Soient (un) et (vn) deux suites telles que un⩽vn à partir d’un certain rang n0. 1. Si n→+∞limun=+∞, alors n→+∞limvn=+∞.
2. Si n→+∞limvn=−∞, alors n→+∞limun=−∞.
DÉMONSTRATION
1. Par hypothèse, il existe un rang n0 tel que, pour tout n⩾n0, un⩽vn.
Par ailleurs, un tend vers +∞. Par définition, pour tout réel A, il existe un rang n1 tel que, pour tout n⩾n1, un⩾A.
En choisissant N=max(n0;n1), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n⩾N, un⩽vn et un⩾A.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, vn⩾A.
Donc n→+∞limvn=+∞.
2. Par hypothèse, il existe un rang n0 tel que, pour tout n⩾n0, un⩽vn.
Par ailleurs, vn tend vers −∞. Par définition, pour tout réel A, il existe un rang n1 tel que, pour tout n⩾n1, vn⩽A.
En choisissant N=max(n0;n1), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n⩾N, un⩽vn et vn⩽A.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, vn⩽A.
Donc n→+∞limun=−∞.
Exemples
On considère une suite (un) pour laquelle il existe n0∈N tel que, pour tout n⩾n0, un⩾n2+1. Comme n→+∞lim(n2+1)=+∞, d’après le théorème de comparaison, on en
déduit que n→+∞limun=+∞.
On considère une suite (vn) telle que, pour tout n∈N, vn⩽−3n. Comme n→+∞lim(−3n)=−∞, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que n→+∞limvn=−∞.
Application et méthode - 8
Énoncé
Déterminer n→+∞lim(n2−(−1)n).
Méthode
On détermine une suite qui majore (ou minore) celle dont on cherche la limite.
On détermine ensuite la limite de la suite qui majore (ou minore) la suite dont on cherche la limite.
On conclut à l’aide du théorème de comparaison.
Solution
Pour tout entier naturel n, on a (−1)n⩽1 d'où −(−1)n⩾−1 et donc n2−(−1)n⩾n2−1.
Or n→+∞lim(n2−1)=+∞.
Donc, d'après le théorème de comparaison, n→+∞lim(n2−(−1)n)=+∞.
Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que un⩽vn⩽wn à partir d’un certain rang.
Si (un) et (wn) convergent vers une même limite ℓ, alors (vn) converge aussi vers ℓ.
Remarque
Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel n : −1⩽(−1)n⩽1, −1⩽sin(n)⩽1 et −1⩽cos(n)⩽1.
Application et méthode - 9
Énoncé
Déterminer n→+∞lim(1+nsin(n)).
Méthode
On encadre la suite dont on cherche la limite par deux autres suites de même limite.
On détermine ensuite la limite de chacune des deux suites qui encadrent la suite dont on cherche la limite.
On conclut à l’aide du théorème des gendarmes.
Solution
Pour tout entier n⩾1, on a −1⩽sin(n)⩽1 d'où −n1⩽nsin(n)⩽n1 et donc 1−n1⩽1+nsin(n)⩽1+n1.
On pose un=1−n1, vn=1+nsin(n) et wn=1+n1.
On a donc un⩽vn⩽wn pour tout entier n⩾1 et n→+∞limun=n→+∞limwn=1.
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, n→+∞lim(1+nsin(n))=1.
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