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4. Limites et comparaison
P.138-139

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COURS 4


4
Limites et comparaison




A
Théorème de comparaison


Théorème

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles que unvnu_{n} \leqslant v_{n} à partir d’un certain rang n0.n_0.
1. Si limn+un=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors limn+vn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty.

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


2. Si limn+vn=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty, alors limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème de comparaison


DÉMONSTRATION

1. Par hypothèse, il existe un rang n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, unvnu_{n} \leqslant v_{n}.
Par ailleurs, unu_n tend vers ++\infty. Par définition, pour tout réel A\text{A}, il existe un rang n1n_1 tel que, pour tout nn1n \geqslant n_{1}, unAu_{n} \geqslant \mathrm{A}.
En choisissant N=max(n0 ; n1)\mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout nNn \geqslant \mathrm{N}, unvnu_{n} \leqslant v_{n} et unAu_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel A\text{A}, il existe un entier N\text{N} tel que, pour tout nNn \geqslant \mathrm{N}, vnAv_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Donc limn+vn=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty.

2. Par hypothèse, il existe un rang n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, unvnu_{n} \leqslant v_{n}.
Par ailleurs, vnv_n tend vers -\infty. Par définition, pour tout réel A\text{A}, il existe un rang n1n_1 tel que, pour tout nn1n \geqslant n_{1}, vnAv_{n} \leqslant \mathrm{A}.
En choisissant N=max(n0 ; n1)\mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout nNn \geqslant \mathrm{N}, unvnu_{n} \leqslant v_{n} et vnAv_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel A\text{A}, il existe un entier N\text{N} tel que, pour tout nNn \geqslant \mathrm{N}, vnAv_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Donc limn+un=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

Exemples

  • On considère une suite (un)(u_n) pour laquelle il existe n0Nn_{0} \in \mathbb{N} tel que, pour tout nn0n \geqslant n_{0}, unn2+1u_{n} \geqslant n^{2}+1. Comme limn+(n2+1)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}+1\right)=+\infty, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que limn+un=+\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.
  • On considère une suite (vn)(v_n) telle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn3nv_{n} \leqslant-3 n. Comme limn+(3n)=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-3 n)=-\infty, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que limn+vn=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty.

Application et méthode - 8

Énoncé

Déterminer limn+(n2(1)n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right).

Méthode

  • On détermine une suite qui majore (ou minore) celle dont on cherche la limite.
  • On détermine ensuite la limite de la suite qui majore (ou minore) la suite dont on cherche la limite.
  • On conclut à l’aide du théorème de comparaison.

Solution

Pour tout entier naturel nn, on a (1)n1(-1)^{n} \leqslant 1 d'où (1)n1-(-1)^{n} \geqslant-1 et donc n2(1)nn21n^{2}-(-1)^{n} \geqslant n^{2}-1.
Or limn+(n21)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty.
Donc, d'après le théorème de comparaison, limn+(n2(1)n)=+\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right)=+\infty.

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 145

B
Théorème des gendarmes


Théorème des gendarmes (admis)

Soient (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) trois suites telles que unvnwnu_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} à partir d’un certain rang.
Si (un)(u_n) et (wn)(w_n) convergent vers une même limite \ell, alors (vn)(v_n) converge aussi vers \ell.

Suites - 4. Limites et comparaison - A. Théorème des gendarmes

Remarque

Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel nn :
1(1)n1-1 \leqslant(-1)^{n} \leqslant 1,
1sin(n)1-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1 et
1cos(n)1-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1.

Application et méthode - 9

Énoncé

Déterminer limn+(1+sin(n)n)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\dfrac{\sin (n)}{n}\right).

Méthode

  • On encadre la suite dont on cherche la limite par deux autres suites de même limite.
  • On détermine ensuite la limite de chacune des deux suites qui encadrent la suite dont on cherche la limite.
  • On conclut à l’aide du théorème des gendarmes.

Solution

Pour tout entier n1n \geqslant 1, on a 1sin(n)1-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1 d'où 1nsin(n)n1n-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin (n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n} et donc 11n1+sin(n)n1+1n1-\dfrac{1}{n} \leqslant 1+\dfrac{\sin (n)}{n} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}.
On pose un=11nu_{n}=1-\dfrac{1}{n}, vn=1+sin(n)nv_{n}=1+\dfrac{\sin (n)}{n} et wn=1+1nw_{n}=1+\dfrac{1}{n}.
On a donc unvnwnu_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} pour tout entier n1n \geqslant 1 et limn+un=limn+wn=1\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=1.
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, limn+(1+sin(n)n)=1\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\dfrac{\sin (n)}{n}\right)=1.

Pour s'entraîner : exercice 36 et 37 p. 145
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