DÉMONSTRATION

1. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩽v_n$.
Par ailleurs, $u_n$ tend vers $+\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, $u_n⩾\mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_0;n_1\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $u_n⩽v_n$ et $u_n⩾\mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $v_n⩾\mathrm{A}$.
Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=+\infty$.

2. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩽v_n$.
Par ailleurs, $v_n$ tend vers $-\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n⩾n_1$, $v_n⩽\mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_0;n_1\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $u_n⩽v_n$ et $v_n⩽\mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n⩾\mathrm{N}$, $v_n⩽\mathrm{A}$.
Donc $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=-\infty$.

Exemples

• On considère une suite $(u_n)$ pour laquelle il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $u_n⩾n^2+1$. Comme $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(n^2+1\right)=+\infty$, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{u}_n=+\infty$.
• On considère une suite $(v_n)$ telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n⩽-3n$. Comme $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }(-3n)=-\infty$, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{v}_n=-\infty$.

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(n^2-(-1{)}^n\right)$.

Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel $n$ :
$-1⩽(-1{)}^n⩽1$,
$-1⩽\sin (n)⩽1$ et
$-1⩽\cos (n)⩽1$.

Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(1+\frac{\sin (n)}{n}\right)$.