Limites et comparaison

1. Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$.

2. Si $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$.

1. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩽v_n$.
Par ailleurs, $u_n$ tend vers $+\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, $u_n⩾\mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_0;n_1\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $u_n⩽v_n$ et $u_n⩾\mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $v_n⩾\mathrm{A}$.
Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$.

2. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩽v_n$.
Par ailleurs, $v_n$ tend vers $-\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, $v_n⩽\mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_0;n_1\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $u_n⩽v_n$ et $v_n⩽\mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $v_n⩽\mathrm{A}$.
Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$.

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_n⩽v_n⩽w_n$ à partir d'un certain rang.
Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une même limite $\ell$, alors $(v_n)$ converge aussi vers $\ell$.