Mathématiques Terminale Spécialité

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Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Entraînement 4

Limites et comparaison

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Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ; et
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77
Flash

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{3}+(-1)^{n}\right).
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78
Flash

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-2 n^{7}+\cos (n)\right).
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79
Flash

Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(\frac{7}{3}+\frac{\sin (n)}{\sqrt{n}}\right).
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80
[Raisonner.]
D'après bac S, Pondichery, avril 2010
Soit (b_n) la suite définie par b_0=1 et, pour tout entier naturel n, b_{n+1}=\frac{1}{3} b_{n}+n-2.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 5, b_n \geqslant n-3.


2. En déduire la limite de la suite (b_n).
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81
[Calculer.]
Soit (c_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par c_{n}=n^{4}+\sqrt{n^{2}-3 n+5}-8.

1. Montrer que pour tout entier naturel n, c_{n} \geqslant n^{4}-8.


2. En déduire la limite de la suite (c_n).
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82
[Calculer.]
Soit (d_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par d_{n}=\frac{2-4 n}{3 \sin (2 n)-8}.

1. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, d_{n} \geqslant \frac{4 n-2}{11}.


2. En déduire la limite de la suite (d_n).
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83
[Calculer.]
Soit (e_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par e_{n}=\frac{11 n^{2}}{4 \sin (2 n)-7}.

1. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, e_{n} \leqslant-n^{2}.


2. En déduire la limite de la suite (e_n).
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84
[Calculer.]
Soit (t_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par t_{n}=\sqrt{n}+\cos (n)\left(4 \cos ^{2}(n)-3\right)+1.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, \cos (3 n)=\cos (n)\left[4 \cos ^{2}(n)-3\right].


2. Déterminer alors la limite de la suite (t_n).
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85
[Calculer.]
Soit (k_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par k_{n}=\frac{n^{2}+\sin (n)}{n^{3}-2 n+5}.
1. On a représenté ci‑dessous les premiers termes de la suite (k_n).

Suites - 4. Limites et comparaison - exercice 85
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Conjecturer la limite de la suite (k_n).

2. Pour tout entier naturel n, montrer que \frac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5} \leqslant k_{n} \leqslant \frac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}.


3. a. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{n^{2}-1}{n^{3}-2 n+5} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{n^{2}+1}{n^{3}-2 n+5}.


b. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} k_n.
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86
[Calculer.]
Soit (a_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par a_{n}=\frac{\sqrt{n}+\cos (n)}{n^{2}+n+1}.

1. Pour tout entier naturel n, montrer que \frac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \frac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.


2. a. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{\sqrt{n}-1}{n^{2}+n+1} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{\sqrt{n}+1}{n^{2}+n+1}.


b. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} a_n.
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87
[Calculer.]
Soit (b_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 4, par b_{n}=\frac{2 n+(-1)^{n} \cos (n)}{3-n}.

1. Pour tout entier n \geqslant 4, montrer que \frac{2 n-1}{3-n} \geqslant b_{n} \geqslant \frac{2 n+1}{3-n}.


2. a. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\frac{2 n-1}{3-n} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{2 n+1}{3-n}.


b. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_n.
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88
[Calculer.]
Soit (c_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par c_{n}=\frac{1-\cos ^{2}(n)}{3 n^{2}-2 n+2+(-1)^{n}}.

1. Pour tout entier naturel n, déterminer un encadrement de c_n.


2. En déduire que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}c_n=0.
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89
[Raisonner.]
Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(u_{n} \times v_{n}\right)=1 et, pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_{n} \leqslant 1 et 0 \leqslant v_{n} \leqslant 1.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant u_{n} et 0 \leqslant u_{n} \times v_{n} \leqslant v_{n}.


2. En déduire que les suites (u_n) et (v_n) convergent vers 1.
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90
[Calculer.]
Soit (d_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par d_{n}=\frac{1-\sin ^{2}(n)}{\sqrt{n} \sin \left(\frac{\pi}{2}+n\right)}.

1. Pour tout entier n \geqslant 1, montrer que d_{n}=\frac{\cos (n)}{\sqrt{n}}.


2. Déterminer alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} d_{n}.
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