Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

4. Limites et comparaison
P.138-139

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 4


4
Limites et comparaison




A
Théorème de comparaison


Théorème

Soient et deux suites telles que à partir d’un certain rang
1. Si , alors .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


2. Si , alors .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


DÉMONSTRATION

1. Par hypothèse, il existe un rang tel que, pour tout , .
Par ailleurs, tend vers . Par définition, pour tout réel , il existe un rang tel que, pour tout , .
En choisissant , les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout , et .
Ainsi, pour tout réel , il existe un entier tel que, pour tout , .
Donc .

2. Par hypothèse, il existe un rang tel que, pour tout , .
Par ailleurs, tend vers . Par définition, pour tout réel , il existe un rang tel que, pour tout , .
En choisissant , les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout , et .
Ainsi, pour tout réel , il existe un entier tel que, pour tout , .
Donc .

Exemples

  • On considère une suite pour laquelle il existe tel que, pour tout , . Comme , d’après le théorème de comparaison, on en déduit que .
  • On considère une suite telle que, pour tout , . Comme , d’après le théorème de comparaison, on en déduit que .

Application et méthode - 8

Énoncé

Déterminer .

Méthode

  • On détermine une suite qui majore (ou minore) celle dont on cherche la limite.
  • On détermine ensuite la limite de la suite qui majore (ou minore) la suite dont on cherche la limite.
  • On conclut à l’aide du théorème de comparaison.

Solution

Pour tout entier naturel , on a d'où et donc .
Or .
Donc, d'après le théorème de comparaison, .

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 145

B
Théorème des gendarmes


Théorème des gendarmes (admis)

Soient , et trois suites telles que à partir d’un certain rang.
Si et convergent vers une même limite , alors converge aussi vers .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème des gendarmes

Remarque

Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel  :
,
et
.

Application et méthode - 9

Énoncé

Déterminer .

Méthode

  • On encadre la suite dont on cherche la limite par deux autres suites de même limite.
  • On détermine ensuite la limite de chacune des deux suites qui encadrent la suite dont on cherche la limite.
  • On conclut à l’aide du théorème des gendarmes.

Solution

Pour tout entier , on a d'où et donc .
On pose , et .
On a donc pour tout entier et .
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, .

Pour s'entraîner : exercice 36 et 37 p. 145
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.