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Limites et comparaison

DÉMONSTRATION

1. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $u_{n} \leqslant v_{n}$.
Par ailleurs, $u_n$ tend vers $+\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{1}$, $u_{n} \geqslant \mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n \geqslant \mathrm{N}$, $u_{n} \leqslant v_{n}$ et $u_{n} \geqslant \mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n \geqslant \mathrm{N}$, $v_{n} \geqslant \mathrm{A}$.
Donc $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty$.

2. Par hypothèse, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $u_{n} \leqslant v_{n}$.
Par ailleurs, $v_n$ tend vers $-\infty$. Par définition, pour tout réel $\text{A}$, il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{1}$, $v_{n} \leqslant \mathrm{A}$.
En choisissant $\mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right)$, les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout $n \geqslant \mathrm{N}$, $u_{n} \leqslant v_{n}$ et $v_{n} \leqslant \mathrm{A}$.
Ainsi, pour tout réel $\text{A}$, il existe un entier $\text{N}$ tel que, pour tout $n \geqslant \mathrm{N}$, $v_{n} \leqslant \mathrm{A}$.
Donc $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty$.

Exemples

• On considère une suite $(u_n)$ pour laquelle il existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $n \geqslant n_{0}$, $u_{n} \geqslant n^{2}+1$. Comme $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}+1\right)=+\infty$, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que $\lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty$.
• On considère une suite $(v_n)$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n} \leqslant-3 n$. Comme $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-3 n)=-\infty$, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty$.

Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right)$.

Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel $n$ :
$-1 \leqslant(-1)^{n} \leqslant 1$,
$-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1$ et
$-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1$.

Déterminer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\dfrac{\sin (n)}{n}\right)$.