2}+\sin (n)}{n^{3}-2 n+5}.

1. On a représenté ci‑dessous les premiers termes de la suite (kn)(k_n).

Suites - 4. Limites et comparaison - exercice 85

Conjecturer la limite de la suite (kn)(k_n).


2. Pour tout entier naturel nn, montrer que n21n32n+5knn2+1n32n+5\dfrac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5} \leqslant k_{n} \leqslant \dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}.


3. a. Déterminer limn+n21n32n+5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5} et limn+n2+1n32n+5\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}.


b. En déduire limn+kn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} k_n.
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86
[Calculer.] ◉◉
Soit (an)(a_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par an=n+cos(n)n2+n+1a_{n}=\dfrac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^{2}+n+1}.

1. Pour tout entier naturel nn, montrer que n1n2+n+1ann+1n2+n+1\dfrac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \dfrac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.


2. a. Déterminer limn+n1n2+n+1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} et limn+n+1n2+n+1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.


b. En déduire limn+an\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_n.
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87
[Calculer.] ◉◉
Soit (bn)(b_n) la suite définie, pour tout entier n4n \geqslant 4, par bn=2n+(1)ncos(n)3nb_{n}=\dfrac{2 n+(-1)^{n} \cos (n)}{3-n}.

1. Pour tout entier n4n \geqslant 4, montrer que 2n13nbn2n+13n\dfrac{2 n-1}{3-n} \geqslant b_{n} \geqslant \dfrac{2 n+1}{3-n}.


2. a. Déterminer limn+2n13n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\dfrac{2 n-1}{3-n} et limn+2n+13n\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{2 n+1}{3-n}.


b. En déduire limn+bn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_n.
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88
[Calculer.]
Soit (cn)(c_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par cn=1cos2(n)3n22n+2+(1)nc_{n}=\dfrac{1-\cos ^{2}(n)}{3 n^{2}-2 n+2+(-1)^{n}}.

1. Pour tout entier naturel nn, déterminer un encadrement de cnc_n.


2. En déduire que limn+cn=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}c_n=0.
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89
[Raisonner.]
Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles que limn+(un×vn)=1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=1 et, pour tout entier naturel nn, 0un10 \leqslant u_{n} \leqslant 1 et 0vn10 \leqslant v_{n} \leqslant 1.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, 0un×vnun0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant u_{n} et 0un×vnvn0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant v_{n}.


2. En déduire que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) convergent vers 11.
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90
[Calculer.]
Soit (dn)(d_n) la suite définie, pour tout entier n1n \geqslant 1, par dn=1sin2(n)nsin(π2+n)d_{n}=\dfrac{1-\sin ^{2}(n)}{\sqrt{n} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+n\right)}.

1. Pour tout entier n1n \geqslant 1, montrer que dn=cos(n)nd_{n}=\dfrac{\cos (n)}{\sqrt{n}}.


2. Déterminer alors limn+dn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} d_{n}.
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