Soient (un) et (vn) deux suites telles que un⩽vn à partir d’un certain rang n0. 1. Si n→+∞limun=+∞, alors n→+∞limvn=+∞.
2. Si n→+∞limvn=−∞, alors n→+∞limun=−∞.
DÉMONSTRATION
1. Par hypothèse, il existe un rang n0 tel que, pour tout n⩾n0, un⩽vn.
Par ailleurs, un tend vers +∞. Par définition, pour tout réel A, il existe un rang n1 tel que, pour tout n⩾n1, un⩾A.
En choisissant N=max(n0;n1), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n⩾N, un⩽vn et un⩾A.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, vn⩾A.
Donc n→+∞limvn=+∞.
2. Par hypothèse, il existe un rang n0 tel que, pour tout n⩾n0, un⩽vn.
Par ailleurs, vn tend vers −∞. Par définition, pour tout réel A, il existe un rang n1 tel que, pour tout n⩾n1, vn⩽A.
En choisissant N=max(n0;n1), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n⩾N, un⩽vn et vn⩽A.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, vn⩽A.
Donc n→+∞limun=−∞.
Exemples
On considère une suite (un) pour laquelle il existe n0∈N tel que, pour tout n⩾n0, un⩾n2+1. Comme n→+∞lim(n2+1)=+∞, d’après le théorème de comparaison, on en
déduit que n→+∞limun=+∞.
On considère une suite (vn) telle que, pour tout n∈N, vn⩽−3n. Comme n→+∞lim(−3n)=−∞, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que n→+∞limvn=−∞.
Application et méthode - 8
Énoncé
Déterminer n→+∞lim(n2−(−1)n).
B
Théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes (admis)
Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que un⩽vn⩽wn à partir d’un certain rang.
Si (un) et (wn) convergent vers une même limite ℓ, alors (vn) converge aussi vers ℓ.
Remarque
Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel n : −1⩽(−1)n⩽1, −1⩽sin(n)⩽1 et −1⩽cos(n)⩽1.