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4. Limites et comparaison
P.138-139

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COURS 4


4
Limites et comparaison




A
Théorème de comparaison


Théorème

Soient et deux suites telles que à partir d’un certain rang
1. Si , alors .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


2. Si , alors .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


DÉMONSTRATION

1. Par hypothèse, il existe un rang tel que, pour tout , .
Par ailleurs, tend vers . Par définition, pour tout réel , il existe un rang tel que, pour tout , .
En choisissant , les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout , et .
Ainsi, pour tout réel , il existe un entier tel que, pour tout , .
Donc .

2. Par hypothèse, il existe un rang tel que, pour tout , .
Par ailleurs, tend vers . Par définition, pour tout réel , il existe un rang tel que, pour tout , .
En choisissant , les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout , et .
Ainsi, pour tout réel , il existe un entier tel que, pour tout , .
Donc .

Exemples

  • On considère une suite pour laquelle il existe tel que, pour tout , . Comme , d’après le théorème de comparaison, on en déduit que .
  • On considère une suite telle que, pour tout , . Comme , d’après le théorème de comparaison, on en déduit que .

Application et méthode - 8

Énoncé

Déterminer .

B
Théorème des gendarmes


Théorème des gendarmes (admis)

Soient , et trois suites telles que à partir d’un certain rang.
Si et convergent vers une même limite , alors converge aussi vers .

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème des gendarmes

Remarque

Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel  :
,
et
.

Application et méthode - 9

Énoncé

Déterminer .